Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 12 janvier 2004
Problème IV : Soient X et Y deux espaces de Hilbert réels tels que X s’injecte dans Y
avec une injection continue et dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notés
(·, ·) X et (·, ·) Y .
IV.1.– On note
D =
{
}
x ∈ X; ∃C > 0, tel que |(x, y) X | ≤ C‖y‖ Y , ∀y ∈ X .
Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y ↦→ (x, y) X se prolonge de manière unique
en une forme linéaire continue sur Y . En déduire que, pour tout x ∈ D, il existe un
unique x ∗ ∈ Y tel que (x, y) X = (x ∗ , y) Y , ∀y ∈ X. Dans la suite, D sera noté D(A) et A
l’opérateur linéaire défini par Ax = x ∗ pour tout x ∈ D(A). Vérifier que D(A), muni de
la norme du graphe, est un espace de Hilbert.
IV.2.– Soit z ∈ Y , on considère l’équation :
(3)
chercher x ∈ D(A) tel que, Ax = z.
IV.2.i.– Ecrire une formulation variationelle du problème (3) dans X.
IV.2.ii.– On considère le problème faible qui consiste à
(4)
chercher x ∈ X tel que, (x, y) X = (z, y) Y , ∀y ∈ X.
Montrer que le problème (4) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A).
En déduire que le problème (3) admet une solution unique.
IV.3.– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense.
IV.4.– On suppose que X = H 1 0(Ω), muni de la semi norme (qui est une norme!) et
Y = L 2 (Ω), muni de sa norme naturelle où Ω est un domaine régulier de R d . Déterminer
avec précision l’opérateur A (son domaine et son expression).
Questions facultatives de bonification.
IV.5.– On suppose qu’il existe une base orthonormée (e n ) n de l’espace Y telle que
e n ∈ D(A) et Ae n = λ n e n . Vérifier que λ n > 0 et que par consequent (e n ) n est une
base othogonale de X et calculer ‖e n ‖ X .
IV.6.– Etablir que
x = ∑ n
x n e n ∈ D(A) ⇐⇒ ∑ n
λ 2 nx 2 n < ∞,
x = ∑ n
x n e n ∈ X ⇐⇒ ∑ n
λ n x 2 n < ∞.
On écrit que X = D(A 1 2 ) et (D(A θ )) θ∈[0,1] où
{
D(A θ ) = x ∈ Y,
∑
n
}
λ 2θ
n x 2 n < ∞
définit une famille décroissante d’espaces de Hilbert notée ([X, Y ] 1−θ ) θ∈[0,1]
espaces d’interpolation entre X et Y .
et appelés
Mastère de Mathématiques Appliquées 3/3