Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 15 Juin 2011
Exercice II
Soit Ω un ouvert connexe borné de R 2 à frontière Γ régulière.
Préliminaire : Soit g ∈ L 2 (Ω) vérifiant ∫ Ω g dx = 0. On suppose que toute solution w ∈ H1 (Ω) du problème
{ −∆w = g, dans Ω
∂w
∂n = 0, sur Γ
vérifie w ∈ H 2 (Ω) et ‖w‖ H 2 (Ω) ≤ C‖g‖ L 2 (Ω), où C est une constante > 0.
On se donne une fonction f ∈ L 2 (Ω) et on considère le problème variationnel suivant :
⎧
⎨ Chercher u ∈ H
∫
1 (Ω) tel que (∫ ) (∫ ) ∫
(P )
⎩ ∀ v ∈ H 1 (Ω), ∇u.∇v dx + λ u dx v dx = fv dx
Ω
Ω
Ω
Ω
où λ est un réel ≥ 1.
Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C 1 > 0 telle que :
∣∫
∣∣∣
∀v ∈ H 1 (Ω), ‖v‖ 2 H 1 (Ω) ≤ C 1
[|v| 2 H 1 (Ω) + ]
v dx∣
.
∣2
—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω) dans L 2 (Ω)—.
1.2. En déduire que le problème (P) admet une solution et une seule u vérifiant :
où C 2 est une constante > 0 indépendante de λ.
‖u‖ H1 (Ω) ≤ C 2 ‖f‖ L2 (Ω)
1.3. Montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 indépendante de λ telle que :
∫
∣ u dx
∣ ≤ C 3
λ ‖f‖ L 2 (Ω)
1.4. Ecrire (formellement) le poblème fort associé à (P).
Ω
1.5. En déduire que la solution u de (P) est dans H 2 (Ω) et vérifie ‖u‖ H2 (Ω) ≤ C 4 ‖f‖ L2 (Ω), avec C 4 une
constante > 0 indépendante de λ.
Partie 2.— On note désormais u λ la solution du problème (P). On définit l’espace
{
∫
}
W = v ∈ H 1 (Ω), v(x) dx = 0 ,
et on désigne par u l’unique solution du problème
⎧
⎨ Chercher u∫∈ W tel que ∫
(P ′ )
⎩ ∀ v ∈ W, ∇u.∇v dx =
—Ce problème est bien posé (à ne pas démontrer).—
Ω
Ω
Ω
Ω
fv dx
2.1. On suppose que ∫ Ω f(x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution u λ coïncide avec u.
2.2. Dans le cas où l’hypothèse ∫ f(x) dx = 0 n’est plus vérifiée, prouver que
Ω
∫
∀ v ∈ W, ∇(u λ − u).∇v dx = 0.
En déduire que
et que
avec C > 0 une constante indépendante de λ.
Commenter.
Ω
λ(u λ − u) = 1
|Ω|
∫Ω
2 f(x) dx,
‖u λ − u‖ H 1 (Ω) ≤ C λ ‖f‖ L 2 (Ω),
□