Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 2 Juin 2010
Partie 1
On suppose dans cette partie que l’équation (1) admet une solution pour tout b.
1.1– Montrer que T ∗ T est un isomorhpishme.
1.2– Montrer que R(T ) est fermé. En déduire qu’il existe β > 0 tel que
‖T y‖ ≥ β‖y‖, ∀y ∈ H.
1.3– Montrer que R(T ∗ ) est fermé et en déduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T )
sur H.
1.4– Est ce que T est nécessairement un isomorphisme sur H : Examiner l’application
shift à droite sur l 2 (R), definie par
T : x = (x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·) ↦→ T x = (0, x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·)
1.5– On suppose que T T ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont
des isomorphismes sur H.
Partie 2
On suppose dans toute la suite que T est compact et que N(T ∗ ) = {0}.
2.1– Le problème (1) a-t-il toujours une solution Jusitfer votre réponse.
2.2.– Lorsque l’équation (1) ne peut pas être résolue, on la remplace par la minimisation
de la fonctionnelle quadratique
J(y) = 1 2 (T ∗ T y, y) − (b, y) = 1 2 ‖T y‖2 − (b, y), ∀y ∈ H.
On suppose que J est minorée sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce
minimum est atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en déduire que b = T ∗ d,
où d ∈ H.
2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considérant
J(ty), ∀t ∈ R, ∀y ∈ H, montrer que
(b, y) ≤ √ −2γ ‖T y‖ ∀y ∈ H.
2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par
l : z ↦→ (b, y), où z = T y,
se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et
J(y) = 1 2 ‖T y − d‖2 − 1 2 ‖d‖2 , ∀y ∈ H.
avec ‖d‖ = √ −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande
importance pour une certaine classe de problèmes.
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2