Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 22 Mai 2009
II.1.— Soit la semi-norme
|v| ∆ = ‖∆v‖ L 2 (Ω), ∀v ∈ H0 2 (Ω),
établir que
|v| H 2 (Ω) ≤ ‖∆v‖ L 2 (Ω) ≤ 2|v| H 2 (Ω), ∀v ∈ H0 2 (Ω).
Raisonner par densité.
II.2.– Montrer que | · | ∆ détermine en fait une norme sur H0 2 (Ω) qui est équivalente à la norme
‖ · ‖ H 2 (Ω).
Pour tout g ∈ H0 1(Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H2 0 (Ω) tel que
∫
∫
(1)
∆u∆v dx = ∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H0 2 (Ω).
Ω
Ω
II.3.— Montrer que l’application R : g ↦→ u, (u est solution de (1)) est bien définie de H0 1 (Ω) dans
H0 2 (Ω), justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est
compacte et auto-adjointe de H0 1 (Ω) dans lui même.
II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (e k ) k de
(H 1 0 (Ω), | · | H 1 (Ω)), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que
∆ 2 e k = −λ k ∆e k , dans Ω
∂ n e k = 0, sur ∂Ω
avec ∆ 2 (·) = ∆∆(·), ∂ n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λ k → ∞.
A-t-on ∆e k = −λ k e k
II.5.— Établir que (e k) k est une famille orthogonale qui est dense dans H 2 0 (Ω).
II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (e k ) k ⊂ H 2 0 (]0, 1[) et (λ k) k ⊂ R. En déduire
la plus petite constante γ vérifiant
|v| H 1 (Ω) ≤ γ|v| ∆ , ∀v ∈ H 2 0 (]0, 1[).
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2