Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 2 Mai 2006
II.1.– Montrer que si e ≠ 0 est dans H0 1 (0, 1) et tel que
∫ 1
alors λ est un réel > 0.
0
e ′ (x)w ′ (x) dx = λ
∫ 1
0
e(x)w(x) dx, ∀w ∈ H 1 0 (0, 1),
Soit (e k ) k∈N la base hilbertienne de L 2 (0, 1) formée des vecteurs propres du laplacien. C’est-à-dire
qu’il existe une suite (λ k ) k∈N positive et croissante telle que
∫ 1
0
∫ 1
e ′ k (x)w′ (x)dx = λ k e k (x)w(x) dx, ∀w ∈ H0 1 (0, 1).
0
II.2.– Montrer que (e k ) k∈N forme une base orthogonale de H0 1 (0, 1) et que
∫ 1
0
|e ′ k (x)|2 dx = λ k .
On considère le problème de Schrödinger
i∂ t u + ∂xxu 2 = 0, dans ]0, +∞[×]0, 1[,
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t ∈]0, +∞[
u(0, .) = u 0 (.), x ∈]0, 1[.
II.3.– On cherche u ∈ C([0, ∞[, H0 1 (0, 1)). Énoncer la formulation variationnelle du problème.
II.4.– On suppose que u 0 ∈ H0 1 (0, 1) et on admet que le problème faible possède une solution
unique u ∈ C([0, ∞[, H0 1(0, 1)). Donner le développement de u(t) sur la base (e k) k∈N . Vérifier que
la série ainsi obtenue converge dans C([0, ∞[, H0 1 (0, 1)).
II.5.– Calculer ‖u(t)‖ L 2 (0,1) et |u(t)| H 1 (0,1) en fonction de ‖u 0 ‖ L 2 (0,1) et de |u 0 | H 1 (0,1). (| · | H 1 (0,1)
désigne la norme sur H 1 0 (0, 1) associée à (·, ·) H 1 (0,1)).
II.6.– On pose u(t) = G(t)u 0 , t ≥ 0. Montrer que cette définition s’étend aux t < 0 et que la
famille (G(t)) t∈R est un groupe continu d’isométries sur L 2 (0, 1) et sur H0 1 (0, 1).
II.7.– On prend u 0 ∈ H0 1 (0, 1) tel que u′′ 0 ∈ L2 (0, 1). Montrer que l’application t ↦→ G(t)u 0 est de
classe C 1 de R sur L 2 (0, 1). Que se passe-t-il si H0 1(0, 1) rempalce L2 (0, 1) dans l’espace d’arrivé de
l’application t ↦→ G(t)u 0 .
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2