Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Problème II :
Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné et régulier. On considère l’espace de Sobolev H0 1 (Ω) muni de la
semi-norme
|v| H 1 (Ω) = ‖∇v‖ L 2 (Ω) 2, ∀v ∈ H1 0 (Ω).
On rappelle qu’elle est une norme équivalente à la norme ‖·‖ H1 (Ω), par l’inégalité de Poincaré. On définit
l’espace H 2 0 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H 2 (Ω), et la semi-norme est donnée par
|v| H 2 (Ω) =
II.1.— Soit la semi-norme
établir que
Raisonner par densité.
(
‖∂ 2 xxv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 xyv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 yyv‖ 2 L 2 (Ω)
|v| ∆ = ‖∆v‖ L2 (Ω),
|v| H 2 (Ω) ≤ ‖∆v‖ L 2 (Ω) ≤ 2|v| H 2 (Ω),
) 1
2
∀v ∈ H 2 0 (Ω),
, ∀v ∈ H 2 0 (Ω).
∀v ∈ H 2 0 (Ω).
II.2.– Montrer que | · | ∆ détermine en fait une norme sur H 2 0 (Ω) qui est équivalente à la norme ‖ · ‖ H 2 (Ω).
Pour tout g ∈ H0 1(Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H 0 2 (Ω) tel que
∫
∫
(3)
∆u∆v dx = ∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H0 2 (Ω).
Ω
Ω
II.3.— Montrer que l’application R : g ↦→ u, (u est solution de (3)) est bien définie de H0 1(Ω) dans H 0 2(Ω),
justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est compacte et
auto-adjointe de H0 1 (Ω) dans lui même.
II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (e k ) k
(H0 1(Ω), | · | H 1 (Ω)), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que
de
∆ 2 e k = −λ k ∆e k , dans Ω
∂ n e k = 0, sur ∂Ω
avec ∆ 2 (·) = ∆∆(·), ∂ n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λ k → ∞. A-t-on
∆e k = −λ k e k
II.5.— Établir que (e k) k est une famille orthogonale qui est dense dans H 2 0 (Ω).
II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (e k ) k ⊂ H 2 0 (]0, 1[) et (λ k) k ⊂ R. En déduire la
plus petite constante γ vérifiant
|v| H 1 (Ω) ≤ γ|v| ∆ , ∀v ∈ H 2 0 (]0, 1[).
pour les grandes valeurs de ω. En effet, dans ce cas, le taux de convergence (= s D
sN
) de l’algorithme de Richardson défini
dans I.9 est très proche de 1 et la convergence est très lente. Ces observations s’aggravent de manière drastique en
dimension supérieure. On dit que le problème de Cauchy est instable ou mal-posé. Si vous voulez en savoir plus, consulter
l’URL, (http://mip.ups-tlse.fr/~belgacem/Cauchy.html).
Mastère de Mathématiques Appliquées 3/3