Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 4 février 2005
Exercice III : On considère, pour tout p ∈ N, l’espace de Hilbert
{
∑
}
H p = u = (u n ) n≥1 ; (n p u n ) 2 < ∞ ,
muni de la norme
On définit la famille d’opérateurs (S(t)) t∈R par
avec
n≥1
( ∑
‖u‖ Hp = (n p u n ) 2) 1 2
.
n≥1
S(t) : H 1 × H 0 → H 1 × H 0
(α, β) ↦→ (γ(t), δ(t)),
γ n (t) = α n cos(nt) + β n
n sin(nt), δ n(t) = −nα n sin(nt) + β n cos(nt).
III.1.– Après avoir vérifié que S(t) est bien défini, prouver que la famille (S(t)) t∈R est un groupe continu
d’isométries à un paramètre.
III.2.– Donner son générateur infinitésimal A. Déterminer avec précision son domaine D(A) et son
expression et vérifier que D(A) est dense dans H 1 × H 0 .
III.3.– Montrer que A est maximal monotone (Il vous est demandé d’utiliser les définitions 2 ). En déduire
qu’il est anti-adjoint.
III.4.– Donner le système d’équations d’évolution sur (γ, δ) associé au groupe (S(t)) t∈R . Eliminer δ et
donner l’équation d’ordre deux sur γ ainsi que les conditions initiales qu’elle vérifie en fonction de α et
β. (C’est l’équation d’onde sur (0, π) décomposée sur la base de Fourrier).
Exercice IV : On note H = L 2 (0, 2π), l’espace de Lebesgue standard muni de sa norme ‖ · ‖ L 2. Soit
r ∈]0, 1[, on considère l’application
k(y) =
On définit l’opérateur intégral T sur H par
1 − r 2
1 + r 2 , ∀y ∈ [0, 2π].
− 2r cos(y)
IV.1.– Etablir que
T f(x) =
∫ 2π
0
k(x − y)f(y) dy,
∀f ∈ H, ∀x ∈ [0, 2π].
T f(x) =
∫ 2π
0
f(y) dy + 2 ∑ p≥1
∫ 2π
r p f(y) cos(p(x − y)) dy.
0
IV.2.– Montrer que pour tout λ > 0, l’opérateur (I + λT ) est un isomorphisme autoadjoint.
IV.3.– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T .
□
2 Toute réponse non-conforme à l’esprit de la question sera considérée fausse.
Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2