Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 4 Février 2008
Exercice III : On note
H 2 0 (]0, 1[) =
On considère le problème différentiel
{
}
v ∈ H 2 (]0, 1[); v(0) = v(1) = v ′ (0) = v ′ (1) = 0 .
z ′′′′ + cz = f, dans ]0, 1[
z ′ (0) = z ′ (1) = 0,
z(0) = z(1) = 0,
où f est une fonction donnée dans L 2 (]0, 1[) et c est une fonction donnée dans C 0 ([0, 1]).
III.1.– Donner la formulation variationnelle du problème et montrer qu’elle admet une unique solution
z (On sera pour cela amené à faire des hypothèses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!)
III.2.– Exprimer le problème comme un problème de minimisation.
III.3.– Montrer que la solution z est dans H 4 (]0, 1[).
Exercice IV : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I :
∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ = 0, dans ]0, ∞[×I
z µ (t, 0) = z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[
z µ (0, ·) = ϕ, sur I.
IV.1.– Montrer que z µ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0.
IV.2.– Montrer que
∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) = −2µ‖∂ xz µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0.
IV.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que
∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2µ
C ‖z µ(t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0.
IV.4.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I),
lim z µ(t, ·), (∀µ > 0) et lim z µ(t, ·), (∀t > 0).
t→+∞ µ→+∞
IV.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann
homogènes,
∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ = 0, dans ]0, ∞[×I
∂ x z µ (t, 0) = ∂ x z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[
z µ (0, ·) = ϕ, sur I,
avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L 2 (I) :
∫
∫
lim u µ(t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et lim u µ(t, ·) =
t→+∞ µ→+∞
I
I
ϕ(x) dx, (∀t > 0).
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2