Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

E.N.I.T.
Mastère de Mathématiques Appliquées
Examen – Analyse Fonctionnelle
Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih
Durée : 4H00
Date : 12 janvier 2004
Documents personnels autorisés
Les Exercices I et II sont très faciles, voire élémentaires pour des étudiants de
Mastère! Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et
concision, et d’éviter les fioritures (ezz-aïed et ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser
la note. Le Probème III ne pose pas de difficulté majeure, son objectif est d’évaluer
l’aptitude des étudiants à appliquer correctement la théorie de Hille-Yosida enseignée en
cours. Le problème IV traite des problèmes linéaires elliptiques abstraits, il est important
de bien comprendre ce qui est demandé avant de repondre aux questions 1 . Ce problème
est probablement le plus difficile, . . . ou plutôt certainement le moins facile!
Bon Travail!
Exercice I : Préambule : Le théorème de Baire— Soit H un espace de Hilbert réel, et
(H n ) n∈N une famille de fermés recouvrant H, (i.e. H = ∪ n H n ), alors l’un au moins des
H n est d’intérieur non vide.
Soit H un espace de Hilbert réel et D ⊂ H vérifiant la propriété suivante
∀y ∈ H, ∃M y ∈ R + tel que |(x, y)| ≤ M y , ∀x ∈ D.
On veut établir que D est un ensemble borné (C’est une généralisation du résultat bien
connu en dimension fini : un ensemble d’un espace de Hilbert —ou d’un espace de
Banach— est borné s’il est borné dans toutes les directions). A cette fin, on considère
pour tout n ∈ N, l’ensemble
H n =
{
y ∈ H; |(x, y)| ≤ n, ∀x ∈ D
}
.
I.1.– Dire pourquoi H n est fermé et remarquer que H = ⋃ n∈N
H n . En déduire qu’il existe
n 0 ∈ N, pour lequel H n0
est d’intérieur non vide.
I.2.– Soit B f (y 0 , r) ⊂ H n0 (B f (y 0 , r) est la boule fermée de centre y 0 et de rayon r),
prouver que
et en déduire que D est borné.
|(x, z)| ≤ 1 r (n 0 + M y0 ), ∀z ∈ B f (0, 1), ∀x ∈ D,
Exercice II : Soit H un espace de Hilbert réel dont le produit scalaire est noté (·, ·) et la
norme associée ‖ · ‖. Soit (x n ) n∈N une suite de H ; on dit que x n converge faiblement vers
x ∈ H si pour tout y ∈ H, la suite réelle (x n , y) converge vers (x, y), on écrit que x n ⇀ x
dans H. Il est évident que si x n converge fortement vers x, i.e. ‖x n − x‖ converge vers 0,
alors elle converge faiblement vers la même limite.
II.1.– Etablir que si x n ⇀ x dans H (convergence faible) et que ‖x n ‖ → ‖x‖ (convergence
forte) alors x n → x dans H (convergence forte).
1 Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.