Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 09 Février 2007
Partie 3 (Régularisation de Tikhonov et inverse de Moore-Penrose)
On suppose seulement que A et injectif est on souhaite établir que la famille (αI + A ∗ A) −1 A ∗ est
régularisante pour A, A ∗ est l’adjoint de A dont on justifiera l’existence.
I.10.— Montrer que (αI + A ∗ A) est inversible sur H.
I.11.— Montrer que (αI + A ∗ A) −1 A ∗ est régularisante (suivre le raisonnement de la partie II).
I.12.— Soit f ∈ H, x α = (αI + A ∗ A) −1 A ∗ f et on pose
J α (y) = 1 2 α‖y‖2 + 1 ‖Ay − f‖2
2
Montrer que x α est l’unique solution du problème d’optimisation
J α (x α ) = min
y∈H J α(y).
I.13.— (Question Facultative, Bonus : 3 points)
On ne fait plus l’hypothèse que A est injectif. Soit x ∈ H et f = Ax. Montrer que (αI + A ∗ A) −1 A ∗ f
converge vers une limite x † unique telle que Ax † = f et que ‖x † ‖ ≤ ‖x‖. L’application A † : f ↦→ x † est
appelée l’inverse de Moore-Penrose de A.
Exercice II : On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L 2 (R) → L 2 (R)
ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x − t), ∀x ∈ R.
II.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu d’isométries
sur L 2 (R).
II.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection
∂f
∂t
∂f
(t, x) + (t, x)
∂x
= 0, dans ]0, +∞[×R
f(0, x) = ψ(x), pour x ∈ R.
Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R) (Remarquez que lorsque ψ ∈ L 2 (R), f ∈ L 2 ([0, T ] × R), ∀ T > 0, et
utilisez la densité.)
II.3.– On définit l’opérateur A dans L 2 (R) par
et
D(A) =
{
ψ ∈ L 2 (R);
(T (h) − I)
}
lim
ψ existe dans L 2 (R) ,
h→0 h
(T (h) − I)
Aψ = lim
ψ.
h→0 h
Montrer que D(A) = H 1 (R) (on rappelle que pour ψ ∈ H 1 (R), on a : ψ(x+h)−ψ(x) = ∫ 1
0 ψ′ (x+sh) ds),
et que Aψ = −ψ ′ .
On dit que A est le générateur infinitésimal de ce groupe (T (t)) t∈R .
Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2