Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Exercice III : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0,π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I :
∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ = 0, dans ]0, ∞[×I
z µ (t,0) = z µ (t,π) = 0, sur ]0, ∞[
z µ (0, ·) = ϕ, sur I.
III.1.– Montrer que z µ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0.
III.2.– Montrer que
∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) = −2µ‖∂ xz µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0.
III.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que
∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2µ
C ‖z µ(t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0.
III.4.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I),
lim z µ(t, ·), (∀µ > 0) et lim z µ(t, ·), (∀t > 0).
t→+∞ µ→+∞
III.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann
homogènes,
∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ = 0, dans ]0, ∞[×I
∂ x z µ (t,0) = ∂ x z µ (t,π) = 0, sur ]0, ∞[
z µ (0, ·) = ϕ, sur I,
avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L 2 (I) :
∫
∫
lim u µ(t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et lim u µ(t, ·) =
t→+∞ µ→+∞
I
I
ϕ(x) dx, (∀t > 0).
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2