Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 19 Janvier 2009
II.4.— Prouver que 0 et 4 sont dans le spectre σ(A). Sont-ils valeurs propres de A
II.5.— Montrer que R(A) est dense et non fermé.
II.6.— La norme
‖x‖ 2 = ∑ (x k+1 − x k ) 2
k∈Z
définit-elle une structure d’espace de Hilbert sur H
II.7.— Montrer que A ne possède aucune valeur propre. En déduire que pour tout λ ∈ σ(A), on a
N (A − λI) = {0}, R(A − λI) est dense dans H sans être fermé et que (A − λI) −1 n’est pas continu.
On dit que le spectre de A est purement continu. A est-il compact
II.8.— Montrer que σ(A) = [0, 4].
Une preuve possible consiste à utiliser l’isométrie( 2 ) d’espaces de Hilbert de (H, ‖ · ‖ H ) dans (V, ‖ · ‖ V ) où
{
V = f(t) = ∑ }
x k e ikt , x ∈ H ,
k∈Z
muni de la norme
‖f‖ 2 V =
∫ π
−π
|f(t)| 2 dt.
Exercice III : Soir c ∈ R. On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L 2 (R) → L 2 (R)
ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x − ct), ∀x ∈ R.
III.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu d’isométries
sur L 2 (R).
III.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection
∂f
∂t
Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R)
(t, x) + c∂f (t, x)
∂x
= 0, ∀(t, x) ∈]0, +∞[×R
f(0, x) = ψ(x).
III.3.– On définit l’opérateur A dans L 2 (R) par
{
D(A) = ψ ∈ L 2 (T (h) − I)
}
(R); lim
ψ existe dans L 2 (R) ,
h→0 h
et
(T (h) − I)
Aψ = lim
ψ.
h→0 h
Montrer que D(A) = H 1 (R) et déterminer l’expression de A. On dit que A est le générateur infinitésimal
de ce groupe (T (t)) t∈R .
III.4.– Soit donné k ∈ L 2 ([0, ∞[×R) et on suppose que ψ ∈ H 1 (R). Exprimer en fonction de l’opérateur
T (t) la solution du problème
∂f
∂t
(t, x) + c∂f (t, x)
∂x
= k(t, x), ∀(t, x) ∈]0, ∞[×R
f(0, x) = ψ(x).
Indication : Calculer la dérivée de la fonction γ(t) = f(t, α + ct) où α ∈ R
III.5.– Montrer que la solution f vérifie
‖f(t)‖ L 2 (R) ≤ ‖ψ‖ L 2 (R) +
2 C’est le théorème de Parseval.
∫ t
0
‖k(s)‖ L 2 (R) ds.
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2