Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

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E.N.I.T. Mastère de Mathématiques Appliquées Examen – Analyse Fonctionnelle Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih Durée : 3H00 Date : 16 Janvier 2006 Documents personnels autorisés Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec rigueur, clarté et concision, et d’éviter les fioritures (ezz-aïed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important de bien comprendre ce qui est demandé avant répondre aux questions 1 et de se contenter d’y répondre. Bon Travail! Problème I : Préambule: Lemme de Gronwall Soient m(·) ≥ 0 une fonction continue sur [0, 1] et α un réel ≥ 0. On considère ϕ(·) une fonction continue et positive sur [0, 1] telle que I.0.– Montrer que ϕ(x) ≤ α + ∫ x 0 ϕ(x) ≤ α exp( m(t)ϕ(t) dt, ∀x ∈ [0, 1]. ∫ x 0 m(t) dt), ∀x ∈ [0, 1]. Analyse du problème de Cauchy Soit I l’intervalle [0, 1], ω ≥ 0 et a(·) une fonction continue strictement positive sur I. Pour les données f ∈ L 2 (I) et β ∈ R, on considère le problème de Cauchy (qui n’est pas un problème aux limites!) ⎧ −(au ′ ) ′ + ωu = f, dans I ⎪⎨ (1) u(0) = 0 . ⎪⎩ a(0)u ′ (0) = β I.1.– On suppose que le problme (1) admet une solution dans u ∈ H 1 (I). Pourquoi au ′ ∈ H 1 (I) En déduire que la solution u est unique et qu’elle est de classe C 1 sur I —On pourra utiliser le lemme de Gronwall sur la fonction |u(·)|—. I.2.– Soit γ ∈ R, on considère le problème aux limites : chercher w ∈ H 1 (I) tel que ⎧ −(aw ′ ) ′ + ωw = f, dans I ⎪⎨ (2) w(0) = 0 . ⎪⎩ w(1) = γ Donner la formulation variationnelle de (2) et montrer qu’elle admet une solution unique dans w ∈ H 1 (I). I.3.– On suppose que f = 0, monter que l’application γ ↦→ a(0)w ′ (0), est bijective sur R. En déduire que le problème (1) admet une solution u ∈ H 1 (I) qui est donc unique. Étendre le résultat d’existence au cas où f ∈ L 2 (I) est arbitraire. I.4.– On suppose que f ∈ L ∞ (I) et que u ∈ H 1 (I) est solution de (1), établir que ‖u‖ L∞ (I) ≤ C(ω)(|β| + ‖f‖ L∞ (I)), 1 Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.
et fournir une estimation de la constante C(ω). I.5.– On introduit l’espace { } V = v ∗ = (v D , v N ) ∈ H 1 (I) × H 1 (I), v D (0) = 0, v D (1) = v N (1) , et on considère le problème variationnel : chercher u ∗ ∈ V tel que ∫ ∫ ∫ (au ′ D v′ D + ωu Dv D ) dx − (au ′ N v′ N + ωu Nv N ) dx = f(v D − v N ) dx − βv N (0), I I.5.1– On suppose que cet espace est muni de la norme Montrer que la semi-norme est une norme équivalente à la norme ‖ · ‖ V . I ‖v ∗ ‖ V = ‖v D ‖ H1 (I) + ‖v N ‖ H1 (I), ∀v ∗ ∈ V. |v ∗ | V = ‖v ′ D ‖ L 2 (I) + ‖v ′ N ‖ L 2 (I), ∀v ∗ ∈ V, I ∀v ∗ ∈ V. I.5.2– Par des choix judicieux de v ∗ (= (v D , 0) d’abord et = (0, v N ) ensuite), établir que ⎧ ⎧ ⎨ −(au ′ D )′ + ωu D = f, dans I ⎨ −(au ′ N )′ + ωu N = f, dans I ⎩ u D (0) = 0 ⎩ a(0)u ′ N (0) = β I.5.3– Montrer que u ′ D(1) = u ′ N(1). I.6– Écrire un problème (de Cauchy) sur w = u D − u N et en déduire que u D = u N = u, où u est la solution du problème de Cauchy (1). Dans toute la suite on suppose que f = 0 et ω = 0. I.7– On note w γ D ∈ H1 (I) et w γ,β N ∈ H1 (I) les solutions de ⎧ −(aw ′ ⎧ D ⎪⎨ = 0, dans I −(aw N ′ ⎪⎨ = 0, dans I ⎪⎩ w D (0) = 0 a(0)w N ′ (0) = β . ⎪⎩ w D (1) = γ w N (1) = γ Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que w ∗ = u ∗ , est que γ soit solution de l’équation algébrique sγ = g, avec s = s D − s N , où ∫ ∫ s D = a[(wD 1 )′ (x)] 2 dx, s N = I I.8– Après avoir formulé le problème faible sur w 1,0 N s D > s N > 0. I a[(w 1,0 N )′ (x)] 2 dx, et g = a(1)(w 0,β N )′ (1). comme un problème de minimisation, vérifier que I.9– En déduire que la suite (γ k ) k ⊂ R définie par la relation de récurrence est convergente et que w γ k D s D γ k+1 − s N γ k = g, et wγ k,β N convergent dans H 1 (I) vers u, la solution du problème de Cauchy 2 . 2 Le problème de Cauchy (1), dit aussi de complétion de données, pose de grandes difficultés de résolution numérique Mastère de Mathématiques Appliquées 2/3
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