Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 11 Février 2011
Exercice III :
Soit µ > 0, a ∈ R et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation sur I,
∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ + a∂ x z µ = 0, dans ]0, ∞[×I
z µ (t, 0) = z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[
z µ (0, ·) = ϕ, sur I.
III.1.— Ecrire la formulation variationnelle de ce problème.
Dans la suite, on suppose que ce problème variationnel admet une solution unique z µ ∈ C([0, ∞[, L 2 (I)) ∩
L 2 ([0, T ], H 1 (I)), pour tout T > 0.
III.2.— Soit γ un fonction dérivable et strictement positive dans [0, ∞[ qui vérifie
γ ′ (t) ≤ −λγ(t),
∀t.
On suppose que λ > 0. Vérifier que
γ(t) ≤ γ(0)e −λt ,
∀t.
III.3.– Montrer que
1
2 ∂ t(‖z µ ‖ 2 L 2 (I) ) + µ‖∂ xz µ ‖ 2 L 2 (I) = 0, ∀t > 0.
III.4.– En déduire qu’il existe une constant β > 0 telle que
∂ t (‖z µ ‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2βµ‖z µ‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0.
III.5.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I), (utiliser III.2.)
lim ‖z µ(t, ·)‖ L
t→+∞ 2 (I), (∀µ > 0)) et lim ‖z µ(t, ·)‖ L
µ→+∞ 2 (I), (∀t > 0)).
III.6.– En déduire qu’en fait z µ ∈ L 2 ([0, +∞[, H 1 (I)).
III.7.– Montrer que qu’il existe une constante C > 0 indépendante de µ qui vérifie
‖z µ ‖ L2 ([0,T ]×I) ≤ C.
En déduire que z µ converge faiblement vers une fonction z dans L 2 ([0, T ] × I) lorsque µ → 0. Vérifer
qu’on a au sens des distributions :
∂ t z + a∂ x z = 0,
dans ]0, T [×I
□
Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2