Tamtam Proceedings - lamsin

PréfaceOrganiser la seconde édition de ce colloque a été à la fois plus facile et plus difficileque la première. Plus facile en effet, car nos collègues et amis marocains de Rabat,et Rajae Aboulaïch en particulier, ont si bien balisé la route qu’il nous a suffi de posertranquillement nos pas dans les leurs. Mais plus difficile aussi par certains côtés, caroutre que nous étions évidemment attendus au tournant, il nous fallait faire honneur à uneaction si bien engagée pour que TAM-TAM quitte définivement le registre des manifestationsuniques pour s’installer sûrement dans celui des cycles. Celui-là vient naturellements’inscrire dans la continuité d’un partenariat maghrébin commencé en 1987, avecles mêmes acteurs institutionnels déjà, dans le cadre du Colloque sur les Modèles Numériquesde l’Ingénieur (CMMNI). Après sept éditions de bons et loyaux services, et ayantépuisé sa fonction historique, ce colloque avait laissé la place à une multitude d’actionsplus ciblées, plus resserrées, moins générales. Entre temps, les enfants de ce partenariatont grandi, des équipes de recherche actives ont vu le jour dans nos pays, elles onttissé des liens et des partenariats allant bien au delà de la dimension symbolique. Projetsde recherche, co-direction de thèses, post-docs, séjours croisés d’enseignants-chercheurs,contributions aux formations doctorales et aux jurys, etc. façonnent peu à peu, et en dépitdes aléas que nous ne maîtrisons guère, le Maghreb scientifique que nous appelions de nosvoeux il y a vingt ans en lançant le CMMNI, et qui demeure plus que jamais l’horizonincontournable de notre reconstruction en tant qu’acteurs de l’histoire.TAM-TAM est donc d’abord un instrument au service de ce devenir scientifique, plusprécisément mathématique, fait par les jeunes et en tout premier lieu pour eux, qui sontsi nombreux à affluer dans nos universités en pleine expansion, si avides de science ettellement demandeurs d’espaces pour y confronter leurs idées avant d’affronter le vastemonde. Ils ont été nombreux, une fois de plus, à répondre à notre appel à communicationsen soumettant leurs travaux, certains de ces dernieres étant - comme il est normal - d’unemeilleure qualité que les autres. Et si la sélection de ceux qui seront présentés à Tunis aété pénible aux membres du comité de programme, parce qu’elle les a amenés à écartercertaines communications qui eussent pu avoir leur place dans une manifestation au formatdifférent et aux ressources plus importantes, elle n’en a pas moins constitué, parcequ’elle a été effectuée selon les règles rigoureuses du travail scientifique, un pas de plussur le chemin de notre maturité.Ces Actes regroupent donc les résumés des 59 communications orales et des 22communications-poster retenues, auxquelles il faut ajouter ceux des 8 conférences plénièresde nos invités. Les résumés dénotent la variété et la vitalité des mathématiquesappliquées maghrébines, au sens large de ce terme car nous y incluons de plein droit lacontribution essentielle de nos mathématiciens maghrébins de l’émigration, qui articulentde plus en plus leur travail avec ceux de leurs collègues du Maghreb. Sans oublier celle dei

nos collègues et amis de la rive Nord de la Méditerrannée, qui ont été et continuent d’êtrenos plus sûrs partenaires dans la construction de ce lac de paix et d’échanges auxquelsnous aspirons tous, et qui nous font aujourd’hui l’amitié de venir à nos colloques, aprèsnous avoir si souvent accueillis dans les leurs. En parcourant ces Actes, on constateraaussi que, passée la longue et douloureuse épreuve qu’ils ont traversée, nos collègues algériensreviennnent progressivement et sûrement dans la course. La troisième édition deTAM-TAM sera, n’en doutons pas, la leur. Non seulement parce qu’ils auront la responsabilitéde l’organiser, mais aussi et surtout parce qu’ils auront retrouvé le rôle central quia toujours été le leur dans les mathématiques appliquées maghrébines.Un tel colloque n’aurait pu avoir lieu, on le conçoit bien, sans l’implication décisived’une multitude d’acteurs. Nous voulons d’abord remercier les membres du Comité d’Organisationet du Comité de Programme, auquel se sont joints de manière informelle ungrand nombre de collègues qui ont naturellement et en toute simplicité accepté d’évaluerles communications que nous avons soumises à leur jugement. Sans l’obscur et patienttravail des uns et des autres, ce colloque ne pourrait certainement pas jouer le rôle auquelil aspire. Nous tenons également à remercier du fond du coeur les institutions qui ont prisle colloque sour leur patronage : ENIT, EMI, USTHB et ENS Kouba. Car l’expériencepassée a clairement montré que seule une telle implication institutionnelle est en mesured’assurer la pérennité d’une entreprise comme celle-ci. Il serait cependant fastidieux deciter la longue liste des “sponsors” de la manifestation, qu’ils ne nous en veuillent pas,notre gratitude - que nous affichons haut et fort sur tous les instruments de communicationdu colloque - va bien au delà des mots. Mais nous ne pouvons manquer de signalerle rôle particulier joué par l’Université de Tunis El Manar et sa présidente, Madamela Professeure Zeïneb Mamlouk, l’INRIA et sa DREI, et en particulier Patrick Rambertqui nous fait l’amitié d’être présent parmi nous, l’AUF et ses représentants Philippe Lepoivreet Alex Brayle, le Ministère Français des Affaires Etrangàres qui nous a apportéson concours par le biais de l’IFC à Tunis, ainsi qu’à travers le projet Sarima dont noussaluons ici chaleureusement les responsables, nos amis Bernard Philippe et Claude Lobry.... Comment ne pas conclure enfin cette préface par le vibrant hommage que nous devonsà la Banque de l’Habitat qui nous fait la grâce de souligner, en offrant aux participants ducolloque un concert exceptionnel de notre immense Lotfi Bouchnak national, la parfaiteharmonie qui a de tous temps régné entre la musique et les mathématiques ?Nabil Gmati Mohamed Jaoua Maher Moakherii

Comité d’organisationMohamed AbdelwahedESTI & LAMSIN-ENIT, TunisLamia BelaidESSTT & LAMSIN-ENIT, TunisJalel Ben AbdallahENIT, TunisMarouane Ben MiledFST & LAMSIN-ENIT, TunisHédia ChakerLAMSIN-ENIT, TunisHenda El FekihLAMSIN-ENIT, TunisNabil Gmati (coordinateur)IPEIN & LAMSIN-ENIT, TunisMohamed Jaoua (président)LAMSIN-ENIT, TunisMaher MoakherLAMSIN-ENIT, TunisAli SaadaIPEIN & LAMSIN-ENIT, TunisAbdeljalil SakatCUS, MarrakechAsma TebessiLAMSIN-ENIT, TunisChiheb ZarroukLAMSIN-ENIT, TunisComité de programmeRajae AboulaïchEMI, RabatBoujemaa AchchabUniv. Hassan 1 er , SettatMohamed AmaraUniv. de PauBrahim AmazianeUniv. de PauNaceur AmmarESC, TunisHabib AmmariEP, PalaiseauKais AmmariFSM, MonastirMejdi AzaïezENSCP, BordeauxHedi BelhadjsalahENIM, MonastirAmel Ben AbdaENIT, TunisNaoufel Ben AbdallahUniv. Paul Sabatier, ToulouseFaker Ben BelgacemUniv. Paul Sabatier, ToulouseAbderrahmane BendaliUniv. Paul Sabatier, ToulouseHachmi Ben DhiaECP, ParisFayssal BenkhaldounUniv. Paris 13Fethi BennasrFSM, MonastirHédia ChakerENIT, TunisAbdelkhalek CheddadiEMI, Rabatiii

Jean DolbeaultUniv. Paris DauphineRached El-FatmiENIT, TunisJalel EzzineENIT, TunisStéphane GaubertINRIA, RocquencourtSihem GuemaraSup’Com, TunisItidal Hadj-AlouaneENIT, TunisMohamed HaouariEPT, La MarsaSadok HassanUniv. de LilleHédi HassisENIT, TunisJérome JaffréINRIA, RocquencourtRaouf JaibiFST, TunisMeriem JaidaneENIT, TunisPatrick JolyINRIA, RocquencourtJuliette LeblondINRIA, Sophia-AntipolisFrancois-Xavier LedimetINRIA, Rhones-AlpesClaude LobryINRIA, Sophia-AntipolisRenée LoziUniv. de NiceMahmoud MoussaENIT, TunisFatma-Zohra NouriUniv. de AnnabaBernard PhilippeINRIA, RennesJean RobertsINRIA, RocquencourtRachid TouzaniUniv. de Clermont-FerrandNizar TouziENSAE, ParisHaduong TuongUniv.Technologique de CompiègneHatem ZenzriENIT, TunisHasna ZidaniINRIA, Roquencourtv

SOMMAIRE / CONTENTSI Conférences Invitées / Invited Presentations 1Numerical Simulation of the 3D Navier-Stokes equations with nonstandard boundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3M. Amara, D. Capatina, D. TrujilloMéthode d’agrégation des variables appliquée à la dynamique des populations 9P. Auger, A. El abdllaoui, R. MchichiTransport quantique et classique en nanoélectronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19N. Ben AbdallahQuelques aspects mathématiques et numériques des problèmes inverses en lubrification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20M. El Alaoui TalibiA topology Nash game for tumoral anti-angiogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A. HabbalN-particles approximation of the Vlasov equations with singular potential . . . 33M. Hauray, P.-E. JabinApproximation de l’opérateur d’impédance d’une couche mince. . . . . . . . . . . . .40K. LemrabetImage restoration and edge detection by topological asymptotic expansion . . . 47L. Jaafar-Belaid, M. Jaoua, M. Masmoudi, M.L. SialaII Contrôle / Control 55Stabilisation et commande des équations de Saint-Venant 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 57H. Arfaouivii

Control of the chaotic advection in hydrodynamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63T. Benzekri, C. Chandre, R. Lima, M. VittotA max-plus finite element method for solving Hamilton-Jacobi equations . . . . 69M. Akian, S. Gaubert, A. LakhouaAn adaptative antidissipative method for optimal control problems . . . . . . . . . . 75O. Bokanowski, N. Megdich, H. ZidaniSur les problèmes de contrôle optimal frontière pour l’équation de la chaleur 82H. MetouiIII Environnement / Environment 89Gestion et modélisation des ressources hybriques, Partie A : Concept et architecturelogicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91F. El Dabaghi, M. BechichiGestion et modélisation des ressources hybriques. Partie B : Réalisation et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98F. El Dabaghi, M. Bechchi, H. HenineRandom Perturbations of Reduced Gradient Algorithm (RPRGA) for Solving aComplex of Drinking Water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105R. Ellaia, A. ElmouatasimIV Equations Différentielles / Differential Equations 111Fleuves singuliers des champs de vecteurs polynômiaux du plan . . . . . . . . . . . . 113B. Abdelkadergeneral results about neutral functional differential equations with infinite delay119H. BouzahirGoursat boundary value problem for hyperbolic equation with variable domainsof operators coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A. Guezane-Lakoud, A. ChaouiApplication à l’analyse d’image multispectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130S. ChitroubBifurcations de bassins d’attraction pour les applications avec dénominateur137M. R. Ferchichi, I. Djellitviii

Equilibre dans un système dynamique en lubrification incompressible . . . . . . 143I. HafidiJeu différentiel stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149M. LefebvreSur une classe d’équations elliptiques à données dans L 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D. MeskineExistence globale et comportement asymptotique des solutions d’une classe desystèmes de réaction-diffusion avec réaction à croissance exponentielle . . . . . 161K. SaoudiV Estimation d’Erreurs / Error Estimation 175A Posteriori error estimator for the subgrid modeling stabilization applied toconvection-diffusion problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B. Achchab, M. El Fatini, A. SouissiR-adaptation de maillage par l’estimateur d’erreur hiérarchique . . . . . . . . . . . 183A. Alla, M. Fortin, F. HechtEstimation a Posteriori h-hiérarchique pour la méthode des éléments finis avecjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189B. Achchab, A. Ennori, Z. MghazliCouplage modèle numérique de St-Venant et maillage via les estimateurs a posteriori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195F. El Dabaghi, N. Guelmi, M. AmaraResidual error estimators for the time dependent Stokes equations . . . . . . . . . 202N. Kharrat, Z. MghazliVI Mécanique des Fluides / Fluid Mechanics 209Eutrophisation des lacs : Modélisation d’injection de bulles dans un lac par uneméthode cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211M. Abdelwahed, R. Badé, H. ChakerProcédure spectrale avec diagonalisation des opérateurs pour un écoulement fluideincompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218M. El Guarmah, A. Cheddadi, M. AzaiezSimulation de l’onde de crue via un modèle numérique d’eau peu profonde baséix

sur la méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224F. El Dabaghi, A. El Kacimi, B. NakhleNumerical spectral approximations for the solution of Navier-Stokes problem231K. Amoura, F. Z. NouriEcoulement Darcy-Forchheimer dans un milieu poreux fracturé . . . . . . . . . . . 237N. Frih, J. E. Roberts, A. SaadaAnalyse spectrale linéaire d’un jet turbulent libre soumis à la force de Coriolis243M. Hasnaoui, M. AgouzoulA theoretical study of free surface flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249D. Hernane-BoukariModélisation numérique par la méthode des caractéristiques de la surface libred’écoulement d’eau gouverné par les équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 253C. Kada Kloucha, F. El Dabaghi, M. AmaraDimensions fractales : attracteurs de Lorenz, attracteurs pour les équations deNavier-Stokes et arcs trinomiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260K. Lamrini Uahabi, M. ZaouiNumerical analysis for the problem of viscoelastic fluid flow with characteristicsmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268M. El-Kyal, D. Esselaoui, A. Machmoum, M. SeaïdComparaison de différentes approximations employées pour modéliser les écoulementsdiphasiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273E. Marchand, F. Clément, J. JaffréPerformance parallèle d’un code E.F.Navier-Stokes 2D en vitesse pression pourla simulation d’écoulements diphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279F. Mezali, F. El Dabaghi, M. Abdelwahed, B.NakhleMéthode de continuation pour des instabilités hydrodynamiques 3D en géométriecylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286R. Touihri, S. GhnimiVII Méthodes Numériques / Numerical Methods 293Décomposition de domaine pour un milieu poreux fracturé . . . . . . . . . . . . . . . . 295L. Amir, M. Kern, V. Martin, J. E. Robertsx

Arlequin method: Practical impacts of the mathematical analysis . . . . . . . . . . 301H. Ben DhiaReduction methods and uncertainty propagation: Application to a Chemistry-Transport Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309J. Boutahar, B. SportisseHomogénéisation d’un problème de conduction-rayonnement: simulation avecCAST3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317K. El Ganaoui, G. AllaireEquation d’Hamilton-Jacobi non-locale modélisant la dynamique des dislocations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322A. Ghorbel, R. MonneauDétermination du nombre de régions d’une image couleur par les critères d’information329H. Hamzaoui, A. Elmatouat, P. MartinSimulation des courants de Foucault harmoniques dans des domaines non bornéspar la méthode de Schwarz alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335F. JelassiUne méthode d’accélération de convergence appliquée à l’algorithme des approximationssuccessives pour la résolution des grands systèmes. . . . . . . . . . . .341A. Laouar, J. AbdelliREE for Stokes equations: Analyse et Application d’un schéma aux volumes finisdédié au systèmes non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348S. Sahmim, F. BenkhaldounSmoothing and compressing surfaces: Some applications of Mathematics in CAGD354H. Mraoui, D. SbibihRaffinement en temps par sous-domaine pour un problème de convection en milieuporeux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360A. SbouiLa méthode des éléments finis mixtes hybrides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365A. Younes, P. Ackerer, F. LehmannVIII Modèles Cinétiques / Kinetic Models 373xi

The two-band Schrödinger model : Application to a resonant interband tunnelingdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375N. Ben Abdallah, J. Kefi-FerhaneParticules dans un potentiel de surface : une limite asymptotique du modèle deVlasov-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381P. Degond, C. Parzani, M. H. VignalIX Optimisation / Optimization 387Les métaheuristiques : Application réseaux intelligents d’antennes . . . . . . . . . 389F. Debbat, F. T. BendimeradPrices after capacity addition in multi-user elastic demand communication networks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397M. El Kamili, M. Abbad, R. El AzouziShape optimization for the Stokes equations using topological gradient . . . . . 404H. MaatougProblèmes d’optimisation en économie OLG : Calcul d’un sentier optimal decroissance économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411M. MabroukX Problèmes Inverses / Inverse Problems 417Assimilation de données pour l’environnement: Méthodes variationnelles et nudging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419D. AurouxEcart à la réciprocité et identification de fissures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425F. DelbaryÉtude de la robustesse de l’ algorithme de Kohn et Vogelius . . . . . . . . . . . . . . . . 432S. Chaabane, C. Elhechmi, M. JaouaApplication de la méthode alternative de Kozlov pour la résolution d’un problèmede Cauchy en EEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438M. Farah, A. El-Badia, T. Ha-Duong, V. PavanProblème inverse géométrique : Identification d’une partie inconnue de la frontière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua, J. Leblondxii

Application de la méthode de Gauss-Newton à l’identification de fissures . . . 450I. HorchaniApplication de l’algorithme de Neumann-Dirichlet pour la complétion de donnéesen élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455T. N. Baranger, J. Ben Abdallah, M. L. KadriAnalytic extensions on an annulus : Applications for some inverse problems 461M. Jaoua, J. Leblond, M. Mahjoub, J. PartingtonOn solving the Cauchy problem for Laplace’s equation and applications . . . . 468A. Ben Abda, L. Jaafar-Belaid, A. SakatXI Propagation d’Ondes / Wave Propagation 475Modélisation asymptotique des ondes de relief sous l’effet de le force de Coriolis477A. Slimani, M. HasnaouiRégularisation pour l’aéroacoustique en régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . 484K. Berriri, A. S. Bonnet-Bendhia, P. JolyModélisation mathématique d’un miroir à retournement temporel . . . . . . . . . 490C. Ben Amar, N. Gmati, C. Hazard, K. RamdaniEléments finis mixtes spectraux d’ordre élevé pour la vibro-acoustique instationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496P. Grob, G. CohenEléments finis mixtes d’ordre élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501E. Bécache, A. Ezziani, P. JolyThe implicitly restarted Arnoldi method for computing a reduced number ofeigenpairs: Application for computing guided modes in an optical fibre . . . . . 507M. Labidi, C. BekkeyXII Science du Vivant / Life Science 513Perturbation singulière d’un modèle de croissance avec retard dans un enivironnementhétérogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515S. AchchabModèles cinétiques pour l’immunologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521L. Derbel, P. E. Jabinxiii

A Stochastic partial differential equation for phytoplankton aggregation. . . .526N. El SaadiModélisation d’une population de mérous, effets du braconnage et de la migration.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533S. Ben Miled, A. KebirOptimal spatial distribution of a bioeconomical fishing model on 3 zones. . . .540R. Mchich, P. Auger, H. Hbid, N. RaïssiXIII Structure / Structure 547An algorithm for computing the critical state of unilateral buckling of thin plates549M. AyadiAnalyse mathématique et numérique des tiges élastiques avec autocontact . . 556M. Chamekh, S. Mani-Aouadi, M. MoakherModélisation de l’effet dynamique d’un raidisseur sur le bord d’une plaque mince562L. RahmaniRésolution d’un systéme d’elasticité non linéaire en combinant la méthode desapproximations successives par les équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568M. S. SaidRégularisation d’un problème d’obstacle bilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574B. Achchab, A. Addou, J. ZahiModélisation d’un pieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580R. Aboulaich, H. Hidsi, M. ZianiXIV Théorie des Graphes / Graph Theory 587A new adjacency list-matrix for graph representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589A. HlaouiLa théorie des graphes appliquée à la modélisation du Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595M. Nekri, A. KelladiIndice des auteurs / Author index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603xiv

Conférences InvitéesInvited PresentationsI1

Numerical simulation of the 3D Navier-Stokesequations with non standard boundaryconditionsM. Amara — D. Capatina — D. Trujillo ** Laboratoire de Mathématiques Appliquées CNRS-UMR5142Université de Pau et des Pays de l’Adour IPRA-LMA BP1155 64013 Pau cedex FRANCEABSTRACT. We consider boundary value problems for the 3D Navier Stokes equations in the casewhere non standard boundary conditions are given (pressure, vorticity, normal or tangential componentsof the velocity). We solve this problem with a minimal regularity. The associated variationalformulation is a mixed one, the principal unknowns being the pressure and the vorticity and the multiplierbeing the velocity. We describe the numerical discretization which needs some stabilization.Some numerical tests are then presented.RÉSUMÉ. On considère les équations de Navier-Stokes dans des domaines tridimensionnels avecdes conditions aux limites non classiques (portant sur la pression, la rotation, les composantes normaleou tangentielle de la vitesse). Le problème est traité dans un cadre de régularité minimale par lebiais d’une formulation variationnelle mixte avec pour inconnues principales la rotation et la pressionet pour multiplicateur de Lagrange, la vitesse. Le problème discrétisé nécessite une stabilisation; sonordre d’erreur et son comportement a priori sont donnés. Des essais numériques sont aussi décrits.KEYWORDS : 3D Navier-Stokes equations, Mixed Finite Elements, Stabilization.MOTS-CLÉS : Equations de Navier-Stokes 3D, Eléments Finis Mixtes, Stabilisation.3 TAMTAM –Tunis– 2005

4 Amara et al.1. IntroductionWe are interested in the stationary 3D Navier-Stokes problem satisfying physicalboundary conditions in a bounded domain Ω with a polyhedral boundary Γ = ∂Ω. Thecorresponding 2D Stokes equations, with the same kind of boundary conditions, werestudied in [1] with a three-fields variational formulation discretized by conforming piecewisefinite elements. The discrete inf-sup condition associated with this formulation isobvious, while the discrete coercivity is obtained by adding a stabilization term takinginto account the jumps of both the vorticity and the pressure across the edges of the triangulation.Error bounds were deduced ensuring an optimal convergence rate .The present work proposes a well-posed and convergent numerical approximation forthe 3D Navier-Stokes equations. The discretization is based on a simpler discrete formulationof the Stokes equations than that developed in [1] . We stabilize only the pressure andwe obtain similar results from both the theoretical and the numerical points of view. Thenonlinear aspects of the problem are treated using a variant of the implicit function theoremwhich can be found for instance in [6]. We thus obtain existence and local uniquenessof the solution of the discrete problem. The method is unconditionally convergent and weget the same optimal convergence rate as for the Stokes problem.2. Mathematical frameworkWe suppose that Γ is composed of three open and disjoint subsets Γ 1 , Γ 2 , Γ 3 such thatΓ = Γ 1 ∪Γ 2 ∪Γ 3 and, for the sake of simplicity, we suppose that |Γ 2 | > 0 where |·| denotesthe Lebesgue measure. We denote, as usually, by n the unit outward normal vector to theboundary Γ. We consider the stationary incompressible Navier-Stokes equations−ν∆u + u.∇u + ∇p = f and divu = 0 in Ω (1)with the following boundary conditions :⎧⎨ u · n = 0 , u × n = 0 on Γ 1 ,p = p 0 , u × n = 0 on Γ 2 ,⎩u · n = 0 , ω × n = ω 0 on Γ 3 ,(2)where u denotes the velocity, p the pressure, ω = curl u the vorticity and × the vectorproduct. The data f, ω 0 , p 0 are given, as well as the kinematic viscosity ν > 0. For thesake of simplicity, we take f ∈ L 4 3 (Ω), ω 0 ∈ L 2 (Γ 3 ) and p 0 ∈ L 2 (Γ 2 ).Introducing the kinematic pressure ˜p = p + 1 2u · u, equations [1] give :νcurlω + ∇˜p + ω × u = f, ω = curl u, divu = 0 in Ω (3)whose unknowns are now u, ω and ˜p (denoted by p in the following).TAMTAM –Tunis– 2005

3D Navier-Stokes equations 52.1. The linear Stokes operatorLet us recall some results similar to those established in [1] for the associated Stokesproblem :νcurlω + ∇p = g, ω = curlu, divu = 0 in Ω, (4)satisfying the boundary conditions⎧⎨⎩u · n = 0 , u × n = 0 on Γ 1 ,p = µ , u × n = 0 on Γ 2 ,u · n = 0 , ω × n = λ on Γ 3 ,where we take g ∈ L 4 3 (Ω), λ ∈ L 2 (Γ 3 ) and µ ∈ L 2 (Γ 2 ).The mixed variational formulation associated with problem [4]-[5] is :⎧⎨⎩F ind (σ, u) ∈ X × M such thata(σ, τ) + b(τ, u) = 0 ∀τ ∈ X,b(σ, v) = −l(v) ∀v ∈ M,(5)(6)where, for all σ = (ω, p), τ = (θ, q) ∈ X and v ∈ M :a(σ, τ) = ν ∫ Ω ω.θdΩ , b(τ, v) = −ν ∫ Ω θ.curlvdΩ + ∫ Ω qdivvdΩ,l(v) = ∫ Ω g.vdΩ + ν ∫ Γ 3λ.v × ndΓ − ∫ Γ 2µv · ndΓ.The following Hilbert spaces are employed :M = {v ∈ H(div, curl; Ω); v · n| Γ1∪Γ 3= 0, v × n| Γ1∪Γ 2= 0},X = L 2 (Ω) × L 2 (Ω),where H(div, curl; Ω) = {v ∈ L 2 (Ω); divv ∈ L 2 (Ω), curlv ∈ L 2 (Ω)}.The space M is normed by ‖v‖ M= (‖v‖ 2 0,Ω + ‖divv‖2 0,Ω + ‖curlv‖2 0,Ω )1/2 .We introduce the seminorm |v| M= (‖divv‖ 2 0,Ω + ‖curlv‖2 0,Ω )1/2 and we assume that:• the seminorm |·| Mis equivalent to the norm ‖·‖ Min M,• M is compactly embedded in L p (Ω) with p > 4 ,• the traces of the elements of M belong to L 2 (Γ).For every (g, λ, µ) ∈ L 4 3 (Ω) × L 2 (Γ 3 ) × L 2 (Γ 2 ), problem (6) satisfies the Babuska-Brezzi conditions (cf. [2] for instance). Then we can define the linear and continuousStokes operator S :S : L 4 3 (Ω) × L 2 (Γ 3 ) × L 2 (Γ 2 ) → X × L 4 (Ω) with S(g, λ, µ) = (σ, u). (7)TAMTAM –Tunis– 2005

6 Amara et al.2.2. The nonlinear Navier-Stokes operatorWe introduce the nonlinear operatorG : X × L 4 (Ω) → L 4/3 (Ω) with G(τ, v) = θ × v ∀τ = (θ, q) ∈ X, (8)then the Navier-Stokes equations (3) can be put in the general setting of a nonlinear problemas follows :F (σ, u) = 0. (9)The mapping F is defined by :F : X × L 4 (Ω) → X × L 4 (Ω), F (τ, v) = (τ, v) − S(f − G(τ, v), ω 0 , p 0 ). (10)We assume in what follows that there exists a solution (σ, u) such that:F (σ, u) = 0 and DF (σ, u) is an isomorphism on X × L 4 (Ω).It is well-known that the Navier-Stokes problem admits at least a solution (σ, u), theuniqueness holding under a hypothesis of small data. In this last case, DF (σ, u) is clearlyan isomorphism. We remark that DF (σ, u) = Id + S(DG(σ, u), 0, 0) whereDG(σ, u)(τ, v) = θ × u+ ω × u ∀τ = (θ, q) ∈ X.3. Discrete problemThe numerical approximation of the Navier-Stokes equations needs to consider onlythe discretization of the associated Stokes problem. Let (T h ) h>0 a regular family oftriangulations of Ω consisting of tetrahedrons, we denote by E h the set of internal faces.As usually, h K represents the diameter of the tetrahedron K while h e represents thediameter of the face e. We define the discrete finite element spaces:M h = {v h ∈ M; ∀K ∈ T h , v h | K ∈ P 1 (K)} ⊂ ML h = { q h ∈ L 2 (Ω); ∀K ∈ T h , q h | K ∈ P 0 (K) } , X h = L h × L h ⊂ X.3.1. The discrete Stokes operatorThe discrete linear Stokes operator S h is defined byS h : L 4 3 (Ω) × L 2 (Γ 3 ) × L 2 (Γ 2 ) → X × L 4 (Ω) with S h (g, λ, µ) = (σ h , u h ) (11)(σ h , u h ) being the solution of the discrete formulation associated with problem (4) :⎧⎨ F ind (σ h = (ω h , p h ), u h ) ∈ X h × M h such thata(σ h , τ h ) + βA h (σ h , τ h ) + b(τ h , u h ) = βc h (τ h ) ∀τ h = (θ h , q h ) ∈ X h ,⎩b(σ h , v h ) = −l(v h ) ∀v h ∈ M h ,(12)TAMTAM –Tunis– 2005

3D Navier-Stokes equations 7withandA h (σ h , τ h ) = ∑ ∫h e [p h ][q h ]ds + ∑e∈E hec h (τ h ) = ∑e⊂Γ 2h e∫ee⊂Γ 2h e∫eµq h dΓp h q h dΓwhere β > 0 represents a stabilization parameter (which can be eventually chosen independentlyof the discretization parameter h) and [.] the jump across the edge e ∈ E h .With this choice of spaces, the inf-sup condition is directly satisfied. The initial bilinearform a(·, ·) has been changed in a consistent way by adding the stabilization form A h inorder to retrieve its coercivity on the discrete kernel of b(·, ·). This result is obtained byadapting the proofs presented in [1].The operator S h is linear, continuous, bounded in X × M and satisfies :∀(g, λ, µ) ∈ L 4/3 (Ω) × L 2 (Γ 3 ) × L 2 (Γ 2lim ‖(S − S h )(g, λ, µ)‖ X×M= 0. (13)h→03.2. The discrete Navier-Stokes problemThe discrete Navier-Stokes formulation associated with equations (3) can be writtenas follows :F h (σ h , u h ) = (0, 0) (14)where the mapping F h is defined by :F h : X × L 4 (Ω) → X × L 4 (Ω), F h (τ, v) = (τ, v) − S h (f − G(τ, v), ω 0 , p 0 ). (15)We remark that if (σ h , u h ) is solution of equation (14) then (σ h , u h ) ∈ X h × M h . Thefunctional F h is differentiable and:DF h (σ h , u h ) = Id + S h (DG(σ h , u h ), 0, 0).The analysis of (14) uses a result established in [6], which is mainly based on theimplicit function theorem. Some variants can be found in [3] or in [4]. Then according to[6], we obtain that there exists h 0 > 0 such that, for all h < h 0 , problem (14) has a uniquesolution. Moreover, the following a priori, respectively a posteriori estimates hold :‖(σ, u) − (σ h , u h )‖ ≤ c ‖F h (σ, u)‖ , (16)‖(σ, u) − (σ h , u h )‖ ≤ c ′ ‖F (σ h , u h )‖ . (17)Therefore, the approximation method for the Navier-Stokes problem is unconditionallyconvergent and we obtain the optimal convergence rate of the error as for the Stokesproblem.TAMTAM –Tunis– 2005

8 Amara et al.4. Numerical resultsWe present here the numerical results obtained for the step test. The boundary conditionsassociated with this example are the following: we impose the pressure and u×n onthe inlet and outlet boundaries, u = 0 elsewhere. The results presented here are obtainedfor Re=1000 using a mesh with 2665 nodes and 10794 elements. In Figures (a) and (b),we show the velocity and the streamlines near the step. One can see that a vortex appearsbehind the step. This situation doesn’t occur for small Reynolds numbers.(a) Velocity near the step(b) Streamlines near the step5. References[1] M. AMARA, E. CHACON VERA, D. TRUJILLO, “Stokes equations with non standard boundaryconditions.”, Mathematics of Computation, 73-248, p. 1673-1697 (2004).[2] F. BREZZI, M. FORTIN, “Mixed and Hybrid Finite Element Methods.”, Springer-Verlag, NewYork (1991).[3] F. BREZZI, J. RAPPAZ, P.A. RAVIART, “Finite Dimensional Approximation of NonlinearProblems. Branches of Nonsingular Solutions. ”, Numerisch Mathematik 36, p. 1-27 (1980).[4] G. CALOZ, J. RAPPAZ, “Numerical Analysis for Nonlinear and Bifurcation Problems. ”,Handbook of Numerical Analysis, vol. V, P.G. Ciarlet & J.L. Lions eds, North-Holland, Amsterdam(1997).[5] V. GIRAULT, P.A. RAVIART, “Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations. Theoryand Algorithms.”, Springer-Verlag (1986).[6] J. POUSIN, J. RAPPAZ, “Consistency, stability, a priori and a posteriori errors for Petrov-Galerkin methods applied to nonlinear problems.”, Numerisch Mathematik 69, p. 213-231(1994).TAMTAM –Tunis– 2005

Méthode d’agrégation des variables appliquéeà la dynamique des populationsP. Auger * , A. El abdllaoui * , R. Mchichi *** UR GEODESInstitut de Recherche pour le Développement (I.R.D)93143 BONDY CedexFRANCE{pauger,elabdll}@bondy.ird.fr}** E.N.C.GB.P.1255Tanger PrincipaleMarocracmchich@yahoo.comRÉSUMÉ. Nous présentons les grandes lignes de la méthode d’agrégation des variables dans les systèmesd’équations différentielles ordinaires. Nous appliquons la méthode à un modèle proie-prédateurspatialisé. Dans ce modèle, les proies peuvent échapper à la prédation en se réfugiant sur un site. Leprédateur doit aussi retourner régulièrement dans son terrier pour nourrir sa progéniture. Nous étudionsles effets de migration dépendant de la densité des populations sur la stabilité globale du systèmeproie-prédateur. Nous considérons des taux de migration constants, puis densité-dépendants.Dans le cas de taux constants il existe un équilibre positif toujours stable alors que dans le cas detaux de migration densité-dépendants, il existe un cycle limite stable via une bifurcation de Hopf.ABSTRACT. We present the method of aggregation of variables in the case of ordinary differentialequations. We apply the method to a prey - predator model in a multi - patchy environment. Inthis model, preys can go to a refuge and therefore escape to predation. The predator must returnregularly to his terrier to feed his progeny. We study the effect of density-dependent migration on theglobal stability of the prey-predator system. We consider constant migration rates, but also densitydependentmigration rates. We prove that the positif equilibrium is globally asymptotically stable inthe first case, and that its stability changes in the second case. The fact that we consider densitydependentmigration rates leads to the existence of a stable limit cycle via a Hopf bifurcation.MOTS-CLÉS : Agrégation des variables, éhelles de temps, dynamique de population, proie-prédateur.KEYWORDS : Aggregation of variables, time scales, population dynamics, prey-predator.9 TAMTAM –Tunis– 2005

10 Auger et al.1. Introduction :Dans cet article, nous présentons la méthode d’agrégation des variables et son applicationdans le domaine de la dynamique des populations. Cette méthode a été développéedans le cadre des équations différentielles ordinaires [4], des systèmes discrets [7] et dansle cas des systèmes d’équations aux dérivées partielles [1] et [6].Dans ce travail nous allons nous focaliser sur les systèmes en temps continu et plusprécisément sur des équations différentielles ordinaires EDOs. Nous présentons deuxexemples dans le domaine de la dynamique des populations. Il s’agit de deux modèlesproie-prédateur spatialisés. Nous faisons l’hypothèse que la dynamique de migration sefait à une échelle de temps plus rapide que la dynamique de croissance et de prédation dessous-populations sur les sites.Les deux modèles d’application qui seront présentés différent par leurs taux de migrationentre les sites. Dans le premier modèle les taux de migration sont supposés constants,tandis que dans le second, les taux de migration vont être densité-dépendants. Le fait deconsidérer deux échelles de temps différentes nous permet d’appliquer la méthode d’agrégationdes variables et d’aboutir à un modèle global gouvernant la dynamique de quelquesvariables macroscopiques à une échelle de temps lente.Dans le premier modèle, nous montrons qu’il existe un équilibre proie-prédateur qui,lorsqu’il est positif est globalement asymptotiquement stable.Dans le deuxième modèle, la prise en compte d’une migration densité-dépendante faitémerger d’autres comportements au niveau des populations. L’étude numérique entreprisedans ce cas montre l’existence d’un cycle limite stable. Ces deux exemples illustrentcomment les comportements individuels rapides peuvent émerger au niveau des populations.2. Présentation de la méthode d’agrégation des variables :Dans ce paragraphe, nous rappelons les grandes lignes de la méthode d’agrégationdes variables dans le contexte des EDOs. Nous considérons un système hiérarchique (voirfigure 1), les variables d’état peuvent appartenir à différents groupes. Chaque groupe estconstitué de plusieurs sous-populations. Les interactions inter-groupes sont vues commeune perturbation des interactions intra-groupe. Notons par n α j la densité de populationde la sous-population j de la population α, où j ∈ {1, N α } et où N α est le nombre desous-populations de la population α.TAMTAM –Tunis– 2005

Méthode d’agrégation des variables 11L’équation générale qui représente l’évolution de le densité de la sous-population à l’échelledu temps rapide s’é crit :dn α jdτ = f α j (n α 1 , .., n α N α) + ε a∑avec α ∈ {1, A} , j ∈ {1, N α } .β≠α,β=1f αβj (n a 1, .., n α N α, nβ 1 , .., nβ N β ) (1)Le terme fj α(nα 1 , .., n α N α) représente le processus rapide (interactions intra-groupe), etle terme ∑ aβ≠α,β=1 f αβj (n a 1, .., n α N α, nβ 1 , .., nβ ) représente le processus lent (interactionsinter-groupes). Le paramètre ε sans dimension représente le rapport entre l’échelleN βde temps rapide et l’échelle de temps lente.La procédure d’agrégation des variables commence par une étape importante qui consisteá choisir des variables globales V α , α ∈ {1, A} . En général, chaque variable globalecorrespond à une population α et dépend de toutes ses sous-populations. De plus, cesvariables globales V α doivent être constantes à l’échelle du temps rapide. Dans cette section,nous nous limitons au choix usuel suivant :∑V α (t) = n α (t) = n α j (t), α ∈ {1, A} (2)N αj=1où n α (t) représente la densité de la population totale α à l’instant t.Pour appliquer la méthode d’agrégation, le systè me rapide doit être conservatif :∑N αj=1fj α (n α 1 , .., n α N α) = 0, ∀α ∈ {1, A} (3)L’étape suivante de la méthode consiste à calculer l’é quilibre rapide. Autrement dit, onnéglige la partie lente du systè me en posant ε = 0, puis on résoud le système d’é quations: {fαj (n α 1 , .., n α N α) = 0,∑ Nαj=1 nα j = (4)nαpour tout α ∈ {1, A} .Le système (4) peut avoir plusieurs solutions comme il peut n’avoir aucune solution.Dans ce qui suit, nous supposons que (4) admet une solution unique et que cette solutionest asymptotiquement stable pour le système rapide{ dnαjdτ= fj α(nα 1 , .., n α N∑ α)Nαj=1 nα j = (5)nαTAMTAM –Tunis– 2005

12 Auger et al.La condition de stabilité asymptotique est une condition nécessaire pour l’application dela méthode d’agrégation des variables.On note par n α∗ = (n α∗1 , .., n α∗α) l’équilibre rapide du système i.e.NN∑α −1fj α (n α∗1 , .., n α∗N −1, n α − n α∗α j ) = 0, α ∈ {1, A} (6)j=1Par conséquent, pour tout α ∈ {1, A} , n α∗ est une fonction de la variable globale n α etpeut donc être notée par n α∗ (n α ) = (n α∗1 (n α ), .., n α∗N α(nα )).Pour aboutir à l’équation vérifiée par les variables globales n α (équation agrégée), on additionneles équations du système initial (1) puis on substitue l’équilibre rapide n α∗ (n α )aux micro-variables n α j . Ainsi on obtientdn αdt=N α∑a∑j=1 β≠α,β=1f αβj (n1 α∗(n α ), .., n α∗N α(nα ), n β∗1 (nβ ), .., n β∗(n β )) + O(ε). (7)N βoù t est le temps lent avec la relation suivante avec le temps rapide ; t = ετ.L’équation (7) est appelée le modèle agrégé. Ce modèle est obtenu par un développementen série de Taylor en ε et représente une approximation du modèle initial (1). Le premierterme du modèle agrégé (7) est une bonne approximation du modèle initial lorsque lesconditions suivantes sont satisfaites :- Le systèmedn αdt=N α∑a∑j=1 β≠α,β=1f αβj (n α∗1 (n α ), .., n α∗N α(nα ), n β∗1 (nβ ), .., n β∗(n β )) (8)N βest structurellement stable ([5], [10]),- Le paramètre ε > 0 est assez petit.Si le modèle agrégé (8) n’est pas structurellement stable, il est nécessaire de déterminerles termes d’ordre supérieurs dans le développement en série de Taylor en ε [3].Souvent lorsqu’on considère des systèmes hiérarchiques avec différents niveaux d’organisation(niveau de l’individu, de la population, de la communauté, de l’écosystème),l’une des difficultés majeures dans l’étude de tels systèmes peut être la dimension élevéede ceux-ci. La méthode d’agrégation des variables permet de réduire le système de( ∑ aα=1 N α ) équations à un système de A équations.TAMTAM –Tunis– 2005

Méthode d’agrégation des variables 13Le modèle agrégé auquel on aboutit peut parfois permettre de faire une étude analytiqueet d’obtenir ainsi des résultats généraux en fonction des paramètres, tandis que le modèlecomplet est souvent impossible à étudier analytiquement et exige une étude numérique.La méthode d’agrégation peut permettre non seulement de retrouver des modèles classiquesétudiés précédemment [2], mais aussi de construire de nouveaux modèles prenanten compte les interactions intra-populations et de donner des informations sur l’émergencedes processus rapides au niveau de la population.3. Agrégation des variables dans un modèle proie-prédateurspatialisé :Dans cette section nous considérons deux populations ; une population de proies etune population de prédateurs. Il s’agit d’un modèle proie-prédateur spatialisé avec troissites. Nous supposons que la proie est présente sur les sites 1 et 2 et le prédateur sur lessites 2 et 3 (voir figure 2). Le site 2 est donc un site commun à la proie et au prédateur.Pour la proie, le site 1 est un refuge et aussi un puits. Ainsi, la proie doit venir sur lesite 2 pour trouver des resources mais elle doit faire face au prédateur. le site 2 permetau prédateur d’attraper des proies mais il doit retourner régulièrement sur le site 3 qui estson refuge c’est-à-dire l’endroit où il élève et nourrit ses petits, par exemple un nid pourdes aigles ou encore un terrier.Le modèle est le suivant :⎧⎪⎨⎪⎩dn 2dτdn 1dτ = (k 12n 2 − k 21 n 1 ) + ( ε [−mn 1 ] ]= (k 21n 1 − k 12 n 2 ) + ε[r 2 n 2 1 − n2− an 2 p 2dp 2K 2)dτ = (k 23p 3 − k 32 p 2 ) + ε [φbn 2 p 2 − µ 2 p 2 ]dp 3dτ = (k 32p 2 − k 23 p 3 ) + ε [(1 − φ)bn 2 p 2 − µ 3 p 3 ](9)où φ est la proportion des proies consommées sur le site 2 par le prï¿ 1 2ateur et (1 − φ) laproportion des proies ramenées au terrier par le prédateur pour nourrir sa progéniture. oùk ij representent les taux de migration du site j vers le site i.Dans un premier temps, nous allons considérer des taux de migration constants et dans undeuxième temps des taux de migration densité-dépendants.TAMTAM –Tunis– 2005

14 Auger et al.3.1. Taux de migration constantsDans cette sous-section nous supposons que les proies et les prédateurs migrent régulièrementet constamment entre les sites :k 12 = β, k 21 = α, k 23 = γ, k 32 = δ (10)Le modèle (9) s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩dn 2dτdn 1dτ = (βn 2 − αn 1 ) + ( ε [−mn 1 ] ]= (αn 1 − βn 2 ) + ε[r 2 n 2 1 − n2− an 2 p 2dp 2K 2)dτ = (γp 3 − δp 2 ) + ε [φbn 2 p 2 − µ 2 p 2 ]dp 3dτ = (δp 2 − γp 3 ) + ε [(1 − φ)bn 2 p 2 − µ 3 p 3 ](11)Equilibre rapide :Pour déterminer l’équilibre rapide, on résoud le système d’équations suivant :{ βn2 − αn 1 = 0γp 3 − δp 2 = 0(12)avec n = n 1 + n 2 et p = p 2 + p 3 .Un calcul simple montre que l’équilibre rapide est donné par :n ∗ 1 = ν1 ∗ n, n ∗ 2 = ν2 ∗ n, (13)p ∗ 2 = η2p, ∗ p ∗ 3 = η3p. ∗ (14)où les proportions ν ∗ i des proies et η∗ iν ∗ 1 =η ∗ 2 =des prédateurs sur le site i sont données par :βα + β , ν∗ 2 =αα + βγγ + δ , η∗ 3 =δγ + δLe modèle agrégé est le suivant :{ dndt = Rn(1 − n K ) − Anpdpdt = −µp + Bnp (15)TAMTAM –Tunis– 2005

Méthode d’agrégation des variables 15oùR = r 2 ν ∗ 2 − mν ∗ 1 , K = K 2Rr 2 (ν ∗ 2 )2 , A = aν∗ 2 η ∗ 2 (16)µ = µ 2 η ∗ 2 + µ 3 η ∗ 3, B = bν ∗ 2 η ∗ 2. (17)Le modèle agrégé (15) est un modèle classique ([8], [9]) et admet les points d’équilibresuivants :E 0 = (0, 0), E 1 = (K, 0) (18)et l’équilibre positif E ∗ = (n ∗ , p ∗ ) oùL’équilibre positif E ∗ existe ssin ∗ = µ B , (19)p ∗ = R n∗(1 −a K ) (20)R > 0, BK − µ > 0. (21)L’analyse de stabilité montre que : E 0 est toujours instable. Si E ∗ existe, alors E 1 estinstable. Mais si E 1 est stable alors E ∗ n’existe pas.De plus, si E ∗ existe, alors il est globalement asymptotiquement stable.3.2. Taux de migration densité-dépendantsNous allons maintenant supposer que le taux de migration de la proie (resp. du prédateur)vers son refuge dépend de la densité de prédateurs (resp. des proies) sur le site 2.Lorsqu’il y a beaucoup de prédateurs sur le site 2, les proies retournent plus rapidementdans leur refuge. Le prédateur exerce un effet répulsif sur la proie. Lorsque la proie estassez abondante sur le site 2, le prédateur chasse plus vite et donc repart très vite versson refuge pour apporter de la nourriture à sa progéniture. Nous supposons aussi que leprédateur revient régulièrement sur le site 2 à la recherche de la proie sur ce site.k 12 = βp 2 , k 21 = α, k 23 = γ, k 32 = δn 2 . (22)Le système (9) s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩dn 2dτdn 1dτ = (βp 2n 2 − αn 1 ) + ( ε [−mn 1 ] ]= (αn 1 − βp 2 n 2 ) + ε[r 2 n 2 1 − n2− an 2 p 2dp 2K 2)dτ = (γp 3 − δn 2 p 2 ) + ε [φbn 2 p 2 − µ 2 p 2 ]dp 3dτ = (δn 2p 2 − γp 3 ) + ε [(1 − φ)bn 2 p 2 − µ 3 p 3 ](23)TAMTAM –Tunis– 2005

16 Auger et al.L’équilibre rapide est solution du système d’équations suivant :{ βp2 n 2 = α(n − n 2 )γ(p − p 2 ) = δn 2 p 2(24)Un calcul simple donne⎧n ⎪⎨∗ 2 = −(βγp−αδn+αγ)+√ (βγp−αδn+αγ) 2 +4α 2 δγn2αδ,p ∗ 2 = p − αδ(n−n∗ 2 )βγ,n ⎪⎩∗ 1 = n − n ∗ 2,p ∗ 3 = p − p ∗ 2(25)Le modèle agrégé s’écrit alors :{dndtr2= −(K 2+ aαδβγ )(n∗ 2) 2 + (r 2 − ap + aαδnβγ+ m)n∗ 2 − mndpdt = ( bαδβγ )(n∗ 2) 2 − ( αδ(µ2−µ3+bn)βγ− bp)n ∗ 2 − ( αδ(µ3−µ2)βγn + µ 2 p)(26)où n ∗ 2 est donné par (25) et n ∗ 2 est une fonction des densités de populations totales n et p.Il est important de remarquer que le modèle agrégé montre une différence significativeavec le modèle initial. Le modèle microscopique initial contient la fonction de prédationclassique de Lotka-Volterra, tandis que le modèle agrégé est un modèle complètementnouveau par rapport au modèle initial mais aussi par rapport aux modèles classiques quenous rencontrons généralement en écologie mathématique.3.2.1. Simulations numériques :Dans cette section, nous présentons des simulations numériques effectuées sur le modèleagrégé (26). Tous les paramètres du modèle sont fixés excepté le paramètre δ. Nousnous focalisons sur l’effet d’une migration densité-dépendante à travers ce dernier paramètre.Nous avons obtenu différents résultats en fonction du paramètre δ, où δ ∈]0, 1[.Les valeurs des paramètres qui sont fixés sont les suivantes :a = 0.8, α = 0.2, γ = 0.6, K 1 = 1000, m = 0.15,β = 0.1, µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.4, b = 0.5, r 1 = 0.2, φ = 0.3.(27)Les simulations numériques montrent que l’équilibre positif est stable pour des petites etdes grandes valeurs de δ ∈]0.0651; 0.1401078[∪]0.7490; 0.7495[ (voir figure 3).TAMTAM –Tunis– 2005

Méthode d’agrégation des variables 17Cet équilibre positif devient instable lorsque δ traverse la valeur critique δ 1 c = 0.1401078et une bifurcation de Hopf supercritique apparaît.La figure 4 montre l’existence d’un cycle limite stable pour les populations totales desproies et des prédateurs. Ce cycle apparaît à la valeur critique δ 1 c = 0.1401078 et disparaîtjuste après la valeur critique δ 2 c = 0.7490992.4. ConclusionDans le premier exemple, lorsqu’il existe un équilibre positif, il est toujours globalementasymptotiquement stable. Dans le second exemple, lorsqu’il existe un équilibrepositif, il peut soit être globalement asymptotiquement stable (Figure 3) ou bien être instableet s’entourer d’un cycle limite stable (Figure 4). En effet, lorsque le paramètre δcroît entre δ min et δ max (où ]δ min , δ max [ est l’intervalle d’existence de l’équilibre positif),alors l’équilibre positif passe de la stabilité à l’instabilité lorsque δ traverse la valeurcritique δ 1 c et il y a apparition d’un cycle limite correspondant à des oscillations entretenuesdans les populations totales des proies et des prédateurs. Ce cycle limite continue àexister jusquà ce que δ atteigne la valeur δ 2 c . Lorsque δ traverse la valeur δ 2 c , l’équilibrepositif redevient stable. Dans le cas où l’équilibre positif est instable, les trajectoires ducycle limite passent très près de l’origine ce qui pourrait provoquer sous l’effet de petitesvariations aléatoires du milieu l’extinction du système proie-prédateur.Dans ces conditions, nous pouvons dire que le comportement de migration densité-dépendanta tendance à destabiliser le système proie-prédateur.5. Bibliographie[1] ARINO O., SÀNCHEZ E. , BRAVO DE LA PARRA R., AUGER P., « A singular perturbation inan age-structured population model », SIAM J. Appli. Math., 60, 1999.[2] AUGER P., CHIORINO G., POGGIALE J-C., « Aggregation emergence and immergence inhierarchically organized systems », Int. J. General Systems,vol. 27 (4-5),pp. 349-371.[3] AUGER P., POGGIALE J-C.,« Emergence of population growth models : fast migration andslow growth », J. Theor. Biol., 182 (99-108) 1996.[4] AUGER P., POGGIALE J-C.,« Aggregation and emergence in systems of ordinary differentialequations », Math. Comput. Model., 27 (1-21) 1998.[5] AUGER P., ROUSSARIE R.,« Complex ecological models with simple dynamics : From individualsto populations », Acta Biotheor., 42 (111-136) 1994.[6] BRAVO DE LA PARRA R., ARINO O. , SÀNCHEZ E., AUGER P.,« A model of an age-structuredpopulation with two time scales », Math. Comput. Model., 31 (17-26) 2000.TAMTAM –Tunis– 2005

18 Auger et al.[7] BRAVO DE LA PARRA R., AUGER P., SÀNCHEZ E., « Aggregation methods in descrete models», J. Biol. Syst., 3 (603-612) 1995.[8] EDELSTEIN-KESHET L., ,« Mathematical Models in Biology », New York, 1988.[9] MURRAY J. D., ,« Mathematica Biology », Springer Verlag, Berlin, 1989.[10] POGGIALE J-C., ,« Applications des variétés invariantes à la modélisation en dynamique depopulations », Ph.D. Thesis, Dijon, 1994.TAMTAM –Tunis– 2005

Transport quantique et classique ennanoélectroniqueN. Ben AbdallahLaboratoire MIP, Université Paul-Sabatier, Toulouse, FranceE-Mail : naoufel@mip-ups-tlse.frRÉSUMÉ. Du fait de la forte miniaturisation dans l’industrie des semi-conducteurs, la physique quantiquedevient un ingrédient clé de fonctionnement des dispositifs électroniques.En effet à l’échelle dunanomètre les électrons ne sont plus des particules mais se comportent comme des ondes; d’où deseffets quantiques d’interférence, de résonance, dont la prise en compte nécessite un effort particulierde modélisation. En réalité, ces effets quantiques sont en général spatialement localisés. Pour plusd’efficacité au niveau de la modélisation et de la simulation numérique, leur description doit à a tre coupléeà une modélisation purement classique ce qui soulève des questions d’analyse asymptotique etde condition d’interface entre les différents modèles. Le but de l’exposé est de présenter une brefpanorama de modèles d’actualité dans ce domaine, d’expliciter, à travers des techniques d’analyseasymptotique, les liens existant entre eux, et de soulever les nombreux problèmes mathématiques etnumériques qui doivent à a tre résolus. L’exposé sera illustré par quelques expériences numériques.ABSTRACT.MOTS-CLÉS :KEYWORDS :19 TAMTAM –Tunis– 2005

Quelques aspects mathématiques etnumériques des problèmes inverses enlubrificationM. El Alaoui TalibiDepartment of MathematicsFaculté des Sciences Semlalia40000, Marrakech, Moroccoelalaoui@ucam.ac.maRÉSUMÉ. Dans cet exposé nous présentons un certain ensemble de résultats mathématiques etnumériques pour des problèmes inverses et d’optimisations en lubrification. L’objectif étant de reconstituerl’épaisseur d’un film à partir d’une distribution de pression donnée ou bien de chercherl’épaisseur optimisant des paramètres physiques déterminés. Dans tous les mécanismes lubrifiés,l’écoulement est mince et les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles sont approchées parles équations bidimensionnelles de Reynolds ou des variantes suivant la géométrie et la nature dulubrifiant. Mais bien que ces équations aient un caractère ellitique à priori, la prise en compte du phénomènede cavitation dans le film induit plusieurs modèles de cavitation et conduit à des problèmesde contrôle ou l’état est solution d’un problème à frontière libre. Nous distinguons alors plusieurs modèleset nous présentons des résultats d’existence d’unicité et de régularité pour les équations d’étatset des états adjoints. Nous introduisons aussi plusieurs algorithmes basés sur des approximations parrégularisation ou par relaxation et nous donnons quelques résultats numériques.ABSTRACT.MOTS-CLÉS :KEYWORDS :TAMTAM –Tunis– 2005 20

1. IntroductionDans ce travail nous présentons quelques problèmes d’identification et d’optimisationen Lubrification. L’objectif étant d’améliorer les performances des mécanismes et d’éviterleurs détérioration. Celle-ci est due à un contact non adéquat ; par exemple, pour desjoints d’étanchéité où des paliers : à l’apparitions de cavité de manière disproportionnée.Pour des têtes de lectures magnétiques il s’agit de trouver un compromis entre un contactévitant la déterioration des surfaces et un bon rendement c’est à dire une bonne reconstitutionde l’information enregistrée. Nous distinguerons entre les problèmes à frontièreslibre ou nous prenons en compte la cavitaion par plusieurs modèles, et les problèmessans cavitation modélisant l’écoulement de l’air entre un disque magnétique et une têtede lecture.2. Quelques modèles de cavitation en lubrificationhydrodynamiquePour un mécanisme lubrifié par un fluide Newtonien, la pression est régie par l’équationclassique de Reynolds [10] :Problèmes inverses en lubrification 21( )∂ h3∂p+ ∂ ( ) h3∂p= ∂ ( ) hUρ(1)∂x 12η ∂x ∂y 12η ∂y ∂x 2où p est la pression dans le film, h(x) l’épaisseur du film, ρ la densité du fluide,η laviscosité du fluide et U la vitesse relative des surfaces du mécanisme. Dans la suite nousconsidérerons un palier cylindrique de surface Ω.L’équation (1), n’étant valable que dans la partie de Ω où le film est complet - c’est àdire où la pression est supérieure à la pression de vaporisation du fluide- plusieurs modèlesont été introduits pour tenir compte du phénomène de cavitation qui apparait généralementdans un mécanisme lubrifié. Citons parmi ces modèles :– Modèle de Reynolds : ce modèle consiste à considérer que la pression ainsi queson gradient sont continus à travers la frontière de la zone cavité et conduit à l’inéquationvariationnelle :⎧⎨ p∫∈ V∫⎩ h 3 (2)∇p.∇(ϕ − p)dx ≥ hU.∇(ϕ − p) dx ∀ϕ ∈ KΩΩoù K = { ϕ ∈ H0 1 (Ω), ϕ ≥ 0 }TAMTAM –Tunis– 2005

22 El Alaoui Talibi M.– Modèle d’Elrod-Adams : Dans ce modèle on introduit comme inconnue supplémentairela concentration θ du lubrifiant dans le film pour obtenir une équation valabledans tout le domaine, ce qui conduit à la formulation variationnelle :⎧⎨⎩(θ, ∫ p) ∈ L ∞ (Ω) × VΩ h3 ∇p.∇ϕ − θhU.∇ϕ dx = ∫ Γ 0θ 0 hϕ dx 2θ ∈ H(p)∀ ϕ ∈ Vθ 0 étant un débit d’entrée assurant l’alimentation du palier et H le graphe d’ Heavisidedéfini par :⎧⎨ 1 if r > 0H(r) = [0, 1] if r = 0⎩0 if r < 0,et l’espace V par :V = { ϕ ∈ H 1 (Ω); ϕ = 0 on Γ } ,– Modèle d’Elrod : En introduisant une loi de compressibilité reliant la saturation dulubrifiant et la pression dans le film on obtient une équation valable dans tout le domaineayant la formulation varitionnelle :{ Trouver p ∈ L 2 (Ω) vérifiant p + ∈ H 1 (Ω), B(p) ≥ 0∫Ω h3 ∇p + ∇φ dxdy − ∫ ∂φhB(p)Ω ∂x dxdy = 0 ∀φ ∈ V, (4)où l’opérateur B est associé à la loi de compressibilité considérée.(3)3. Etude du problème direct associé au modèle d’ElrodNous donnons ici un résultat d’existence et d’unicité pour le problème (4), utilisant unlemme de Ky Fan Genéralisé. Ces résultats généralisent et complètent ceux de [3].4. Problème inverse associé au modèle d’ElrodDans [1, 7, 6, 5], nous avons étudié les problèmes d’identification pour les modèles (2)et (3). Nous présentons ici une étude récente de ces problèmes pour le modèle d’Elrod.Le problème de contrôle que nous étudions se formule ainsi :où(M){∥Min J(h) = 1 2 ‖p(h) − p d‖ 2 = 1 ∥2∥β log(1 + 1 ∥∥2β p+ (h)) − p d(5)h ∈ U adU ad = {h ∈ BV (Ω) ∩ L ∞ (Ω) / 0 < a ≤ h ≤ b p.p et ‖Dh‖ (Ω) ≤ C}TAMTAM –Tunis– 2005

Problèmes inverses en lubrification 23et p(h) est la solution de (4) avec la loi de compressibilité B(p) = 1 + p . BV (Ω) estβl’espace des fonctions de L 1 (Ω) à variation bornée et ‖Df‖ (Ω) la variation totale de fdéfinie par :{∫}‖Df‖ (Ω) := sup f divϕ dx / ϕ ∈ Cc 1 (Ω, R n ) ; |ϕ| ≤ 1 .Ω5. Etude d’un modèle compressible. Optimisation d’une têtede lectureNous présentons dans la dernière partie des résultats obtenus dans [4] pour le problèmede l’écoulement de l’air entre une tête de lecture et un disque magnétique. La pressiondans le film est solution de l’équation de Reynolds compressible [2] :{ ∇ · [(h 3 p + 6Kp 2 )∇p] = Λ · ∇(hp) x ∈ Ωp = p ax ∈ ∂Ω(6)et nous nous intéressons au problème de l’optimisation de la chargeTrouver p ∗ ∈ U adtelle que j 1 (p ∗ ) = min j 1 (p)avec∫j 1 (p) = − (p(h) − p a )dxΩoù p(h) est la solution (6). Sous les hypothèses assez faibles sur les coefficients :h ∈ L ∞ (Ω), a ≤ h(x) ≤ b,nous donnons un résultat d’existence et d’unicité pour (6) et nous étudions le problèmede l’optimisation avec h ∈ BV (Ω) .6. Bibliographie[1] G. Bayada, M. El Alaoui Talibi : ”Control by coefficients in a variational inequality : Theinverse elastohydrodynamic lubrication problem”. Non linear Analysis J., Serie Real world application(1) 2000, p.p 315-328.[2] B. Burgdorfer. The influence of the molecular mean free path on the performance of hydrodynamicgas lubricated bearings. ASME Journal of basic Engineering, 81 :99–100, 1959.TAMTAM –Tunis– 2005

24 El Alaoui Talibi M.[3] M. Chambat, Contribution à la modélisation en lubrification hydrodynamique : phénomènesde cavitation et études asymptotiques pour un écoulement entre des surfaces rugueuses , Thèsed’état, Université Claude Bernard Lyon 1, (1987).[4] I. Ciuperca, M. El Alaoui Talibi, M. Jai : On the optimal control in elliptic problems . Applicationto the optimization of the head slider. A paraitre dans Esaim J. Control, Optimisation andCalculus of Variation (2005)[5] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : "Numerical simulation of the two-hydrodynamic filmthikness" Numerical Algorithms 33 : 241-250, 2003[6] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : "Contrôle p ar les coefficients dans le modèle Elrod-Adams" Esaim J. Control, Optimisation and Calculus of Variation Vol. 6, pp.97-118 (2001).[7] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : A constraints relaxation technic for solving an identificationof coefficients problem issued from hydrodynamic lubrication. J. Inv. Ill-Posed Problems,Vol.10, NÂ ◦ . 3, pp.295-318(2002) .[8] H. G. Elrod, A Cavitation Algorithm, ASME J. Lubr. Technol, 103, 350-354, (1981).[9] A. A. Elsharkawy and L. H. Guedouar, An inverse analysis for steady-state elastohydrodynamiclubrication of one-layered journal bearings. ASME, J. Tribo, Vol 122, 524-533, (2000).[10] J. Frêne, D. Nicolas, B. Degueurce, D. Berthe and M. Godet, Lubrification hydrodynamique,Paliers et Butées. 72 Eyrolles, (1990).TAMTAM –Tunis– 2005

A topology Nash game for tumoralanti-angiogenesisA. Habbal ** University of Nice-Sophia Antipolis, Francehabbal@unice.frABSTRACT.RÉSUMÉ. L’angiogénèse est le processus biologique par lequel se développent des réseaux de vaisseauxsanguins, à partir de vaisseaux pré-existants. Ce processus est souhaitable, voire fondamental,lors du développement de l’embryon et de sa maturation, ou lors de la cicatrisation de blessures parexemple. Par contre, c’est aussi un moyen utilisé par les tumeurs cancéreuses solides pour survivreet continuer à se développer. On sait aussi depuis peu que l’angiogénèse tumorale est le mécanismepar lequel sopère la metastase cancereuse, étape ultime et léthale du cancer. Depuis quelquesannées, des chercheurs oncologues ont émis l’idée que l’empêchement de l’angiogénèse, ou antiangiogénèse,pourrait apporter de nouveaux espoirs de traitement du cancer. Divers moyens peuventêtre mis en oeuvre pour cela, et certain s médicaments basés sur cette approche sont en cours detests, donnant des résultats spectaculaires sur des cobayes. Pour envisager son application aux humains,cette approche -et les phénomènes inhérents- doit être bien comprise et bien maîtrisée par leschercheurs. Notre étude se propose de contribuer à la compréhension de l’interaction entre facteursd’angiogénèse et facteurs d’inhibition de celle-ci. Pour cela, nous proposons un modèle simple issu dela physique des milieux poreux, couplé à un modèle d’élasticité linéaire, pour représenter la tumeur etle tissu biologique hôte. La tumeur cherche à se fabriquer un réseau de vaisseaux le mieux pour elle,tandis que le tissu hôte cherche à se protéger de la dégradation de matière opérée par des enzymessecretées par la tumeur. Cette situation se prête parfaitement à une modélisation par la théorie desjeux, dans laquelle les joueurs sont la tumeur et le tissu élastique, et les stratégies sont respectivementla densité d’activateurs et celle d’inhibiteurs d’angiogénèse. Les résultats numériques obtenus(pour une variante à somme nulle) montrent une organisation à l’équilibre non triviale des inhibiteurs,et l’apparition de canaux (pour la porosité) et non de structures artérielles bien organisées.KEYWORDS :MOTS-CLÉS :25 TAMTAM –Tunis– 2005

26 Habbal1. IntroductionAngiogenesis is the biological process by which networks of blood vessels are initiatedand proliferate towards a mature vasculature -local circulatory system-. At earlydevelopment and growth, angiogenesis is necessary to go from the embryonic vasculogenesisinto a complete and mature blood circulatory system. Moreover, angiogenesisplays an important role in wound healing and tissue repairing. But from other part, angiogenesisplays also a pathological role, being a fundamental step in the growth of cancertumors and in tumoral metastasis, the ability of tumor cells to develop in other places usingthe blood and lymphatic networks. Recently, oncologists have suggested that the useof inhibitors of angiogenesis, an approach that is often referred to as anti-angiogenesis,could prove effective in cancer treatment. Combined with directly curative drugs, antiangiogenicdrugs are intended to efficiently stop the expansion of tumoral mass, forcingthe tumor to dormancy or even regression.In the present work, we consider angiogenesis and anti-angiogenesis processes as resultingfrom a mathematical game between two players : activators of angiogenesis, willingto provide the tumor with an efficient feeding (and waste expelling) network of bloodvessels, and inhibitors, with a specific action on the tumor vasculature.From the activators viewpoint, the biological tissue surrounding the tumor, and locatedbetween close existing vessels and the tumor is seen as a porous medium, defined by itsporosity distribution. The latter is defined as a result of an interaction between activatorsand inhibitors. Activators would like to design the porosity in order to yield the minimalpressure drop. From the inhibitors viewpoint, the same biological medium is seen as alinear elastic continuum, defined by its material elasticity tensor. As for the porosity,the material properties are defined as a result of an interaction between activators andinhibitors. Inhibitors would like to design the material distribution in order to provide thematrix with the minimal mechanical compliance.2. Mathematical modelingObviously, solid tumor growth is not only a question of diffusion ; it should and infact it does include key factors from structural mechanics. Indeed, there are only a veryfew and quite recent contributions to this area. In Chaplain and Sleeman [3], elasticitytheory is used to describe tumor invasion. Jones et al. in [1] introduce a constitutivelaw that combines the stress-strain relation of linear elasticity with a growth term derivedby analogy with thermal expansion. Tumor spheroid growth is also studied with poroelasticitymodeling in [7] [5]. A more recent study by Araujo and McElwain addressinggrowth-induced stresses in tumors can be found in [4], the model presented highlights therole of various tissue properties in inducing vascular collapse phenomena observed insidetumors.TAMTAM –Tunis– 2005

A topology Nash game 27While still viewing the tumor+extracellular matrix+existing vessel as an overall system,we assume that the tumor and the host tissue are acting in a competition framework,each competitor willing to fulfill a given objective. We make two assumptions on therespective objectives of the tumor and of the host tissue. The first one is that angiogenesisprovides the tumor with an optimal drainage mechanism. Natural circulatorynetworks, including human vascular network are known to have arterial branchings optimalstructure with respect to the maximal-drainage objective ; An evidence is providedby Schreiner [8] "Arterial branchings closely fullfil several ’bifurcation rules’ which aredeemed to optimize blood flow. The question is whether these local criteria in conjunctionwith a general optimization principle can explain the overall structure of an arterialtree.” Schreiner concludes in the cited study that "The comparison between the modeland real coronary arterial trees shows good agreement regarding structural appearance,morphometric parameters, and pressure profiles." The second assumption we make is thatthe host tissue is willing to keep its structural integrity as a way to fight against the tumorgrowth. Indeed, this assumption seems to gain audience among biologists. Based on invitro studies, Helmlinger et al. [9] demonstrated that solid stress inhibits tumor growthin vitro, regardless of host species, tissue of origin, or differentiation state, which madeRoose et al. [7] suggest that “the host tissue provides resistance to tumor growth“.2.1. A porous media model for the tumorThe extracellular matrix as well as the tumoral vasculature are seen as a porous medium,which occupies a volume Ω ⊂ R N (N = 2 or 3), with a variable porosity denoted by ρ, which lies between the matrix porosity ρ M and blood vessel porosity ρ V . The simplesteffective model for porous media is the following, also known as the D’Arcy Law, wherethe physical variable is pressure p :⎧⎪⎨⎪⎩−div (ρ∇p) = Q in Ωρ ∂p∂n= ρg over Γ V∂p(1)∂n= 0 over Γ Np = 0 over Γ TThe right-hand side Q represents a residual source of nutrients by diffusion throughthe host tissue, it is assumed to be negligible compared to the inward blood flow g. Itshould be noticed that we do not take into account what happens inside the tumor itself,considering only its boundary Γ T as an outlet.Obviously, the pressure field depends on the porosity distribution.As mentioned before, we postulate that angiogenesis provides the tumor with an optimaldrainage mechanism, i.e. with a porosity such that the tumor optimal blood networkminimizes the averaged pressure drop.TAMTAM –Tunis– 2005

28 HabbalThe pressure drop denoted by L 1 (ρ; p) is given by the formula :∫ ∫L 1 (ρ; p) = Qp dx + ρgp ds2.2. A structural model for the extracellular matrixΩNow, one may also consider the host surrounding tissue as a continuum medium, letsay a linear isotropic, nonhomogeneous, elastic material. This model is of course a coarseapproximation of the actual mechanical behavior of the living tissues, which is rather ofvisco-elastic nature [6]. This medium is composed of healthy and degraded tissues. Thedegradation could be due to established vascularization or to an early enzyme’s action,like as the MMPs family.The elasticity tensor E lies then (in a certain sense) between thedegraded material tensor E D , and the original -sane- extracellular matrix tensor E M .Conforming to the linear elasticity classical equilibrium equations, the displacementvector u = (u j ) solves⎧⎪ ⎨⎪ ⎩−div (Eɛ(u)) = b in ΩΓ Vu = 0 over Γ VEɛ(u).n = 0 over Γ NEɛ(u).n = t over Γ T(2)The strain tensor denoted by ɛ(u) is defined with obvious notations asɛ(u) ij = 1 ( ∂ui+ ∂u )j2 ∂x j ∂x iThe mechanical stress tensor is given by σ(u) = Eɛ(u).The body forces -such as selfweight- are denoted by b, and the normal tension whichmodels the stress induced by the tumor growth is denoted by t. The tissue is assumedto be clamped to the mother vessel Γ V . A related model can be found in [1] where theauthors study the stress induced during avascular tumor growth.The displacement vector u depends on the Elasticity tensor E. The latter itself dependson the interaction between activators and inhibitors of tissue degradation.As said in the introductory section, we assume that the host tissue is willing to keepits integrity, by using all available factors it could control (one example is inhibitors ofMMPs). In continuum mechanics, it is usual to consider that such goal is achieved bymaximizing the stiffness, or equivalently, minimizing the compliance :∫ ∫L 2 (E; u) = b.u dx + t.u dsΩΓ TTAMTAM –Tunis– 2005

A topology Nash game 293. The Nash gameWe consider a two-players static game of complete information. The two players arethe Tumoral Angiogenic Factors (TAF) which control activators distribution, denoted byµ, and anti-Angiogenic Factors (aAF) which control inhibitors distribution, denoted by k.Strategy spaces are defined as follows :– (TAF) is equipped with a strategy spaceS 1 = {µ ∈ L ∞ (Ω), 0 ≤ µ ≤ 1,– (aAF) is equipped with a strategy spaceS 2 = {k ∈ L ∞ (Ω), 0 ≤ k ≤ 1,∫∫ΩΩµdx ≤ γ 1 |Ω|}kdx ≤ γ 2 |Ω|}The constraints on the relative volume fractions express the fact that there is only a limitedavailable amount of activators and inhibitors.A simultaneous (or blind) choice of (µ; k) prompts an interaction between TAF andaAF, which is modeled as follows :– Interaction Law : θ = µ(1 − k)– Porosity : ρ = ρ (µ; k) = ρ M + (ρ V − ρ M )P (θ)– Elasticity tensor : E = E (µ; k) = E M + (E D − E M )P (θ)where P (θ) is the identity, an exact homogenization operator, or an interpolated SIMPlike(Solid Isotropic Material Penalization) operator, see Rozvany et al. [10].The interaction law is a very simple, arbitrary, choice. It states for example that theinhibitor action is completely and immediately efficient. Actual biological situations areof course much more complex.To end with the definition of the game, objective or loss functions are defined respectivelyas :Pressure Drop j 1 (µ; k) = L 1 (ρ; p) for player (TAF) (3)Mechanical Compliance j 2 (µ; k) = L 2 (E; u) for player (aAF) (4)where p is the pressure solution to the D’Arcy equation (1), and u is the displacementvector solution to the elasticity equation (2).3.1. Existence of a Nash equilibriumWe consider the cases where either P (θ) = θ or P (θ) is a restriction operator,i.e. P (θ) = g ◦ S R (θ), with g being a convex function and S R a linear compact filter,cf [2] for details. We have theTAMTAM –Tunis– 2005

30 Habbaltheorem 1 There exists a Nash equilibrium, i.e. a pair of strategies (µ ⋆ , k ⋆ ) ∈ S 1 × S 2such thatµ ⋆ solves minµ∈S 1j 1 (µ, k ⋆ ) (5)k ⋆ solvesmin j 2 (µ ⋆ , k) (6)k∈S 2For numerical experiments, we considered the minimax (or duel) problemj 2 (µ; k) = −j 1 (µ; k) = −L 1 (ρ; p)which models a game where the first player wants to minimize the pressure drop, while onthe contrary the second player wants to maximize it (or, equivalently, wants to minimizethe drainage of the network).Such a game is also known as a zero-sum game.4. A Computational experimentThe domain Ω is a rectangle. The upper side is Γ V , and the lower is Γ T . Maximumallowed volume fractions are 40% for (TAF) and10% for (aAF).The Nash overall loop converged in three iterations ; each partial optimization took aroundthirty iterations (and two hundred FEM runs) to converge.Converging strategies are presented in figures 1-2-3.In figure-1, the first player (TAF), having the information that the second player (aAF)has played a uniform strategy, plays its optimal strategy which consists, as could be expected,in a single channel, preserving the volume constraint, located at the central lineof the rectangle (thanks to the symmetry of the problem). At its turn, the second player,informed that the first player has played a uniform strategy, simply puts as much antiangiogenicas possible around the tumor Γ T . Quite unexpectedly, (aAF) does not play auniform horizontal density, but creates a small excavation.Then, at the second Nash iteration, the first player knows that the second one has cutoff the way to the tumor, so it starts to develop alternative channels. At the same time,the second player knows now that the TAF has a strong presence within the excavation,which is then filled as shown in figure-2.The final iteration, yielding a numerical Nash equilibrium is shown in figure-3. The resultingporosity distribution in figure-3 does not exhibit any arterial-tree branching structure,but only multiple channels.Multiple channels seem to be the best response of the activators to optimally distributedinhibitors.TAMTAM –Tunis– 2005

A topology Nash game 31Figure 1. First Nash loop iteration.Left: density µ of the TAF. Right: density k of the aAF.5. ReferencesJ.S. Gibson A.F. Jones, H.M. Byrne and J.W. Dold. A mathematical model of the stress inducedduring avascular tumour growth. J. Math. Biol., 40(6):473–499, 2000.T. Borrvall and J. Petersson. Topology optimization using regularized intermediate density control.Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 190(37-38):4911–4928, 2001.M.A.J. Chaplain and B.D. Sleeman. Modelling the growth of solid tumours and incorporating amethod for their classification using nonlinear elasticity theory. J. Math. Biol., 31(5):431–473,1993.Araujo R.P. McElwain D.L.S. New insights into vascular collapse and growth dynamics in solidtumors. Journal of Theoretical Biology, 228:335–346, 2004.M. Sarntinoranont F. Rooney M. Ferrari. Interstitial stress and fluid pressure within a growingtumor. Annals of Biomedical Engineering, 31:327–335, 2003.Y.C. Fung. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. 2nd ed. Springer-Verlag NewYork Berlin Heidelberg., 1993.T. Roose P.A. Netti L.L. Munn Y. Boucher R.K. Jain. Solid stress generated by spheroid growthestimated using a linear poroelasticity model. Microvascular Research, 66:204–212, 2003.Schreiner W. Buxbaum P.F. Computer-optimization of vascular trees. IEEE Transactions onBiomedical Engineering, 40(5):482–491, 1993.Helmlinger G. Netti P.A. Lichtenbeld H.C. Melder R.J. Jain R.K. Solid stress inhibits the growthof multicellular tumor spheroids. Nature Biotechnology, 15(8):778–783, 1997.T. Rozvany G. I. N. Zhou M. Birker. Generalized shape optimization without homogenization.Struct Optim., 4:250–254, 1992.TAMTAM –Tunis– 2005

32 HabbalFigure 2. Second Nash loop iteration.Left: density µ of the TAF. Right: density k of the aAF.Figure 3. Final (3rd) Nash loop iteration.Left: density µ of the TAF. center: density k of the aAF. Right: Porosity distribution.TAMTAM –Tunis– 2005

N-particles approximation of the Vlasovequations with singular potentialM. Hauray * — P.-E. Jabin *** CEREMADEPlace du Maréchal de Lattre de Tassigny75775 Paris Cedex 16** Laboratoire Dieudonné, Université de Nice-Sophia AntipolisParc Valrose06108 Nice Cedex 02ABSTRACT. We prove the convergence in any time interval of a point-particle approximation of theVlasov equation by particles initially equally separated for a force in 1/|x| α , with α ≤ 1. We introducediscrete versions of the L ∞ norm and time averages of the force field. The core of the proof is to showthat these quantities are bounded and that consequently the minimal distance between particles inthe phase space is bounded from below.RÉSUMÉ. On prouve la convergence en tout temps d’une approximation particulaire de l’équationde Vlasov, pourvu que les particules soient initialement bien réparties et que la force entre deuxparticules se comporte en 1/|x| α , avec α ≤ 1. Pour cela, on introduit une notion de norme L ∞discrète et on moyenne en temps le champ de force. Le point crucial de la preuve est de montrer queces nouvelles quantités sont bornées et donc que la distance entre deux particules dans l’espace desphases est minorée.KEYWORDS : Derivation of kinetic equations. Particle methods. Vlasov equations.MOTS-CLÉS : Dérivation des équations cinétiques. Méthodes particulaires. Équations de Vlasov.33 TAMTAM –Tunis– 2005

34 Hauray et al.1. IntroductionWe are interested here by the validity of the modeling of a continuous media by akinetic equation, with a density of presence in space and velocity. In other words, dothe trajectories of many interacting particles follow the evolution given by the continuousmedia if their number is sufficiently large? This is a very general question and this paperclaims to give a (partial) answer only for the mean field approach.Let us be more precise. We study the evolution of N particles, centered at (X 1 , . . . , X n )in R d with velocities (V 1 , . . . , V n ) and interacting with a central force F (x). The positionsand velocities satisfy the following system of ODEs⎧⎨⎩X˙i = V i ,V˙i = E(X i ) = ∑ α i α jF (X i − X j ), (1)m ij≠iwhere the initial conditions (X1 0 , V1 0 , . . . , Xn, 0 Vn 0 ) are given. The prime example for(1) consists in charged particles with charges α i and masses m i , in which case F (x) =−x/|x| 3 in dimension three.To easily derive from (1) a kinetic equation (at least formally), it is very convenient toassume that the particles are identical which means α i = α j . Moreover we will rescalesystem (1) in time and space to work with quantities of order one, which means that wemay assume thatα i α j= 1 , ∀i, j. (2)m i NWe now write the Vlasov equation modelling the evolution of a density f of particlesinteracting with a radial force in F (x). This is a kinetic equation in the sense that thedensity depends on the position and on the velocity (and of course on the time)∂ t f + v · ∇ x f + E(x) · ∇ v f = 0, t ∈ R + , x ∈ R d , v ∈ R d ,∫E(x) = ρ(t, y) F (x − y) dy,R∫dρ(t, x) = f(t, x, v) dv. (3)vHere ρ is the spatial density and the initial density f 0 is given.When the number N of particles is large, it is obviously easier to study (or solvenumerically) (3) than (1). Therefore it is a crucial point to determine whether (3) can beseen as a limit of (1).Remark that if (X 1 , . . . , X N , V 1 , . . . , V n ) is a solution of (1), then the measureµ N (t) = 1 Nn∑δ(x − X i (t)) ⊗ δ(v − V i (t))i=1TAMTAM –Tunis– 2005

Approximation of the Vlasov equations 35is a solution of the Vlasov equation in the sense of distributions. And the question iswhether a weak limit f of µ N solves (3) or not. If F is C 1 with compact support, then itis indeed the case (it is proved in the book by Spohn [14] for example). The purpose ofthis paper is to justify this limit if|F (x)| ≤ CC, |∇F (x)| ≤|x|α|x| 1+α |∇ 2 F (x)| ≤ C , ∀x ≠ 0, (4)|x|2+αfor α < 1, which is the first rigorous proof of the limit in a case where F is not necessarilybounded.Before being more precise concerning our result, let us explain what is the meaningof (1) in view of the singularity in F . Here we assume either that we restrict ourselvesto the initial configurations for which there are no collisions between particles over atime interval [0, T ] with a fixed T , independent of N. Or we assume that F is regularor regularized but that the norm ‖F ‖ W 1,∞ may depend on N; This procedure is wellpresented in [1] and it is the usual one in numerical simulations (see [15] and [16]). Inboth cases, we have classical solutions to (1) but the only bound we may use is (4).Other possible approaches would consist in justifying that the set of initial configurationsX 1 (0), . . . , X N (0), V 1 (0), . . . , V N (0) for which there is at least one collision, isnegligible or that it is possible to define a solution (unique or not) to the dynamics evenwith collisions.Finally notice that the condition α < 1 is not unphysical. Indeed if F derives froma potential, α = 1 is the critical exponent for which repulsive and attractive forces seemvery different. In other words, this is the point where the behavior of the force when twoparticles are very close takes all its importance.2. Important quantitiesThe derivation of the limit requires a control on many quantities. Although some ofthem are important only at the discrete level, many were already used to get the existenceof strong solutions to the Vlasov-Poisson equation (we refer to [7], [8] and [12], [13] asbeing the closest from our method).The first two quantities are quite natural and are bounds on the size of the support ofthe initial data in space and velocity,R(T ) =sup |X i (t)|, K(T ) = sup |V i (t)|. (5)t∈[0,T ], i=1,...Nt∈[0,T ], i=1,...NOf course R is trivially controlled by K sinceR(T ) ≤ R(0) + T K(T ). (6)Now a very important and new parameter is the discrete scale of the problem denotedε. This quantity represents roughly the minimal distance between two particles or theTAMTAM –Tunis– 2005

36 Hauray et al.minimal time interval which the discrete dynamics can see. We fix this parameter fromthe beginning and somehow the main part of our work is to show that it is indeed correct,so takeε = R(0) . (7)N1/2dAt the initial time, we will choose our approximation so that the minimal distance betweentwo particles will be of order ε.The force term cannot be bounded at every time for the discrete dynamics (a quantitylike F ⋆ ρ N is not bounded even in the case of free transport), but we can expect that itsaverage on a short interval of time will be bounded. So we denote{ ∫ 1 t+ε}E(T ) = sup|E(X i (s))| ds , (8)t∈[0, T −ε],i=1,...,N εwith for T < εE(T ) =supi=1,...,Nt{ ∫ }1 T|E(X i (s))| ds , (9)ε 0thus obtaining a unique and consistant definition for all T > 0. Moreover we denote byE 0 the supremum over all i of |E(X i (0))|.This definition comes from the following intuition. The force is big when two particlesare close together. But if their speeds are different, they will not stay close for a long time.So we can expect the interaction force between these two particles to be integrable in timeeven if they "collide". There just remains the case of two close particles with almost thesame speed. To estimate the force created by them, we need an estimate on their number.One way of obtaining it is to have a bound onm(T ) =supt∈[0,T ],i≠jε|X i (t) − X j (t)| + |V i (t) − V j (t)| . (10)The control on m requires the use of a discretized derivative of E, more precisely, wedefine for any exponent β ∈ ] 1, d − α [, which also satisfies β < 2d − 3α (β = 1 wouldbe enough for short time estimates)∆E(T ) =supt∈[0, T −ε]with as for E, when T < ε∆E(T ) =supi,j=1,...,N,{ 1εsupi,j=1,...,N∫ t+εt|E(X i (s)) − E(X j (s))|ε β + |X i (s) − X j (s)|}ds , (11){ ∫ }1 T|E(X i (s)) − E(X j (s))|ε 0 ε β ds . (12)+ |X i (s) − X j (s)|Now, we introduce what we called the discrete infinite norm of the distribution of theparticle µ N . This quantity is the supremum over all the boxes of size ε of the total massthey contain divided by the size of the box. That is, for a measure µ we denoteTAMTAM –Tunis– 2005

Approximation of the Vlasov equations 37‖µ‖ ∞,ε = 1(2ε) 2d sup {µ(B ∞ ((x, v), ε))} . (13)(x,v)∈R 2dwhere B ∞ ((x, v), ε) is the ball of radius ε centered at (x, v) for the infinite norm. Notethat we may bound ‖µ N (T, ·)‖ ∞,ε by‖µ N (T, ·)‖ ∞,ε ≤ (4 m(T )) 2d . (14)We may also introduce discrete L ∞ norm at other scales by defining in general‖µ‖ ∞,η = 1(2η) 2d sup {µ(B ∞ ((x, v), η))} . (15)(x,v)∈R 2dThe quantities R, K, m will always be assumed to be bounded at the initial time T = 0uniformly in N.3. Main resultsThe main point in the derivation of the Vlasov equation is to obtain a control on theprevious quantities. We first do it for a short time as given byTheorem 3.1 If α < 1, there exists a time T and a constant c depending only on R(0),K(0), m(0) but not on N such that for some α < α ′ < 3R(T ) ≤ 2 (1 + R(0)), K(T ) ≤ 2 (1 + K(0)), m(T ) ≤ 2 m(0),E(T ) ≤ c (m(0)) 2α′ (K(0)) α′ (R(0)) α′ −α ,sup ‖µ N (t, ·)‖ ∞,ε ≤ (8 m(0)) 2d .t≤TRemarkThe constant 2, which appears in the bounds, is of course only a matter of convenience.This means that another theorem could be written with 3 instead of 2 for instance; Thetime T would then be larger. However increasing this value is not really helpful becausethe kind of estimates which we use for this theorem blow up in finite time, no matter howlarge the constant in the bounds is.This theorem can, in fact, be extended on any time intervalTheorem 3.2 For any time T > 0, there exists a function Ñ of R(0), K(0), m(0) and Tand a constant C(R(0), K(0), m(0), T ) such that if N ≥ Ñ thenR(T ), K(T ), m(T ), E(T ) ≤ C(R(0), K(0), m(0), T ).TAMTAM –Tunis– 2005

38 Hauray et al.From this last theorem, it is easy to deduce the main result of this paper, which readsTheorem 3.3 Consider a time T and sequence µ N (t) corresponding to solutions to (1)such that R(0), K(0) and m(0) are bounded uniformly in N. Then any weak limit f ofµ N (t) in L ∞ ([0, T ], M 1 (R 2d )) belongs to L ∞ ([0, T ], L 1 ∩ L ∞ (R 2d )), has compactsupport and is a solution to (3).Of course the main limitation of our results is the condition α < 1 and the main openquestion is to know what happens when α ≥ 1. However this condition is not onlytechnical and new ideas will be needed to prove something for α ≥ 1. It would alsobe interesting to extend our result to more complicated forces like the ones found in theformal derivation of [9].4. References[1] J. Batt, N-Particle approximation to the nonlinear Vlasov-Poisson system, Preprint.[2] J. Batt, G. Rein, Global classical solutions of the periodic Vlasov-Poisson system in threedimensions, C.R. Acad. Sci. Paris, 313, serie 1, pp. 411-416, 1991.[3] W. Braun, K. Hepp,The Vlasov dynamics and its fluctuations in the 1/N limit of interactingclassical particles, Comm. Math. Phys., 56, no. 2, pp. 101–113, 1977.[4] R. L. Dobrušin, Vlasov equations, Funktsional. Anal. i Prilozhen., 13, pp 48–58, 1979.[5] R.T. Glassey, The Cauchy problem in kinetic theory, Philadelphia PA, SIAM, 1996.[6] J. Goodman, T.Y. Hou and J. Lowengrub, Convergence of the point vortex method for the 2-DEuler equations, Comm. Pure Appl. Math., 43, pp 415–430, 1990.[7] E. Horst, On the classical solutions of the initial value problem for the unmodified non-linearVlasov equation I, Math. Meth. Appl. Sci., 3, pp 229-248, 1981.[8] E. Horst, On the classical solutions of the initial value problem for the unmodified non-linearVlasov equation II, Math. Meth. Appl. Sci., 4, pp 19-32, 1982.[9] P.E. Jabin and B. Perthame, Notes on mathematical problems on the dynamics of dispersedparticles interacting through a fluid, Modelling in applied sciences, 111–147, Model. Simul.Sci. Eng. Technol., Birkhauser Boston, 2000.[10] P.L. Lions, B. Perthame, Propagation of moments and regularity for the 3-dimensionalVlasov-Poisson System, Invent. Math., 105, pp. 415-430, 1991.[11] H. Neunzert, J. Wick, Theoretische und numerische Ergebnisse zur nichtlinearen Vlasov-Gleichung. Numerische Lösung nichtlinearer partieller Differential- und Integrodifferentialgleichungen(Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1971), pp. 159–185. Lecture Notes inMath., Vol. 267, Springer, Berlin, 1972.[12] K. Pfaffelmoser, Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensionsfor general initial data, J. Diff. Eq., 95, pp 281-303, 1992.[13] J. Schaeffer, Global existence of smooth solutions to the Vlasov-Poisoon system in three dimensions,Comm. P.D.E., 16, pp 1313-1335, 1991.TAMTAM –Tunis– 2005

Approximation of the Vlasov equations 39[14] H. Spohn, Large scale dynamics of interacting particles, Springer-Verlag Berlin, 1991.[15] H.D. Victory, jr., E.J. Allen, The convergence theory of particle-in-cell methods for multidimensionalVlasov-Poisson systems, SIAM J. Numer. Anal., 28, pp 1207–1241, 1991.[16] S. Wollman, On the approximation of the Vlasov-Poisson system by particles methods, SIAMJ. Numer. Anal., 37, pp 1369–1398, 2000.[17] S. Wollman, Global in Time Solutions to the Three-Dimensional Vlasov-Poisson System, J.Math. Anal. Appl., 176, no. 1, 76–91, 1993.TAMTAM –Tunis– 2005

Approximation de l’opérateur d’impédanced’une couche minceK. LemrabetFaculté des mathématiquesUSTHB, Alger, AlgérieRÉSUMÉ.ABSTRACT.MOTS-CLÉS :KEYWORDS :TAMTAM –Tunis– 2005 40

Approximation de l’opérateur d’impédance 411. Problème de transmission avec une couche mince1.1. Le problèmeOn considère le problème de transmission abstrait :⎧u ′′ −(x) + Au − (x) = − 1p −g − (x), x ∈ ]−1, 0[ ,u⎪⎨′′ +(x) + Au + (x) = − 1p +g + (x), x ∈ ]0, δ[ ,u − (−1) = f − ,u ′ +(δ) = 1p +f + ,u − (0) = u + (0),⎪⎩p − u ′ −(0 − ) = p + u ′ +(0).où A opérateur fermé à domaine dense vérifiant les hypothèsesH1 : −A est sectoriel d’angle spetral β ∈ ]0, π[ ,H2 : A est inversible d’inverse borné,H3 : il existe ϕ ∈ ]β, π[ tel que −A possède un calcul fonctionnel H ∞ (S ϕ ) (cf.Dorre et Venni : On H ∞ calculus for sectorial and bissectorial operators ; Studia Math. àparaître), S ϕ étant le secteur défini par z ∈ S ϕ ⇔ |arg z| < ϕ.Les coefficients p − > 0, p + > 0, les fonctions g − ∈ L p (]−1, 0[ ; X) et g + ∈L p (]0, δ[ ; X) ainsi que f + , f − ∈ X sont données et δ > 0 est un paramètre destinéà tendtre vers 0.1.2. Le modèle physiqueCe problème modélise la propagation de la chaleur dans un cylindre hétérogène]−1, δ[×Ω constituée par la jonction de deux cylindres homogènes ]−1, 0[×Ω et ]0, δ[×Ω(Ω un ouvert borné de R 2 de bord ∂Ω régulier) de caractéristiques physiques différentes.Si u(x, y) est la température au point (x, y), p − et p + sont les coefficients de conductivitérespectifs des cylindres ]−1, 0[ × Ω et ]0, δ[ × Ω, g(x, y) est la source de chaleur aupoint (x, y), f − (y) est la température au point (−1, y) et1p +f + (y) est le flux de chaleurau point (δ, y) et si on suppose que la température est fixée nulle sur la surface latérale ducylindre.L’espace X est L p (Ω) et les fonctions u , g :]−1, δ[ → L p (Ω) sont définies paru(x)(y) = u(x, y) et g(x)(y) = g(x, y) et l’opérateur non borné A défini sur L p (Ω)parD(A) =1.3. Le problème d’approximation{}v ∈ W 1,p0 (Ω); ∆v ∈ L p (Ω) et Av = ∆v.On s’intéresse au comportement de la solution du problème pour des valeurs petitesdu paramètre δ.TAMTAM –Tunis– 2005

42 LemrabetLorsque δ → 0, l’équation sur ]0, δ[ n’a plus de sens. On cherche alors une conditionaux limites approchée en 0 pour u − qui rend compte de l’effet de la couche mince ]0, δ[ .L’opérateur d’impédance T δ de la couche mince ]0, δ[ , qui à (g + , f + , ψ) associeT δ (g + , f + , ψ) = u ′ +(0) où u + est la solution du problème aux limites sur ]0, δ[⎧u ⎪⎨′′ +(x) + Au + (x) = − 1 g + (x), x ∈ ]0, δ[ ,p +u ′ +(δ) = 1 f + ,⎪⎩ p +u + (0) = ψ.joue ce rôle et on a alors un problème aux limites posé uniquement sur l’intervalle ]−1, 0[ :⎧⎨ u ′′ −(x) + Au − (x) = −g − (x), x ∈ ]−1, 0[ ,u − (−1) = f − ,⎩p − u ′ −(0 − ) = p + T δ (g + , f + , u − (0)).2. Calcul de l’opérateur d’impédanceL’opérateur B = (−A) 1 2 est inversible et génère un semi-groupe analytique V (t), t ≥0.Alors toute solution dans l’espace W 2,p (]0, δ[ ; X) ∩ L p (]0, δ[ ; D(A)) de l’équationopérationnelleu ′′ (x) + Au(x) = − 1 g + (x), x ∈ ]0, δ[p +avec g + ∈ L p (]0, δ[ ; X) est donnée paru(x) = V (x − a)c + V (b − x)d + v 1+ + v 2+(x)2avec c, d ∈ (X, D(A)) 1− 12p ,p(espace d’interpolation) etv 1+ (x) =∫ x0V (x − i)B −1 1p +g + (t)dtv et v 2+ (x) =∫ δxV (i − x)B −1 1p +g + (t)dt.Les conditions aux limites permettent de calculer les coefficients c et d et de calculerl’opérateur d’impédance.On obtientT δ (g + , f + , ψ) = − [I + V (2δ)] −1 .{[I − V (2δ)] Bψ − 2V (δ) 1p +f + − B∫ δ0}[V (2δ − t) + V (t)] B −1 1 g + (t)dt .p +TAMTAM –Tunis– 2005

Approximation de l’opérateur d’impédance 433. Approximation de type non local de l’opérateurd’impédanceLe développement e δz = 1 + δ 2 z2 z32+ δ36 + δ3 z 3 σ(δ, z) avec σ(δ, .) bornée dans S θet uniformémént bornée par rapport à δ, donne1 − e −2δz∣1 + e −2δz − δz1 + δ 2 z 2∣ ≤ Cδ2 |z| 2 ,2Si on suppose que p − , g − et f − ne dépendent pas de δ et que p + , g + et f + sont bornéspar rapport à δ (par exemple p + = p +0 + δ p +1 , g + = g +0 + δ g +1 et f + = f +0 + δ f +1 ).La condition d’impédance approchée à l’ordre un estu ′ −(0) − δ p ] −1+0B[1 − δ2p − 2 A Bu − (0) =[ ] −111 − δ2p − 2 A f +0 + δ 1 [ ] −11 − δ2p − 2 A g +0 (0).C’est une condition qui fait intervenir l’opérateurmais global. Elle est plus stable numériquement.[1 − δ22 A ] −1A qui n’est pas local4. Solution du problème avec condition d’impédanceapprochéeLa solution dans W 2,p (]−1, 0[ ; X)∩L p (]−1, 0[ ; D(A)) du problème aux limites aveccondition d’impédance approchée⎧⎪⎨⎪⎩u ′′ (x) + Au(x) = − 1 g(x), x ∈ ]−1, 0[ ,p −u(−1) = f,u ′ (0) + δ p +0p −B[1 − δ22 A ] −1Bu(0) = χ(avec g dans L p (]−1, 0[ ; D(A)), f dans (X, D(A)) 12 − 12p ,pet χ dans X ), est donnée paru(x) = V (x + 1)c + V (−x)d + v 1(x) + v 2 (x)2TAMTAM –Tunis– 2005

44 Lemrabetavec[∆ ∗ (δ)c = [I + GB] f − v ]2(−1)− V (1) [I − GB] v 1(0)− V (1)B −1 χ22et∆ ∗ (δ)d = [I − GB] v 1(0)2v 1 (x) =[+ B −1 χ + [I − GB] V (1) f − v ]2(−1)2∆ ∗ (δ) = [1 + V (2)] + δ p [ ] −1+01 − δ2p − 2 A B [1 − V (2)] ,∫ x−1V (x − t)B −1 1p −g(t)dt et v 2 (x) =∫ 0xV (t − x)B −1 1p −g(t)dt,∥L’opérateur ∆ ∗ (δ) est inversible d’inverse borné et sup δ≥0 ∆ ∗ (δ) −1∥ ∥ < ∞.L’image de ∆ ∗ (δ) −1 est contenue dans le domaine de B et l’opérateur B∆ ∗ (δ) −1 estborné.On a∆ ∗ (δ)u(0) = 2 V (1)f + [I − V (2)] B −1 χ +∫ 0−1[V (−t) − V (t + 2)] B −1 1p −g(t)dtet donc u(0) appartient au domaine de A et la condition aux limites d’impédance est biendéfinie.5. Majoration de l’erreurOn suppose que g + = 0, f + = 0, g − et f − indépendants de δ et p + et p − indépendantsde δ.Soit u δ la solution du problème avec condition d’impédance⎧u ⎪⎨′′δ (x) + Au δ(x) = − 1 g(x), x ∈ ]−1, 0[ ,p −u δ (−1) = f,⎪⎩ u ′ δ (0 −) − p +T δ (u δ (0)) = 0.p −et u ∗ δla solution du problème avec condition d’impédance approchéeavecu ∗′δ (0 − ) − p +p −T ∗ δ (u ∗ δ(0)) = 0.] −1Tδ ∗ (u ∗ δ(0)) = −δB[1 − δ22 A Bu ∗ δ(0).TAMTAM –Tunis– 2005

Approximation de l’opérateur d’impédance 45La différence w δ = u δ − u ∗ δest solution de⎧⎪⎨⎪⎩wδ ′′(x)+ Aw δ(x) = 0, x ∈ ]−1, 0[ ,w δ (−1) = 0,wδ ′ (0 −) − p +T δ (w δ (0)) = p +(T δ − Tδ ∗ p − p ) (u∗ δ (0)).−Pour estimer w δ il suffit d’estimer u ∗ δ (0) en fonction de g et f et (T δ − Tδ ∗) (u∗ δ (0))en fonction de u ∗ δ (0) et w δ en fonction de la donnée (T δ − Tδ ∗) (u∗ δ(0)). On a alorsavecw δ (x) = −∆ −1 (δ) [V (x + 1)V (1) + V (−x)] B −1 p + (T δ − T ∗ δ ) ∆ ∗ (δ) −1[2V (1)f + v 1 (0) − V (1)v 2 (−1)] .∆(δ) = [I + V (2δ)] −1 {p + [I − V (2δ)] [1 − V (2)] + p − [I + V (2δ)] [1 + V (2)]} .L’opérateur ∆(δ) est inversible et d’inverse borné avec∥∥∆(δ) −1∥ ∥ < ∞.supδ≥0On a∫ 0∆ ∗ (δ)u ∗ δ(0) = 2V (1)f − [V (2 + t) − V (−t)] B −1 g(t)dt.−1On majore l’opérateur B −1 (T δ − Tδ ∗) ∆∗ (δ) −1 en considérant la différence des fonctionsE(δ, z) = 1 − e−2δz1 + e −2δz et E∗ (δ, z) =δz1 + δ 2 z 22. On aE(δ, z) − E ∗ (δ, z) = ( 1 + e −2δz) ) −1−1(1 + δ 2 z22[ (1− e −2δz − 2δz ) )+(δz + δ 2 z2 (1− e−2δz )] .21∣z 2 E(δ, z) − 1 z 2 E∗ (δ, z)∣ ≤ 2(4 + δ |z|)δ21 + 2δ |z| cos θ . 11 − e ≤ −π/(2 tan θ) Cδ2 .Et donc B −2 (T δ − T ∗ δ ) converge vers 0 en norme opératorielle quand δ → 0 (en δ2 ).En utilisant le fait que B −1 et (T δ − T ∗ δ ) commuttent et que B∆∗ (δ) −1 est un opérateurborné (uniformément par rapport à δ) on peut écrireB −1 (T δ − T ∗ δ ) ∆ ∗ (δ) −1 = B −2 (T δ − T ∗ δ ) B∆ ∗ (δ) −1et donc B −1 (T δ − T ∗ δ ) ∆∗ (δ) −1 converge vers 0 en norme opératorielle quand δ → 0 (enδ 2 ).TAMTAM –Tunis– 2005

46 Lemrabet6. Bibliographie[1] N. Bartoli, A. Bendali : Robust and High-Order Effective Boundary Conditions for PerfectlyConducting Scatterers Coated by a Thin Dielectric Layer. IMA Journal of applied Mathematics.[2] A. Bendali, K. Lemrabet : The effect of a Thin Coating on the Scattering of a Time-HarmonicWave for the Helmholtz Equation. SIAM J. Appl. Math., Vol. 56, N o 6, pp. 1664-1693, (1996).[3] G. Dorre, A. Venni : On the Closedness of the Sum of two Closed Operators. MathematischeZeitschrift, 196 (1987), 270-286.[4] G. Dorre, A. Venni : On H ∞ calculus for sectorial and bissectorial operators ; Studia Math. àparaître.[5] K. Lemrabet, R. Labbas, A. Favini et S. Maingot : Study of The limit of Transmission Problemsin a Thin Layer by The Sum Theory of Linear Operators. Revista Matematica UCM à paraître.[6] K. Lemrabet : Etude de divers problèmes de transmission l’origine physique ou mécaniquedans des domaines non réguliers ; Thèse d’état, USTHB, Alger, 1987.TAMTAM –Tunis– 2005

Image restoration and edge detection bytopological asymptotic expansionL. Jaafar-Belaid * , M. Jaoua ** , M. Masmoudi + , M.L. Siala ++** ENIT & LAMSIN, Tunisie. E.Mail : Mohamed.Jaoua@enit.rnu.tn.* ESSTT & LAMSIN, Tunisie. E.mail : lamia.belaid@esstt.rnu.tn.+ Laboratoire MIP, Université Paul-Sabatier, Toulouse, France. E-Mail : masmoudi@mip-upstlse.fr.++ LAMSIN, Tunisie. E.Mail : lassaad.siala@lamsin.rnu.tn.ABSTRACT. A new method for edge detection and image restoration is proposed. This method isbased on topological gradient approach. Experimental results obtained on noisy images will illustratethe capabilities of this promising approach.RÉSUMÉ. Une nouvelle méthode de restauration d’images avec détection de contours est proposée.Cette méthode est basée sur l’approche du gradient topologique. Des résultats expérimentaux obtenussur des images bruitées illustrent les possibilités de cette approche prometteuse dans le domainedu traîtement d’images.KEYWORDS : Topological gradient, topological asymptotic expansion, image restoration, edge detection.MOTS-CLÉS : Gradient topologique, développement asymptotique topologique, restauration d’images,détection de contours.47 TAMTAM –Tunis– 2005

48 Jaafar-Belaid et al.1. IntroductionThe goal of topological optimization is to find the optimal decomposition of a givendomain in two parts: the optimal design and its complementary. Similarly in image processingproblems, the goal is to split an image in several parts. We will show that in imagerestoration the detection of edges makes this operation more convenient.This paper shows that it is possible to solve the image restoration problems using topologicaloptimization tools, in fact images can be viewed as a piecewise smooth functionand edges can be considered as a set of singularities, so topological gradient approach,will be a good method to reconstruct an image where the edges are properly sealed.Let v be a given noisy image defined in a domain Ω ⊂ IR 2 and u the restored image. Werecall that a classical way to restore the image u is to solve the following PDE problem{ −div (c∇u) + u = v in Ω,(1)∂ n u = 0 on ∂Ω,where c is a small positive constant and n denotes the outward unit normal to ∂Ω. Thismethod is well known to give poor results: it smoothes noise and it blurs important structureslike edges. In order to avoid blurring of edges, nonlinear isotropic and anisotropicmethods were introduced, we can cite here the work of Perona and Malik [6], Catté, Lions,Morel and Coll [3] and more recently Weickert [7] and Aubert [2]. Our objectiveis to review this classical way of restoring a given image: we prove that it is exactly theTikhonov regularisation applied to the inversion of a compact operator which we willpresent in section 2. The topological gradient method [5] and its application to imagerestoration is presented in section 3. Some numerical experiments are discussed in section4.2. A classical approach for image restorationLet K be the canonical embedding operator defined byK : H 1 (Ω)/ IR −→ L 2 (Ω)/ IR ,u ↦−→ Ku = u(2)where H 1 (Ω)/ IR and L 2 (Ω)/ IR are the Hilbert spaces given by∫H 1 (Ω)/ IR = {u ∈ H 1 (Ω); u(x)dx = 0}, (3)Ω∫L 2 (Ω)/ IR = {v ∈ L 2 (Ω); v(x)dx = 0}, (4)ΩTAMTAM –Tunis– 2005

Image restoration and edge detection 49and respectively equipped with the following scalars products∫(u 1 , u 2 ) H 1 (Ω)/ IR = ∇u 1 ∇u 2 dx, (5)In order to solveΩ(v 1 , v 2 ) L2 (Ω)/ IR = ∫Ωv 1 v 2 dx. (6)Ku = v, (7)we consider the following minimization problem∫infu∈H 1 (Ω)/ IR|v − Ku| 2 dx. (8)Or, if a minimum u of (8) exists, it necessary satisfies the equationΩK ∗ Ku = K ∗ v, (9)where K ∗ is the adjoint of K. Solving (9) is in general an ill-posed problem, the classicalidea is to regularize it by adding a regularization termThis is called the Tikhonov regularization [4].Theorem 2.1 Problems (1) and (10) are equivalent.(K ∗ K + cI)u = K ∗ v. (10)Remark Theorem 2.1 means that problem (1) is exactly the Tikhonov regularization ofthe inversion of the canonical embedding of H 1 into L 2 .3. Application of the topological asymptotic expansionIn this section, we use the topological gradient as a tool for restoring an image withedge detection.Let Ω be an open bounded domain of IR 2 and j(Ω) = J(u Ω ) be a cost function to beminimized, where u Ω is the solution to a given PDE problem defined in Ω.For a small ρ ≥ 0, let Ω ρ = Ω\σ ρ the perturbed domain by the insertion of a crackσ ρ = x 0 + ρσ(n), where x 0 ∈ Ω, σ(n) is a straight crack, and n a unit vector normal tothe crack.The topological sensitivity theory provides an asymptotic expansion of j when ρ tends tozero. It takes the general formj(Ω ρ ) − j(Ω) = f(ρ)G(x 0 , n) + ◦(f(ρ)) (11)TAMTAM –Tunis– 2005

50 Jaafar-Belaid et al.where f(ρ) is an explicit positive function going to zero with ρ and G(x 0 , n) is the topologicalgradient at point x 0 .For v a given function in L 2 (Ω), we consider the following problem:Find u ρ ∈ H 1 (Ω ρ ) such that{ −div (c∇uρ ) + u ρ = v in Ω ρ ,∂ n u ρ = 0 on ∂Ω ρ ,(12)where n denotes the outward unit normal to ∂Ω ρ and c is a constant function. To preserveedges as much as possible, we look for the leading term ofBy considering p the solution to the adjoint problem∫j(ρ) = J(u ρ ) = ‖∇u ρ ‖ 2 .Ω ρ(13){−div(c∇p) + p = −∂u J(u) in Ω,∂ n p = 0 on ∂Ω,(14)we obtain in the case of a thin crack with boundary condition ∂ n u = 0 on ∂σ(n), thefollowing topological asymptotic expansion.Theorem 3.1 (see ref. [1])We have thatj(ρ) − j(0) = ρ 2 G(x 0 , n) + ◦(ρ 2 ), (15)withG(x 0 , n) = −π(∇u(x 0 ).n)(∇p(x 0 ).n) − π|∇u(x 0 ).n| 2 . (16)The topological gradient could be written aswhere M(x) is the symmetric matrix defined byG(x, n) =< M(x)n, n > (17)M(x) = − ∇u(x)∇p(x)T + ∇p(x)∇u(x) T2− ∇u(x)∇u(x) T . (18)For a given x, G(x,n) takes its minimal value when n is the eigenvector associated to thelowest eigenvalue of M. This value will be considered as the topological gradient.TAMTAM –Tunis– 2005

Image restoration and edge detection 514. Numerical ApplicationsThe algorithm consists in inserting small heterogeneities in regions where the topologicalgradient given by Theorem 3.1 is smaller than a given threshold α < 0. Theseregions represent the edges ω ρ of the image . The final algorithm is as followsAlgorithm- Initialization : c = c 0 .- Calculation of u 0 and v 0 : solutions of the direct (1) and adjoint (14) problems.- Computation of the 2 × 2 matrix M and its lowest eigenvalue λ min at each point of thedomain.- Set{ ε if x ∈ Ω such that λmin < α < 0, ε > 0c 1 =(19)elsewhere.c 0- Calculation of u 1 solution to problem (1) with c = c 1 .From the numerical point of view, it is more convenient to simulate the cracks by a smallvalue of c.Figure 1 shows the restored Self-Portrait Van Gogh using this algorithm: the originalimage, the perturbed image which is obtained with an additive noise (random from MAT-LAB) of 20%, the restored image and the isovalues of the topological gradient.Figure 2 illustrates the importance of the topological gradient for detecting edges. Itshows the original image, the perturbed image, the restored image using the same algorithmand the isovalues of the topological gradient.For solving (1) and (14), we compared the Preconditioned Conjugate Gradient (PGC)and the Gauss Elimination (GE) methods. We used as a preconditioner a discrete cosinetransform. The computation times, on a PC Pentium4, 256 Mo DDR, are given in table 1.Size of the image 100× 100 250 × 250 450 × 450Time of computation/GE 1,76s 106,41s 1,54e+003sTime of computation/PCG 2,26s 11s 28sTable1: Computation times5. ConclusionWe have presented in this work, a new method for image restoration with edge detection.To make this method relevant for real life applications, we considered the Discretecosine transform as a preconditioner for PCG, we have compared different algorithmsto solve linear systems associated to (1) and (14). The extension of this method to otherproblems in image processing like segmentation and classification are under development.TAMTAM –Tunis– 2005

52 Jaafar-Belaid et al.202040406060808010010012012010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1102002040406060808010010012012010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110140120100806040200Figure 1. top left: initial image, top right: noisy image, down left: restored image, downright: edges6. References[1] S. AMSTUTZ, I. HORCHANI AND M. MASMOUDI. , “Crack detection by the topologicalgradient method ”, A paraître dans the special issue of the journal Control and Cybernetics on“Recent Advances in Shape and Topology Optimization”.[2] G. AUBERT AND P. KORNPROBST , “ Mathematical Problems in Image Processing ”, SpringerVerlag, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, (2001).[3] F. CATTÉ, T. COLL, P.L. LIONS AND J.M. MOREL , “ Image selective smoothing and edgedetection by non linear diffusion ”, SIAM J. Numer. Anal. 29, 182-193, (1992).[4] H.W. ENGL AND C.W. GROETSCH , “Inverse and Ill Posed Problems ”, (eds) 1987, NewYork: academic.[5] M. MASMOUDI , “ The Topological Asymptotic ”, Computanional Methods for ControlApplications, Ed. H. Kawarada and J. Périaux, International Series GAKUTO, (2002).[6] P. PERONA AND J. MALIK , “ Scale space and Edge detection detection using Anisotropicdiffusion ”, IEEE transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12, pp629-TAMTAM –Tunis– 2005

10 20 30 40 50 60 70 80Image restoration and edge detection 531010202030304040505060607070808010 20 30 40 50 60 70 8010802070306040504050306020701080 08010 20 30 40 50 60 70 80706050403020100Figure 2. top left: initial image, top right: noisy image, down left: restored image, downright: edges639(1990).[7] J. WEIKERT , “ Anisotropic Diffusion in Image Processing ”.ECMI Series, Teubner, Stuttgart, Germany, (1998).TAMTAM –Tunis– 2005

IIContrôleControl55

Stabilisation et commande des équations deSaint-Venant 1DH. Arfaoui *,*** LAMSIN, Ecole Nationale d’Ingénieurs de TunisB.P.37, 1002 Tunis-Belvédère, Tunisie (hassen.arfaoui@enit.rnu.tn).** ISSAT-Mateur, route de Tabarka 7030 Mateur.RÉSUMÉ. Notre objectif est l’étude de la stabilisation et d’un problème de contrôle optimal des équationsde Saint-Venant linéaires monodimensionnelles. Nous prouvons d’abord que la solution du systèmede Saint-Venant linéaire décroit exponentiellement avec le temps. Nous étudions ensuite le problèmede contrôle optimal frontière régi par ces équations où nous présentons une technique d’étataugmenté pour réduire le nombre de contraintes imposées à la variable de contrôle.ABSTRACT. Our objective is the study of the stabilization and the optimal boundary control of Saint-Venant linear equations. We prove at first that the solution of the system of Saint-Venant linear equationsdecays exponentially in time. We study then the problem of control optimal border governedby these equations where we present a technique of state increased to reduce the number of theconstraints imposed for the variable of control.MOTS-CLÉS : Contrôle optimal frontière, stabilisation, décroissance exponentielle, état adjoint couplé,état augmenté, schéma de Preissmann, gradient conjugué.KEYWORDS : Boundary control, stabilization, decay exponentially, coupled adjoint state, increasedstate, Preissmann’s scheme, conjugate gradient57 TAMTAM –Tunis– 2005

58 Arfaoui1. IntroductionCe travail est consacré à l’étude de la stabilisation du problème de contrôle frontièredes équations de Saint-Venant linéaire en une dimension.Dans la section 2, nous prouvons que la solution du système de Saint-Venant décroitexponentiellement vers zéro quand t tend vers +∞. Nous étudions un problème decontrôle frontière dont la variable contrôle est la condition de Dirichlet sur le bord. L’étudemontre que le contrôle doit satisfaire un certain nombre de contraintes, ce qui rend difficilel’étude du système d’optimalité . Nous présentons, alors, une technique d’état augmenté,et via un changement adéquat de la variable contrôle, nous nous ramenons à un problèmede contrôle équivalent au premier, mais sans contraintes sur le contrôle. Les deux dernièressections sont consacrées à l’étude du système d’optimalité et à la discussion dequelques résultats numériques.2. Problème de Saint-Venant linéaireNous considérons un système linéaire couplé hyperbolique-parabolique de Saint-Venantreprésenté en coordonnées Lagrangiennes :∂ t y − ∂ x z = 0, ∂ t z − ν∂ xx z = a∂ x y dans Ω t (1)z(x, 0) = z 0 (x), y(x, 0) = y 0 (x), dans Ω (2)z(0, t) = 0, z(1, t) = q(t), dans (0, +∞) (3)où Ω t = Ω × (0, +∞), Ω =]0, 1[, ν > 0 et a > 0 étant deux constantes données etla condition initiale y 0 vérifie ∫ Ω y 0(x) dx = 0. La fonction z représente une variationde la vitesse d’écoulement du fluide dans un canal (par exemple) et la fonction y est unevariation de l’inverse de la hauteur d’eau. Dans ce travail, nous prouvons que la solutiondu système couplé décroit exponentiellement en fonction du temps. En fait, ce système estle linéarisé du système de Saint-Venant non-linéaire ([6],[3]) autour d’une solution stablequi sera précisée ultérieurement.Nous établissons un résultat d’existence et d’unicité global d’une solution de ces équationsavec conditions aux limites non-homogènes q sur le bord dans H 1 (0, ∞). Pour cela,nous prenons les hypothèses suivantes : Les conditions initiales (y 0 , z 0 ) ∈ (H 1 (Ω)) 2 etla condition de compatibilité : q(0) = z 0 (1) est remplie. Nous supposons de plus que :Q ∈ L 2 (0, ∞), où Q(t) =∫ t0q(s) ds, t ≥ 0. (4)En fait, l’hypothèse supplimentaire sur la condition initiale y 0 (à moyenne nulle) découlede la propriété conservative du système (1)-(3). Par conséquent, nous avons ∫ y(x, t) = 0Ωquand t tend vers +∞ sous la condition que : ∫ ∞q(t) dt = 0.0TAMTAM –Tunis– 2005

Stabilisation et commande des équations 59Nous énonçons, alors, le théorème ci-dessous dont la démonstration est détaillée dans[2] :Théorème 2.1 soient y 0 ∈ H 1 (Ω), z 0 ∈ H 1 (Ω) et q ∈ H 1 (0, ∞). Alors le système(1)-(3) admet une solution unique (y, z) telle que(y, z) ∈ H 1 (0, ∞; H 1 (Ω)) × L 2 (0, ∞; H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, ∞; L 2 (Ω)).Le système (1)-(3) peut s’écrire sous la forme abstraite suivante : (y ′ , z ′ )(t) = A(y, z)(t)+F (t), (y, z)(0) = (y 0 , z 0 ). Dans ce cas, nous avons le résultat suivant dont la preuve setrouve dans [2] :Théorème 2.2 (e At ) t≥0 est un semi-groupe continu et exponentiellement stable sur L 2 (Ω)×L 2 (Ω), c’est-à-dire qu’il existe une constante ω > 0 telle que‖(y, z)(·, t)‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) ≤ e −ωt ‖(y 0 , z 0 )‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω), ∀ t > 0.3. Contrôle frontière du système de Saint-VenantNous nous intéressons à un problème de commande optimale frontière (de type Dirichlet)du système (1)-(3). Nous agissons sur les conditions de Dirichlet afin d’atteindreun état désiré. Nous proposons donc de minimiser une fonctionnelle coût J dépendant del’état (y, z) et de la commande q et ce en faisant varier q dans un espace admissible U ad .Ainsi le problème de contrôle posé en horizon infini s’écrit comme suit :minq∈U ad{J(y, z, q) := 1 2∫ +∞0‖y(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2∫ +∞0‖z(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2 ‖q‖2 U ad}où le couple (y, z) est solution de (1)-(3) et U ad est l’ensemble des contrôles admissibles :U ad ={q ∈ H 1 (0, ∞), q(0) = z 0 (1),∫ t0q(s) ds ∈ L 2 (0, ∞),∫ +∞0}q(s) ds = 0 .Afin de simplifier l’étude de ce problème, nous proposons de le transformer de la manièresuivante :{1min ˜J(y, z, Q, v) :=v∈L 2 (0,∞)2 ‖y‖2 L 2 (Ω + 1 t)2 ‖z‖2 L 2 (Ω + 1 }t)2 ‖v‖2 L 2 (0,∞) (6)où l’état augmenté (y, z, Q) est solution du système couplé (1)-(3) etQ ′′ + 2Q ′ + Q = v, Q(0) = 0, Q ′ (0) = z 0 (1), (Q est définie par(4)). (7)L’équivalence des deux problèmes est vérifiée sans difficultés notables.(5)TAMTAM –Tunis– 2005

60 ArfaouiLe système adjoint associé au problème (6) est donné par le système couplé :P ′′ − 2P ′ + P = f, P (∞) = 0, P ′ (∞) = 0 (8)−∂ t ϕ + a∂ x ψ = y − Q, −∂ t ψ + ∂ x ϕ = ν∂ xx ψ + z, (9)ψ(∞) = ϕ(∞) = 0, ψ(0, t) = ψ(1, t) = 0, (10)où f = −Q ′ + 2Q + ν∂ x ψ(1, ·) − ϕ(1, ·) et (y, z, Q) est la solution de (1)-(3) et (7).Nous avons le résultat suivant dont les détails de la démonstration sont consignés dans[2].Théorème 3.1 Le problème (9)-(10) admet une solution unique (ϕ, ψ) telle que(ϕ, ψ) ∈ H 1 (0, ∞; H 1 (Ω)) × L 2 (0, ∞; H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) ∩ H 1 (0, ∞; L 2 (Ω)). (11)De plus, pour tout ε > 0, on a(ϕ, ψ) ∈ H 1 2 −ε (0, ∞; H 1 2 +ε (Ω)) × H 1 4 − ε 2 (0, ∞; H32 +ε (Ω)), ε > 0.En outre, il existe une constante γ > 0 telle que(‖(ϕ, ψ)‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) ≤ ‖(y 0 , z 0 )‖ L2 (Ω)×L 2 (Ω) + |Q(t)| 2) e −γt , t > 0.REMARQUE. — Le résultat précédent nous permet de bien définir le second membre fde l’équation (8) et f ∈ L 2 (0, ∞). Par suite, le problème (8) admet une solution uniqueP ∈ H 2 (0, ∞).4. Résultats numériquesLes données : Ω = [0, 1], a = 1.4911, ν = 1.038.10 −2 ,z 0 (x) = 0, y 0 (x) = 1 si x ∈ Ω \ [0.45, 0.55], y 0 (x) = 2 3si x ∈ [0.45, 0.55].La stabilisation se fait par deux batteurs placés aux extrémités du canal qui sont modéliséspar les conditions de Dirichlet aux bords (q 0 , q 1 ). La commande optimale trouvée (enboucle fermée) est représentée dans la figure ci-dessous (figure (2)).L’état stable que nous considérons est donné par y d (x) = 1.038. La fonctionnelle ˜Jchoisie ici est˜J(y, z, Q, v) = 1 2∫ +∞0‖y − y d ‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2∫ +∞0‖z‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2 ‖v‖2 L 2 (0,∞) .Dans la figure (1), nous représentons le profil d’eau sans contrôle (SC) pour les instantst = 6 et t = 7.5. Pour les mêmes instants, nous représentons le profil contrôlé : en boucleouverte (BO) et en boucle fermée (BF).TAMTAM –Tunis– 2005

0 20 40 60 80 100Stabilisation et commande des équations 61(1)(2)1.05751.051B.O, t= 7.5B.O, t= 6B.F, t= 6B.F, t= 7.5S.C, t= 6S.C, t= 7.50.020.01q0q1Hauteur1.044501.038−0.011.03151.025−0.020 200 400 600 800La résolution du problème de stabilisation est faite en deux étapes : résolution du système(1)-(3) puis du problème d’optimisation. Nous avons utilisé une méthode de splittingpour le système (1)-(3) où nous avons utilisé un schéma aux différences finis de Preissmann(inconditionnellement stable) pour la partie transport et un schéma d’Euler implicitepour la partie de diffusion. Pour une discussion exhaustive de ce test ainsi que d’autres expériencesnumériques nous renvoyons à [2] . Notons que, pour la résolution du problèmed’optimisation, nous avons utilisé la méthode du gradient avec la version Polak-Ribière[5].5. ConclusionDans ce travail, nous avons établi un résultat de décroissance exponentielle pour lasolution du système de Saint-Venant linéaire en dimension un. Nous avons proposé aussiune technique d’état augmenté pour résoudre le problème de contrôle associé.En réalité, l’objectif principal est l’étude de la stabilisation locale du système de Saint-Venant non-linéaire pour des données initiales petites. Le travail exposé ici nous sembleutile pour l’étude de la stabilisation locale dans le cas du système de Saint-Venant nonlinéaire[2].6. Bibliographie[1] ABBOTT, M.B. , « Computational Hydraulics, Elements of the theory of free surface flows», Pitman Publishing limited, London,(1979).[2] H. ARFAOUI , « Commande optimale des équations de Saint-Venant en dimension un ». Thèsede doctorat en préparation. LAMSIN-ENIT (Université Tunis-El Manar) et MIP (UniversitéPaul-Sabatier, Toulouse III).TAMTAM –Tunis– 2005

62 Arfaoui[3] H. ARFAOUI , « Commande optimale des équations de Saint-Venant 1D », CIMAIP 2004,Jadida, Maroc, Avril 2004.[4] DENNIS A. LYN AND PETER GOODWIN , « Stability of a general Preissmann scheme »,Journal of Hydraulic engineering, Vol. 113, No. 1, (1987).[5] FLETCHER, R. AND REEVES, C. M. , « Function Minimization by Conjugate Gradients», Comp, J.7, 149-154, 1964.[Advanced article on using conjugate gradient for nonconvexfunctions].[6] G. MATHIEU , « Étude et contrôle des équations de la théorie "shallow water" en dimensionun », thèse de 3 ème cycle, 1998. Labo. MIP, Université Paul-Sabatier, Toulouse III.TAMTAM –Tunis– 2005

Control of the chaotic advection inhydrodynamicT. Benzekri, C. Chandre, R. Lima, M. Vittot ** Centre de Physique ThéoriqueUnité Mixte de Recherche (UMR 6207) du CNRS, et des universités Aix-Marseille I, Aix-MarseilleII et du Sud Toulon-Var. Laboratoire affilié à la FRUMAM (FR 2291),CNRS Luminy, Case 907, F-13288 Marseille cedex 9, France.RÉSUMÉ. Nous présentons une application d’une méthode du contrôle du chaos pour les systèmesHamiltoniens à un modèle d’advection chaotique en hydrodynamique. Cette méthode permet de créerdes barrières à la diffusion chaotique des particules en ajoutant un terme de contrôle petit et simpleà la fonction de courant du système.ABSTRACT. We present a method of control of chaos for Hamiltonian systems. This method is ableto create barriers to chaotic diffusion in a hydrodynamic by adding a small and simple control term tothe streamfunction of the system. More precisely, this work is about the control the chaotic advectionin a two dimensional lateral oscillatory (time periodic) in the Rayleigh Bénard convection.Experiments on time periodic Rayleigh Bénard convection show the presence of chaotic advection.MOTS-CLÉS : Contrôle Hamiltonien, advection chaotique, barrière de transport.KEYWORDS : Hamiltonian control, chaotic advection, barrier transport.63 TAMTAM –Tunis– 2005

64 Benzekri et al.1. Global controlIn Refs.[1, 2], it was proposed a model describing this phenomena based on the followingstreamline :H(x, y, t) = ɛ sin(x + B sin t) sin y, (1)where :ɛ is the maximal vertical velocity in the flow, B is the amplitude of the lateral oscillationsof the velocity field. Let us recall the global control theory as explained in Refs.[3, 4].For a fixed Hamiltonian H 0 , we define the linear operator {H 0 } by :{H 0 }H = {H 0 , H}, (2)where {., .} is the Poisson bracket. We consider a pseudo-inverse of {H 0 }, i.e. a linearoperator Γ such that :We define the resonant operator R as :{H 0 } 2 Γ = {H 0 }. (3)R = 1 − {H 0 }Γ. (4)We note that equation (3) becomes {H 0 }R = 0. A consequence is that any element RVis constant under the flow of {H 0 }.We assume that H 0 is integrable with action-angle variables (A, θ) ∈ R L ×T L , where T Lis an L-dimensional torus i.e. H 0 = H 0 (A). The Poisson bracket between two functionsH and V is given in the usual form :The operator {H 0 } acts on V given by :V = ∑aswhere{H, V } = ∂H∂A · ∂V∂θ − ∂H∂θ · ∂V∂A . (5)H 0 V (A, θ) = ∑k∈Z L V k (A)e iθ.k , (6)k∈Z L iω(A).kV k (A)e iθ.k , (7)ω(A) = ∂H 0∂A . (8)TAMTAM –Tunis– 2005

Control of the chaotic advection 65We choose a pseudo inverse Γ :ΓV (A, θ) =∑k∈Z L ,ω(A).k≠0V k (A)iω(A).k eiθ.k . (9)The operator R is the projector on the resonant part of the perturbation :RV =∑V k (A)e iθ.k . (10)k∈Z L ,ω(A).k=0From these operators defined for integrable part H 0 , we construct a global control termfor the perturbed Hamiltonian H 0 + V , i.e., we construct f such that the controlled HamiltonianH c = H 0 + V + f up to canonical transformations has the same dynamics thanH 0 + RV .We give the following proposition :Proposition 1 For V ∈ A, where A is an algebra of operators in Hilbert space, and Γconstructed from H 0 , we have the following equation : e {ΓV } (H 0 + V + f) = H 0 + RV ,wheref(V ) =∞∑n=1(−1) n(n + 1)! {ΓV }n (nR + 1)V.So we stabilize the perturbed Hamiltonian by a smal control term, well adapted to theproblem.We note that if V is of order ɛ, the control term is of order ɛ 2 . In general, the control termdepends on all the variables A and θ, and acts globally on all phase space.2. Computation of the control termThe autonomous Hamiltonian of the model is H(x, y, E, τ) = E + ψ(x, y, τ), whereψ is given by Eq. (1).H(x, y, E, τ) = E + ɛ sin(x + B sin τ) sin y = H 0 (x, E) + V (x, y, τ), (11)where H 0 (x, E) = E is the integrable part and V the perturbation.The phase space is extended to (x, y, E, τ), where A = (x, E) are the action variablesand θ = (y, τ) the angle. A and θ are canonical conjugate variables.The equations of motion are :ẋ = − ∂H∂y = −∂V ∂y= −ɛ sin(x + B sin τ) cos y,TAMTAM –Tunis– 2005

66 Benzekri et al.ẏ = ∂H∂x = ∂V∂xĖ = − ∂H∂τ ,˙τ = ∂H∂EThe operator {H 0 } is given by := ɛ cos(x + B sin τ) sin y,= 1. (12)since :ω ={H 0 } = ω(A) ·∂∂θ , (13)( ∂H0∂x , ∂H )0= (0, 1) . (14)∂EIn order to calculate the operator Γ, we rewrite V by expanding sin(B sin τ) and cos(B sin τ)as a series of Bessel functions of first kind :cos(B sin τ) = J 0 (B) + 2 ∑ n≥1J 2n (B) cos 2nτ,sin(B sin τ) = 2 ∑ n≥0J 2n+1 (B) sin(2n + 1)τ, (15)so :⎛⎞V (x, y, τ) = ɛ sin y sin x ⎝J 0 (B) + 2 ∑ J 2n (B) cos 2nτ⎠n≥1⎛⎞+2ɛ sin y cos x ⎝ ∑ J 2n+1 (B) sin(2n + 1)τ⎠ . (16)n≥1By applying the operator Γ to V we have :⎛⎞ΓV (x, y, τ) = 2ɛ sin y sin x ⎝ ∑ 12n J 2n(B) sin 2nτ⎠n≥1⎛⎞−2ɛ sin y cos x ⎝ ∑ 1(2n + 1) J 2n+1(B) cos(2n + 1)τ⎠ . (17)n≥0TAMTAM –Tunis– 2005

Control of the chaotic advection 67The action of resonant R on V is given by := V − ɛ sin y sin xJ 0 (B), (18)RV (x, y, τ) = ɛ sin y sin xJ 0 (B). (19)Notice that the resonant operator R does not vanish, so following the Eq. (11) we give thefirst term f 2 of the series (11) which is given by f 2 = − 1 2{ΓV, (R + 1)V }f 2 = − ɛ2 2 sin 2y [(J 0(B) + cos(B sin τ))S o (τ) + sin(B sin τ)S e (τ)] . (20)whereS o (τ) = ∑ n≥0S e (τ) = ∑ n≥112n + 1 J 2n+1(B) cos(2n + 1)τ,12n J 2n(B) sin 2nτ. (21)We remark that the control term f 2 is of order ɛ 2 and does not depend on the action x.The pertubation has a norm (defined by sup x,y,τ | V (x, y, τ) |) of ɛ and the norm of thefirst control term f 2 issup | f 2 (x, y, τ) |= ɛ2x,y,τ2⎛⎞⎝(J 0 (B) + 1) ∑ 12n + 1 J 2n+1(B) ⎠ . (22)n≥0We notice also that for small values of B, the dominant term is the first term of the seriesgiven by S o , we then proposed a simplified control term given by f = f s + O(B 2 )f s = − ɛ2 (J 0 (B) + 1)J 1 (B)2sin 2y cos τ, (23)We have plotted Poincaré sections for ɛ = 0.37 and for B = 0.2. Fig. 1 and Fig. 2 showthe the Poincaré section for initial conditions without control and with simplified term ofcontrol respectively. We note first in Fig. 1 that chaotic advection is observed in a bandaround and between vortices. In Fig. 2, by adding control term which is small about 11%,we observe the reduction of the chaotic diffusion.TAMTAM –Tunis– 2005

0 1 2 3 4 5 668 Benzekri et al.32.52y1.510.50xFigure 1. Poincaré section for Hamiltonian (1) with ɛ = 0.18, B = 0.232.52y1.510.500 1 2 3 4 5 6xFigure 2. Poincaré section obtained by adding the control term (23) to Hamiltonian (1) withɛ = 0.18, B = 0.23. Bibliographie[1] T.H. Solomon, J.P.Gollub, « Chaotic particle transport in time-dependant Rayleigh-Bénardconvection », Phys. Rev. A 36, 1374, (1987).[2] T.H. Solomon, « Transport and Boundary Layers in Rayleigh-Bénard convection », PhD thesis,1990.[3] G. Ciraolo, F. Briolle, C. Chandre, E. Floriani, R. Lima, M. Vittot, C.Figarella and Ph.Ghendrih,« Control of Hamiltonian chaos as a possible tool to control anormalous transport in fusionplasma », Phys. Rev E 69 056213, (2004).[4] M. Vittot, « Perturbation theory and control in classical or quantum mechanics by an inversionformula », J. Phys. A : Math. Gen. 37, 6337, (2004).[5] M. Vittot, C. Chandre, G. Ciraolo and R. Lima, « Localised Control for nonresonant Hamiltoniansystems », Nonlinearity 18, 423, (2003).TAMTAM –Tunis– 2005

A max-plus finite element method forsolving Hamilton-Jacobi equationsM. Akian * , S. Gaubert * , A. Lakhoua *,*** INRIA, Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex, France** ENIT-LAMSIN, BP. 37, 1002 Tunis Belvédère, Tunisie{Marianne.Akian,Stephane.Gaubert,Asma.Lakhoua}@inria.frABSTRACT. We present a max-plus analogue of the Petrov-Galerkin finite element method to solvethe Hamilton-Jacobi equation − ∂v∂v+ H(x, ) = 0. The method relies on a max-plus variational∂t ∂xformulation, and exploits the properties of projectors on max-plus semimodules. We obtain a nonlineardiscretized semigroup, corresponding to a zero-sum two players game. We give an error estimate oforder √ δ + ∆xδ −1 , for a subclass of problems in dimension 1, where δ and ∆x are respectively thetime and space discretization steps. We compare our method with a max-plus based discretizationmethod previously introduced by Fleming and McEneaney.RÉSUMÉ. Nous présentons l’analogue max-plus de la méthode des éléments finis de Petrov-Galerkinpour résoudre l’équation d’Hamilton-Jacobi − ∂v ∂v+H(x, ) = 0. La méthode s’appuie sur une formulationvariationnelle max-plus et utilise les propriétés des projecteurs sur des semi-modules max-plus.∂t ∂xLe semi-groupe discret obtenu est non-linéaire et s’interprète comme l’opérateur de la programmationdynamique d’un jeu déterministe à somme nulle. Nous obtenons une estimation d’erreur de l’ordre de√δ + ∆xδ −1 pour une classe particulière de problèmes en dimension 1, où δ et ∆x sont respectivementles pas de discrétisation en temps et en espace. Nous comparons notre méthode avec uneméthode de discrétisation max-plus introduite par Fleming et McEneaney.KEYWORDS : Max-plus algebra, Hamilton-Jacobi equation, weak formulation, projection, finite elementmethod.MOTS-CLÉS : Algèbre max-plus, équation d’Hamilton-Jacobi, formulation faible, projection, méthodedes éléments finis.69 TAMTAM –Tunis– 2005

70 Akian et al.1. IntroductionWe consider the optimal control problem :maximize∫ T0l(x(s), u(s)) ds + φ(x(T )) (1)over the set of trajectories (x(·), u(·)) satisfyingẋ(s) = f(x(s), u(s)), x(0) = x, x(s) ∈ X, u(s) ∈ U , (2)for all 0 ≤ s ≤ T . Here, the state space X is a subset of R n , the set of control valuesU is a subset of R m , the horizon T > 0 and the initial condition x ∈ X are given, weassume that the map u(·) is measurable, and that the map x(·) is absolutely continuous.We also assume that the instantaneous reward or Lagrangian l : X × U → R, and thedynamics f : X × U → R n , are sufficiently regular maps, and that the terminal reward φis a map X → R ∪ {−∞}. The value function v associates to any (x, t) ∈ X × [0, T ] thesupremum v(x, t) of ∫ tl(x(s), u(s)) ds + φ(x(t)), under the constraint ( 2), for 0 ≤ s ≤0t. Under certain regularity assumptions, it is known that v is solution of the Hamilton-Jacobi equation with initial condition− ∂v∂t∂v+ H(x, ) = 0,∂x(x, t) ∈ X × (0, T ] , (3)v(x, 0) = φ(x), x ∈ X , (4)where H(x, p) = sup u∈U l(x, u) + p · f(x, u) is the Hamiltonian of the problem (see forinstance [2]). The evolution semigroup S t of (3), (4) associates to any map φ the functionv t := v(·, t), where v is the value function of the optimal control problem (1).Maslov [7] observed that the evolution semigroup S t is max-plus linear. Recall thatthe max-plus semiring, R max , is the set R ∪ {−∞}, equipped with the addition a ⊕ b =max(a, b) and the multiplication a ⊗ b = a + b. By max-plus linearity, we mean that forall maps f, g from X to R max , and for all λ ∈ R max , we have S t (f ⊕ g) = S t f ⊕ S t gand S t (λf) = λS t f, where f ⊕ g denotes the map x ↦→ f(x) ⊕ g(x), and λf denotesthe map x ↦→ λ ⊗ f(x). We present here a new discretization method to solve the deterministicoptimal control problem (1), (2), using the max-plus linearity of the semigroupS t . The method relies on a notion of max-plus “variational formulation”, which originatesfrom the notion of generalized solution of Hamilton-Jacobi equations of Maslovand Kolokoltsov [6]. This discretization, which can be interpreted geometrically in termsof projections on semimodules, is similar to the classical finite element method. Thespace of test functions must be different from the space in which the solution is represented,so that our discretization is indeed a max-plus analogue of the Petrov-Galerkinfinite element method. We also compare our method with a max-plus based discretizationTAMTAM –Tunis– 2005

A max-plus finite element method 71method introduced by Fleming and McEneaney in [5]. They approximated the evolutionsemigroup S t by a max-plus linear semigroup acting on a finitely generated semimoduleof functions. Finally, we give an error estimate of the max-plus finite element method indimension 1 and we illustrate the method with a numerical example. More details andnumerical examples can be found in [1].2. Max-plus variational formulationWe now describe the max-plus finite element method to solve the optimal controlproblem (1). Let S t and v t be defined as in the introduction. Using the semigroup propertyS t+t′ = S t ◦ S t′ , for t, t ′ > 0, we have the recursive equation:v t+δ = S δ v t , t = 0, δ, · · · , T − δ (5)with v 0 = φ and δ = T N , for some positive integer N. Let W be a R max-semimoduleof functions from X to R max such that φ ∈ W and for all v ∈ W, t > 0, S t v ∈ W,where R max is the semiring obtained by completing R max with a +∞ element, with theconvention that −∞ is absorbing for the + law. We suppose given a “dual” semimoduleZ of “test functions” from X to R max . The max-plus scalar product is defined by 〈u |v〉 = sup x∈X u(x) + v(x), for all functions u, v : X → R max . We replace (5) by:with v δ , . . . , v T ∈ W.〈z | v t+δ 〉 = 〈z | S δ v t 〉, ∀z ∈ Z, t = 0, δ, . . . , T − δ , (6)3. Ideal max-plus finite element methodWe consider a semimodule W h ⊂ W with generating family {w i } 1≤i≤p . We callfinite elements the functions w i . We approximate v t by vh t ∈ W h, that is v t ≃ vh t =sup 1≤i≤p λ t i + w i, where λ t i ∈ R max. We also consider a semimodule Z h ⊂ Z withgenerating family {z j } 1≤j≤q . The functions z 1 , · · · , z q will act as test functions. Wereplace (6) by〈z j | v t+δh 〉 = 〈z j | S δ vh t 〉, ∀1 ≤ j ≤ q , (7)for t = 0, δ, · · · , T − δ, with vh 0 = φ h ≃ φ and vh t ∈ W h, t = 0, δ, · · · , T .Since Equation (7) need not have a solution, we look for the maximal subsolution, i.e.the maximal solution v t+δh∈ W h of〈z j | v t+δh 〉 ≤ 〈z j | S δ v t h〉 ∀1 ≤ j ≤ q , (8)v 0 h ≤ v 0 . (9)TAMTAM –Tunis– 2005

72 Akian et al.We prove that v t+δh= (P Wh ◦ P op−Z h◦ S δ )(vh t ), whereP Wh (v) = max{w ∈ W h | w ≤ v} and P op−Z h(v) = min{w ∈ −Z h | w ≥ v}.The operator P Wh is the projector on the R max -semimodule W h and the operator P op−Z his the projector on the R min -semimodule −Z h , see [3]. We denote by R min the completeidempotent semiring, obtained by replacing max by min and by exchanging the roles of+∞ and −∞ in the definition of R max .Let us denote by W h the max-plus linear operator from R p max to W: (λ i ) 1≤i≤p ↦→sup 1≤i≤p λ i + w i and by Zh ∗ the max-plus linear operator from W to Rq max: w ↦→ (〈z j |w〉) 1≤j≤q . The maximal solution vh t ∈ W h, t = 0, δ, . . . , T , of the discretized equationis given by vh t = W hλ t where λ t verifiesλ t+δ = (Z ∗ hW h )\(Z ∗ hS δ W h λ t ) , (10)λ 0 = W h \φ . (11)and A\B := max{C | AC ≤ B}.The maps A h := Z ∗ h W h : R p max → R q max and B h := Z ∗ h Sδ W h : R p max → R q max aremax-plus linear operators, and the entries of their corresponding matrices are given, for1 ≤ i ≤ p and 1 ≤ j ≤ q, by:(A h ) ji = 〈z j | w i 〉 and (B h ) ji = 〈z j | S δ w i 〉 (12)4. The effective max-plus finite element methodIn some cases, the matrices A h and B h can be computed analytically. In general,they must be approximated. With an appropriate choice of finite elements, computing A hfrom (12) reduces to a convex (possibly nondifferentiable) optimization problem whichmay be solved by standard algorithms. The Hamilton-Jacobi equation suggests to approximateS δ w by :[S δ w] ∼ (x) = w(x) + δH(x, ∂w ), ∀x ∈ X. (13)∂xThis approximation of S δ w yields an approximation of the matrix B h by the matrix B ∼ h ,whose entries are given, for 1 ≤ i ≤ p and 1 ≤ j ≤ q, by:(B ∼ h ) ji = sup(z j (x) + w i (x) + δH(x, ∂w ix∈X∂x )) .Thus, computing B ∼ hrequires to solve an optimization problem, which is nothing but aperturbation of the optimization problem associated to the computation of A h . We mayexploit this observation by replacing B ∼ hby the matrix B∼∼hwith entries(B ∼∼h ) ji = 〈z j | w i 〉 + δ sup H(x, ∂w ix∈argmax{z j+w i} ∂x ) ,TAMTAM –Tunis– 2005

A max-plus finite element method 73for 1 ≤ i ≤ p and 1 ≤ j ≤ q. Here, argmax{z j + w i } denotes the set of x such thatz j (x) + w i (x) = 〈z j | w i 〉.5. Comparison with the method of Fleming and McEneaneyFleming and McEneaney proposed a max-plus based method [5], which also uses aspace W h generated by finite elements, w 1 , . . . , w p , together with the linear formulation(5). Their method approaches the value function at time t, v t , by W h µ t , where W his as above, and µ t is defined inductively byµ 0 = W h \φ and µ t+δ = ( W h \(S δ W h ) ) µ t ,for t = 0, δ, . . . , T − δ. This can be compared with the limit case of our finite elementmethod, in which the space of test functions Z h generates the set of all functions. Thislimit case corresponds to replacing Zh ∗ by the identity operator in (10), so thatWe prove that W h µ t ≤ W h λ t ≤ v t , for t = 0, δ, . . . , T .λ t+δ = W h \(S δ W h λ t ) . (14)6. Error AnalysisThe error of the finite element method is controlled by the projection errors, ‖P Wh v t −v t ‖ ∞ and ‖P op−Z hv t − v t ‖ ∞ , and by the approximation errors, ‖[S δ w i ] ∼ − S δ w i ‖ ∞ ,and (B ∼∼h) ji − (B ∼ h ) ji. The following theorem gives an error estimate of the effectivemax-plus finite element method implemented with the approximation B ∼∼hof B h , for asubclass of problems in dimension 1.Theorem 1. Let X = [−b, b] ⊂ R. Assume that there exist L > 0 and c > 0 such thatthe value function at time t, v t , is L-Lipschitz continuous and 1 c-semiconvex for all t > 0.Let us choose the finite elements w i , such that w i (x) = − 1 2c (x − ˆx i) 2 , where ˆx i are thepoints of the regular grid (Z∆x) ∩ [−(b + cL), (b + cL)]. Let us choose the test functionsz j , such that z j (x) = −A|x − ˆx j |, A ≥ L, where ˆx j are the points of the regular grid(Z∆x) ∩ [−b, b]. For t = 0, δ, . . . , T , let vh t be the approximation of vt given by theeffective max-plus finite element method, implemented with the approximation B ∼∼hofB h . Then, under regularity assumptions there exists a constant K > 0 such that, for δsmall enough, ‖vh T − vT ‖ ∞ ≤ K( √ δ + ∆xδ ).This error estimate is of the same order as in the case of existing discretization methods,see [4].Example 2. We consider the case where T = 1, φ ≡ 0, X = [−1, 1], U = [−1, 1],l(x, u) = −3(1 − |x|) and f(x, u) = u(1 − |x|). We represent below the solution givenby our algorithm in the case where δ = 0.05, ∆x = 0.02, A = 2 and c = 1.1.TAMTAM –Tunis– 2005

.74 Akian et al.0.0−1.0Exact solutionApproximated solution−2.0−1.0 01.07. References[1] M. Akian, S. Gaubert, A. Lakhoua A max-plus finite element method for solving finite horizondeterministic optimal control problems. In Proceedings of MTNS’04, Leuven, Belgium, 2004and arXiv:math.OC/0404184, April 2004.[2] G. Barles. Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi. Springer Verlag, 1994.[3] G. Cohen, S. Gaubert, and J-P. Quadrat. Kernels, images and projections in dioids. In Proceedingsof WODES’96, Edinburgh, UK, IEE, 1996.[4] M. Falcone. A numerical approach to the infinite horizon problem of deterministic controltheory. Appl. Math. Optim., 15(1):1–13, 1987. Corrigenda in Appl. Math. Optim., 23:213–214,1991.[5] W. H. Fleming and W. M. McEneaney. A max-plus-based algorithm for a Hamilton-Jacobi-Bellman equation of nonlinear filtering. SIAM J. Control Optim., 38(3):683–710, 2000.[6] V. N. Kolokoltsov and V. P. Maslov. The Cauchy problem for the homogeneous Bellmanequation. Soviet Math. Dokl., 36(2):326–330, 1988.[7] V.P. Maslov. Méthodes Operatorielles. Mir, Moscou, 1973. French Transl. 1987.TAMTAM –Tunis– 2005

An adaptative antidissipative method foroptimal control problemsO. Bokanowski * , N. Megdich ** , H. Zidani *** Lab. Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 175 Rue Chevaleret 75013 Paris,France. Email: boka@math.jussieu.fr ** ENSTA, UMA, 32 Boulevard Victor, 75739 Paris Cedex15, France. Emails: {Nadia.Megdich, Hasnaa.Zidani}@ensta.frABSTRACT. We deal with numerical methods for HJB equations. These equations come from optimalcontrol problems with state constraints.More precisely, we present here an antidissipative scheme applyed on an adaptative grid.The adaptativegrid is generated using linear quadtree structure. This technique of adaptation facilitates stockingdata and dealing with big numerical systems.RÉSUMÉ. On étudie des méthodes numériques pour les équations HJB provenant des problèmes decontrôle optimal avec contraintes sur l’état. Plus précisèment on présente un schéma antidissipatif surune grille adaptative. La grille adaptative est générée en utilisant la structure des quadtree linéaires.Cette technique facilite le stockage et la maniabilité des mailles.KEYWORDS : optimal control problems, HJB equations, antidissipative scheme, linear quadtree.problèmes de contrôle optimal, équations HJB, schéma antidissipatif, quadtree li-MOTS-CLÉS :néaire.75 TAMTAM –Tunis– 2005

76 Bokanowski et al.1. General frame work: motivationWe deal with optimal control problems with state constraints in finite horizon:P x,s⎧⎨⎩min ϕ(y x,s (T )),ẏ x,s (t) = f(y x,s (t), u(t)) for t ∈ [s, T ] and y x,s (s) = x, x ∈ IR nu(t) ∈ U a.e .where ϕ : IR n → IR is bounded lower semi continuous, f : IR n × IR m → IR n is boundedlipshitz, U is a compact of IR m and y x,s is the trajectory starting at x at time s and evolvingunder the control u.Let us define the value function: V (x, s) = val P x,s .If we set W (x, s) = V (x, T − s), then W is a solution in a viscosity sense [1]-[2] of theHamilton-Jacobi-EquationW t (x, t) − minu∈U [f(x, u).W x(x, t)] = 0, W (x, 0) = ϕ(x), x ∈ IR n . (1)We are interested in solving the above HJB equation and then reconstructing the optimaltrajectories for P x,s . In our case, the exact value function is discontinuous. Thisoccurs in the case of “Rendez-Vous problem” where the aim is to reach a target C at agiven time T. The associated final cost ϕ satisfies{0 if ∃u such that yx,s (T ) ∈ C,ϕ(x) =1 otherwise.Note that finite difference and semi-lagrangian schemes give good approximations of thevalue function when it is continuous. In fact the numerical diffusion induced by interpolationin these schemes stands acceptable in this case. But as we deal with discontinuousvalue functions, such schemes become no more suitable.In our approach, we use an antidissipative scheme for HJB equations with discontinuoussolutions. This scheme is called UltraBee scheme. It was studied by Désprès andLagoutière [4] for transport equations and generalized by Bokanowski and Zidani [3] forHJB equations. An interesting feature of the UltraBee scheme is a uniform convergenceproperty with respect to time (satisfied by noother known scheme) and an exact advectionproperty for a particular class of step functions.Our idea is to use the UltraBee scheme on an adaptative grid. This choice is motivatedby many practical and numerical reasons: the UltraBee scheme approximates naturallydiscontinuities with a very good precision. As we apply it on an adaptative grid, we gainan additional precision and optimize the number of cells on the grid. Management of thegrid cells is facilitated by the use of linear quadtrees. We apply our method to an optimalTAMTAM –Tunis– 2005

A method for optimal control problems 77control problem with a discontinuous value function in dimension 2.2. The UltraBee schemeFirst we consider a linear advection equation with positive constant velocity a.v t (x, t) + a.v x (x, t) = 0, v(x, 0) = v 0 (x), x ∈ IR, t ∈ IR + .Let us introduce some usefull notations for the discretization of the transport problem.∆t will express the time step, ∆x the space step of a regular grid G and ν j the local CFLnumber at cell jν j = a∆t∆x .The UltraBee scheme is a finite volume scheme of typev n+1j= vj n − ν j (v n,L − v n,R ), vj+ 1 2 j− 1 j 0 =2∫ xj+ 12x j− 12v 0 (x)dx, ∀j ∈ IZ, (2)∆xwhere v n,L and v n,R are numerical flux between cells j and j + 1. When the velocity isj+ 1 2 j+ 1 2positive and does not change sign v n,Lj+ 1 2= v n,R = v n , wherej+ 1 j+ 1 22v n j+ 1 2= v n,L = v n,R = vj+ 1 2 j+ 1 j n + 12 2 (1 − ν j)ρ n j+(v 1 j+1 n − vj n ); (3)2with ρ n j+ 1 2= ρ(r n , νj+ 1 j ) = max[0, min( 2 ν2jr n 2,j+ 1 1−ν2 j)], and r n j+ 1 2= vn j −vn j−1v.j+1 n −vn jLet us introduce some additional notations:{ mn= min(vj+ 1 j n, vn j+1 ) , M n = max(v2j+ 1 j n, vn j+1 ),2b n,+j = 1 ν j(v n j − M n j− 1 2) + M n j− 1 2, B n,+j = 1 ν j(vj n − mn ) + m n .j− 1 2 j− 1 2Désprès and Lagoutière proved that the v n j+ 1 2defined in [3] is also given bymin |v n j+ 1 2− vj+1| n under constraint b n,+j ≤ v n j+≤ B n,+1 j .2Hence, the constraint being linear, the flux takes just three values (always in the casea > 0)⎧= b ⎪⎨n,+j if vj+1 n ≤ bn,+ j ,⎪⎩v n j+ 1 2v n j+ 1 2v n j+ 1 2= v n j+1 if b n,+j= B n,+j if B n,+≤ vj+1 n ≤ Bn,+ j ,(4)j ≤ vj+1 n .TAMTAM –Tunis– 2005

78 Bokanowski et al.One interesting property of the UltraBee scheme is exact advection for some class ofstep functions. Exact advection means that the computed value v n j satisfiesv n j =∫ xj+ 12v(t n , x)x j−∆x12dx, ∀n ∈ IN, ∀j ∈ IZ,v(t, x) = v 0 (x − at) being the exact solution of the advection problem. Uniform convergencewith respect to time for this class of functions is another important property. Let’sset v G (t n , x) = ∑ j∈IZ vn j 1 [x j− 12,x j+ 12[(x), ∀n ∈ IN, ∀x ∈ IR. Then we havefor t n = n∆t and for any n ≥ 1.||v G (t n , .) − v(t n , .)|| L1 (IR) ≤ 3∆xT V (v 0 ),The UltraBee scheme was generalized by Bokanowski and Zidani for a velocity ofchanging sign and applied on a regular grid to solve HJB equations. Let us first considerthe equationv t (x, t) + a(x).v x (x, t) = 0, v(x, 0) = v 0 (x), x ∈ IR, t ∈ IR + ,and introduce the notationsb n,−j = 1|ν j | (vn j − M n j+) + M n 12 j+, B n,−1 j = 12|ν j | (vn j − m n j+) + m n 12 j+. 12The CFL number becomes ν j = a(xj)∆t∆x. The generalization is defined as follows:1) If ν j > 0 then v n,Lj+ 1 22) If ν j < 0 then v n,Rj− 1 2= min(max(vj+1 n , bn,+ j ), B n,+j ).= min(max(vj−1 n , bn,− j ), B n,−j ).3) If ν j ≤ 0 and ν j+1 ≥ 0 then v n,R = vj+ 1 j+1 n and vn,L = v2j+ 1 j n.24) If ν j ν j+1 > 0 then v n,R = v n,L (if νj+ 1 2 j+ 1 j > 0) or v n,L = v n,R (if ν2j+ 1 2 j+ 1 j+1 < 0).2The application to the HJB equation (1) at a given time t n consists in the followingsteps:1) We choose Nu ∈ IN and discretize the set of controls U into Nu values:U disc = {u 1 , u 2 , ..., u Nu }.2) For each u i ∈ U disc , we compute by UltraBee scheme the numerical solutionof v t (x, t) + (−f(x, u i )).v x (x, t) = 0 and obtain (v n+1,ij ) j∈Z .3) We take v n+1j = min ui∈U discv n+1,ijthe HJB equation (1) at t n+1 .∀j ∈ IZ which is the numerical solution ofTAMTAM –Tunis– 2005

A method for optimal control problems 79Although we don’t have yet a proof of convergence of the UltraBee generalized to HJBequations (we are investigating in this direction), numerical tests give encouraging resultsand computations are simple to implement.3. Linear quadtreesAs we deal with adaptative grids, we look for a technique that facilitates stocking andfinding data relative to each cell of the grid. This technique is explained by Gargantini [5]and called linear quadtree. If we represent our final adapted grid by a tree, each cell is aleaf (final node of the tree) and the initial big quadrant (before adaptation) is the root ofthe tree. The method of stocking data using quadtrees is based on coding each leaf of thetree with a quaternary function. This code representation is implicitly the path from theroot to the concerned leaf.In fact every code is composed of 0,1,2,3. when dividing a cell into four subcells, the NWquadrant is indexed by 0, the NE by 1,the SW by 2 and the SE by 3 (as shown in figure.1).0 123Figure 1. Refinement of a cell by quadtreesOur contribution consists in finding suitable criterion based on mean values (welladapted to the fact that UltraBee scheme transports mean values on each cell) to refineand adapt the initial computation domain. The refinement test deals with a comparisonbetween the value on a given cell jand its neighboring cells values: j is refined if its valueis not equal to all of the values of its neighbors.A regularization step is introduced to get an “homogeneous” grid where the differenceof level of refinement between two neighboring cells is 1 at most. We also introduce amaximal level of refinement (which depends on the required precision). Usual stoppingtests for continuous functions rely on a tolerance of approximation. This is not suitable inour case: in the neighborhood of discontinuities the tolerance would never be reachedTAMTAM –Tunis– 2005

80 Bokanowski et al.4. Numerical examplesWe test our method for the HJB equation (1) with the initial condition{ 0 if (x − 0.4)ϕ(x, y) =2 + (y − 0.4) 2 ≤ 0.1 2 or (x − 0.6) 2 + (y − 0.6) 2 ≤ 0.1 2 ,1 otherwise,the dynamicsf(x, y, u) = (−y + cos(u), x + sin(u)),and the set of controls U = [0, 2π]. In these numerical tests, we take Nu = 8, the domainof computations is D = [0, 1] × [0, 1], and the maximal level of refinement is 6.We visualise the exact solution and the numerical solution computed on each cell.Thenumerical initial condition is the L 1 projection of ϕ on the grid and it is the same asthe projected exact solution (figure.2). In figure.3 the graphic on the right shows the L 1projection of the exact solution on each cell, the one on the left shows the computednumerical solution.Figure 2. Initial condition at t=0 and initial mesh,number of cells=562.Figure 3. Exact solution and numerical solution at t=0.12,number of cells=991.TAMTAM –Tunis– 2005

A method for optimal control problems 81White cells in the graphs represent null values, dark gray cells represent values between0 and 1 and light gray cells represent value 1. In this example the adaptative gridhas about 1000 cells whereas a regular equivalent grid would have 4096 cells: the gain is4 when using an adptative grid. But this gain is more important when we choose a highermaximal level of refinement. For instance it is of the order 100 for a maximal level=10.Note also that the discontinuity of the exact solution and the one of the numerical solutionlie in the same cell: the numerical solution localises the right cell where the discontinuitylies: this is the antidissipative behavior of the scheme.5. References[1] M.BARDI, I.CAPUZZO-DOLCETTA, “Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations.”, Systems and Control: Foundations and Applications.Birkhäuser,Boston, 1997.[2] G.BARLES, “Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi.”, Mathématiques etapplications. Springer, Paris,17, 1994.[3] O.BOKANOWSKI, H.ZIDANI, “Anti-dissipative schemes for advection and application toHamilton-Jacobi-Bellmann equations.”, Preprint, INRIA Report RR-5337, 2004.[4] B.DÉSPRÈS, F.LAGOUTIÈRE, “ Contact discontinuity capturing schemes for linear advectionand compressible gas dynamics.”, J.Sci. Comput. 16(2001), 479-524.[5] I.GARGANTINI, “ An effective way to represent quadtrees.”, Communications of the ACM,25-12(1982), 905-910.TAMTAM –Tunis– 2005

Sur les problèmes de contrôle optimalfrontière pour l’équation de la chaleurH. Metoui ** ENIT-LAMSIN & ISI-EL MANARB.P.37, 1002 Tunis-Belvédère, Tunisie (hajer.metoui@enit.rnu.tn).RÉSUMÉ. Notre objectif est d’analyser un problème de contrôle frontière de l’équation de la chaleurdéfinie avec une condition de Dirichlet dans L 2 . Nous établissons une approche variationnelle adéquateau problème de contrôle frontière. Afin de prendre en compte la condition de Dirichlet, nousadoptons une procédure de pénalisation. Nous étudions la convergence de la solution optimale pénaliséevers celle du problème initial. Un test numérique est discuté pour valider la convergence.ABSTRACT. Our goal is to give a detailed analysis of an optimal control problem where the controlvariable is a rather boundary condition of Dirichlet type in L 2 . We focus on establishing an appropriatevariationnel approach to the optimal problem. We use the penalization method for the boundary controlproblem and we study the convergence between the penalized and the non-penalized boundarycontrol problem. A numerical result is reported on to validate the convergence.MOTS-CLÉS : Contrôle optimal frontière, Condition de Dirichlet peu régulière, Méthode de pénalisationpar Robin, approche variationnelle.KEYWORDS : Boundary control, non smooth Dirichlet condition, Robin penalization, variational approach.TAMTAM –Tunis– 2005 82

Problème de contrôle optimal 831. IntroductionLes problèmes de contrôle optimal occupent une place prépondérante dans plusieursthèmes de la physique. En effet, agir sur une équation aux dérivées partielles à travers laminimisation d’une fonctionnelle coût afin d’amener l’état du système à un état prédéfiniest un souci permanent dans l’ingénierie. Nous étudions dans ce travail, un problèmede contrôle frontière qui consiste à minimiser une fonctionnelle critère, dépendant d’uneobservation terminale de la solution du problème de la chaleur avec une condition de Dirichletpeu régulière dans L 2 (frontière). Ce problème a été étudié par I. Lasciecka et R.Triggiani [6] en utilisant la théorie des semi-groupes et les opérateurs de Ricatti. L’apportdans ce travail réside essentiellement en une analyse claire et simple développée dans lasection 2, en se basant sur une approche variationnelle standard. Le but étant de généralisercette approche à un problème de contrôle optimal régi par l’équation de Burgers.Cette approche variationnelle nous semble mieux adaptée et surtout plus facile à généraliserau cas non linéaire. Pour tenir compte de la condition de Dirichlet peu régulière,nous appliquons la méthode de pénalisation, introduite dans [1], au problème de contrôleoptimal frontière et nous étudions dans la section 3 la convergence de la solution optimalepénalisée vers celle de Dirichlet. Cette technique de pénalisation a été utilisée dans diverstravaux ([2], [3], [5] et [7]).2. Problème de Contrôle DirichletNous nous proposons de minimiser une fonctionnelle objectif qui dépend de l’état ysolution de l’équation de la chaleur avec une condition aux limites de type Dirichlet peurégulière qui représente la variable contrôle (u ∈ L 2 (Σ)). Pour cela, on considère Ω undomaine borné de IR 2 à frontière régulière Γ, T est un réel > 0 tel que Σ = Γ×]0, T [, Jest la fonction objectif et ∂y désigne la dérivée partielle par rapport à la variable temps t.∂tLe problème de contrôle s’écrit :⎧⎪⎨(P T )⎪⎩min J(y, u)u∈L 2 (Σ)∂y− ∆y = 0 dans Q = Ω×]0, T [,∂ty = u sur Σ,y(0, .) = 0 dans Ω.(1)Naturellement, avant d’entamer l’étude du problème de contrôle (1), nous nous intéressonsaux équations qui constituent les contraintes de notre problème. Nous adoptons uneformulation variationnelle qui donne un sens mathématique précis à l’équation de la cha-TAMTAM –Tunis– 2005

84 Metouileur lorsque u est dans L 2 (Σ). La fonction y est solution faible de l’équation de la chaleursi elle est l’unique solution de la formulation variationnelle :∫y (− ∂zQ ∂t∫Σ− ∆z) dxdt = − u ∂z dΣ, ∀z ∈ H(Q) avec z(T ) = 0, (2)∂noù H(Q) = L 2 (]0, T [; H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) ∩ H 1 (]0, T [; L 2 (Ω)).En s’appuyant sur la référence [8], l’opérateur (− ∂ − ∆) réalise un isomorphisme de∂tl’espace H(Q) dans L 2 (Q). Grâce au lemme de Lax-Milgram, nous établissons l’existence,l’unicité et la stabilité da la solution y ∈ L 2 (Q) du problème (2). Notons aussi quecette solution y ∈ C([0, T ]; H −1 (Ω)) et vérifie (cf. [8]) :‖y‖ C([0,T ];H −1 (Ω)) + ‖y‖ L2 (Q) ≤ C‖u‖ L2 (Σ), (3)où C est une constante > 0.Notons enfin, qu’en général, y /∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)). Le problème de contrôle auquel nousnous intéressons dans ce travail est :{inf J(y, u)(P T ) u∈V (4)avec y solution de (2),{}où V = u ∈ L 2 (Σ), y u (T ) ∈ L 2 (Ω) et la fonction objectif est donnée par :J(y, u) = 1 ∫) − y T )2 Ω(y(T 2 + 1 ∫u 2 , (5)2 Σoù y u est la solution de (2) associée à u et y T un profil fixé dans L 2 (Ω).La particularité du problème optimal (P T ) est étroitement liée à l’expression de la fonctionobjectif. En effet, dans J apparaît la norme L 2 (Ω) de y(T ). Cette régularité n’est pasforcément acquise pour u quelconque dans L 2 , puisque y solution de l’équation (2) n’estpas nécessairement dans C([0, T ]; L 2 (Ω)) comme nous l’avons signalé ci-dessus. C’estpourquoi, nous avons choisi de chercher la commande optimale u dans V.En s’appuyant sur des résultats classiques d’optimisation et en munissant V de la normenaturelle (‖u‖ 2 V = ‖u‖2 L 2 (Σ) + ‖y u(T )‖ 2 L 2 (Ω) ), on montre que le problème (P T ) admetune solution unique qu’on notera ū. Nous nous intéressons dans la suite à l’étude desconditions d’optimalité associées au problème (P T ). Ces conditions sont données par :∫∫(ȳ(T ) − y T )y v (T ) dx + ūv dΣ = 0, ∀v ∈ V, (6)ΩΣoù ȳ (resp. y v ) est la solution du problème (2) associé à ū (resp. v).Pour la résolution numérique de (6), nous sommes amenés à résoudre dans chaque directionv ∈ V un problème de Dirichlet vérifié par y v , ce qui est coûteux. Nous introduisonsalors l’état adjoint associé au problème (P T ), qui est solution de :− ∂p∂t − ∆p = 0 dans Q, p = 0 sur Σ, p(T ) = y(T ) − y T dans Ω. (7)TAMTAM –Tunis– 2005

Problème de contrôle optimal 85Théorème 1 Soit ū la solution de (6), le couple (ȳ, ¯p) formé par l’état optimal et l’étatadjoint est l’unique solution problème mixte suivant : chercher (ȳ, ¯p) ∈ L 2 (Q) × W (Q)tel que ∀(q, z) ∈ L 2 (Q) × W (Q), on ait :( ∂ ¯p∂n , ∂z∂n ) + (¯p(T ), z(T ))L 2 L2 (Ω) + ( −∂z(Σ)∂t − ∆z, ȳ) = −(y T , z(T ))L 2 L2 (Ω) ,(Q)(− ∂ ¯p∂n − ∆¯p, q) = 0,L 2 (Q){avec, W (Q) = z ∈ L 2 (]0, T [; H0 1 (Ω)) ∩ H 1 (]0, T [; H −1 ∂z(Ω));∂n ∈ ∂zL2 (Σ),}∂t +∆z ∈ L 2 (Q) , muni de la norme suivante :‖z‖ 2 W (Q) = ‖z(T )‖2 L 2 (Ω) + ‖ ∂z∂n ‖2 L 2 (Σ) + ‖∂z ∂t + ∆z‖2 L 2 (Q) .De plus, on a :‖ȳ‖ L2 (Q) + ‖¯p‖ W (Q) ≤ C‖y T ‖ L2 (Ω).3. Problème de Contrôle pénalisé (ou Robin)La méthode de pénalisation que nous utilisons est plus adaptée à l’implémentation numériquede la condition de type Dirichlet lorsque nous utilisons la méthode des élémentsfinis pour résoudre le problème de contrôle optimal frontière auquel nous nous intéressons.Cette technique de pénalisation consiste à remplacer la condition de Dirichlet parune condition limite de type Robin faisant intervenir un paramètre ε censé tendre verszéro. Le problème de contrôle pénalisé que nous considérons est donné par :⎧min J(y ε, u)u∈L 2 (Σ)⎪⎨ ∂y ε(P ε,T ) ∂t − ∆y ε = 0 dans Q = Ω×]0, T [,ε ∂y (9)ε⎪⎩ ∂n + y ε = u sur Σ = Γ×]0, T [,y ε (0, .) = 0 dans Ω.L’approche de pénalisation permet de régulariser la solution de l’équation d’état pénalisée: Pour tout u ∈ L 2 (Σ), y ε ∈ L 2 (]0, T [; H 1 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L 2 (Ω)). Ainsi, en utilisantdes outils classiques de problème de minimisation, on montre que le problème (9) admetune solution unique ū ε ∈ L 2 (Σ). Par ailleurs, nous écrivons les conditions d’optimalitéen se basant sur la méthode de l’adjoint. Nous montrons que le contrôle optimal est lié àl’état adjoint pénalisé par la relation : ū ε = ∂ ¯p ε∂n .(8)TAMTAM –Tunis– 2005

86 MetouiThéorème 2 Soit ū ε le contrôle optimal pénalisé, le couple (ȳ ε , ¯p ε ), formé par l’état optimalpénalisé et l’état adjoint pénalisé est l’unique solution du problème mixte suivant :chercher (ȳ ε , ¯p ε ) ∈ L 2 (Q) × W ε (Q) avec ∀(q, z ε ) ∈ L 2 (Q) × W ε (Q)( ∂ ¯p ε∂n , ∂z ε∂n ) L 2 (Σ)+ (¯p ε (T ), z ε (T )) L2 (Ω)+( − ∂z ε∂t − ∆z ε, ȳ ε )L 2 (Q)= −(y T , z ε (T )) L2 (Ω)(10)(− ∂ ¯p ε∂t − ∆¯p ε, = 0,q)L 2 (Q)où,W ε (Q) = {z ε ∈ L 2 (]0, T [; H 1 (Ω)) ∩ H 1 (]0, T [; H −1 (Ω)),∂z ε∂n + z ε = 0,∂z ε∂t + ∆z ε ∈ L 2 (Q)},muni de la norme :‖z ε ‖ 2 W ε(Q) = ‖z ε(T )‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂z ε∂n ‖2 L 2 (Σ) + ‖∂z ε∂t + ∆z ε ‖ 2 L 2 (Q) .De plus, on a :‖ȳ ε ‖ L2 (Q) + ‖¯p ε ‖ Wε(Q) ≤ C‖y T ‖ L2 (Ω). (11)où C est une constante indépendante de ε.Enfin, nous montrons le résultat de convergence suivant :Théorème 3 La solution optimale pénalisée (ȳ ε , ū ε , ¯p ε ) ∈ L 2 (Q) ∩ L 2 (Σ) ∩ W ε (Q)converge fortement vers celle de Dirichlet (ȳ, ū, ¯p) ∈ L 2 (Q) ∩ L 2 (Σ) ∩ W (Q).4. Résultat NumériqueOn illustre dans cette section un test numérique concernant la convergence de la solutionoptimale pénalisée vers celle de Dirichlet, lorsque ε vers zéro. Nous considérons lasolution exacte du problème de contrôle (4) et (5) donnée par :ȳ(x 1 , x 2 , t) = 4πexp (x1+x2+2t) + r 2 3 sin2θ3et ū(x 1 , x 2 , t) = (ȳ(x 1 , x 2 , t)) |Σ ,où r et θ sont les coordonnées polaires d’un point M(x 1 , x 2 ) dans Ω = [0, 1] 2 \ [0, 1 2 ]2 ,r étant la distance entre M(x 1 , x 2 ) et O(0, 0), et θ est l’angle entre (OA) et (OM) oùTAMTAM –Tunis– 2005

Problème de contrôle optimal 87A( 1 2 , 0).Nous représentons les courbes d’erreurs représentant l’écart entre les solutions approchéesassociées au problème de contrôle Robin et les solutions excates Dirichlet, cecirespectivement sur l’état et le contrôle.L2(L2) (état, pente=0.9)L2(H1) (état, pente=0.65)L2(L2) (contrôle, pente=1.0)10 −110 −2erreurs10 −310 −410 −510 −3 10 −2 10 −1 10 0epsilonLa figure ci-dessous montre la décroissance des erreurs à chaque fois que le paramètrede pénalisation ε décroit. Les pentes calculées dans ce cas sont de 0.9 pour la normeL 2 (Q), de 0.65 pour la norme L 2 (]0, T [; H 1 (Ω)) sur l’état et de 1.0 pour l’erreur L 2 (Σ)sur le contrôle,5. Pour conclureDans ce travail, nous avons adopté une approche variationnelle adéquate au problèmede contrôle optimal frontière considéré. L’objectif étant d’étendre cette approche au casd’un problème de contrôle optimal frontière régi par une équation de type Burgers. Pourdes raisons de prise en compte efficace de la condition de Dirichlet peu régulière, nousavons considéré le problème pénalisé. Nous avons étudié la convergence de la solutionoptimale pénalisée vers celle de Dirichlet. Un test numérique validant cette convergenceest évoqué ci-dessus.6. Bibliographie[1] I. BABUSKA , « The finite element method with penalty », Math. Comp, 27, p. 221–228,1973.[2] F. BEN BELGACEM , H. EL FEKIH , H. METOUI , « Singular perturbation for Dirichletboundary control of elliptic problems », Modélisation Mathématique et Analyse Numérique,M2AN, 37 p. 833-850,(2003).[3] F. BEN BELGACEM , H. EL FEKIH, J.P. RAYMOND, « A penalized Robin approch for solvinga parabolic equation with nonsmooth dirichlet boundary conditions », Asymptotic analysis, 34(2), 121-136, 2003.[4] F. BREZZI , M. FORTIN , « Mixed and Hybrid Finite Element Methods », Springer, Verlag,1991 .TAMTAM –Tunis– 2005

88 Metoui[5] L.S. HOU, S.S. RAVINDRAN, « Numerical approximation of optimal flow control problemsby a penalty method : error estimates and numerical results », SIAM Control Optim, 20, 1795-1814, 1998.[6] I. LASCIECKA , R. TRIGGIANI , « Dirichlet boundary control problem for parabolic equationswith quadratic cost analyticity and Ricatti’s feedback synthesis », SIAM J. Math. Optim, 21-41. (1983)[7] I. LASCIECKA , J. SOKOLOWSKI , « Semi discrete approximation of hyperbolic boundaryvalue problem with nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions », SIAM J. Math. Anal,20, 1366-1387, 1989.[8] J.L. LIONS , E. MAGENES , « Problèmes aux limites non homogènes et application », Springer,Vol 1, 1972.TAMTAM –Tunis– 2005

IIIEnvironnementEnvironment89

Système d’information intégré adaptatif sousWeb pour la gestion et la modélisation desressources hydriquesPartie A : Concept et architecture logicielle*F. El Dabaghi a , M. Bechchi a,ba INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.b Ecole Mohammedia d’Ingénieurs, BP 765, Rabat, Maroc.* Ce travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WADI 1 , des Programmesd’Actions Intégrées CMIFM 1 , CMEP 2 et PLATON 3 .1 WADI : WAter supply watersheD planning and management : An Integrated approach.2 CMIFM : Coopération Franco-Marocain : MA/01/03.3 CMEP : Coopération Franco-Algérienne : 01 MDU 529.4 PLATON : Coopération Franco-Grecque : 05572UB.RÉSUMÉ. On présente dans ce travail une synthèse d’analyse de l’état de l’art pour lamise en place du S2IAW (Système d’Information Intégré Adapté sous Web) dédié à la gestionet la modélisation des ressources hydriques. Ce système est une extension naturelle duS2IW-WADI 4 vers une architecture incluant l’adaptation et la personnalisation en fonction del’utilisateur et du contexte d’utilisation; elle doit fournir à l’utilisateur une vue globale oualors de différentes vues selon son profil ou son besoin. Un des outils clé du S2IAW est leSRIP (Système de Recherche d’Information Personnalisé) à la fois dynamique et évolutifutilisant la notion de retour de pertinence, et dont l’idée motrice est la combinaison requêterésultat-utilisateur.Ce SRIP opère sur des ontologies dynamiques constituées autour d’unthésaurus basé sur des substituts de documents de l’entrepôt de données caractérisé par uncontenu fortement hétérogène et distribué.MOTS CLES Système d’information intégré, WEB, moteur de recherche et d’indexation, Profilutilisateur, Ontologie du domaine, thésaurus, Substitut de document, ressources hydriques.ABSTRACT. We present in this work an analysis synthesis of the state of the art for setting up anAdaptive Integrated Information System under Web (AIISW) dedicated to the management and themodeling of the hydrous resources. This system is a natural extension of the IISW -WADI towardsan architecture including the adaptation and personalization according to the user and to profile orthe context of use; it must provide to the user a total sight or then various partial views according to1 WADI : WAter supply watersheD planning and management : An Integratedapproach.1 CMIFM : Coopération Franco-Marocain : MA/01/03.2 CMEP : Coopération Franco-Algérienne : 01 MDU 529.3 PLATON : Coopération Franco-Grecque : 05572UB.91 TAMTAM –Tunis– 2005

92 El Dabaghi et al.its needs. One of the key issue of the AIISW is the PIRS (Personalized Information System ofResearch) dynamic and evolutionary using the concept of relevance feedback, and whose drivingidea is the combination request-result-user. This PIRS operates on dynamic ontologies built arounda thesaurus based on substitutes of documents of the data warehouse characterized by stronglyheterogeneous and distributed contents.KEYWORDS : Integrated Information System, WEB, search and indexing engine, User profile,Ontology of the field, thesaurus, Substitute of document, hydrous resources.1. Du S2IW vers S2IAW : Motivation et architectureLe S2IW (Système d’Information Intégré sous Web) [6] [7] est une application typeClient/Serveur, développée sous Apache-Tomcat. Son architecture (Fig 1) logicielle estbasée sur la possibilité d’intégration d’éléments logiciels (composants logiciels)provenant de sources différentes et par la prise en compte des systèmes informatiquesexistants. Il implique l’intégration et l’interactivité entre des outils très divers maiscomplémentaires. Cette architecture permet en particulier : une navigation interapplicationavec une recherche dynamique et interactive basée sur le Système deRecherche et d’Indexation d’Informations (SR2I) [4] utilisant la technologie XML, unecoopération entre logiciels et leur utilisation conviviale sur le poste client et/ou leserveur et un accès aux ressources matérielles et logicielles distantes (récupération etstockage lourd des données, exécution des codes numériques lourds sur le serveurdisposant de facilités HPCN, etc).-modélisation du-acquisition des données desterrains-Algorithmed’optimisationOutils demodélisationhydrologiquOutils demaillageS2AIWSIG-Stockages des données-Recherche de donnéesSRIP extention duBased’informations-2D-3DSimulation-modèlesnumériquesFigure 1 : Architecture logicielle du S2IAW extension duTAMTAM –Tunis– 2005

Gestion et modélisation des ressources hybriques 93Une des principales limitations de ce système réside dans le fait qu’il fournit lesmêmes interfaces et les mêmes fonctionnalités à des utilisateurs ayant des buts et desconnaissances du sujet largement différents [8] [13]. L’approche de personnalisationconstitue une extension naturelle ou enrichie de l’approche traditionnelle dans ledéveloppement de systèmes adaptatifs. Ces systèmes établissent un modèle de buts, depréférences et des connaissances de chaque utilisateur, et emploient ce modèle dansl'interaction avec l'utilisateur afin de s'adapter à ces besoins. L'adaptation du S2IW [12][6] peut en assurer une utilisation plus complète en expliquant la façon d'atteindre unbut ou en présentant des façons différentes et plus efficaces pour réaliser une tâche. Latâche n’est pas facile vue l’hétérogénéité et la distributivité des données manipulées parl’utilisateur et qui constituent une majeure partie de ces systèmes. En outre, dans ledomaine des sciences de l’eau, beaucoup de modèles numériques très puissants dansl’aide à la décision, deviennent quasi-inutilisables à cause de la non maîtrise desdonnées de base qui servent comme entrées au système. De la même manière, lessorties des modèles peuvent être mal exploitées à cause de l’inadéquation des outils devisualisation et de traitement. De ce fait, on ne peut pas parler de personnalisationindépendamment du contexte ou du problème traité permettant de construire toute laconnaissance d’un domaine. De plus, dans ce domaine d’application il subsiste unbesoin considérable en flexibilité, à la fois dans la représentation et la manipulation desdonnées, qui sont caractérisées par l’absence de structure fixe et rigide. La mise enplace d’une ontologie du domaine est indispensable et le couplage profil-document viale SRIP sera la clé de réussite du S2IAW en répondant à ces contraintes.Actuellement, trois applications sont traitées dans le S2IAW : la lutte contrel’eutrophisation de l’eau, La prévention contre les risques d’inondation etl’aménagement des bassins versants.2. Couplage Utilisateur-DocumentLes documents présents dans l’entrepôt de données ne sont pas statiques etconsultés passivement, mais ils sont souvent renvoyés à la demande (recherche) où leurconsultation implique une participation active de l’utilisateur (instrumentation dudocument, par exemple hypertexte). Ce dernier point rend donc importante la notion depersonnalisation dynamique de ces documents, afin de faciliter leur consultation entirant avantage d’une modélisation basée essentiellement sur une combinaisonutilisateur et contexte d’utilisation [5]. Une recherche d'information ne vise jamais àobtenir des renseignements pour eux-mêmes; elle est faite en vue de leur exploitationdans des conditions pas toujours précises. Il faut donc que ces conditions soientconnues ou au moins limitées. En particulier, il convient de savoir entre autres : Qui estle demandeur ? Quelle utilisation compte-t-il faire des informations ? De quel délaidispose-t-il ? Quels documents connaît-il déjà sur la question et, d'une manièregénérale, ce qu'il sait déjà sur le sujet ? Sous quelle forme, préfère-t-il obtenir lesinformations ? etc.TAMTAM –Tunis– 2005

94 El Dabaghi et al.La formulation des questions par les utilisateurs risque d'être imprécise ou ambiguëà plus d'un titre. D'abord au niveau de la description du sujet, qui peut être trop large outrop restreinte; ensuite au niveau de l'utilisation envisagée des informations recueillies.Le même sujet peut être traité différemment par des documents de différents types, dontchacun peut être mieux adapté à un contexte d’utilisation qu'à un autre. Par exemple, undocument résumant les principales orientations d'un plan de protection et d’évacuationdes populations dans une zone géographique sujette à un risque d’inondation peut endonner une vue d'ensemble pour la lutte contre ce phénomène, mais ne pourra paspermettre d'entamer un travail spécifique d'analyse de l’onde de crue causant cetteinondation. Il faudrait dans ce cas le (les) document(s) relatif(s) à l’onde de crue et àl’inondation. Un autre exemple, après avoir établi une bibliographie d'une centaine deréférences rechercher les documents correspondants n'a guère d'utilité quand ledemandeur doit produire une note de synthèse sur le sujet en un temps très court.Autrement dit, la question la plus fréquente : «Quelles informations avez-vous sur telsujet ?» devrait être formulée par une phrase du type : «Avez-vous sur tel sujet, tel typed'information me permettant de faire tel travail, dans telles conditions ?».Dans un premier temps, cela nous amène à la notion de profil d’utilisateur classiquetel qu'il est défini en bibliothéconomie : une équation de recherche (ensemble structuréde descripteurs), exprimant les informations que l'utilisateur désire recevoirrégulièrement d'un service de diffusion sélective de l'information (DSI). Le plussouvent, son profil est construit par un spécialiste de l'information, qui procède d'abordà un entretien détaillé avec l'utilisateur et à des essais qu'il soumet à son appréciationpour des modifications, au fur et à mesure que ses centres d'intérêt évoluent.Les points d'accès ou de recherche sont les diverses caractéristiques d'uneinformation à partir desquels peuvent être opérées à la fois, la recherche et la sélectiondans un entrepôt de données, en général accessible via un index ou mieux encore unthésaurus. Ils sont exprimés par l'utilisateur dans sa question, par les indications qu'ildonne sur le sujet, les dates, le type de document recherché, l’auteur, le volume,l'accessibilité, etc. Ainsi, il est tout à fait logique que l'étape qui devrait suivre,associerait complètement un profil utilisateur à un contexte d’utilisation à travers une(ou partie) ontologie dynamique du domaine applicatif; celle-ci peut être vue comme unsous ensemble de descripteurs issus de thésaurus, définis et classés par ordred’importance, mais surtout liés entre eux par des relations cohérentes [11] [1] [10].Associer dans une description de ressources, une caractérisation de ces dernières aveccelle du profil de l'utilisateur entraînera nécessairement un système d'interrogation àrelance où la première interrogation ne constitue en elle-même qu'une ouverture desession interactive avec le système, avec qui s'ensuivra un dialogue itératif avec retourde pertinence [14] pouvant générer une nouvelle ontologie et la cataloguer pour uneutilisation future.2.1. Ontologie du domaineModéliser un domaine consiste à choisir les formules vraies et utiles dans celui-ci.Pour cela, il faudra déterminer les termes primitifs de modélisation du domaine et leursignification. Une ontologie fonctionne comme un cadre théorique du domaine construiten fonction du problème traité. Le processus de modélisation décrit ici est fondé surTAMTAM –Tunis– 2005

Gestion et modélisation des ressources hybriques 95cette dernière définition. Nous construisons l’ontologie en nous appuyant sur lesconnaissances présentes dans le corpus et des connaissances externes au corpus(experts). La définition de l’ontologie initiale [2] doit être réalisée avec des experts dudomaine ayant une bonne connaissance du corpus et sachant exprimer la nature desinformations à extraire. Cette phase aboutit à la description [3] d'un ensemble dehiérarchies de concepts constituant une première sous-ontologie (ontologie initiale).Cette ontologie met en jeu des relations argumentatives entre concepts (un concept estlié à un autre car il en est un argument). Dans chaque relation argumentative, toutevaleur d’un argument est une instance du concept correspondant à cet argument. Nousprésentons ci-après (Fig 2) un exemple hiérarchique d’ontologie préliminaire.SIGMailleurSimulateur NumériqueArcViewMNTArcImsMailleur 2DEMC2Mailleur 3DSimulateur Numérique 1DSimulateur Numérique 1.5DSimulateur Numérique 2DSimulateur Numérique 2.5DFESWMSSimulateur Numérique 3DYAMSGHS3DFigure 2 : Ontologie préliminaire du domaineA titre d’exemple, un « profil de numéricien » interagissant avec le S2IAW à partirde cette ontologie et intéressé par les méthodes d’approximation adoptés dans lessimulateurs numériques des crues, se verrait aboutir après « échange à relance » à uneontologie modifiée contenant des documents plus descriptifs des méthodes numériquesutilisées mais ne gardera qu’un seul niveau pour les deux entrées SIG et Mailleur.2.2. Profil utilisateurUn système adaptatif, comme son nom l’indique, est destiné à guider l’utilisateur etlui fournir l’information pertinente. En fait, il devrait idéalement, permettre àl’utilisateur de récupérer de l’information à partir des données auxquelles a accès lesystème. De plus, on note que le niveau d’interaction sera différent en fonction del’utilisateur : s’il a un profil d’expert ou s’il est un utilisateur novice, avec une faibleconnaissance de la tâche à réaliser ou s’il est incapable de se servir d’une souris, etc.Dans cette optique, nous distinguons les utilisateurs, pour lesquels il est souhaitable deprofiler les capacités cognitives, la compétence dans le domaine d’application dusystème et les contraintes sur leur mode d’interaction avec le système [9]. En général,un profil d’utilisateur rassemble l’ensemble des personnes ayant le mêmecomportement (rôle) vis à vis du système. Dans ce sens, il serait intéressant aussi debien identifier les catégories des personnes qui expriment les besoins en terme defonctionnalités du système. Nous recenserons, pour chaque profil d’utilisateur, lescaractéristiques, l’environnement de travail et les tâches potentielles des différentsTAMTAM –Tunis– 2005

96 El Dabaghi et al.utilisateurs. A titre d’exemple, l’inventaire des informations requises pour les différentsprofils d’utilisateurs est présenté ci-dessous :1. Caractéristiques de l’utilisateur1.1. Attributs physiques1.1.1. Age1.1.2. SexeStatistiques1.1.3. Limitations physiques1.2. Connaissances1.2.1. Expérience avec le système ou équivalent1.2.2. Expérience avec l’ordinateur1.2.2.1. Système opératoires maîtrisés1.2.2.2. Langages de programmation maîtrisés1.2.2.3. Outils maîtrisés1.2.3. Qualification1.2.4. Fonction1.2.5. Domaines d’application1.2.6. Langues2. Environnement de travail2.1. Localisation // l’utilisateur travaille soit en équipe dans un labo ou centrede calcul soit seul sur son poste (bureau)2.2. Usage // professionnel ou privé2.3. Matériel2.3.1. Matériel basique // PC, Station de travail, etc.2.3.2. Périphériques locaux // imprimante, scanner, modem, etc.2.3.3. Réseau // local, public, haut débit, etc.2.4. Logiciels2.4.1. Systèmes opératoires disponibles2.4.2. Logiciels disponibles3. Tâches potentielles3.1. Liste des tâches // les plus utilisées3.2. Caractéristiques des tâches3.2.1. Objectif3.2.2. Fréquence3.2.3. Durée3.2.4. Flexibilité // ordre des tâches3.2.5. Connaissances requises3.2.6. Ressources requises3. ConclusionCette analyse préliminaire et détaillée de l’état de l’art sur l’adaptation et lapersonalisation en fonction de l’utilisateur a été amorcée afin d’étendre le S2IWvers le S2IAW ( Système d’Information Intégré Adapté sous Web). Ce S2IAW seraun élément d’aide dans la chaîne de prise de décision permettant la simulationnumérique, le traitement d’images et la gestion des données hétérogènes pour laprédiction et l’estimation de l’évaluation et de l’évolution des phénomèneshydriques.De plus, une telle plate forme de développement, élargit son cercle d’utilisationet augmente l’échange des données et de résultats et par conséquent ajouter unenouvelle dimension en matière de recherche et de développement dans le domainede l’ingénierie de l’eau. Par ailleurs, le S2IAW est tout à fait générique, saTAMTAM –Tunis– 2005

Gestion et modélisation des ressources hybriques 97transposition vers d’autres domaines d’application, voisins ou connexes, estrelativement aisée : l’aménagement côtier (ressources marines, etc..), la gestion et lamodélisation des ressources énergétiques, la qualité de l’air, la météorologie.5. Bibliographie[1] Aussenac-Gilles, Biébow, Szulman. “Corpus analysis for conceptual modelling”.Proceeding of EKAW’2000, pp 13-20, 2000.[2] Bachimont. “Modélisation linguistique et modélisation logique des ontologies :l’apport de l’ontologie formelle”. Actes d’IC 2001, p. 349-368, 2001.[3] Barry, Cormier, Kassel, Nobécourt. “Evaluation de langages opérationnels dereprésentation d’ontologies”. Actes d’IC’2001, pp 309-327, 2001.[4] Bechchi, “Réalisation et implémentation du SR2I dans un Système d’InformationIntégré sous Web WADI (S2IW)-Application aux ressources hydriques”, MémoireMaster Recherche Informatique, Sept 2004.[5] Brusilovsky. “Adaptive Hypermedia”. User Modeling and User-AdaptedInteraction, 2001.[6] Dabaghi, Bechchi, Henine, Rizk, Gharbi, “Planning and Management Tools”,report D5.3, July 2004.[7] Dabaghi, Bechchi, Henine, Rizk, Gharbi, “Web site”, report D6.1. WADI ECproject, July 2004.[8] Dabaghi, Ouazar, Prastacos, “Integrated Information System for Modeling andManagement of Water Resources: Concept and Architecture”, J. of Systems AnalysisModelling Simulation - SAMS, 2001.[9] Kobsa, Koenemann, Pohl. “Personalized hypermedia presentation techniques forimproving online customer relationships”. German National Research Center forInformation Technology, 1999.[10] Lame. “Knowledge acquisition from texts towards an ontology of French law”.Proceedings of EKAW’2000, p. 53-62, 2000.[11] Nobécourt. “A method to build formal ontologies from texts”. Proceedings ofEKAW’2000, p. 21-27, 2000.[12] Souissi, Dabaghi, “Integration of heterogeneous data and tools for monitoring andforecasting hydrous phenomena and processes”, Proc. of the 5th IFIP-InternationalSymposium on Environmental Software Systems (IFIP-ISESS 2003), pp. 253-261, May2003.[13] Souissi, Dabaghi et Ouazar, “Water resources modelling and simulation software: an integrated approach”, Proc. of the 21st IASTED International Conference onApplied Informatics, (AI 2003), pp. 913-918, Feb 2003.[14] Vassileva. “A Task Centered Approach for User Modelling in Hypermedia OfficeDocumentation System”. User Modelling and User-Adapted Intercation, vol 6, n°2-3,p.185-224, 1996.TAMTAM –Tunis– 2005

Système d’information intégré adaptatif sousweb pour la gestion et la modélisation desressources hydriquesPartie B : réalisation et applications *F. El Dabaghi a , M. Bechchi a,b , H. Henine a,ca INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.b Ecole Mohammedia d’Ingénieurs, BP 765, Rabat, Maroc.c Ecole Nationale Polytechnique, 10 Avenue Hassen Badi, El Harrach, Alger, AlgérieCe travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WALDI 1 , des Programmesd’Actions Intégrées CMIFM 2 , CMEP 3 et PLATON 4 .1 WADI : WAter supply watersheD planning and management : An Integrated approach.2 CMIFM : Coopération Franco-Marocain : MA/01/03.3 CMEP : Coopération Franco-Algérienne : 01 MDU 529.4 PLATON : Coopération Franco-Grecque : 05572UB.RÉSUMÉ. Ce travail présente le système d’information intégré sous le web (S2IW) – WADI 1 pour laprédiction et l’estimation de l’évaluation et de l’évolution des phénomènes hydriques. Le S2IW estune infrastructure de développement, pérenne, ouverte, modulaire, robuste, efficace et convivialeoffrant un environnement de travail dynamique, configurable, utilisant la technologie JAVA etl’architecture client/serveur sous Web et comprenant en particulier : un Système de Recherche etd’Indexation d’Informations (SR2I), des codes de simulations numériques, un SIG et des éditeursde maillage ainsi que des visualiseurs graphiques. Ce S2IW permet ainsi d’une part d’extraire, depréparer, de manipuler, de gérer et d’analyser de manière automatique les informationsnécessaires aux modèles de simulation et d’autre part d’analyser, d’exploiter, d’interpréter, devisualiser, de gérer, de communiquer, de vérifier et de caler éventuellement en temps réel lesrésultats de ces simulations en les corroborant avec des paramètres extraits ou identifiés.ABSTRACT. This work presents the Web Integrated Information System W2IS-WADI for theprediction and the estimate of the evaluation and the evolution of the hydrous phenomena. TheW2IS is an infrastructure of development, perennial, open, modular, robust, effective and convivialoffering a complete environment dynamic, configurable, using JAVA technology and architectureclient/server under Web and including in particular: an Information Indexation and Research System(2IRS), codes of digital simulations, a SIG and editors of grid as well as graphic visualiseurs. ThisW2IS allows on the one hand to extract, prepare, handle, manage and analyze in an automatic wayinformation necessary to the models of simulation and on the other hand to analyze, exploit,interpret, display, manage, communicate, check and calibrate if required in real time the results ofthese simulations by corroborating them with extracted or identified parameters.MOTS-CLÉS : Système d’information intégré, WEB, ressources hydriques, calcul scientifique,application client serveur, XML, JAVA.KEYWORDS: Integrated Information System, WEB, hydrous resources, scientific computation,client/server application,XML,JAVATAMTAM –Tunis– 2005 98

Gestion et modélisation des ressources hybriques 991. ProblématiqueLa problématique de l’eau constitue un domaine prioritaire tant au niveau desinstances nationales, régionales qu’internationales. En particulier, dans la zoneméditerranéenne où la demande croissante en eau est associée à une diminution de cetteressource, son utilisation intensive ainsi que les divers risques (pollution, inondation,etc.) nécessitent une gestion rationnelle et optimale de celle-ci. Dans ce contextealarmant, ces risques inhérents nous interpellent en priorité pour une meilleurecompréhension du processus des ressources en eau, caractérisé par l'interaction deplusieurs phénomènes physiques complexes en soi et du rôle intrinsèque et vital del’eau, ressource devant être durable et renouvelable, dans les besoins de la société. Qu’ils'agisse de préserver l'eau pour l'irrigation, d’aménager un bassin versant, de construireun barrage pour le stockage de l’eau ou pour diminuer les risques d'inondation ou devouloir oxygéner un lac pour éliminer les problèmes d'eutrophisation, il est clair quen’importe quelle stratégie pour développer une solution durable, pérenne et évolutive,même partielle, pour cette problématique, doit être basée sur une approche quiconsidère les relations de cause à effet et qui évalue de manière systématique lesdiverses solutions.Ce travail s’inscrit dans cette logique avec pour objectif la réalisation d’un Systèmed’Information Intégré sous Web (S2IW) [5] [4] [13], un élément d’aide dans la chaînede prise de décision permettant la simulation numérique, le traitement d’images et lagestion des données hétérogènes pour la prédiction et l’estimation de l’évaluation et del’évolution des phénomènes hydriques.2. S2IW : caractéristiques et architectureLe S2IW est une application WEB de type client/Serveur développée sous Apache-Tomcat [15]. Son architecture logicielle (Fig 1) est basée sur la possibilité d’intégrationd’éléments logiciels (composants logiciels) provenant de sources différentes et par laprise en compte des systèmes informatiques existants. Il implique l’intégration etl’interactivité entre des outils très divers mais complémentaires. Au lieu d’un énormeoutil multifonction, il est basé sur la sélection ou le développement d’un ensemble detechnologies permettant, par assemblage, la création d’un système d’information intégréconfigurable et dynamique, adapté si possible, aux besoins spécifiques des utilisateurset aux moyens de calculs disponibles. Les principaux composants du S2IW sont :SIG : Le système d’information géographique [9] [12] dédié à l’acquisition, lestockage, la manipulation, l’analyse et la visualisation de données qui sont référencéesspatialement. Le SIG est généralement à même de combiner indifféremment des fichiersRasters (Images), des fichiers vecteurs (objets) et des fichiers bases de données.TAMTAM –Tunis– 2005

100 El Dabaghi et al.-modélisation du-Algorithme d’optimisation-TopologieOutils demodélisationhydrologiqueOutils demaillageS2IWSIG-acquisition des données des terrains-Visualisation-Stockages des données-Recherche de donnéesSR2I Based’informations-2D-3DSimulation-modèles numériques-modèles physiquesFigure 1 : Architecture logicielle du S2IWOutils de modélisation hydrologique : Ils proposent une variété de techniques pourmodéliser le ruissellement, les infiltrations, l'écoulement en rivière ou encore larépartition des pluies en vue d’une modélisation du processus pluie-débit dans un bassinversant. Notre choix s’est porté sur le package HEC [11] [10].Logiciel de maillage 2D/3D : Ces logiciels sont nécessaires pour la création de maillagediscrétisant les domaines géographiques où a lieu le phénomène à simuler en unensemble de simplexes géométriques. Les éditeurs de maillage utilisés sont, tousdéveloppés à l’INRIA, pour le 2D, EMC2 et YAMS, et pour le 3D, YAMS et GHS3D.Simulateurs numériques : La simulation numérique a pour objectif de résoudre lesmodèles physico-mathématiques (Equations de Navier-Stokes, Euler et Saint-Venant)décrivant les phénomènes hydrauliques tels que l’eutrophisation [1] [2], l’aménagementdes bassins versants [11] [12] et la prévention contre les risques d’inondation [8] [6] [7][14].Les codes de calcul sont basés sur des modèles numériques utilisant la méthodesdes éléments finis nécessitant un temps de calcul important. Cette lourdeur du code estjustifiée par la grande taille des matrices à résoudre.Logiciel de visualisation : Les logiciels de visualisation des résultats numériquesdevraient permettre de définir les paramètres de la visualisation 2D/3D, de liredifférents types de base de données topologiques et de solutions associées et de lesprésenter graphiquement avec des possibilités de définir des coupes, d’extraire descourbes, de tracer des isovaleurs et d’effectuer des variantes graphiques de présentation.Ces logiciels sont développés sous Fortran et C avec des librairies graphiques du typeX11, OpenGL sous Unix et OpenGL et SDK sous MS-Windows. On utiliseprincipalement VISU et MEDIT (développés à l’INRIA) et SMS8.1 (en associationavec le code FESWMS.Base d’informations : Elle constitue une pierre angulaire du S2IW. En effet, l’efficacitéd’un tel système intégré est freinée entre autres par la difficulté de recherche, le volumedes informations écrites et la redondance inévitable, la compréhension des informationset la pertinence de l’information [3].TAMTAM –Tunis– 2005

Gestion et modélisation des ressources hybriques 101L’architecture du S2IW WADI est basée sur la répartition des traitements etdes données entre des postes clients et un serveur (Fig 2). Les postes clients préparent etsoumettent des requêtes au serveur (hydre.inria.fr), une machine Unix assez puissanteen terme de mémoire et de capacités d'entrée-sortie, qui leur fournit des services et qui aun accès direct à une machine parallèle.INRIASDClientInternetServeurHydre.inria.frMachinePuissanteHPCNSDClientSDFigure 2 : Architecture Client/Serveur du S2IW WADICette plate-forme permet entre autres une navigation inter-application, unecoopération entre logiciels et leur utilisation conviviale sur le poste client et/ou serveur,une coopération entre programmes en tant qu’environnement de développement, et unaccès aux ressources matérielles et logicielles distantes (machine parallèle réelle ouvirtuelle, données, l’appel de procédures à distance telle l’exécution de codes lourds surle serveur UNIX, stockage, etc ).Ce S2IW permet ainsi d’une part d’extraire, de préparer, de manipuler, de gérer etd’analyser de manière automatique les informations nécessaires aux modèles desimulation et d’autre part d’analyser, d’exploiter, d’interpréter, de visualiser, de gérer,de communiquer, de vérifier et de caler éventuellement en temps réel les résultats de cessimulations en les corroborant avec des paramètres extraits ou identifiés.Le développement de S2IW WADI a nécessité l’utilisation de plusieurs outils detravail : des langages de programmation, des logiciels spécifiques, des outils de gestion,etc. Le choix de ces outils est justifié par le fait que le S2IW doit être à la fois facile àgérer, portable, efficace et indépendant de tout SGBD. Ces principaux outils sont XML,JAVA et JSP. De ce fait, le système est tout à fait générique et sa transposition versd’autres domaines d’application, voisins ou connexes, est immédiate : l’aménagementdu territoire, l’aménagement côtier (ressources marines, etc..), la gestion et lamodélisation des ressources énergétiques, la qualité de l’air, la météorologie,l’agriculture, l’environnement de manière générale, etc.TAMTAM –Tunis– 2005

102 El Dabaghi et al.3. . Application inondationLe S2IW met à la disposition de l’utilisateur un ensemble d’outils, interconnectésentre eux par des interfaces intuitives et conviviales, pour la simulation numérique et lagestion des ressources hydriques : Eutrophisation, Inondations et Bassin Versant. A titred’illustration, on se limite dans ce travail à présenter un exemple de scénario d’unesimulation de crue. Le S2IW permet ainsi, la génération d’un maillage du domaine del’écoulement via le SIG ou EMC2 (fig 3), l’exécution du simulateur numérique à savoirle code FESWMS ou SAINT-VENANT (fig 4) et la visualisation des résultats via SMSou VISU (fig 5).Figure 3 : Maillage du cours d’eauFigure 4 : Lancement de la simulationTAMTAM –Tunis– 2005

Gestion et modélisation des ressources hybriques 103Figure 5 : Visualisation des résultats sous SMS et VISU4. ConclusionAu terme de ce travail, nous avons réalisé une version du site Web qui intègre leS2IW. Une analyse détaillée des besoins de l’application ainsi qu’une conception tenantcompte des différentes interactivités entre les composants logiciels de l’intégrateur, ontpermis de réaliser un premier prototype du S2IW, convivial et modulaire, qui devraitrépondre aux besoins des décideurs, et des chercheurs/ingénieurs impliqués dans ledomaine de l’ingénierie de l’eau. La démarche de travail adoptée, tout au long dudéveloppement, s’est appuyé sur la portabilité, la modularité et la pérennité desdonnées, ce qui permettra d’enrichir l’application par de nouveaux modules; en effet ilreste encore des tâches qui doivent être effectuées ultérieurement au sein du S2IWWADI parmi lesquelles :- La partie de l’intégrateur WADI concernant l’aménagement des bassins versants.- La personnalisation du S2IW : établir un modèle de buts, de préférences et desconnaissances de chaque utilisateur afin de s'adapter à ces besoins [4].On note cependant, que le système est tout à fait générique, sa transposition versd’autres domaines d’application, voisins ou connexes, est immédiate : l’aménagementdu territoire, l’aménagement côtier (ressources marines, etc..), la gestion et lamodélisation des ressources énergétiques, la qualité de l’air, la météorologie,l’agriculture, l’environnement de manière générale, etc.5. Bibliographie[1] Abdelwahed, Dabaghi, “Two Proposed Models for the Numerical Study of theTreatment of Lake Eutrophication through Mechanical Aeration”, Proceeding of theIASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling (ASM 2004),pp. 148-153, Rhodes-Greece, Jun 2004.TAMTAM –Tunis– 2005

104 El Dabaghi et al.[2] Abdelwahed, Dabaghi, Ouazar, “An alternative two phase flow model based oncorrected water phase flow model for the simulation of eutrophised lake treatement byaeration process”, International Conference on Thermal Engineering: TheoryandApplications, ICTEA-HT4-04, Beirut-Lebanon, Mai 31-Jun 04, 2004. Selectedpaper to be published in International Journal of Computational Fluid Dynamics.[3] Bechchi, “Réalisation et implémentation du SR2I dans un Système d’InformationIntégré sous Web WADI (S2IW)-Application aux ressources hydriques”, Mémoire duMaster Recherche Informatique, INRIA-EMI-Univ.Paris11, Sept 2004.[4] Dabaghi, Bechchi, Henine, Rizk, Gharbi, “Planning and Management Tools”,report D5.3. WADI EC project, July 2004.[5] Dabaghi, Bechchi, Henine, Rizk, Gharbi, “Web site”, report D6.1. WADI ECproject, July 2004.[6] Dabaghi, El Kacimi, Nakhlé, “Numerical Analysis of a Priori Error Estimates forthe Characteristics Mixed Finite Element Approximation of Shallow Water Equations”,Proceeding of the IASTED International Conference on Applied Simulation andModelling (ASM 2004), pp. 275-280, Rhodes-Greece, Jun 2004.[7] Dabaghi, El Kacimi, Nakhlé, “Characteristics Finite Element Method for ShallowWater Equations”, International Conference on Thermal Engineering: Theory andApplications, ICTEA-ES2-02, Beirut-Lebanon, Mai 31-Jun 04, 2004. Selected paper tobe published in International Journal of Computational Fluid Dynamics.[8] Dabaghi, El Kacimi, Nakhlé, “A Priori Error Analysis of the CharacteristicsMixed Finite Element Method for Shallow Water Equation”, Proceeding of the 22ndIASTED International Conference on Modelling, Identification, and Control, (MIC2003), pp. 459-464, Innsbruck-Austria, Fev 2003.[9] ESRI, ArcView, GIS The Geographic Information System for Everyone, 1995.[10] HEC, Hydrologic Engineering Center, Hydrologic Modelling System HEC-HMS,Technical Reference Manual, March 2000.[11] Henine, “Interface modèle hydrologique – modèle Hydrodynamique au sein d’unSystème d’Information Intégré sous Web S2IW incluant les SIG”, Thèse de Magistère,INRIA-ENP, Dec 2004[12] Ider, “Modélisation hydrodynamique d’un cours d’eau. Application à l’OuedSoummam”, Thèse de Magistère, INRIA-ENP, Juin 2004.[13] Souissi, Dabaghi, “Integration of heterogeneous data and tools for monitoringand forecasting hydrous phenomena and processes”, Proceedings of the 5th IFIP-International Symposium on Environmental Software Systems (IFIP-ISESS 2003), pp.253-261, Mai 2003. ISBN 3-901882-16-2.[14] Talamali, “L’hydrodynamique des rivières & les systèmes d’informationgéographique”, Thèse de Magistère, INRIA-ENP, Oct 2002.[15] Tomcat, http://www.java.sun.com : RessTAMTAM –Tunis– 2005

Random perturbations of reduced gradientalgorithm (RPRGA) for solving a complex ofdrinking waterR. Ellaia * , A. Elmouatasim ** Ecole Mohammadia d’IngénieursLaboratoire d’étude et de recherche en mathématiques appliquées (LERMA).Avenue Ibn Sina BP765 - Agdal,Rabat -Maroc .ellaia@emi.ac.maABSTRACT. Our work Study aims as design of an application that optimize the cost of electric energyof a drinking water complex. The aim of this model is to formulate a computing application establishedwith random perturbation of reduced gradient algorithm that allows the determination of drillings to useat specific time so as to satisfy needs on one hand, and on the other hand, to minimize the amount ofelectric energy. This application is applied to the Fouarat complex of Kenitra city in Morocco.RÉSUMÉ. L’objectif de ce travail est de déterminer la combinaison des forages à utiliser à un instantdonné, et ce, par le biais d’une application faisant appel à un programme d’optimisation globale,RPRGA Fortran code, élaboré en Visual Basic et adapté à notre formulation mathématique du probléme.Le modèle mathématique établi est appliqué au complexe d’AEP (Alimentation en Eau Potable)de Fouarat de la ville de Kénitra au Maroc. L’application va nous permettre la gestion optimalede ce complexe.KEYWORDS : Global optimization, random perturbation of reduced gradient algorithm, penalty function,nonlinear 0-1 programming problem and water resources.MOTS-CLÉS : Optimisation globale, perturbation stochastique de gradient reduit, fonction de penalité,problème de programmation nonlinéaire 0-1 et ressources d’eau.105 TAMTAM –Tunis– 2005

106 Ellaia et al.1. IntroductionThe objective of this work is the optimization of electrical energy relative to a complexof drinking water. Our work consists in formulating the problem of optimization,namely objective function and its constraints. On the basis of this formulation, we realizea computer application allowing to determine the combination of drillings to use so thatthe corresponding cost of electrical energy is minimal, that give nonlinear 0-1 programming.We think that using a penalty function to transform a nonlinear integer programmingproblem to global optimization problem is still a better way to solve such a problem ifan efficient global optimization algorithm exists. In fact, random perturbation of reducedgradient method (RPRGA) [3] has shown it’s efficiency for global optimization. Thus,we attempt to use a penalty function to solve nonlinear integer programming problemsparticularly combinatorial optimization [5].2. Model FormulationFunction cost C of electrical energy is proportional in consummate electrical energyE in Ref. [1]: C = K.E, with K is the price for the KW h consumed in DH (whereDH ∼ = 0.1$). Because electrical energy is dependent to the consummate power P bythe relation: E = P ∆t, with ∆t is the duration of functioning of drillings function costspells then: C = KP ∆t.On the other hand, power p i consumed by the group of pumping of a given drilling F ispells: p i = ρg.Q i.H i, with:η pi .η mi .η ciQ i is a repulsed debit (repressed) by the drilling F i in (m 3 /s)H i is the total manometric height of the drilling F i in (m)gis the acceleration of the gravity in (m/s 2 )ρis the mass volumetric of some water in (Kg/m 3 )η pi is the return on the pump.η mi is the return on the engine.η ci is the driving return on transmission - pumps.Let η gi be a global return: η gi = η pi η mi η ci , so p i = ρg.Q i.H iη gi- A flat period (noted ∆t 1 ), full period (∆t 2 )and rush hour (∆t 3 ). As a consequence, theexpression of the cost function corresponding in the functioning of the drilling F i duringa duration ∆t j is the following one:C i,j = K j . ρg.Q i.H iη gi.∆t j ,TAMTAM –Tunis– 2005

Global Optimization of Water Resources 107where K j is the price for the KW h consumed during the period ∆t j .The objective of our formulation of the objective function is to determine, at the givenmoment, the optimal combination of the drillings which have to work simultaneously tosatisfy the drinking water requirements of the population. Or (α i , Q i ) debit supplies bythe drilling F iIf one finds as result of our model of optimization: α i = 1, it means that drilling F i hasto work. If one finds α i = 0, then drilling F i does not have to work.Our objective function will be so the sum of costs functions of every drilling F i . Thatis [7]: Z = ∑ i,j C i,j, and because electric fixing of a price scale imposes the followingthree slices:Objective function will be so: Z = ∑ 3 ∑ nj=1 i=1 C i,j, where n is the number of drillings.By replacing function cost C i,j by its expression, one will have:Z = (3∑j=1( ∑nK j .∆t j ).i=1ρg.(α i .Q i ).(H i )).η giIt is so necessary to determine the theoretical capacity of a reservoir. The calculationof this capacity makes on the basis of the variation of the advanced debit schedule Q ph :V Reservoir = f(Q pj , Q ph ), with Q pj is a daily advanced debit see Ref. [2].Notice that the reservoir has to store the surplus of water during the hours of weak consumptionand fill the deficit if water V 1 during the rush hours.This condition is translated in practice, by the fact that the sum of the initial volume V 0of the reservoir, at the given moment, and the difference between entering volume andoutput of the reservoir has to be superior to the volume V 1 . What means mathematically:V 1 ≤ V 0 + (V put − V output ) (1)Now, the volume of water pumped in the reservoir does not have to exceed its maximalcapacity V max . So disparity (1) becomes: V 1 ≤ V 0 + (V put − V output ) ≤ V max .Besides, the volume of water pumped in the reservoir during the duration ∆t expressesitself as follows: V put = ∆t. ∑ ni=1 (α i.Q i ). Also for the outgoing volume of water:V output = ∆t.Q d (Q d is wanted debit).Mathematical formulation to minimize the cost of the electrical energy of the pumpingspells so:⎧⎪⎨ Minimize f(α) = ( ∑ 3j=1 K j.∆t j ).( ∑ n ρg.(α i .Q i ).(H gi + 1.1.∆H iL )i=1)η gi⎪⎩ subject to V 1 ≤ V 0 + ∆t.( ∑ ni=1 (α (2)i.Q i ) − Q d ) ≤ V maxα i ∈ {0, 1}2.1. Example in KenitraThe application of our model of optimization requires the data collection concerningthe parameters of definition of the objective function and its constraints. So, one is goingTAMTAM –Tunis– 2005

108 Ellaia et al.to present first of all the system of the drinkable water supply of Kenitra city and thecomplex of exploitation of resources in ground water: Fouarat. In our case, the numberof drillings is equal to 10: (n=10) then the objective function (2) becomesZ =3∑K j .∆t jj=110∑i=1ρg.(α i .Q i ).(H gi + 1.1.∆H iL )η gi. (3)After simplification, the final formulation of this model is the following:⎧{ 3∑ }{ 10∑⎪⎨ Minimize Z = k j .∆t j [a i α i + c i αi 3 + b ∑iα i ( 10j=1i=1k=i∑subject to 14000 ≤ V 0 + ∆t.( 10(α i .Q i ) − Q d ) ≤ 28000⎪⎩i=1α i ∈ {0, 1}withL k;k+1 (k∑m=1D 5 k;k+1a i = ρg.Q i.H i, b i = 8.8ρλη giπ 2 · LiQ 3 iη gi Di5 , c i = 8.8ρλ′π 2 · Qiη giα mQ m) 2and k 1 = 0.48, k 2 = 0.712, k 3 = 1.0516. The parameters a i , b i , c i , Q m , L k;k+1 , andD k;k+1 are giving in [4].})](4)3. RPRGA for Global Optimization3.1. Penalty function method1. Definition α ′ is an integer point if its components α i ′ (i = 1, ....., n) are allintegers. For an integer point α ′ , the set N(α ′ ) = {α : ‖α − α ′ ‖ ∞ ≤ 1 5} is called a1/5-cubic neighborhood of the integer point α ′ .Let S = {α|V 1 ≤ V 0 + ∆t.( ∑ ni=1 (α i.Q i ) − Q d ) ≤ V max , 0 ≤ α i ≤ 1.5, i = 1, 2, ..., n}R. Ge and C. Huang [6] choose the penalty function φ(α, k) = f(α) − k ∑ ni=1 cos 2πα i,and studied the minimzation problemmin φ(α, k). (5)α∈SIf the global minimizer α ∗ of problem 5 is in a 1/5-cubic neighborhood of an integer pointᾱ in the feasible region S then ᾱ is the solution of (2); we need to make k large enoughin the computation.TAMTAM –Tunis– 2005

Global Optimization of Water Resources 1093.2. Random Perturbation of Reduced Gradient Algorithm (RPRGA)Step 0. Initialization. Choose a point α 1 satisfying the equality constraints. Let k = 1and go to the main step.Step 1. Let d kt = (d t B , dt N ), where d N and d B are obtained from (4) and (5), respectively.If d k = 0, stop; α k is a Kuhn-Tucker point. Otherwise, go to Step 2.where− I k = index set of m largest components of α k− B = {a j : j ∈ I k }, N = {a j : j ∉ I k }− r t = ∇f(α k ) t − ∇ B f(α k ) t B −1 A− d j = { −r j if j ∉ I k and r j ≤ 0−α k j r j if j ∉ I k and r j > 0−d B = −B −1 Nd NStep 2. Solve the following line search problem:η k = argmin {f(α k + ηd k ) : 0 ≤ η ≤ η max },⎧ {⎨−αk }jminη max = i≤j≤nd⎩k : d k j < 0 if d k < 0j∞ if d k ≥ 0,and α k j , dk j are respectively the j-th components of αk and d k . Let η k be an optimal solution,and let α k+1 = Q k (α k ) = α k + η k d k . Replace k by k + 1, and repeat step 1.The main difficulty remains the lack of convexity: if f is not convex, the Kuhn- Tuckerpoints may do not correspond to global minima. In the sequel, we shall improve thispoint by using an appropriate random perturbation, the sequence {α k } k≥0 is replaced bya random vectors sequence {X k } k≥0 and the iterations are modified as follows:k ≥ 0 : X k+1 = Q k (X k ) + P k .The random perturbation P k can be generated as follows see Ref. [3]: Let us introducea sequence of n-dimensional random vectors {Z k } k≥0 ∈ S. We consider also {ζ k } k≥0 ,a suitable decreasing sequence of strictly positive real numbers converging to 0 and suchthat ζ 0 ≤ 1. The convexity of S yields thatP k = ζ k (Z k − Q k (X k )).The objective function in problem (4) isn’t convex therefor we need to use random perturbationof reduced gradient method for solving problem (5) it Fortran code gives goodresults see Ref [4].TAMTAM –Tunis– 2005

110 Ellaia et al.4. Results and Concluding RemarksThe current trend in global optimization research is the combination of techniques obtainedfrom diverse penalty function methods, in order to develop more reduced gradientmethod. The RPRGA follows the above concept, by trying nonlinear programming problemof model formulation.In Morocco, the ONEP has spent in 2003 about 290 millions of DH as bill of energy tosatisfy needs of people to drinking water,this cost is always getting higher. To limit theeffect of this increasing on water production, many projects of optimization waere donefor example used commercial programs LINGO see Ref. [2] these solutions are takeninitial value in Fortran code of RPRGA for numerical applications in order to give theresults more optimal see Ref. [4].5. References[1] A. ABOUSSALEH , “Minimisation de coût de l’énergie de pompage cas du Canal haut servicedes Doukkala. ”, PFE de l’IAV-Maroc.Dec.1998.[2] Y. BEGGAR AND Y.TILAOUI, “Conception d’une Application pour l’Optimisation du Coûtd’Energie Electrique d’un Complexe d’Eau Potable. ”, PFE, EMI-Morocco. 2004.[3] R. ELLAIA AND A. ELMOUATASIM, “Random Perturbation of Reduced Gradient MethodFor Global Optimization. ”, MCO’04: Proceedings of the Fifth International Conference onComputer Sciences, Metz, France.[4] R. ELLAIA, A. ELMOUATASIM AND D.OUAZAR, “ Random Perturbation of Reduced GradientMethod for Solving Complex Drinking Water Problems. ”, Working paper, LERMA, 2004.[5] A. ELMOUATASIM AND ALI MOHAMED IBRAHIM, “Penalty Function Approach for 0-1Programming Problems. ”, To appear in Journal of Basic Applied Science (Libya) 2002.[6] R. GE AND C. HUANG, “A Continuous Approach to Nonlinear Integer Programming. ”, AppliedMathematics and Computation 34:39-60 (1989). genetic algorithms.[7] D.P. LOUCKS, J.R. STEDINGER AND D.A. HAITH, “Water resource Systems Planning andAnalysis. ”, Prentice-Hall 1981. BEM.”,TAMTAM –Tunis– 2005

IVEquations DifférentiellesDifferential Equations111

Fleuves singuliers des champs de vecteurspolynômiaux du planA. BouhassounDépartement de Mathématiques, université d’Oran SéniaBP 1524 ORAN 31000, ALGERIEbhsn58@yahoo.frRÉSUMÉ. Nous présentons dans ce travail une méthode de détermination des fleuves singuliersen utilisant les singularités macroscopiques d’ordre n pour des équations différentielles de la formedY/dX = F(X,Y) où F est une fonction polynômiale en X et Y.ABSTRACT. We present in this work a method for determining the singular rivers by using the macroscopicsingularities of n-th order for the ordinary differential equations dY/dX = F(X,Y) where F is apolynomial function in X and Y.MOTS-CLÉS : perturbation singulière, fleuve, développement asymptotique, champ lent-rapide.KEYWORDS : singular perturbation, river, asymptotic expansion, slow curve.113 TAMTAM –Tunis– 2005

114 B. Abdelkader1. IntroductionTel qu’il est décrit dans [2], [4] et [5] le concept de fleuve est lié au comportementlent-rapide des trajectoires de champs de vecteurs de la forme :εdy/dx = f(x, y), ε > 0, ε ≃ 0 (1)où f est de classe C 1 et possède une ombre continue (noté ◦ f) . Ces solutions qu’on appellefleuves sont des portions de trajectoires régulières 1 appartenant à la courbe lented’équation ◦ f(x, y) = 0 et à croissance polynômiale 2 .Pour les équations différentielles ordinaires de la forme :dY/dX = F (X, Y ) où F est de classe C 1 , (2)de nombreux résultats ont été publiés pour le cas régulier. Citons par exemple, [4], [5],[7] où le phénomène est étudié d’une manière approfondie, et notons que lorsque F estrationnelle, à l’aide d’un macroscope 3 on ramène l’équation (2) à la forme (1) puis par latechnique du polygône de Newton 4 on étudie le phénomène pour le cas régulier (voir [1],[5]).Figure 1. Exemples de fleuve régulier (a) et fleuve singulier (b) ainsi que leurs polygonesde Newton (c) avec leurs normales sortantes (en flèches).Or, Il est apparu (exemple 2 de la figure 1) que certaines trajectoires de champs devecteurs ont l’allure de fleuve mais ne vérifient pas la condition de régularité. Ce sontce qu’on appelle les "fleuves singuliers" et leurs première étude fût faite dans [3], avec1. Une trajectoire ω(x) de (1) est régulière si f ′ y(x, ω(x)) est non nul pour tout x appréciable positif.2. Une fonction différentiable Φ :[A,+∞[−→R est dite à croissance polynômiale en X=+∞ s’il existekɛR + tel que limX→+∞ Φ(X)/Xr = k . On note alors Φ(X) ∼ kX r .3. Un r-macroscope est l’application M r : R 2 −→ R 2 défini par M r(X, Y ) = (εX, ε r Y ), r ɛ R, ε ɛR ∗ + , et ε ≃ 0.4. On appelle polygône de Newton associé à un polynôme Q(X,Y)= ∑ a i X m iY n i et on note N(Q),iɛI⊂Nla frontière de l’enveloppe convexe de l’ensemble E(Q)={(m i , n i ) , iɛI}.TAMTAM –Tunis– 2005

Fleuves singuliers 115un algorithme de leur détermination. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à cecas pour des équations différentielles de la forme Y ′= F (X, Y ) où F est une fonctionpolynômiale en X et Y.2. Résultats préliminairesDans cette section nous allons brièvement rappeler certains résultats qui sont donnésdans [2], [4] et [5] qui nous seront nécessaires pour la suite.Dans tout ce qui suit nous allons considérer l’équation différentielledY/dX = F (X, Y ) (3)où F est une fonction rationnelle de la forme F (X, Y ) = P (X, Y )/Q(X, Y ) et P , Q despolynômes de degré d > 1. On suppose que P et Q sont premiers entre eux.Définition 1. (fleuve régulier) : Soit Φ(X) une solution standard de (3) définie pourx > A, AɛR. La fonction Φ(X) est appelée fleuve de type (k,r) de (3) en X=+∞ si etseulement si il existe des réels (standard) r et k, k ≠ 0, tel que :i) (3) se transforme sous le r-macroscope en une équation lente-rapide de la forme(1), où f est une fonction presque standard non équivalente à 0.ii) Pour tout x appréciable positif, ◦ f(x, kx r ) = 0 et ◦ f ′y (x, kx r ) ≠0 .iii) Pour tout x appréciable positif ε r Φ(x/ε)/x r ≃ k.Si ◦ f ′2 (x, Φ(x)) > 0 cette trajectoire est dite répulsive, si par contre ◦ f ′2 (x, Φ(x)) 0,iii) F r (1, k) = 0,iv) (Q r ) ′ y.P r (1, k) ≠0.En effet, si l’on se reporte à l’équation (3), ce théorème permet, en traçant le polygônede Newton, de trouver le r-macroscope qui permet d’obtenir une équation lente-rapide etd’étudier les solutions non singulières (condition iv) de l’équation F r (1, k) = 0.TAMTAM –Tunis– 2005

116 B. AbdelkaderNotons que les conditions iii) et iv) imposent à k d’être une racine simple de l’équationF r (1, k) = 0. Or, lorsqu’on voit l’exemple 2 de la figure 1, k=1 est une racine double etle phénomène de fleuve existe. Ce sont ce qu’on appelle des fleuves singuliers.Définition 2. (Fleuve généralisé) [2] : Soit Φ(X) une solution standard de (3) définiepour tout x > A, AɛR. On dira que Φ est un fleuve généralisé répulsif de (3) si etseulement sii) Φ est une trajectoire à croissance polynômialeii) lim XF ′y (X, Φ(X)) = +∞ .X−→+∞On dira que Φ est un fleuve généralisé attractif de (3) si et seulement sii) Φ est une trajectoire à croissance polynômialeii) lim y (X, Φ(X)) = −∞ .X−→+∞ XF ′Cette définition généralise la notion de fleuve et dans le cas des équations différentiellesrationnelles, la différence entre ”fleuve” et ”fleuve généralisé” réside dans le faitque pour les fleuves généralisés on peut avoir f ′y (x, kx r ) = 0.Théorème 2. [2] : Soit l’équation (3) où F est une fonction rationnelle en X et Y. Alorstout fleuve généralisé de (2) admet un développement asymptotique.Il est à noter que dans le cas où le fleuve est répulsif, il existe une unique solutionadmettant ce développement asymptotique. Par contre, dans le cas attractif, il existeraitune infinité de solutions ayant ce développement asymptotique ( voir [4]).3. Existence et détermination des fleuves critiquesDéfinition 3. (cas critique) : On dit que l’équation (3) présente un cas critique s’il existek et r des réels (standard) , k ≠ 0 r ≠ 0 tel que :i) (1,r) est une normale sortante à N(Q),ii) r∂ ◦ F + 1 − r > 0,iii) F r (1, k) = 0,iv) (Q r ) ′ y.P r (1, k) =0.Dans la suite on dira tout simplement "cas critique".Définition 4. (fleuve critique) : On dit que dans le cas critique l’équation (3) possède unfleuve en X=+∞ s’il existe U un ouvert de R 2 et g :U −→ R 2 un C 1 −difféomorphismedéfini par g(X, Y ) = ( ˜X = g 1 (X, Y ), Ỹ = g 2(X, Y )) transformant l’equation (3) enune équation de la forme˜dY /d ˜X = ˜F ( ˜X, Ỹ ) (4)possédant un fleuve (régulier).(singularité macroscopique) : Soit k et r des réels (standard), k ≠ 0, r ≠ 0. On dit queTAMTAM –Tunis– 2005

Fleuves singuliers 117la fonction Φ(x) = kx r est une singularité macroscopique d’ordre m de type (k,r) de (3),s’il existe (standard) mɛN ∗ , tel que :i) le r-macroscope transforme l’équation (3) en une équation lente-rapide de la forme :εdy/dx = f(x, y), εɛR+ ∗ , et ε ≃ 0,ii) ∀x appreciable ◦ f y (l) (x, kx r ) = 0, ∀l ≤ m,iii) ∀x appreciable ◦ f y (m+1) (x, kx r ) ≠ 0.Théorème 3. : Considérons l’équation (3) et supposons que F est une fonction rationnelleen X et Y et qu’on soit dans un cas critique. Soit Φ(X) = kX r une singularitémacroscopique et Γ une demi-trajectoire défini pour X > 0 de cette équation. Alors si Γest un fleuve pour l’équation (3) , il est aussi un fleuve pour l’équation (4) obtenu par lechangement de variable ( ˜X = X , Ỹ =Y − kXr ) .Preuve : Pour la preuve du théorème ci-dessus on pose Y 1 = Y − kX r et on verraque ce changement de variable transforme (3) en une équation différentielle de la forme :dY 1 /dX = G(X, Y 1 ) (5)possédant un fleuve en X = +∞ de type (k 1 ,r 1 ), où r 1 < r. En revenant à l’équationinitiale on aura Y = kX r + k 1 X r1 .Notation : Soit (k n ) nɛN ∗ et (r n ) nɛN ∗ deux suites réelles.Soit nɛN. On notera C(k, r) n la fonction définie par : C(k, r) n : F(R 2 , R) −→ F(R 2 , R)telle que⎧⎨C(k, r) n (F )(X, Y ) = F (X, Y ) si n = 0∑⎩ C(k, r) n (F )(X, Y ) = F (X, Y + n ∑k i X ri ) − n k i r i X ri−1 si n ≠ 0 ⎭Soit Y 1 = Y − k 1 X r1 . Alors on a :dY 1 /dX = dY/dX − k 1 r 1 X r1−1 = F (X, Y ) − k 1 r 1 X r1−1i=1dY 1 /dX = F (X, Y 1 + k 1 X r1 ) − k 1 r 1 X r1−1 = C(k, r) 1 (F )(X, Y 1 ).∑D’une manière générale si on pose :Y n = Y − n k i X ri , nɛN, on aurai=1i=1dY n /dX = C(k, r) n (F )(X, Y n ).Soit G = C(k, r) n (F ) et ϕ(X) une trajectoire de (3). Soit ψ défini par⎫⎬n∑ψ(X) = ϕ(X) − k i X ri ,i=1pour toutX > A, AɛR.TAMTAM –Tunis– 2005

118 B. AbdelkaderAlors pour tout X > A nous avonsG ′ y(X, ψ(X)) = F ′y (X, ϕ(X)).Ce qui permet de conclure que ϕ est un fleuve généralisé de dY/dX = F (X, Y ) si etseulement si ψ est un fleuve généralisé de dY 1 /dX = G(X, Y 1 ). Théorème 4. :Une condition suffisante pour l’existence de fleuve de type (k,r) d’ordre mpour l’équation (3) est qu’il existe un couple de réels standard (k, r)ɛR ∗ × R ∗ , tel quei) y = kx r soit une singularité macroscopique d’ordre m de (3),ii) (F r ) ′ y ne change pas de signe en dehors du halo de y = kx r ,iii) F r (1, k) = 0.Preuve : En effet, en tenant compte du théorème 3, il suffit de voir que de la conditioni) et celle de iii) nous avons une singularité macroscopique appartenant à la courbe lente ;donc il existe une solution ψ(X) de (3) qui soit asymptote à Y = kX r .La condition ii) par contre, nous assure l’attractivité (( ◦ F r ) ′ y(x, kx r ) < 0) ou larépulsivité (( ◦ F r ) ′ y(x, kx r ) > 0) qui est une condition primordiale pour l’existence desfleuves.4. Bibliographie[1] BOUHASSOUN A. , "Fleuves des champs de vecteurs du plan", Thèse de Magister, Oran 1988.[2] BLAIS F., "Asymptotic expansions of rivers", Dynamic bifurcations (Luminy, 1990), LectureNotes in Math. 1493, Springer, Berlin, pp.181–189, 1991.[3] BLAIS F., "Fleuves généralisés", Thèse de doctorat, Paris VII 1989.[4] DIENER F., "Propriétés asymptotiques des fleuves", C.R. Acad. Sc. Paris, t.302, Série I, n ◦ 2,pp.55-88,1986.[5] DIENER M. and REEB G., "Champs polynômiaux : nouvelles trajectoires remarquables", Bulletinde la Société Mathématique de Belgique, XXXVIII : pp.136-150, 1986.[6] MICHEL F., "Asymptotique des solutions oscillantes d’équations différentielles", Ann. Math.Blaise Pascal, Vol. 4, N ◦ 1, pp.69-79, 1997.[7] VAN DEN BERG I. P., "On solutions of polynomial growth of ordinary differential equations",Journal of differential equations Vol.81, n ◦ 2, pp.368-402, october 1989.TAMTAM –Tunis– 2005

General results about neutral functionaldifferential equations with infinite delayH. Bouzahir ** Université Ibn Zohr,Ecole Nationale des Sciences Appliquées (ENSA),Département de Génie Industriel et Informatique,B.P. 33/S AGADIR,MOROCCObouzahir@esta.ac.maABSTRACT. In this paper, we present some general results about partial neutral functional differentialequations with infinite delay. We develop problems of existence of solutions, stability and existenceof a global attractor. Besides its origin in the description of transmission lines systems, the class ofequations we are interested in is a special case of age structured populations models.RÉSUMÉ. Dans ce papier, nous présentons un certain nombre de résultats généraux sur les équationsdifférentielles fonctionnelles à retard infini et de type neutre. Nous développons des problèmesd’existence de solutions, de stabilité et d’existence d’un attracteur global. En plus de son origine endescription de systèmes de lignes de transmission, la classe d’équations auxquelles on s’intéréssecorréspond à un cas spécial de modèles de population structurés en age.KEYWORDS : semigroup, delay, neutral type, alpha contraction, quasicompact, global attractorMOTS-CLÉS : semi groupe, retard infini, neutre, alpha contraction, quasi compact, attracteur global119 TAMTAM –Tunis– 2005

120 Bouzahir1. IntroductionWe consider the following class of nonlinear partial neutral functional differentialequations with infinite delay{ ∂∂t Du t = ADu t + F (t, u t ), t ≥ 0,(1)x 0 = φ ∈ B,where A : D(A) ⊆ E → E is a linear operator on a Banach space (E, |.|), B is thephase space of functions mapping (−∞, 0] into E, which will be specified later, D is abounded linear operator from B into E defined by Dϕ = ϕ(0) − D 0 ϕ for any ϕ ∈ B,D 0 is a bounded linear operator from B into E and for each u : (−∞, b] → E, b > 0,and t ∈ [0, b], u t represents, as usual, the mapping defined from (−∞, 0] into E byu t (θ) = u(t + θ) for θ ∈ (−∞, 0] . F is an E-valued nonlinear continuous mapping onIR + × B.(B, ‖.‖ B) is a (semi)normed abstract linear space of functions mapping (−∞, 0] intoE, and satisfies the following fundamental axioms:(A) There exist a positive constant H and functions K(.), M(.) : IR + → IR + , withK continuous and M locally bounded, such that for any σ ∈ IR and a > 0, if x :(−∞, σ + a] → E, x σ ∈ B and x(.) is continuous on [σ, σ + a], then for every t in[σ, σ + a] the following conditions hold:(i) x t ∈ B,(ii) |x (t)| ≤ H ‖x t ‖ B, which is equivalent to(ii) ′ |ϕ(0)| ≤ H ||ϕ|| B , for every ϕ ∈ B ,(iii) ‖x t ‖ B≤ K(t − σ) supσ≤s≤t|x (s)| + M (t − σ) ‖x σ ‖ B.(A1) For the function x(.) in (A), t ↦→ x t is a B-valued continuous function for t in[σ, σ + a].(B) The space B is complete.Example 1. Define for a positive constant γ the following standard space{C γ := φ : (−∞, 0] → E continuous such that, limθ→−∞ eγθ φ(θ)exists in E}. (2)It is known that C γ with the norm ‖φ‖ γ= sup e γθ |φ(θ)| , φ ∈ C γ , satisfies the axiomsθ≤0(A), (A1) and (B) with H = 1, K(t) = max(1, e −γt ) and M(t) = e −γt for all t ≥ 0.Note also that, in this example, K is bounded and M(t) < 1 for all t ≥ 0.We also assume that the operator A satisfies the Hille-Yosida condition :(H1) there exist ¯M ≥ 0 and ω ∈ IN such that ]ω, +∞[ ⊂ ρ(A) andsup { (λ − ω) n ∥ ∥ (λI − A)−n ∥ ∥ : n ∈ IN, λ > ω}≤ ¯M. (3)TAMTAM –Tunis– 2005

Neutral functional differential equations 121Let A 0 be the part of the operator A in D(A), which is defined by{ {}D(A 0 ) = x ∈ D(A) : Ax ∈ D(A) ,A 0 x = Ax for x ∈ D(A 0 ).It is well known that D(A 0 ) = D(A) and the operator A 0 generates a strongly continuoussemigroup (T 0 (t)) t≥0on D(A).Recall that for all x ∈ D(A) and t ≥ 0, one has ∫ t0 T 0(s)x ∈ D(A 0 ) and(A∫ t0)T 0 (s)xds + x = T 0 (t)x. (4)We also recall that (T 0 (t)) t≥0coincides on D(A 0 ) with the derivative of the locally Lipschitzintegrated semigroup (S(t)) t≥0generated by A on E. Which is a family of boundedlinear operators on E, that satisfies(i) S(0) = 0,(ii) for any y ∈ E, t → S(t)y is strongly continuous with values in E,(iii) S(s)S(t) = ∫ s(S(t + r) − S(r))dr for all t, s ≥ 0,0and for any τ > 0 there exists a constant l(τ) > 0 such that‖S(t) − S(s)‖ ≤ l(τ) |t − s| , for allt, s ∈ [0, τ] .This integrated semigroup is exponentially bounded, that is, there exist two constants ¯Mand ¯ω such that ‖S(t)‖ ≤ ¯Me¯ωt for all t ≥ 0.Very much attention has been given to differential difference equations of neutral type.The reason was applications on lossless transmission lines. The development has concernedthe general theory of partial neutral functional differential equations. The studyof the special form (1) has been motivated by a model for a continuous circular array ofresistively coupled transmission lines with mixed initial boundary conditions discussedby Wu ([4]). Based on the book [4], Adimy and Ezzinbi have published a list of interestingpapers about Eq. (1) (see [3]) but with finite delay. This work (such as [1] and [2])presents the construction of a complete theory about the infinite delay case.2. Main resultsTo obtain our results, we make the following assumption which means that the operatorD 0 does not depend very strongly upon ϕ(0).(H2) There exists a continuous nondecreasing function δ : [0, +∞) → [0, +∞[, δ(0) =0 and a family of continuous linear operators W ε : B → E, ε ∈ [0, +∞), such that|D 0 ϕ − D ε ϕ| ≤ δ(ε) ‖ϕ‖ B, for ε ∈ [0, +∞) and ϕ ∈ B,TAMTAM –Tunis– 2005

122 Bouzahirwhere the linear operator D ε : B → E is defined for ε ∈ [0, +∞), by{Dε = W ε ◦ τ ε ,τ ε (ϕ)(θ) = ϕ(θ − ε), for ϕ ∈ B and θ ∈ (−∞, 0] .We impose also that (T 0 (t)) t≥0is exponentially stable, i.e.,(H3) there exist two positive constants ¯M and ω 0 such that‖T 0 (t)‖ D(A)≤ ¯Me −ω0t , t ≥ 0,and that the operator D is stable in the sense that(H4) For all T > 0, there exist positive constants a 1 , α and β such that for all g ∈C([0, +∞) , E), the integral solution of the functional equation{ Dxt = g(t), t ∈ [0, T ] ,x 0 = ψ, where ψ ∈ B and Dψ = g(0),satisfies the inequality ‖x t ‖ B≤ a 1 sup |g(s)| + βe −αt ‖ψ‖ Bfor all t ∈ [0, T ] and0≤s≤tψ ∈ B with Dψ = g(0).Consider the following system{ ∂∂t Du t = ADu t if t ≥ 0,u(θ) = ϕ (θ) if θ ∈ (−∞, 0] with ϕ ∈ B.(5)Using equality (4), we can see that a necessary condition for u : (−∞, b) → E, b > 0, tobe a solution of Eq. (5) is that it verifies the following integrated one on (−∞, b){Dut = T 0 (t)Dϕ, t ≥ 0,(6)u 0 = ϕ,whereϕ ∈ Y :={}ϕ ∈ B : Dϕ ∈ D(A) .The following fundamental inequality is essential.Lemma 1. Suppose that Conditions (H2) and (H4) are fulfilled and let ψ ∈ B andh ∈ C ([0, T ] ; E), T > 0 such that Dψ = h(0). Then, for any ε > 0 sufficiently smallsuch that K(0) ‖D 0 ‖ < 1 and M(s) < 1 for all s ∈ [0, t − ε], t ∈ [0, T ] , there exista > 0 and functions b, c, d ∈ L ∞ ([0, T ] , IR + ) such that the solution v of the equation{ Dvt = h(t), t ∈ [0, T ] ,(7)v(t) = ψ(t), t ∈ (−∞, 0]satisfies the inequality‖v t ‖ B≤ e[b(t) −a(t−ε) ‖ψ‖ B+ c(t) sup |h(s)|0≤s≤ε]+ d(t) sup |h(s)| , t ∈ [ε, T ] .ε≤s≤t(8)TAMTAM –Tunis– 2005

Neutral functional differential equations 123The following result is only the combination of Lemma 3 in [2] and Proposition 11 in[1] which are proved in a general framework. Precisely, here it suffices to take h(t) :=T 0 (t)Dϕ.Proposition 1. Assume that Condition (H1) is satisfied and ‖D 0 ‖ K(0) < 1. Then,for given ϕ ∈ Y there exists a unique function u which is continuous on [0, T ) andsolves Eq. (6) on (−∞, T ). Moreover, the family of operators (T (t)) t≥0 defined on Y byT (t)ϕ = u t (., ϕ) is a C 0 -semigroup on Y.Under the hypothesis that K is bounded on [0, +∞) , the estimate (8) combined with(H3) yield the following result.Proposition 2. Assume that Conditions (H1), (H2), (H3) and (H4) are satisfied, K isbounded on [0, +∞) and ‖D 0 ‖ K(0) < 1. Suppose that M(s) < 1 for all s ∈ [0, +∞) .Then, there exists a function γ(.) ∈ L ∞ ([0, +∞) , IR + ) and ω > 0 such that‖T (t)ϕ‖ B≤ γ(t)e −ωt ‖ϕ‖ Bfor all t ∈ [0, +∞) and ϕ ∈ Y. (9)REMARK. — The above proposition is one of the keys to stability, dissipativeness andexistence of a global attractor for Eq. (1). We intend to present the extended version ofthe paper.3. References[1] M. ADIMY, H. BOUZAHIR AND K. EZZINBI, Existence and stability for some partial neutralfunctional differential equations with infinite delay, J. Math. Anal. Appl., Vol. 294, Issue 2, June15, 438-461 (2004).[2] M. ADIMY, H. BOUZAHIR AND K. EZZINBI, Local existence for a class of partial neutralfunctional differential equations with infinite delay, Differential Equations and Dynam. Systems,Vol. 12, Nos. 3-4, July-October, 353-370, (2004).[3] M. ADIMY AND K. EZZINBI, Existence and stability for a class of partial neutral functionaldifferential equations, Hiroshima Math. J., to appear.[4] J. WU, Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag,(1996).TAMTAM –Tunis– 2005

Goursat boundary value problem forhyperbolic equation with variable domains ofoperators coefficientsA. Guezane-Lakoud and A. ChaouiDepartment of Mathematics, Faculty of Sciences, University Badji Mokhtar, B.P. 12, 23000, Annaba,Algeria.ABSTRACT. This talk is a generalization of the works [3] and [5] , we study the existence and uniquenessof the strong generalized solution for a Goursat boundary value problem generated by a class ofhyperbolic equations; we suppose that the operator’s coefficients have variable domains of definition.The proofs are obtained via a priori estimate in non-classical functional spaces, which follows in astandard manner from the energy inequality method, and on the density of the range of the operatorgenerated by the considered problem.RÉSUMÉ.KEYWORDS : Functional differential equation, Goursat condition, energy inequality, a priori estimate,variable domain, strong solution.MOTS-CLÉS :TAMTAM –Tunis– 2005 124

Goursat boundary value problem for hyperbolic equation 1251. IntroductionThe aim of this paper is the study of Goursat boundary value problem generated by aclass of hyperbolic differential operator equations with variable domains. For hyperbolicGBVP, various results were proved under different assumptions on the operator coefficientssee [1, 4, 11], but the domains of definition were constant.In the case where the operator coefficients have variable domains, some boundaryvalue problems were studied in [3, 9, 10]. In all these works the functional methodused was the energy inequality method. Similar boundary values problem with non-localboundary conditions were studied in [2, 3]. We note that the case when the operatorscoefficients are assumed to be infinitesimal generators of analytic semi groups, the onedimensional time Cauchy problem generated by an evolution equation in a Banach spacehas been studied by many authors, see [5, 8].2. Position of the problem and assumptionsLet H be a Hilbert space with the norm |, | and the inner product (, ) .We consider in D = ]0, T 1 [ × ]0, T 2 [ a bounded region in R 2 , the following Goursatboundary value problem ( GBVP (1)-(2)):Lu =∂2 u+ ∂u + ∂u + A(t)u = f(t) (1)∂t 1 ∂t 2 ∂t 1 ∂t 2l 1 u(t 1 , t 2 ) = u(t 1 , 0) = ϕ(t 1 ); l 2 u(t 1 , t 2 ) = u(0, t 2 ) = ψ(t 2 ). (2)Where u and f are two t−variable functions t = (t 1 , t 2 ) ∈ D with value in H, ϕ and ψare respectively from ]0, T 1 [ and ]0, T 2 [ with values in H and are such that the compatibilitycondition ϕ(0) = ψ(0) is satisfied.The linear operators A(t), ∀t ∈ D, are unbounded in H, with domains D (A(t))depending on t and everywhere dense in H. We have the following assumptions:(a): The operators A(t), for t ∈ D are self-adjoint in H and there exists a positiveconstant c 1 not depending on v and t such that:(A(t)v(t), v(t)) ≥ c 1 |v(t)| 2 ; ∀v(t) ∈ D (A(t)) ; ∀t ∈ D.(b): The inverse operators to A(t) exist on D and A −1 (t) are strongly differentiablewith respect to t in H with ∂A−1 (t)∂t 1, ∂A−1 (t)∂t 2∈ L ∞ (D, L(H)).TAMTAM –Tunis– 2005

126 A. Guezane-Lakoud et al.3. Functional spacesNow we start the description of functional spaces. We construct the Hilbert spaceW (t) on D ( A 1/2 (t) ) for all t ∈ D, equipped with the norm∣|u| t= ∣A 1/2 (t)u∣ .We define by L the operator (L, l 1 , l 2 ) = (f, ϕ, ψ) generated by the GBVP (1)-(2) withthe domain{D(L) = u ∈ L 2 (D, H), u(t) ∈ D(A(t)), ∂u , ∂u}, A(t)u ∈ L 2 (D, H) .∂t 1 ∂t 2The operator L acts from E into F, where E is the completion of D(L) according tothe norm( ∫ s1∣‖u‖ 2 1 =u(t 1 , s 2 ) ∣∣∣2 ∫ s2∣ ∣ dt 1 +u(s 1 , t 2 ) ∣∣∣2 ∫ ∫0 ∂t 1∣ dt 2)+2 |u| 2 t0 ∂t dt 1dt 2 ;2 Dsup(s 1,s 2)∈Dand F is the Hilbert space L 2 (D, H) × L 2 (]0, T 1 [ , H) × L 2 (]0, T 2 [ , H), whose elementsF = (f, ϕ, ψ) are such that ϕ(0) = ψ(0) and the norm‖F ‖ 2 2 = ‖f‖2 L 2(D,H) + ‖ϕ‖2 L 2(]0,T 1[,H) + ‖ψ‖2 L 2(]0,T 2[,H)is finite.For the operator L we present the following Lemma:Lemma 1. Assume that conditions (a) and (b) hold, then D(L) is dense in L 2 (I, H).Proof. It follows from condition (a).Remark 1. When the domain of definition is depending on the variable t, then the regularizingoperators are introduced for the uniqueness theorem.4. A priori estimateTheorem 1. Under the conditions of Lemma 1, we get for all u ∈ D(L) the followingestimate‖u‖ 2 1 ≤ C ‖Lu‖2 2 . (3)Where the positive constant C is independent on t and on u.Proof. Since the operators A(t) are not bounded, we approximate them by a bounded andstrongly differentiable operators A(t)A −1ε (t) whereA −1ε (t) = (I + ε A(t)) −1 ; ε ≥ 0.The regularizing operators A −1ε (t) have the following properties:TAMTAM –Tunis– 2005

Goursat boundary value problem for hyperbolic equation 127-The regularizing operators A −1ε (t) are strongly differentiable for almost t, in H,commute with A(t), ∥ A−1ε (t) ∥ L(H)≤ 1 and when ε tends to 0 we have for all u ∈ H:∣ εA(t)A−1ε (t)u ∣ ∣ = ∣u − A−1ε (t)u ∣ → 0. (P 1) (4)-The operators A(t)A −1ε (t) are strongly differentiable for every t ∈ D and∂(A(t)A −1ε∂t i(t))= −1ε∂A −1ε∂t i(t)=−A(t)A −1εWe integrate by parts the double real part of the expressione c(s1+s2−t1−t2) × ( Lu, A −1ε (t)u )(t) ∂A−1 (t)A(t)A −1ε (t), i = 1, 2. (P 2)∂t i(5)over the domain D s = ]0, s 1 [ × ]0, s 2 [ ⊂ D, then we use δ−Cauchy inequality and weapply the properties of regularizing operators when ε goes to 0. Finally the inequality (3)follows by passing to the supremum over (s 1 , s 2 ) ∈ D and the constant C is equal toe T1+T2 .Lemma 2. The following statement is true in the view of Theorem 1: The operator L hasa cloture L with domain of definition D(L) = D(L).Proof. Since the operators l 1 u and l 2 u are continuous it suffices to prove that foru n ∈ D(L), u n → 0; Lu n → f ∈ L 2 (D, H) ⇒ f = 0. (6)From the density of D(L) in E (see Lemma 1) it follows that f = 0.So a function u is in D( L) _ if there exist a sequences (u n ) ∈ D(L) and an element_F ∈ F such that ‖u − u n ‖ 1→ 0 and ‖Lu n − F ‖ 2→ 0 i.e: Lu = lim n→∞ Lu n thenD(L) = D(L).Definition 1. The solution of equationLu = F,is called a strong generalized solution of the considered problem.By passing to the limit we extend the inequality (3) to strong solutions u ∈ D ( L ) :‖u‖ 2 1 ≤ C ∥ ∥ Lu 2, ∀u ∈ D(L). (7)2Remark 2. From the inequality (5), we deduce that the strong generalized solution of theGBVP, when it exists is unique, depends continuously on the data (f, ϕ), the range R(L)of the operator L is closed in F, R(L) = R(L) and (L) −1 = L −1 .To prove the existence of the strong generalized solution, it remains to prove that therange R (L) is dense in the Hilbert space F, which is equivalent to R (L) ⊥ = {0} .TAMTAM –Tunis– 2005

128 A. Guezane-Lakoud et al.5. Existence of the strong generalized solutionTheorem 2. Assume that the conditions of the Theorem 1 hold. Then for any u ∈D( __ L) and (f, ϕ, ψ) ∈ F, there exists one and only one strong generalized solution u =L −1 _(f, ϕ, ψ) to the GBVP (1)-(2) satisfying‖u‖ 2 1 ≤ C ‖(f, ϕ, ψ)‖2 2, ∀u ∈ D(L).Proof. Let V = (v, ϕ, ψ) ∈ R(L) ⊥ and F = (f, ϕ, ψ) = Lu = (Lu, l 1 u, l 2 u), u ∈D(L), then from(F, V ) = 0 ⇒ (Lu, v) L2(D,H) + (ϕ, l 1 u) L2 (]0,T 1 [,H) + (ψ, l 2u) L2 (]0,T 2 [,H) = 0,we shall prove that V = 0.First step. Let u ∈ D(L) = {u ∈ D(L) : l 1 u = l 2 u = 0}, then(F, V ) = 0 ⇒ (Lu, v) L2(D,H) = 0. (8)We set u = A −1ε (t)h, where h is an arbitrary element of L 2 (D, H) in (6), take thedouble real part, using the properties of the regularizing operators A −1ε (t) when ε tendsto 0 and putting h = v, we obtain:∫ T20|v| 2 t 1=T 1dt 2 +∫ T10∫ ∫|v| 2 t 2=T 2dt 1 + 2consequently from condition (a) we have v = 0.Second step. Let u ∈ D(L), thenD∣∣∣A 1 2 ∣∣2(t)v dt1 dt 2 = 0,(F, V ) = 0 ⇒ (ϕ, l 1 u) L2 (]0,T 1 [,H) + (ψ, l 2u) L2 (]0,T 2 [,H) = 0.Since the range of the operator (l 1 , l 2 ) is everywhere dense inL 2 (]0, T 1 [ , H)×L 2 (]0, T 2 [ , H), then ϕ = ψ = 0, so, V = 0. This achieves the proof ofthe Theorem 2.6. References[1] N. I. BRICH & N. I. YURCHUK, Goursat’s problem for abstract second order linear differentialequations. Diff. Uravn. 7. 1017-1030. (1971).[2] A. GUEZANE-LAKOUD, On a class of hyperbolic equation with abstract non-local boundaryconditions. Internat. J. Appl. Sci. Comput.Vol 8, N ◦ 2, 110-118, (2001).[3] A. GUEZANE-LAKOUD, Abstract variable domain hyperbolic differential equations.Demonstratio Mathematica. N 4. V 37. 884-892, (2004).[4] A. GUEZANE-LAKOUD, On Goursat boundary value problem. 6TH Pan-African Congressof Mathematicians. September.01-06, 2004, Tunis , Tunisia.TAMTAM –Tunis– 2005

Goursat boundary value problem for hyperbolic equation 129[5] A. GUEZANE-LAKOUD& F. REBBANI & N. I. YURCHUK, Problème aux limites pour uneéquation différentielle opérationnelle de second ordre. Maghreb. Mathematical Review. V.6.N ◦ 1. 39-48. (1997).[6] T. KATO, Abstract evolution equations of parabolic type in Banach and Hilbert spaces. N.M.J.V.19. 93-125. (1961).[7] T. KATO & H. TANABE, On the abstract evolution equation. Osaka. Math. J. 14. 107-133.(1962).[8] S. G. KREIN, Linear differential equation in Banach space. Engl-Trans Am. Math. Soc. (1972).[9] O. A. LADYŽENKAIA, The boundary value problems of mathematical physics. Springer-Verlags. NewYork. (1985).[10] F. E. LOMOVTSEV, Abstract evolution equations with discontinuous operator coefficients,Diff. Uravn, 31. N ◦ 7. 1132-1141.(1995).[11] F. E. LOMOVTSEV, Necessary and sufficient conditions for the unique solvability of theCauchy problem for the second order hyperbolic equations with a variable domain of operatorcoefficients, Diff. Uravn, 28. N ◦ 5. 873-886. (1992).[12] N. I. YURCHUK, The Goursat problem for second order hyperbolic equations of specialkind. Diff. Uravn, 4. 1333-1345. (1968).TAMTAM –Tunis– 2005

ACP neuronale : application à l’analysed’image multispectraleSalim ChitroubDépartement de TélécommunicationFaculté d’Electronique et d’Informatique, U. S. T. H. B.B. P. 32, El-Alia, Bab-Ezzouar, 16111, AlgerALGERIEs_chitroub@hotmail.comRÉSUMÉ. L’application de l’Analyse en Composantes Principales (ACP) pour l’amélioration et lacompression des images de télédétection implique le calcul de la matrice de covariance des imagesd’entrée et de sa décomposition spectrale pour extraire les valeurs propres et vecteurs proprescorrespondants. Lorsque la taille de la scène imagée et/ou le nombre d’images d’entrée croît, lecalcul de la matrice de covariance et de sa décomposition spectrale deviennent pratiquementinefficaces et imprécis en raison des erreurs d’approximation. Nous proposons ici un modèle deréseau de neurones qui effectue l’ACP directement à partir des images originales d’entrée sanscalculs non-neuronaux additionnels ou évaluations préliminaires des matrices. Le modèle a étéréalisé sur une image de télédétection réelle. Les résultats obtenus prouvent l’efficacité du modèle.L’étude comparative a montré que l’ACP neuronale est légèrement supérieure à la méthodestatistique de l’ACP.ABSTRACT. The application of principal component analysis (PCA) for enhancement andcompression of remote sensing images involves the computation of the input image covariancematrix and its spectral decomposition to extract their eigenvalues and corresponding eigenvectors.When the size of the imaged scene and/or the number of input images grows significantly, thecomputation of the covariance matrix and its spectral decomposition become practically inefficientand inaccurate due to round-off errors. We propose here a neural network model that performs thePCA directly from the original input images without any additional non-neuronal computations orpreliminary matrix estimation. The neural network model has been realized on real remote sensingimage. The obtained results show that the model performs well. A comparative study has shownthat the proposed method is slightly superior to the statistical method of PCA.MOTS-CLÉS : Réseaux de neurones, Image multispectrale, Analyse en composantes principales.KEYWORDS : Neural networks, Multispectral image, Principal component analysis.TAMTAM –Tunis– 2005 130

ACP neuronale 1311. IntroductionLes images multispectrales sont corrélées et sujettes à des déformations [1]. Ceci setraduit par un bruit additif. Afin d’avoir une représentation optimale de l’imagemultispectrale, l’ACP a été utilisée. Cependant, la mise en œuvre de l’ACP souffre dela difficulté d’une évaluation précise de la matrice de transformation. L’estimation de lamatrice de covariance n’est pas une tâche facile lorsque la taille de l’image et/ ou lenombre d’images est important, où nous observons une accumulation des erreurs ducalcul. Ainsi, pour une application efficace de l’ACP, une méthode qui détermine avecprécision la matrice de transformation linéaire, sans devoir estimer la matrice decovariance et calculer sa décomposition spectrale, est nécessaire. Ceci peut être réaliséen utilisant les réseaux de neurones qui s’adaptent à la nature des données [2].2. Problématique avec l’ACP statistiqueSoient, X le vecteur d’images spectrales, Y le vecteur d’images composantesprincipales (CP) et A la matrice de la transformation linéaire telle que : Y = A.X. LaTmatrice de covariance du Y est telle que : Y A. X.A , où X est la matrice decovariance du X. Les valeurs propres de X sont telles que : i 0,pouri 1,2,..., p, avec p est le nombre d’images spectrales. Soient d ,d d1 2,...,p les vecteurspropres normalisés associés aux i.En utilisant la notion de décomposition spectrale,T Y est alors la forme diagonale de X : X D..D où est une matriceT Tdiagonale dont la diagonale sont les i.Comme D.D D .D I , où I est laTTmatrice identité, en posant A D nous obtenons : Y A . X.A . La matriceA est donc la transposée de la matrice des vecteurs propres normalisés de X .La recherche de valeurs propres et vecteurs propres de matrices est un problèmecomplexe dans le cas général. Plusieurs méthodes ont été développées dans la littérature[3]. On s’intéresse ici à la méthode de calcul des valeurs propres et vecteurs propres parla transformation de déflation de matrices. Le principe de la méthode est le suivant : siA est une matrice carrée de dimension n avec comme valeurs propres 1 > 2 >…> n > 0et vecteurs propres d 1 , d 2 ,…,d n , , alors la matrice A 1 , est telle que : A t1 I d 1 d1Aadmet comme valeurs propres 0, 2 ,..., n et vecteurs propres d 1 , d 2 , …, d n . A 1 est appeléela transformation de déflation de la matrice A. Il suffit donc d’appliquer la méthode dela puissance itérée [4] à A 1 pour obtenir la valeur propre de A de plus grand module(après 1 ,) puis d’opérer une déflation de A 1 , et ainsi de suite. Cependant, la méthode nedonne pas 1 et d 1 , mais des valeurs approchées. Ainsi, par déflation, on n’obtient pasA 1 mais une matrice approchée. Il y a dégradation de la matrice de départ, qui s’ajoute àTAMTAM –Tunis– 2005

132 Chitroubl’approximation de la méthode proprement dite. La précision sur les valeurs propres etles vecteurs propres successifs diminue à partir d’un certain rang de la matrice.3. ACP Neuronale d’Images MultispectralesLa topologie du modèle neuronal pour l’ACP d’image multispectrale est présentéedans la figure 1. Les images spectrales (vecteur X) sont connectées aux images CP àextraire (vecteur Y) par les coefficients synaptiques (vecteur W). Les poids latéraux(vecteur C) servent à décorréler la m ième CP au cours de l’extraction avec les (m-1) CPdéjà extraites. L’apprentissage est basé sur le calcul récursif au sens des moindres carrés“recursive least squares (RLS)” pour extraire la m ième CP sachant que les (m-1) CP ontété déjà extraites. Il se fait selon les deux règles suivantes :WC2k1Wjkk.yjk.X yjkW.jk2k 1C kk.y kY. y k.Ckjj (1)jjj1jj (2)La première règle, dite adaptative, est la règle Hebbienne d’apprentissage. Ladeuxième règle, dite d’orthogonalité, est la règle anti-Hebbienne d’apprentissage. Ellen’est pas utilisée dans la construction de la première CP. Le paramètre k joue un rôlecapital dans la convergence du réseau [5], [6] et [7]. Le choix optimal de k . est expriméen fonction de la taille de l’image, L, et de la variance de la CP en cours deconstruction, E(y 2 j ), telle que : k = [L.E(y 2 j )] -1 . Le réseau se stabilise lorsque les W iconvergent vers les vecteurs propres de X , et les C i convergent vers zéro. La structuredu réseau qui extrait la première image CP est la même que celle donnée dans la figure1, mais avec seulement un neurone à la couche de sortie. Pour extraire le reste desimages CP, la taille de la structure de réseau augmente par un ou plusieurs neuronesselon le nombre de CP à extraire et les poids latéraux sont utilisés pour connecter lesneurones des CP déjà extraites à la structure du réseau. L’algorithme d’apprentissagepeut être alors énoncé comme suit:1. Initialisation des coefficients W j (0) et C j (0) à de petites valeursaléatoires.2. Calcul de la sortie du neurone y j (0).3. Mise à jour des vecteurs W j (k) et C j (k), et du paramètre (k).4. Si le critère d’arrêt est atteint, arrêt de l’apprentissage. Autrementretour à l’étape 3.TAMTAM –Tunis– 2005

ACP neuronale 133Le critère d’arrêt est la valeur absolue de la différence, entre la variance du neuronede sortie de l’itération en cours et celle de la précédente, qui devrait être petite ou égaleà une petite valeur fixe.WC(Couche d’entrée) N neuronesd’entrée correspondant aux Nimages spectrales constituant levecteur X......(Couche de sortie) P neuronesde sortie correspondant aux Pimages CP constituant levecteur YFigure 1. modèle de réseaux de neurone pour l’ACP d’image multispectrale.4 Résultats ExpérimentauxUne image multispectrale (Figure 2) de taille (200x200 pixels) est utilisée pourévaluer l’ACP neuronale. Aucune information ne peut être extraite à partir de cesimages qui sont corrélées, sombres et bruitées. Le tableau 1 nous donne les valeurs desrapports signal sur bruit “Signal-to-Noise Ratio (SNR)” dans ces images. Les images CPextraites sont montrées dans la figure 3. Ses valeurs des SNR sont données dans letableau 1. L’essentiel des informations originales est concentré maintenant dans lapremière image CP, qui est une image de très haute qualité. Presque toutes lesvariations de la scène sont visibles dans cette image. La deuxième et troisième imageCP sont moins contrastées et le SNR est faible. Les trois dernières images CP extraitessont dominées par le bruit et l’information contenue est négligeable.Afin d’effectuer une étude comparative, l’ACP statistique est utilisée. Le critère demesure de la fiabilité dans la compression d’images est utilisé. Ceci consiste àreconstituer les images spectrales en utilisant les deux premières images CP. L’erreurtdes moindres carrées “Mean-Square-Error (MSE)” est utilisée : MSE Exixˆ i . xixˆi,où x i et xˆ i sont les images spectrales et reconstituées, respectivement. Les figures 4 et5 donnent les valeurs du MSE pour chaque paire d’images spectrales/reconstituées del’ACP neuronale et statistique, respectivement. Pour l’ACP neuronale, toutes lesvaleurs du MSE se trouvent dans l’intervalle [2,10 et 3,95], ce qui reflète une forteressemblance entre les images spectrales et les images reconstituées. La valeurmoyenne du MSE est approximativement égale à 2,987. Cette erreur est acceptablepuisque les deux premières images CP représentent 98.87% de la variance totale desimages spectrales. Ceci signifie que l’ACP neuronale représente un facteur deTAMTAM –Tunis– 2005

134 Chitroubcompression égal à 3. Pour l’ACP statistique, les valeurs du MSE varient de 2,50 à 4,50et la valeur moyenne est égale à 3,50. Nous pouvons dire alors que l’ACP neuronale estplus précise que l’ACP statistique puisque la valeur moyenne correspondante du MSEest plus petite.que l’ACP statistique puisque la valeur moyenne correspondante du MSE est pluspetite.SNR dans les images spectrales (IS) originales1 ère IS 2 ème IS 3 ème IS 4 ème IS 5 ème IS 6 ème IS45.095375 41.679432 140.698288 142.237122 443.795746 181.927475SNR dans les images CP (ACP neuronale)1 ère CP 2 ème CP 3 ème CP 4 ème CP 5 ème CP 6 ème CP964.941357 19.277951 7.787135 6.024435 1.486921 0.728147SNR dans les images CP (ACP statistique)1 ère CP 2 ème CP 3 ème CP 4 ème CP 5 ème CP 6 ème CP960.954285 18.823294 7.699635 5.393777 1.747629 0.815081Tableau 1. Rapport signal sur bruit (SNR) dans les images spectrales (IS) et imagesComposantes Principales (CP) de l’ACP neuronale et l’ACP statistique.IS1 IS2 IS3 IS4 IS5 IS6Figure 2. Les six images spectrales (IS) originales fournies par le satellite Landsat-Thematic Mapper (TM). (Région Djebel Amour, Sud de l’Algérie).CP 1 CP 2 CP 3 CP 4 CP 5 CP 6Figure 3. Les six images composantes principales (CP) de l’ACP neuronale.TAMTAM –Tunis– 2005

ACP neuronale 1354,04,5Average MSE value of the reconstitution processAverage MSE value of the reconstitution process3,54,0Mean-Square-Error3,02,5Mean-Square-Error3,53,02,01 2 3 4 5 62,51 2 3 4 5 6Order of the original/reconstituted spectral imagesOrder of the original/reconstituted spectral imagesFigure 4. MSE dans ACP neuronale.Figure 5. MSE dans ACP statistique.6. ConclusionL’ACP neuronale pour l’extraction des CP de l’image multispectrale sans avoir àcalculer la matrice de covariance est présentée. L’algorithme d’apprentissage a étéétabli et implémenté de sorte que l’exécution du logiciel soit totalement indépendantede l’utilisateur. Les résultats obtenus montrent l’efficacité de l’approche. La capacité decompression est prouvée en reconstituant les images spectrales avec un minimumd’erreurs au sens des moindres carrées. La précision des résultats est satisfaisante. Uneétude comparative entre l’ACP neuronale et l’ACP statistique est également effectuée.L’étude a prouvé que l’ACP neuronale est légèrement supérieure à l’ACP statistique.5. Bibliographie[1] J. A. Richards and J. A. Xia, Remote Sensing Digital Image Analysis. An Introduction, 3 ndEdition, Springer-erlag, Berlin, 1999.[2] S. Haykin, Neural Networks, a Comprehensive Foundation, 2 nd Edition, Prentice-Hall, 1999.[3] A. J. Richard, and D. W. Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis. 2 nd Edition,Prentice Hall International, New Jersey, 1988.TAMTAM –Tunis– 2005

136 Chitroub[4] J. P. Nougier, Méthodes de calcul numériques, 3 ème édition révisée, Edition Masson, 1987,Chap. 7, PP. 148-165.[5] D. O. Hebb, The Organization of Behavior, Wiley, New York, 1949.[6] S. Y. Kung, K. I. Diamantaras, K. I., and J. S. Taur, “Adaptive principal component extraction(APEX) and applications”, IEEE Transaction on Signal Processing, Vol. 42, No. 5, pp. 1202-1217, 1994.[7] S. Bannour, and M. R. Azimi-Sadjadi, “Principal component extraction using recursive leastsquares learning”, IEEE Transaction on Neural Networks, Vol. 6, No. 2, pp. 457-469, 1995.TAMTAM –Tunis– 2005

Bifurcations de bassins d’attraction pour lesapplications avec dénominateurM. R. Ferchichi * — I. Djellit ** Département de Mathématiques, Université de Annaba, Algériemrferchichi@yahoo.fr, I_djellit@hotmail.comRÉSUMÉ. On se propose d’étudier certaines bifurcations de contact de bassins d’attraction d’attracteurspour des applications bidimensionnelles inversibles et dont l’inverse est avec dénominateur pouvants’annuler. A ce type d’application est lié la notion de point focal et courbe préfocale, qui sera le principaloutil mathématique de cet exposé. On mettra en évidence le lien existant entre bifurcation debassin d’attraction (connexe-nonconnexe) et point focal de l’application inverse, situé à l’intérieurextérieurdu bassin d’attraction.ABSTRACT. We propose to study some contact bifurcations of basins of attractors for two-dimensionalmaps having an inverse with a vanishing denominator. At this kind of maps is related the notion offocal point and prefocal curve, that will be the main mathematical tool in this study. We put in evidencethe link existing between basin bifurcation (connected-nonconnected) of attractor of a map withfractional inverse and focal point of this inverse.MOTS-CLÉS : Bassins d’attraction, Bifurcations, Points focaux, Courbes préfocale.KEYWORDS : Basins of attractors, Bifurcations, Focal points, Prefocal curves.137 TAMTAM –Tunis– 2005

138 Ferchichi et al.1. IntroductionLes applications dans R 2 , {x ′ = F (x, y), y ′ = G(x, y)}, avec au moins une des composantesF ou G définie par une fonction fractionnelle rationnelle, ont souvent été rencontréesdans des applications (voir par exemple [Marimon & Sunder, 1994 ; Billings& Curry, 1996, 1997 ; Bischi & Naimzada, 1995, 1997 ; Barucci et al., 1997]). Certainespropriétés dynamiques particulières peuvent être mises en évidence, pour des applications(ou leurs inverses) ayant un dénominateur s’annulant ou prenant la forme 0/0 en un pointde R 2 .Les notions de point focal et de courbe préfocale, seront les principaux outils mathématiquesutilisés dans cette étude. Grosso modo, une courbe préfocale est une courbedont l’image par l’inverse d’une application fractionnelle se réduit à un seul point, appelépoint focal. Les effets des points focaux et des courbes préfocales sur les propriétés géométriquesd’une application rationnelle seront détaillés, dans la suite. Par exemple, l’existenced’un point focal d’une application inverse peut donner naissance à un ensembleattractant particulier, où le point focal se comporte comme un noeud pour une infinitéde courbes invariantes d’un ensemble attractant.On s’intéressera aussi à l’ensemble despoints qui annulent le dénominateur d’une application rationnelle (appelé ensemble denon-définition), pour sa relation avec la bifurcation donnant naissance à des branches nonbornées de l’ensemble instable d’un point col (ou d’un cycle col), et donc détermine desbassins d’attraction non bornés.Dans le paragraphe un, on donnera les définitions et propriétés de base des pointsfocaux et des courbes préfocales. Dans le paragraphe deux, on s’intéressera aux propriétésgéométriques des points focaux et des courbes préfocales. On prouvera, qu’il existe unlien entre bifurcation de bassin d’attraction d’un attracteur d’une application et courbepréfocale de l’application inverse, lorsque celle-ci est fractionnelle. Dans le paragraphetrois, on étudiera les notions citées ci-dessus, pour le cas de l’application de Bogdanov,comme application polynomiale ayant un inverse fractionnel.2. Définitions et propriétés des points focaux et des courbespréfocalesDans ce paragraphe nous donnerons certaines définitions et propriétés génériques liéesaux applications (x, y) → (x ′ , y ′ ) = T (x, y), de la formeT :{x ′ = F (x, y)y ′ = G(x, y) = N(x,y)D(x,y)(1)où F (x, y), N(x, y) et D(x, y) sont des fonctions polynomiales dans R 2 .TAMTAM –Tunis– 2005

Bifurcations de bassins d’attraction 139L’ensemble de non-définition de T est donné par :δ s = { (x, y) ∈ R 2 /D(x, y) = 0 } . (2)On supposera, dans la suite, que δ s est une courbe régulière du plan ( δ s est un sous espacede dimension 1 de R 2 ). La récurrence bidimensionnelle obtenue par l’itération de T serabien définie, si les conditions initiales appartiennent à l’ensemble E donné parE = R 2 −∞⋃T −k (δ s ). (3)k=0Dans le but de définir les concepts de point focal et de courbe préfocale, on considèreun arc régulier γ transverse à δ s et on étudie son image par l’application T, c’est-à-direla forme de l’image T (γ). En prenant l’image T (γ), on suppose γ que l’arc est privé dupoint en lequel il coupe δ s .Définition 1 : Considérons l’application (1). Un point Q = (x 0 , y 0 )est un point focal,si G(x, y) prend la forme 0/0 en Q et s’il existe des arcs simples réguliers γ(τ), avecγ(0) = Q, tel que lim T (γ(τ)) est finie. L’ensemble de toutes ces valeurs finies, obtenuesτ→0en prenant différents arcs γ(τ) passant par Q, est appelé courbe préfocale δ Q .On peut calculer analytiquement la courbe préfocale et le point focal, à condition quel’inverse soit connu explicitement. On recherche l’ensemble des points J 0 ′ pour lesquelsdet(DT −1 ) s’annule, et on calcule les images, par T −1 , des points de J 0. ′ Si J 0 ′ contientune courbe δ telle que T −1 (δ) se réduit à un point Q, alors δ est une courbe préfocalepour l’application T et Q le point focal associé.La proposition qui suit montre que lim T (γ(τ)) dépend uniquement de la pente m de l’arcτ→0γ(τ) au point Q et non pas de γ(τ) lui même. La démonstration se trouve dans l’articlede Bischi, Gardini et Mira [4].Proposition 1 : Soit T une application de la forme (1) et soit Q un point focal associé à lacourbe préfocale δ Q . Alors il existe une correspondance biunivoque entre la pente m d’unarc γ passant par Q, non tangent à δ s , et le point (F (Q), y = lim G(γ(τ))) par lequelτ→0T (γ) traverse δ Q . Cette correspondance est donnée parm → (F (Q), y(m)) =(F (Q), N x ′ + m.N y′ )D x ′ + m.D y′(4)et(F (Q), y) → m(y) = D′ x.y − N ′ xN ′ y − D ′ y.y(5)où N ′ x = ∂N/∂x(x 0 , y 0 ) et analogiquement pour les autres dérivées partielles.La proposition suivante permet de localiser géométriquement le point focal dans le plan.Proposition 2 : Soit T = (F (x, y), G(x, y)) une application polynomiale de R 2 → R 2 etTAMTAM –Tunis– 2005

140 Ferchichi et al.soit T −1 = (H(x, y), N(x, y)/D(x, y)) son inverse. Si N(x, y)/D(x, y) prend la forme0/0 en un point Q = (x 0 , y 0 ), alors Q est un point focal de T −1 si et seulement si Qappartient à δ s ∩ T (δ s ).Il en découle de la proposition ci-dessus le corollaire suivant :Corollaire : Soit Q un point focal de T −1 , si γ(τ) = T (δ s ) et γ(0) = Q, alorslim T −1 (γ(τ)) appartient à δ s ∩ δ Q .τ→03. Propriétés géométriques des points focaux et des courbespréfocalesDans ce paragraphe on étudie comment un contact entre un segment de courbe γet l’ensemble de non-définition δ s de T cause un changement qualitatif notable dans laforme de l’image T (γ) ; et comment un contact de γ avec une courbe préfocale δ Q causeun important changement qualitatif dans la forme de la préimage T −1 (γ). Considéronsun segment de courbe borné γ entièrement contenu dans une région où le dénominateurde l’application T ne s’annule pas et telle que l’application est continue en tout pointsde γ. Puisque γ est un sous ensemble compact de R 2 , son image T (γ) est aussi compact.Supposons qu’après un déplacement de γ vers δ s , un contact tangent entre γ et δ s a lieu enun point A 0 = (x 0 , y 0 ) non focal. Il en découle que l’image T (γ) n’est plus compact et estl’union de deux branches non bornées disjointes asymptotiques à la droite σ d’équationx = F (x 0 , y 0 ).Le changement qualitatif décrit ci-dessus, peut représenter une importante bifurcation decontact d’une application fractionnelle T , quand γ est, par exemple, la variété instablelocale Wloc u d’un point col. En fait l’apparition d’une branche non bornée de W u , dûe aucontact avec δ s , peut donner naissance à des points homoclines, résultant d’intersectionstransverses (et non tangentielles) entre les ensembles stable et instable, W s et W u , d’unmême point col.Examinons maintenant l’action de l’application inverse sur un segment de courbe régulierω, qui tend vers une courbe préfocale δ Q jusqu’à ce qu’il la traverse. On suppose queδ Q est inclus dans la droite d’équation x = F (Q) et que la correspondance définie parles formules (4) et (5) est vérifiée. Comme ω tend vers δ Q , sa préimage ω −1 = T −1 (ω)tend vers le point focal Q. Lorsque ω devient tangent à δ Q en un point C = (F (Q), y c ),alors ω −1 touche le point focal Q et a un point cusp en ce point. La pente de la tangentecommune aux deux arcs qui se joignent en Q est donnée par la formule (5).TAMTAM –Tunis– 2005

Bifurcations de bassins d’attraction 1414. Application de BogdanovL’application de Bogdanov est définie dans tout le plan R 2 par les équations suivantes[1] :{ xT (x, y) =′ = x + y + a.y + b.x(x − 1) + c.x.yy ′ (6)= y + a.y + b.x(x − 1) + c.x.yoù a, b, c sont des paramètres réels. L’application de Bogdanov est une application inversible,dont une des composantes de l’inverse T −1 est avec dénominateur. L’inverse T −1est donné par :{x = x ′ − y ′T −1 (x ′ , y ′ ) =y = y′ −b(x ′ −y ′ )(x ′ −y ′ −1)1+a+c(x ′ −y ′ ). (7)L’ensemble de non-définition δ s de T −1 est donné par l’équation suivante :y = x + 1+ac .La matrice Jacobienne de T est égale à :[ ]1 + 2bx − b + cy 1 + a + cxDT (x, y) =.2bx − b + cy 1 + a + cxSon Jacobien det DT (x, y) = 1 + a + cx s’annule sur la courbe d’équation x = (−1 −a)/c. L’image de cette courbe se réduit à un point Q de coordonnées(k + b.k(k − 1), b.k(k − 1))où k = (−1 − a)/c. Par conséquent, ce point est un point focal de T −1 et la courbed’équation x = (−1 − a)/c est la courbe préfocale associée. Pour a = 0.12, l’applicationT a un attracteur, qui est une courbe fermée invariante résultant d’une bifurcation deNeimark-Hopf. Le point focal de T −1 se trouve à l’intersection de δ s et de T (δ s ), et est àl’intérieur du bassin d’attraction de la courbe fermée invariante. Ainsi la courbe préfocaleassociée et ses images par T −1 sont dans le bassin d’attraction. Ce qui donne un bassinnon borné, avec une frontière asymptotique à la courbe préfocale et à ses images par T −1 .On remarque aussi que l’attracteur ne touche pas la courbe préfocale et donc le pointfocal.5. Bibliographie[1] D.K. ARROWSMITH, « The Bogdanov Map : Bifurcation, Mode Locking, and Chaos in DissipativeSystem », International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 3, 1993, pp. 803-842.[2] L. BILLINGS, J.H. CURRY, « On noninvertible maps of the plane : Eruption », CHAOS, 6,1996, pp. 108-119.[3] G.I. BISCHI, A. NAIMZADA, « Maps with denominator. Part 1 : some generic properties »,Economic Notes, Vol. 26, N3, 1997, pp. 143-174.TAMTAM –Tunis– 2005

142 Ferchichi et al.[4] G.I. BISCHI, L. GARDINI, C. MIRA, « Global analysis of a nonlinear model with learning »,International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol.9, N1, 119-153.[5] I. GUMOWSKI, C. MIRA, « Dynamique Chaotique », Ed. Cépadues, Toulouse, 1980.[6] C. MIRA, D. FOURNIER-PRUNARET, « Bassin bifurcations of two dimensional noninvertiblemaps : fractalization of basins », International Journal of Bifurcations and Chaos, Vol. 4, No.2 (1994) 343-381.TAMTAM –Tunis– 2005

Equilibre dans un système dynamique enlubrification incompressibleI. Hafidi ** Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Lyon, MAPLY, INSA de Lyon, UMR 5585RÉSUMÉ. On étudie les solutions stationnaires d’un système hydrodynamique constitué de deuxcorps rigides, en régime lubrifié(filme mince) très proches, quand la distance entre les deux surfacestend vers 0. La pression du fluide obéit à l’équation de Reynolds. On obtient dans ce papier l’existenceconditionnelle des solutions.ABSTRACT. We study stationary solutions of a device made by two of rigid bodies in a lubricationregime (thin film assumption), when the gap between the surfaces goes to 0. The film pressure obeysto the Reynolds lubrication equation. We obtain conditional existence of the solutions.MOTS-CLÉS : Equation de Reynolds, Comportement asymptotique, système dynamique, solutionsstationnairesKEYWORDS : Reynolds equation, assymptotic behaviour, dynamical system, stationnary solutions143 TAMTAM –Tunis– 2005

144 Hafidi1. IntroductionOn étudie dans cette note les solutions stationnaires d’un système hydrodynamiquequi est constitué de deux plaques non parallèles. La plaque inférieure horizontale, supposéplane, est animée d’une vitesse de translation horizontale. La plaque supérieure estsoumise à une force donnée F > 0. L’espace entre les deux plaques très mince et remplid’un fluide incompressible.Sous l’hypothèse de la mécanique des films minces, la pression normalisée du fluide nedépend pas de la cordonnée verticale et vérifie l’équation dite de Reynolds :∇ · [h(x,t) 3 ∇p ] = ∂h + ∂h∂x 1 ∂tx = (x 1 , x 2 ) ∈ Ω (1)p = 0 x ∈ ∂Ω (2)Où Ω est la projection de la surface supérieur sur la surface inférieur, h est la distancenormalisée entre les surfaces.On permet à la surface supérieur deux degré de liberté :∫Le déplacement vertical a à sous l’effet de la force F et de la charge W = p induitepar l’écoulement du fluide.La rotation autour du milieu de la surface supérieur, θ, du à l’effet du moment.L’épaisseur h est de la forme :h(x) = h 0 (x) + a + x 1 θoù h 0 est une épaisseur de référence.Le problème d’équilibre consiste à trouver ( p, a, θ ) solution du :⎧ [ (h0∇ · + a + x 1 θ ) ]3∇p = ∂h 0+ θ,∂x 1(i)Ω⎪⎨⎪⎩p = 0,∫∫ΩΩp = F ,px 1 = F ˆx 1 .Pour simplifier, on considère Ω =] − 1, 1[ 2 , et soit ˆx 1 ∈]0, 1[.On suppose que la fonction h 0 vérifie les hypothèses suivantes :(H)min h 0(x) = 0,x∈Ω∂h 0∂x 1≤ 0,(ii)(iii)(iv)h 0 ∈ C 1 (¯Ω).(3)TAMTAM –Tunis– 2005

Equilibre dans un système dynamique 145Remarque 1.1. Pour que le problème (3) (i)(ii) admet une solution, on suppose que :(H0)a + θ ≥ 0.Dans tout le papier les hypothèses ( H ) et ( H 0)sont satisfaits.Pour comprendre l’évolution du système il est nécessaire de connaître le comportementde la charge et des moments quand le minimum de l’épaisseur H tend vers 0.Avant d’étudier l’existence d’une solution du système (3), on montre dans la section 2des résultats sur le comportement asymptotique, quand la surface supérieur tend vers lasurface inférieur.2. Comportement asymptotiqueDans cette partie on prend h 0 sous la forme :h 0 (x) = (1 − x 1 ) α h 1 (x) avec α ≥ 1h 1 (x) ∈ C 1 (Ω) avec 0 < m < h 1 < M∀x ∈ Ω. Alors, il existe C > 0 indépen-LEMME 2.1. Si h 1 > 2 3 αM + 1 − x 1 ∂h 1α ∂x 1dante de a telle que :p ≤ ¯q 1 =∫ x1−1C(M(1 − s)α + a ) 2 dsLEMME 2.2. Il existe δ 0 ∈] − 1, 1[, tel que pour toute φ ∈ C 2 ([δ 0 , 0]), avec φ(δ 0 ) = 0et pour tout q 2 ∈ C 2 ([−1, 0]), avec q 2 (−1) = q 2 (0) = 0, on a :p(x 1 , x 2 ) ≥ cq 1 (x 1 )q 2 (x 2 )φ(x 1 ), ∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ωδ 0 =]δ 0 , 1[×] − 1, 1[.c est une constante suffisamment petite et :q 1 (x 1 ) =(1 − x 1 ) α+1(M(1 − x1 ) α + a) 3Démonstration. L’ingrédient principale pour les deux lemmes est le principe de Maximum.On peut maintenant énoncer le résultat principal .THÉORÈME 2.1. Soit h 0 de la forme :h 0 (x) = h 1 (x) ( 1 − x 1) αavec h1 ∈ C 2 (Ω), m < h 1 (x) < M ∀x ∈ Ω et α ≥ 1Alors on a :TAMTAM –Tunis– 2005

146 Hafidia ) ∫ Ωpdx → +∞ quand a → 0.Soit ( x 0 1, x 0 2)∈ Ω.b ) si h 1 (x) > 2 3 αM + 1 − x 1 ∂h 1alors :α ∂x 1∫(x 1 − x 0 1)pdx → +∞ quand a → 0Ωc ) Si h 0 est symétrique en x 2 par rapport à x 2 = 0 on a quand a → 0 :∫∫(x 2 − x 0 2)p → +∞ si x 0 2 ∈] − 1, 0[, (x 2 − x 0 2)p → −∞ si x 0 2 ∈]0, 1[,Ω∫etΩ(x 2 − x 0 2)p → 0 si x 0 2 = 0.Ω3. Solutions stationnaires3.1. Cas planDans cette partie, on suppose que h 0 est sous la forme : h 0 (x) = c 1 x 1 + c 2 .∀ ˆx 1 ∈]0, 1[ alors le problème scalaire (3) admet une so-THÉORÈME 3.1. ∀F > 0,lution .Démonstration. s = − θ + c 2a + c 1∈]0, 1[, q s = p a 2 .Trouver ( s, a ) tel que :⎧∇ · [(1 − sx 1 ) 3 ∇q s ] = −s∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ωq s = 0sur ∂Ω⎪⎨∫q s dx = F (4)Ω a 2∫⎪⎩ x 1 q s dx = F ˆx 1Ωa 2 .∫R(s) = (x 1 − ˆx 1 )q s avec q s solution de (4) 1 et (4) 2 .ΩTAMTAM –Tunis– 2005

Equilibre dans un système dynamique 147⎧∇ · [(1 − sx 1 ) 3 ∇q s ] = −s∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ω⎪⎨q s = 0R(s) = 0sur ∂Ω(5)⎪⎩ a =√∫qsF(5) ⇐⇒ R(s) = 0.On montre aussi que :lim R(s) = +∞, lim R(s) = 0, ∂R (0) < 0, d’où le résultat qu’ons→1 s→0 ∂scherche.3.2. Cas bidimensionnelOn suppose que les hypothèses ( H ) et ( H 0)sont vérifiées.THÉORÈME 3.2. ∀F > 0, ∃x 0 ∈]0, 1[, tel que ∀ˆx 1 ≥ x 0 , il existe une solution(p, a, θ).Démonstration. b = a + θ 1 ∈]0, +∞[, r(x) = h 0(x)(1 − x 1 ) .⎧∇[ ( b + (1 − x 1 )(−θ 1 + r(x)) ) 3∇p] =∂∂x 1((1 − x1 )(−θ 1 + r(x)) )⎪⎨⎪⎩p = 0∫pdx = F∫ΩΩx 1 pdx = F ˜x 1(6)∫R(θ 1 ) = (x 1 − ˆx 1 )p avec p solution de (6) 1 , (6) 2 et (6) 3 .ΩPour la démonstration, on utilise les deux lemmes suivants :LEMME 3.1. ∃β > 0 tel que la fonction R(θ 1 ) est continue sur ] − ∞, −β[.TAMTAM –Tunis– 2005

148 HafidiLEMME 3.2. On a lim R(θ 1) > 0θ 1→−∞Pour avoir le résultat qu’on cherche, on choisit ˆx 1 , tel que R(β) est strictement négative.Le résultat qu’on cherche est immédiate d’après ce qui précède.3.3. Cas monodimensionellePour simplicité on pose : Ω =] − 1, 1[Dans cette partie on suppose que : h 0 (1) = 0, h ′ 0 ≤ 0 et h 0 (x) ∈ C 1 ([−1, 1])Notre problème s’écrit sous la forme :⎧ [ (h0+ a + xθ ) 3 ′ ]′p = h ′ + θ (i)⎪⎨p = 0∫ 1−1p = F(ii)(iii)(7)⎪⎩∫ 1−1px = F ˆx(iv)Avec ˆx ∈]0, 1[THÉORÈME 3.3. ∀F > 0, ∃x 0 , tel que ∀ˆx 1 ≥ x 0 , il existe une solution ( a, θ 1 , p ) .THÉORÈME 3.4. Si F assez grand, alors ∀ˆx, il existe une solution pour (7).Démonstration. La démonstration dans le cas monodimensionnel est la même que le casbidimensionnel, en plus on obtient que la fonction R(θ) est continue sur ] − ∞, Max|h ′ 0|[,ce qui nous donne plus de choix pour ˆx 1 .4. BibliographieG.BAYADA, M.CHAMBAT, Sur quelques modélisations de la zone de cavitation en lubrificationhydrodynamique, Journal de Mécanique théorique et appliquée, Vol.5, N.5, 1986, p.703-729.M. Chipot. Singular perturbation problems of the compressible Reynolds equation. In InternationalWorkshop on Mathematical Modelling in Lubrication, number 1, pages 31–36. UniversidadeVigo, Spain, October 1990.TAMTAM –Tunis– 2005

Solutions de similitude d’un jeu différentielstochastiqueM. LefebvreDépartement de mathématiques et de génie industrielÉcole Polytechnique de Montréal, CanadaRÉSUMÉ. On considère un processus stochastique commandé bidimensionnel défini par un ensembled’équations différentielles stochastiques. Contrairement à la formulation habituelle, les variablesde commande apparaissent dans les variances infinitésimales du processus, plutôt que dansles moyennes infinitésimales. Le jeu différentiel prend fin lorsque les deux processus sont égaux ouque leur différence est égale à une constante donnée. Des solutions explicites à des problèmes particulierssont obtenues en utilisant la méthode des similitudes pour résoudre l’équation aux dérivéespartielles appropriée.ABSTRACT. A two-dimensional controlled stochastic process defined by a set of stochastic differentialequations is considered. Contrary to the usual formulation, the control variables appear only inthe infinitesimal variances of the process, rather than in the infinitesimal means. The differential gameends the first time the two controlled processes are equal or their difference is equal to a given constant.Explicit solutions to particular problems are obtained by making use of the method of similaritysolutions to solve the appropriate partial differential equation.MOTS-CLÉS : théorie des jeux, mouvement brownien bidimensionnel, processus d’Ornstein-Uhlenbeck,programmation dynamique.KEYWORDS : game theory, two-dimensional Brownian motion, Ornstein-Uhlenbeck process, dynamicprogramming.149 TAMTAM –Tunis– 2005

150 Lefebvre1. IntroductionSoit (X 1 (t), X 2 (t)) le processus de diffusion commandé bidimensionnel défini par leséquations différentielles stochastiquesdX i (t) = a(X i (t)) dt + {|u i (t)| v(X i (t))} 1/2 dW i (t) (1)pour i = 1, 2, où W 1 (t) et W 2 (t) sont des mouvements browniens standards indépendants.Il est à noter que c’est la variance infinitésimale de (X 1 (t), X 2 (t)) qui dépend de lacommande, plutôt que sa moyenne infinitésimale, comme dans la formulation classique.Cette situation peut être plus réaliste dans plusieurs applications (voir [2]).On désire trouver les variables de commande u i (t) qui optimisent l’espérance mathématiquede la fonction de coûtJ(x 1 , x 2 ) =∫ T0[λ + u 2 1(t) − u 2 2(t)] dt + K(X 1 (T ), X 2 (T )) (2)où λ est une constante et{ 0 si X1 (T ) − XK(X 1 (T ), X 2 (T )) =2 (T ) = 0k si X 1 (T ) − X 2 (T ) = doù k est une constante positive.Le temps final T = T (x 1 , x 2 ) est une variable aléatoire :T (x 1 , x 2 ) = inf{t > 0: X 1 (t) − X 2 (t) = 0 ou d | X i (0) = x i } (4)où l’on suppose que 0 < x 1 − x 2 < d. C’est-à-dire que le jeu prend fin lorsque l’unou l’autre de deux événements se produit pour la première fois : les deux processus sontégaux, ou bien leur différence est égale à la constante k.Il y a deux optimiseurs ; le premier (à l’aide de la variable u 1 (t)) veut minimiserl’espérance mathématique de J, tandis que le deuxième (à l’aide de u 2 (t)) essaie de lamaximiser. Les valeurs optimales de u 1 et u 2 seront calculées explicitement dans troiscas importants en utilisant un cas particulier de la méthode des similitudes pour résoudrel’équation aux dérivées partielles appropriée.(3)2. Commandes optimalesSoitF (x 1 , x 2 ) =minu 1 (t)0 ≤ t ≤ Tmaxu 2 (t)0 ≤ t ≤ TE[J(x 1 , x 2 )] (5)TAMTAM –Tunis– 2005

Solutions de similitude 151La fonction de valeur F satisfait à l’équation de programmation dynamique (voir [3])[2∑(0 = min max λ + u 2 1 − u 2 2 + a i F xi + 1 ) ]u 1 u 2 2 v i|u i |F xix i(6)où u i = u i (0), a i = a i (X i (0)), etc.Puisque u i n’apparaît qu’au carré ou en valeur absolue dans l’équation (6), on peutsupposer que u i ≥ 0. On trouve alors quei=1u ∗ i = ± 1 4 v iF xix i(7)où le signe est choisi de façon que u ∗ i ≥ 0. En substituant dans l’équation de programmationdynamique, on trouve que l’on doit résoudre l’équation aux dérivées partiellesλ + 116 v2 1F x1x 1− 12∑16 v2 2F x2x 2+(a i F xi + 1 )8 v i|F xix i|F xix i= 0 (8)i=1Les conditions limites sont{ 0 si x1 − xF (x 1 , x 2 ) =2 = 0k si x 1 − x 2 = doù d > 0. Nous allons obtenir des solutions explicites à des problèmes particuliers importantsen supposant queF (x 1 , x 2 ) = G(z) (10)où z = x 1 − x 2 . L’équation aux dérivées partielles que l’on doit résoudre est alors transforméeen l’équation différentielle ordinaire (non linéaire)( ) 3v2λ + 116 + v2 2[G ′′ (z)] 2 + (a 1 − a 2 )G ′ (z) = 0 (11)16et les conditions limites sont : G(0) = 0 et G(d) = k.(9)3. Solutions explicitesCas I. Supposons que a(X i (t)) ≡ 0 et v(X i (t)) ≡ 1. Si u i (t) ≡ 1, alors (X 1 (t), X 2 (t))est un mouvement brownien standard bidimensionnel. L’équation (11) devientλ + 1 4 [G′′ (z)] 2 = 0 (12)On voit que l’on doit choisir λ plus petit ou égal à zéro. Puisque les commandes optimalesdoivent être non négatives, on déduit queu ∗ i = ± 1 4 G′′ (z) = 1 2√−λ (13)TAMTAM –Tunis– 2005

152 LefebvreOn peut aussi écrire queF (x 1 , x 2 ) = √ −λ(x 1 − x 2 ) 2 + (k − √ −λ d 2 ) (x 1 − x 2 )dpour x 1 − x 2 dans l’intervalle [0, d].Cas II. Supposons maintenant que a(X i (t)) ≡ µ i et v(X i (t)) ≡ σi 2. Si u i(t) ≡ 1, alors(X 1 (t), X 2 (t)) est un processus de Wiener bidimensionnel dont les paramètres infinitésimauxsont µ i et σi 2 , pour i = 1, 2. Par souci de simplicité, nous ne considérons que le casparticulier suivant :L’équation (11) devient alorsCette équation possède la solution(14)σ 2 1 = σ 2 2 = 1, µ 1 = 0, µ 2 = 1, d = 1 (15)λ + 1 4 [G′′ (z)] 2 − G ′ (z) = 0 (16)G(z) = 1 3 z3 ± 1 2 c 1z 2 +Les conditions limites impliquent que c 2 = 0 et( )λ + c2 1z + c 2 (17)4[ ( )] 1/2 1c 1 = ±1 ± 1 − 43 + λ − k (18)Notons que l’on doit avoir :k ≥ λ + 1(19)12Pour que les commandes optimales soient non négatives, on choisit les signes + cidessus.On obtient queu ∗ i = (x 1 − x 2 )+ c 1(20)2 4qui est non négatif pour x 1 − x 2 ∈ [0, 1], car c 1 est positif.Cas III. Supposons finalement que a(X i (t)) ≡ −X i (t) et v(X i (t)) ≡ 1. Cette fois-ci, siu i (t) ≡ 1, alors (X 1 (t), X 2 (t)) est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck bidimensionnel(voir [1], par exemple). L’équation à résoudre estλ + 1 4 [G′′ (z)] 2 − z G ′ (z) = 0 (21)Nous avons réussi à trouver une solution explicite dans le cas où λ = 0. On a alors :G(z) = 1 9 z4 + 815 c 1z 5/2 + c 2 1z + c 2 (22)TAMTAM –Tunis– 2005

Solutions de similitude 153On prend c 2 = 0 etc 1 = − 815 d3/2 + 2(− d325 + k ) 1/2(≥ 0) (23)doù l’on suppose queIl s’ensuit queu ∗ i = (x 1 − x 2 ) 23k ≥ d425+ (x 1 − x 2 ) 1/22(24)+ c 1 (≥ 0) (25)4. ConclusionComme suite de ce travail, on pourrait essayer de résoudre des problèmes pour lesquels,par exemple,K(X 1 (T ), X 2 (T )) =On rechercherait alors des solutions de la formeF (x 1 , x 2 ) = H{ 0 si X1 (T ) = X 2 (T )k si X 1 (T ) = cX 2 (T )(x1x 2)(26)(27)On pourrait aussi remplacer l’équation différentielle stochastique paret la fonction de coût pardX i (t) = a(X i (t)) dt + {u 2 i (t) v(X i (t))} 1/2 dW i (t) (28)J(x 1 , x 2 ) =∫ T0[λ + u 4 1(t) − u 4 2(t)] dt + K(X 1 (T ), X 2 (T )) (29)Finalement, on pourrait essayer d’autres techniques, comme la méthode de séparationdes variables, pour résoudre l’équation de programmation dynamique.Remerciements : Cette recherche a été subventionnée par le Conseil de recherches ensciences naturelles et en génie du Canada.TAMTAM –Tunis– 2005

154 Lefebvre5. BibliographieD.R. Cox et H.D. Miller, The Theory of Stochastic Processes, Methuen, London, 1965.M. Lefebvre, “A homing problem for diffusion processes with control-dependent variance”, Annalsof Applied Probability, vol. 14, no 2, p. 786-795, 2004.P. Whittle, Optimization over time. Volume I : Dynamic programming and stochastic control,Wiley, Chichester, 1982.TAMTAM –Tunis– 2005

Sur une classe d’équations elliptiques àdonnées dans L 1D. Meskine ** LERMA, Ecole Mohammadia d’ingénieurs, Rabat Marocdriss.meskine@laposte.net.RÉSUMÉ. Nous montrons un résultat d’existence des solutions pour des problèmes de Dirichlet detype−div((1 + |u|) m ∇u log α (1 + |∇u|))) = χ +où χ ∈ L 1 (Ω), α ∈ R et m > 0, A ∈ L ∞ (Ω).A(x))|∇u| 2(1 + |u|)log(1 + |u|) logα (1 + |∇u|)) dans Ω,ABSTRACT. We prove an existence result for solutions of Dirichlet problems whose simplest modelis:−div((1 + |u|) m ∇u log α (1 + |∇u|))) = χ +where χ ∈ L 1 (Ω), α ∈ R and m > 0, A ∈ L ∞ (Ω).MOTS-CLÉS : Equations elliptiques, Troncatures, espaces d’Orlicz .KEYWORDS : Elliptic equations, Truncations, Orlicz spaces.A(x)|∇u| 2(1 + |u|)log(1 + |u|) logα (1 + |∇u|)) in Ω,155 TAMTAM –Tunis– 2005

156 Meskine1. IntroductionDans le présent travail, on se propose d’étudier certaine classe d’équations elliptiquesétroitement liés aux problèmes de la formeA(u) = −div(a(u) M(|∇u|)|∇u| 2 ∇u) = χ + β(u)M(|∇u|) dans Ω (1.1)où A(u) est un opérateur de type Leray Lions standard, b est une fonction continue positiveet M est une N-fonction.On rappelle que les équations de type (1.1) ont été initialement étudié par Gossez ([10]ou [11]) dans le cadre variationnel et avec β(u) = 0, et α ≤ a(u) ≤ β. Récemment, unthéorème d’existence, qui couvre le cas β(s) ≠ 0, a été prouvé dans [7] (voir aussi [2] et[3]).Dans le cas où χ ∈ L 1 (Ω), un résultat d’existence des solutions a été donné dans [8],mais sous l’hypothèse −β(u)u ≥ 0 (consulter [13] pour le cas M(t) = tp p ).On se propose dans ce travail de donner un résultat d’existence des solutions de (1.1)mais sans supposer la condition du signe précédente. Les équations elliptiques de type(1.1) apparaissent dans plusieurs applications physiques. C’est le cas par exemple traitédans [12] où les auteurs ont considéré un dielectrique D dont la perméabilité ɛ(|E|) quidépend du champ electrostatique E est de la forme ɛ(|E|) = α + log γ (1 + |E| 2 ), avecα > 0 et 0 ≤ γ ≤ 1. En supposant de plus que D est enfilé par une famille de fibresconducteurs, ils ont constaté que le potentiel u, décrit à l’intérieur du dielectrique, satisfaitune équation de la forme−div(ɛ(|∇u|)∇u) + g(x, u) = f dans Doù g(x, u) est une fonction de Carathéodory et f ∈ L 1 (Ω). Autres applications de ce typed’équations peuvent être rencontrées en mecanique des fluides et la théorie de plasticité(voir les travaux de Bildhauer-Fuchs [4]et Fuchs-Seregin [9]).2. Préliminaires sur les espaces d’Orlicz2.1.On dit que M : R + → R + est une N-function, si elle est continue, convexe, avecM(t) > 0 pour t > 0, M(t)t→ 0 quand t → 0 et M(t)t→ ∞ quand t → ∞.Ou d’une manière équivalente, M admet la représentation : M(t) = ∫ ta(s)ds avec0a : R + → R + est une fonction croissante, continue à droite, avec a(0) = 0, a(t) >0 pour t > 0 et a(t) tend vers ∞ quand t → ∞.La N-function M conjuguée de M est definie par M(t) = ∫ t0 ā(s)ds, avec a : R+ → R +TAMTAM –Tunis– 2005

Sur une classe d’équations elliptiques 157est une fonction donnée par ā(t) = sup{s : a(s) ≤ t} (voir [1]).Une N-function est dit satisfait la condition ∆ 2 s’il existe k > 0 tel que :M(2t) ≤ kM(t) ∀t ≥ 0, (2.1)si (2.1) est satisfaite pour t ≥ t 0 > 0 on dit que M satisfait la condition ∆ 2 au voisinagede l’infini.2.2.Soit Ω un ouvert borné de R N . La classe d’Orlicz K M (Ω) ( resp. la classe d’OrliczL M (Ω) est définie comme étantl’ensemble ( des classes d’équivalence modulo l’égalitép.p. sur Ω) de fonctions réelles mesurables u sur Ω telles que :∫Ω∫M(u(x))dx < +∞( resp.ΩM( u(x) )dx < +∞ pour un certain λ > 0).λL M (Ω) est un espace de Banach pour la norme de Luxembourg∫‖u‖ M,Ω = inf{λ > 0 : M( u(x) )dx ≤ 1}λet K M (Ω) est un sous-ensemble convexe de L M (Ω).La fermeture dans L M (Ω) de l’ensemble des fonctions bornées à support borné dans Ωest notée E M (Ω).L’égalité E M (Ω) = L M (Ω) a lieu si et seulement si M satisfait la condition ∆ 2 , ( auvoisinage de l’infini seulement lorsque Ω est de mesure finie).∫L’espace dual de E M (Ω) peut être identifié à L M(Ω) au moyen du produit uvdx, et lanorme duale sur L M(Ω) est équivalente à ‖.‖ M,Ω.The space L M (Ω) is reflexive if and only if M and M satisfy the ∆ 2 condition, for all tor for t large, according to whether Ω has infinite measure or not.2.3.L’espace d’Orlicz-Sobolev d’ordre 1 noté W 1 L M (Ω)[resp. W 1 E M (Ω)] est définicomme étant l’ensemble des fonctions u telles que u est ses dérivées, au sens des distributions,d’ordre≤ 1, appartiennent à L M (Ω) [resp. E M (Ω)]. Ce sont des espaces deBanach pour la norme :‖u‖ 1,M = ∑‖D α u‖ M .|α|≤1Ainsi, W 1 L M (Ω) et W 1 E M (Ω) peuvent être identifiés avec des sous-espaces du produitde N + 1 copies de L M (Ω). En notant ce produit par ∏ L M , on utilisera les topologiesΩΩTAMTAM –Tunis– 2005

158 Meskinefaibles σ( ∏ L M , ∏ E M) et σ( ∏ L M , ∏ L M).L’espace W 1 0 E M (Ω) est défini comme étant la fermeture pour la norme de l’espaceD(Ω) dans W 1 E M (Ω) et W 1 0 L M (Ω) comme étant la fermeture pour la topologie deσ( ∏ L M , ∏ E M) de D(Ω) dans W 1 L M (Ω).3. Résultat PrincipalSoit Ω un ouvert borné de R N , N ≥ 2, satisfaisant la propriété du segment.Soit M une N-fonction et considérons l’opérateur défini parA(u) = −div(a(x, u)M(|∇u|) ∇u|∇u|) où a(x, s) : Ω × R → R est une fonction de2Carathéodory vérifiant pour presque tout x ∈ R et tout s ∈ R :0 < α 0 ≤ α(|s|) ≤ a(x, s) ≤ b(|s|) (3.1)avec α et b deux fonctions continues de R + → R + . Supposons maintenant qu’il existeune fonction positive continue β de R → R telle que β(t)α(t)est une fonction décroissantesur R + etβ(|t|)α(|t|) ∈ L1 (R). (3.2)Finalement, soitConsidérons le problème de Dirichlet suivant :χ ∈ L 1 (Ω). (3.3)−div(a(x, u)M(|∇u|) ∇u ) = χ + β(|u|)M(|∇u|) dans Ω. (3.4)|∇u|2On définit par T 1,M0 (Ω) l’ensemble des fonctions mesurables u : Ω → R telles queT k (u) ∈ W 1 0 L M (Ω) ∩ D(A), où T k (s) = max(−k, min(k, s)), ∀s ∈ R, ∀k ≥ 0.Théorème 3.1 Sous les hypothèses (3.1) − (3.3), il existe au moins une solution entropiqueu du problème (3.4)⎧⎪⎨⎪⎩u ∈ T 1,M0 (Ω),β(|u|)M(|∇u|) ∫∈ L 1 (Ω)a(x, u)M(|∇u|) ∇uΩ|∇u| 2 ∇T k(u − v)dx ≤∫∫χT k (u − v)dx + β(|u|)M(|∇u|)T k (u − v)dxΩΩ∀v ∈ W 1 0 L M (Ω) ∩ L ∞ (Ω), ∀k > 0.(P )TAMTAM –Tunis– 2005

Sur une classe d’équations elliptiques 159Remarque 1 :Si M(t) = tp p et α(t) = α 0, on retrouve le résultat donné dans [15] et [6].Remarque 2 : On peut étendre notre résultat à des cas plus généraux où χ est une mesurede Radon bornée ( voir [14] si M(t) = tp p). Ainsi, on montre que par exemple que leproblème suivant :{Tk (u) ∈ T 1,M0 (Ω), M(t) = |t| p log α (1 + |t|)−div(∇u|∇u| p−2 log α (1 + |∇u|) = χ + exp(−|u|)|∇u| p log α (1 + |∇u|) dans D ′ (Ω)admet au moins une solution. De plus, si α > 1 alors toute solution de (4.1) appartient àW 1,¯q0 (Ω), ¯q = N(p−1) . (Consulter [5] pour un résultat similaire de regularité.)p−14. Bibliographie[1] R. ADAMS, « Sobolev Spaces », Academic Press, New York, 1975.[2] A. BENKIRANE, A. ELMAHI, « An existence theorem for a strongly nonlinear elliptic problemin Orlicz spaces », Nonlinear Anal. T.M.A. 36 (1999) 11-24.[3] A. BENKIRANE, A. ELMAHI, « A strongly nonlinear elliptic equation having natural growthterms and L 1 data », Nonlinear Anal. T.M.A. 39 (2000) 403-411.[4] M. BILDAUHER, M. FUCHS, « Elliptic variational problems with nonstandard growth », International.Math. Ser., Vol 1, Nonlinear problems in Mathematical physics and related topics I,in honor of Prof O.A. Ladyzhenskaya, Edition Kluwer/ Pluneum Publishers, June 2002, 53-66.[5] A. BENKIRANE, M. KBIRI ALAOUI,« Sur certaines équations elliptiques non linéarires à secondmembre mesure », Forum Math. 12 (2000), no. 4, 385–395.[6] L. BOCCARDO, S. SEGURA DE LÉON, C. TROMBETTI, « Bounded and unbounded solutionsfor a class of quasi-linear elliptic problems with a quadratic gradient term », J. Math. Pure.App. 80, 9 (2001), 919-940.[7] A. ELMAHI, D. MESKINE, « Existence of solutions for elliptic problems having natural growthin Orlicz spaces », Abstract and Applied Analysis. 12 (2004), 1031-1045.[8] A. ELMAHI, D. MESKINE,« Non-linear elliptic problems and L 1 data in Orlicz spaces », toappear in Ann. Mat. Pura. Appl.[9] M. Fuchs, G. Seregin,« Variational methods for problems from plasticity theory and for generalizedNewtonian fluids », Lecture Notes in Mathematics 1749, Springer, Berlin Heidelberg,2000.[10] J.-P. GOSSEZ « A strongly nonlinear elliptic problem in Orlicz-Sobolev spaces », Proc.A.M.S. Symp. Pure Math. 45 (1986) 455-462.[11] J.-P. GOSSEZ, V. MUSTONEN,« Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces », NonlinearAnal. T.M.A. 11 (1987) 379-392.TAMTAM –Tunis– 2005

160 Meskine[12] E. YA. KHRUSLOV, L.S. PANKRATOV , « Homogenization of the Dirichlet VariationalProblems in Orlicz-Sobolev Spaces », Fields Institute Communications 25 (2000), 345-366.[13] A. PORRETTA « Existence for elliptic equations in L 1 having lower order terms with naturalgrowth », Portugaliae. Math., 57 (2000), 179–190.[14] A. PORRETTA « Nonlinear equations with natural growth terms and measure data », 2002-Fez conference on Partial Differenti al Equations, Electron. J. Diff. Eqns., Conf. 09, 2002.[15] S. SEGURA DE LÉON, « Existence and uniqueness for L 1 data of some elliptic equationswith natural growth », Adv. diff. Eq. 9 (2003), 1377-1408.TAMTAM –Tunis– 2005

Existence globale et comportementasymptotique des solutions d’une classe desystèmes de réaction-diffusion avec réaction àcroissance exponentielleK. SaoudiMA, Centre Universitaire de Khenchela, Algeriesaoudikhaled@hotmail.comRÉSUMÉ. Dans ce travail, on développe l’exposant de la croissance exponentielle pour lequel l’existenceglobale en temps d’un système diagonal à croissance exponentielle étudié à lieu, l’ idée est de simplifierla démonstration d’un théorème utilisé dans un article [13] cité plus bas dans le cas triangulaire.Cette démonstration est basée sur les techniques faisant intervenir des fonctionnelles (appelées deLyapunov) dans le but d’obtenir des estimations à priori sur la deuxième composante de l’unique solutiondu système en question et afin de pouvoir appliquer le principe de l’effet régularisant. On a pudoubler la longueur actuelle de l’intervalle auquel appartient l’exposant de la croissance exponentiellede la réaction. Finalement, on a exploité la fonctionnelle qui a donné l’existence globale en tempsdes solutions pour déterminer leur comportement asymptotique. Plus précisément, on a montré queles solutions tendent vers des constantes bien calculées en fonctions des données initiales et de laréaction.ABSTRACT.MOTS-CLÉS : Systèmes paraboliques, Réaction-Diffusion, Existence Globale, Fonctionnelle de Lyapunov,Comportement Asymptotique.KEYWORDS :161 TAMTAM –Tunis– 2005

162 K. Saoudi1. IntroductionL’étude de l’existence globale en temps et le comportement asymptotique des solutionsd’une classe de systèmes appelès systèmes de réaction-diffusion constitue l’une desquestions fondamentales de la théorie générale des équations aux dérivées partielles, devenuesaujourd’hui l’un des thémes importants de la compréhension scientifique.Les SRD ( Systèmes de Réaction-Diffusion) sont des systèmes d’équations aux dérivéespartielles de type parabolique semi-linéaires qui s’écrivent formellement∂u− D∆u = f(u) sur Ω × ]0, T [ (1.1)∂tavec conditions aux limites et données initiales. Ω est un ouvert de R n , ∆ est le Laplacien,u(x, t) est un vecteur à m composantes, D est une matrice diagonale d’ordre m et f :R m −→ R m est une application non linéaire.Ces équations modélisent des phénomènes qui apparaissent dans des sécteurs variés,tels que : la chimie, la biologie, la neurophysiologie, l’épidémologie, la combustion, laGénétique des populations, etc, voir [3].Dans ce travail, on s’intéresse à l’étude d’une classe de systèmes de réaction-diffusionprésentée sous la forme générale suivante∂u∂t − d 1∆u = f(u, v) sur ]0, +∞[ × Ω∂v∂t − d 2∆v = g(u, v) sur ]0, +∞[ × Ω∂u∂η = ∂v∂η = 0 sur ]0, +∞[ × ∂Ωu(0, x) = u 0 et v(0, x) = v O sur Ω,(1.2)où notre contibution est de montrer l’existence d’une solution globale en temp du système(1.2) et on étudie son comportement asymptotique dans le cas où :f(u, v) + g(u, v) = 0, ( appelé loi de balance ) (1.3)Ω est un ouvert (domaine) borné de classe C 1 de R n à frontière Γ(∂Ω) suffisamment∂régulière,∂η désigne la dérivée normale exterieur à ∂Ω, d 1 et d 2 sont deux constantesstrictement positives.Les données initiales sont suposées dans une région ∑ définie par :∑={(u0 , v 0 ) ɛ R 2 : u 0 ≥ 0 ; v 0 ≥ 0},f représente l’intéraction non linéaire, supposée continument différentiable dans R + ×R + , non négative vérifiant : f(o, s) = 0 ∀s ≥ 0 et[ ]ln (1 + f(r, s))lim< α ∗ ∀r ≥ 0 (1.4)s−→+∞ sTAMTAM –Tunis– 2005

Systèmes de réaction-diffusion 163oùα ∗ =8d 1 d 2n ‖ u 0 ‖ ∞(d 1 − d 2 ) 2 (1.5)2. Existence globaleIl n’est pas évident de prouver l’existence globale des solutions de (1.2)-(1.3) quandon utilise les méthodes classiques, telles que la méthode des régions invariantes vu la compléxitéet la difficulté des termes de réaction de certains systèmes de réaction-diffusion.Pour cela, une méthode fonctionnelle basée sur la fonctionnelle de ’Lyapunov’ ajustifiée des résultats satisfaisants (voir : [11] , [13] )Dans le cas où f(u, v) = uv β , [1] a établi l’existence globale en temps des solutionsbornées dans L ∞ (Ω) pour 1 < β < n+22. [14] a démontré l’existence globale en tempsde la solution du système (1.2)-(1.3) pour chaque β > 1 et la convergence vers un vecteurconstant (u ∗ , v ∗ ) quand le temps tend vers l’infini .[4] ont généralisé la précédenteméthode, dont ils ont utilisé la non linéairité de la fonction f(u, v) = uF (v) sous lacondition α ∗ = 0.Notre but est d’établir l’existence globale en temps d’une solution du système (1.2)-(1.3)où on utilise les téchniques de la fonctionnelle de Lyapunov, voir [10],[12] .En générale pour démontrer l’existence globale en temps des solutions d’un systèmes deréaction-diffusion, il suffit de montrer que les termes de réaction sont dansL ∞ ([0, T ∗ [ , L p (Ω)) pour certain p > n 2où n = dim Ω.Cette méthode est justifiée par l’application du théorème de l’existence globale par effetrégularisant.Théorème 2.1. Soit l’équation⎧⎨⎩∂u∂t∂u∂η− ∆u = f(t, x, u) sur [0, T [ × Ω= 0 sur [0, T [ × ∂Ωu(x, o) = u 0 (x) sur Ω(2.1)Si f(t, x, u) est dans L ∞ ([0, T [ , L p (Ω)) pour p > n 2où n = dim Ω, alors la solutionde (2.1) est globale.Remarque 2.1. Sif(t, x, u) ɛ L ∞ ([0, T [ , L p (Ω)) (2.2)d’oùalors∫Ωsup ‖f(t, x, u)‖ L p (Ω)< +∞ (2.3)0≤t

164 K. Saoudice qui montre que la solution est globale, voir [5].Pour l’éxistence globale des solutions du système (1.2)-(1.3) on a l’alternative :Théorème 2.2. Pour toute solution (u(t, x), v(t, x)) du problème on a :(i) soit ‖u(t, .) + v(t, .)‖ ∞est bornée sur [0, T max [ et la solution estglobale ( i.e T max = +∞).(ii) soitlim ‖u(t, .) + v(t, .)‖t→T ∞= +∞ et la solution n’est pasmaxglobale ou on dit qu’elle explose en temps fini T max ou bien qu’elle cesse d’exister.Pour la bornitude de u on va utiliser le principe du maximun dont l’une des formes lesplus simplifiées est la suivante :Théorème 2.3. Si u(t, x) vérifiealors∂u∂t − d 1∆u ≤ 0 sur [0, T max [×Ω,∂u∂η≤u(t, x) ≤ maxx ɛ Ω u 0(x).0 sur [0, T max [×∂Ω,Alors le problème (le plus délicat) qui reste à aborder est la bornitude de v pour laquelletoutes les techniques citées plus haut (Région Invariante, Principe du Maximum, Comparaisons,..etc)ne ’marchent’ pas. Pour cela on va étudier ce problème par la téchniquebasée sur la Fonctionnelle de ’Lyapunov’.Définition 2.1. On appelle fonctionnelle de Lyapunov associée à un système de réactiondiffusionformé de m équations, toute fonction :L : R + −→ R +t −→ L(t)telle que∂L(u 1 (t, .), u 2 (t, .), .........u m (t, .))∂t≤ 0 (2.4)pour toute solution (u 1 (t, .), u 2 (t, .), .........u m (t, .)).Selon [5], il suffit d’estimer uniformement ‖f(u, v)‖ psur [0, T ∗ [ pour p > n 2 .Le résultat pricipal suivant, répond dans quelque sens à cette préoccupation.Théorème 2.4. Soit (u(t, .), v(t, .)) solution du problème (1.2)-(1.3), alors :La fonctionnelle :TAMTAM –Tunis– 2005

∫t −→ L(t) =Systèmes de réaction-diffusion 165(M − u(t, x)) −γ exp(β.v(t, x)) dx (2.5)Ω‖ u 0 ‖ ∞< M (2.7)•L(t) ≤ 0,L(t) ≤ ccte ,=(M − u) −γ e βv dx < +∞, (2.8)Ω(M − u) −γ ≥ M −γest non croissante sur [0, T ∗ [ , pour toutes constantes positives β, γ telles que :et tout M satisfaisant :βM < γ < 4 d 1.d 2(d 1 − d 2 ) 2 (2.6)Preuve : voir, [16].Corollaire 2.1. Supposons que la fonction f(r, s) est différentiablement continue surR + × R + , non négative, avec f(0, s) = 0 pour tout s ≥ 0 et vérifie la condition (1.4),alors :Toutes solutions de (1.2)-(1.3) avec les données initiales dans la région ∑ , sont globalesen temps et uniformement bornées sur [0, +∞[ × Ω.Preuve : voir, [16]Conséquence du théorème 2.4L’estimation utilisée dans ce théorème par le biais de la fonctionnelle de ”Lyapunov”,nous permet d’en déduire des résultats importants considéres comme la pierre angulairede la théorie d’existence globale des solutions de systèmes de réaction-diffusion, auquelon a montrer que :ce qui signifie que cette fonctionnelle :et par suite, en vertu de la définition de celle- ci, on déduit le résultat suivant :∫d’où compte tenu de l’espace L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) ) , on aboutit au résultat suivant :(M − u) −γ e βv ɛ L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) ) (2.9)Maintenant, par une démarche analogue à celle introduisant (2.6), tenant compte du faitque :TAMTAM –Tunis– 2005

166 K. Saoudieton aboutit au résultat suivant :0 < u ≤ M ∀ue βv ɛ L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) )qui entraine que∫Ωe βv dx < +∞ (2.10)Conséquence du corollaire 2.1Ici, aussi, une autre estimation utilisée par le biais de la condition limite (1.4) quidécoule immédiatement du fait que pour tout s ≥ 0 et pour tout r ɛ [0, M] on ad’où(1 + f(r, s)) ≤ ce α.sf(r, s) ≤ ce α.spar suitef(u, v) ≤ ce α.v (2.11)de plusα n 2 , suffisamment fermé en n 2tel que :pα

Systèmes de réaction-diffusion 167Alors nous pouvons choisir γ et M tel que les conditions du (1.2)-(1.3) soient satisfies etutilisons les conséquences du théorème (1.3) et du corollaire (1.1), nous déduisons que :par conséquentet de (2.11), nous obtenons :e βv = e (pα)v = (e αv ) p ɛ L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) )e βv ɛ L ∞ ([0, T ∗ [ , L p (Ω))f(u, v) ɛ L ∞ ([0, T ∗ [ , L p (Ω)) pour p > n 2Par les remarques préliminaires, nous pouvons conclure que la solution de (1.2)-(1.3)est globale en temps et uniformement bornée sur R + × Ω, et ainsi la démonstration ducorollaire se trouve achevée.3. Comportement asymptotiqueIl existe plusieurs théories de stabilité pour les solutions des systèmes de réactiondiffusion,elles traitent toutes de la question du comportement des solutions lorsque letemps tend vers l’infini.Notre travail est consacré à l’étude du comportement asymptotique lorsque t ↦→ +∞des solutions du systèmes (1.2)-(1.3).Grace au résultat de bornage des trajectoires dans C( _ Ω)×C( _ Ω), le comportement asymptotiquedes solutions peut être analysé par une application élimentaire du principe d’invariancede la Salle et en se basant sur un résultat de précompacité des trajectoires affirmanten résumé que si u et v sont des solutions globales de (1.2)-(1.3) et f ɛ L ∞ ([0, +∞[ , C( _ Ω))alors u et v ɛ L ∞ ([0, +∞[ , C 1 ( _ Ω)) ( corollaire 2.1), le théorème suivant répond à cetteétude.Théorème 3.1. Soit (u, v) une solution globale de (1.2)-(1.3), alors il existe deuxconstantes positives c 1 et c 2 telles que :‖ u − c 1 ‖ ∞↦−→ 0t↦−→+∞de plus :‖ v − c 2 ‖ ∞↦−→ 0t↦−→+∞f(c 1 , c 2 ) = 0TAMTAM –Tunis– 2005

168 K. Saoudietc 1 + c 2 = 1 ∫(u 0 + v 0 ) dx|Ω|ΩPour la démonstration de ce théorème on s’appuiera sur les deux résultats préliminairessuivants :Lemme 3.1. Soit ϕ une fonction satisfaisant :ϕ ɛ L 1 (R + ), ∀ t ≥ 0 et ϕ(t) ≥ 0Alors :Preuve (par l’absurde)supposons que :lim ϕ(t) = ccte ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ t ε > 0 :t−→+∞ ≠0t ≥ t ε : ϕ(t) − c ≥ −εpour ε = c 2 :ϕ(t) ≥ c +∞2 ⇐⇒ ∫+∞ ∫ϕ(t) dt ≥ ϕ(t)dt ≥0t εlimt−→+∞+∞ ∫0c2ϕ(t) = 0.dt = +∞⇐⇒ ϕ /∈ L 1 (R + ) contradiction à l’hypothése, donc : lim ϕ(t) = 0.t−→+∞Lemme 3.2. soit (u, v) une solution globale de (1.2)-(1.3), alors :∫2∂u∣ ∂t ∣ dx.dt < +∞Qet∫2∂v∣ ∂t ∣ dx.dt < +∞Qoù :Q = [0, +∞[ × Ωet∑= [0, +∞[ × ∂ΩPreuve du lemme 3.2Faisons une multiplication de ∂u∂tpar la première équation du systèmes (1.2)-(1.3),intégrons le résultat obtenu sur Q et utilisons la formule de Green, on aura :TAMTAM –Tunis– 2005

Systèmes de réaction-diffusion 169∫2 ∫∂u∣ ∂t ∣ dxdt + d 1 ∇( ∂u∫∫∂t )∇udxdt − d ∂u1 ∣∑ ∂t ∣ ∇udxdt = −QImplique :∫Q∂u∣ ∂t ∣2Qdxdt + d 12⎡∫⎣Ω∫|∇u| 2 dx −Ω⎤∫|∇u 0 | 2 dx⎦ = −QQ∂uf(u, v)dxdt∂t∂uf(u, v)dxdt∂tdonc :∫Q∂u∣ ∂t ∣2dxdt ≤ d ∫∫1|∇u 0 | 2 dx +2ΩQ∣ ∂u ∣∣∣∣ ∂t f(u, v) dxdtutilisons l’inégalité :on trouve :∫Q∂u∣ ∂t ∣2|x| 2 + |y| 2≥ |xy|2dxdt ≤ d ∫1|∇u 0 | 2 dx + 1 ∫22ΩQ[ ∣∣∣∣ ∂u∂t ∣2+ |f(u, v)| 2 ]dxdtd’où :∫Q2 ∫∂u∣ ∂t ∣ dxdt ≤ d 1Ω∫|∇u 0 | 2 dx +Q|f(u, v)| 2 dxdtComme u 0 ɛ L ∞ (Ω) et f ɛ L ∞ ([0, T ∗ ] , L ∞ (Ω)), on déduire que :De la même façon, on peut montrer que :∫2∂u∣ ∂t ∣ dxdt < +∞Q∫2∂v∣ ∂t ∣ dxdt < +∞QTAMTAM –Tunis– 2005

170 K. SaoudiRemarque 3.1. Du lemme 3.1, on peut prendre t −→ ϕ(t) = ∫ ∣ ∂u∣ 2∂tdx et onΩtire :( ) ( )∂u(t, x)∂v(t, x)lim= lim= 0 (3.1)t−→+∞ ∂t t−→+∞ ∂tPreuve du théorème 3.1.A partir du [4], on remarque que :Les trajectoires {u(t), t ≥ 0} et {v(t), t ≥ 0} associées au système (1.2)-(1.3) sontprécompacts dans C( _ Ω) × C( _ Ω) . Soit (t n ) n ɛ Nune suite tendant vers l’infini (t n −→+∞) telles que :etlim u(t n, .) = u 1 dans C( Ω)_t n−→+∞lim v(t n, ) = v 1 dans C( Ω)_t n−→+∞Il est claire que ( puisque f est continue ) :lim f(u(t n, x), v(t n , x)) = f(u 1 , v 1 ) dans C( Ω)_t n−→+∞Passons à la limite lorsque t n tend vers +∞ dans le système (1.2)-(1.3), on aura le systèmelimite suivant :⎧⎨⎩−d 1 ∆u 1 = −f(u 1 , v 1 )−d 2 ∆v 1 = f(u 1 , v 1 )∂u 1∂ηsur Ωsur Ω(P ∞ )= ∂v1∂η = 0 sur ∂Ωmultiplions la première équation de ce dernier système par u 1 puis intégrons sur Ω, onobtient∫−d 1 u 1 . ∆u 1 dx ≤ 0ce qui implique par application de la formule de Green que :∫d 1 |∇u 1 | 2 dx = 0alors :ΩΩ∇u 1 = 0d’où :u 1 = c 1 = cte (3.2)TAMTAM –Tunis– 2005

Systèmes de réaction-diffusion 171Donc de la première équation de (P ∞ ) en tire que f(u 1 , v 1 ) = 0. Alors v 1 d’après ladeuxième équation de (P ∞ ) est solution du problème de ’Neumann homogène’ suivant :Qui a pour unique solution∆v 1 = 0 sur Ω= 0 sur ∂Ω,∂v 1∂ηv 1 = c 2 = cte (3.3)Il est claire que passage à la limite lorsque n −→ +∞ et du fait que f est continue surR + × R + ,f(c 1 , c 2 ) = 0Puisque la suite (t n ) n ɛ Nest quelconque, alors :et‖ u − c 1 ‖ ∞‖ v − c 2 ‖ ∞↦−→ 0t↦−→+∞↦−→ 0t↦−→+∞Puisque C( Ω) _ ↩→ L 1 ( Ω) _ de manière continue, alors :∫(u(t, x) + v(t, x)) dx → |Ω| (c 1 + c 2 ) (3.4)ΩRemarque 3.2. La convergence dans L 1 ( Ω) _ est evidente, car l’intégrale de la premièreet la deuxième équation de (1.2)-(1.3), donne :∫∂u(t, x) dx ≤ 0∂tetΩ∫∂v(t, x) dx ≥ 0∂tΩCe qui implique que∫u(t, x) dxΩest décroissanteTAMTAM –Tunis– 2005

172 K. Saoudiet∫v(t, x) dxΩest croissante.Comme u est positive ( minorée) et v est bornée ( majorée (corrollaire 2.1)), alors∫1u(t, x) dx Converge|Ω|etΩ∫1v(t, x) dx|Ω|ΩConvergede (3.4) on déduit que :∫1(u(t, x) + v(t, x))dx = 1 ∫|Ω||Ω|alors il vient :ce qui achève la démonstration.Ωc 1 + c 2 = 1 ∫(u 0 + v 0 )dx.|Ω|ΩΩ(u 0 + v 0 )dx4. Bibliographie[1] N. Alikakos, L p -Bounds of Solutions of Reaction-Diffusion Equations.Comm. P. D. E. 4(1979). 827-828.[2] R. Dautray et J. L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et lestechniques.Volume 3 Masson,1987.[3] P. Fife, Mathematical aspects of reacting and diffusing systems, lecture Notes in Biomathematics,n ◦ =28, Springer (1979).[4] A. Haraux and A.Youkana, On a Result of K.Masuda Concerning Reaction-Diffusion Equations.Tôhoku. Math. J.40 (1988), 159-163.[5] D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations Lecture Notes in Mathematics840, springer-verlag, New-York, 1984.[6] S. L. Hollis , Global Existence and Buondedness in Reaction-Diffusion Systems. Ph. D. Thesis,North Carolina State University (1986).TAMTAM –Tunis– 2005

Systèmes de réaction-diffusion 173[7] S. L. Hollis, On the Question of Global Existence for Reaction-Diffusion Systems with MixedBoudary Conditions. Quarterly of Applied Mathematics Vol LI, Numb 2, June 1993, 241-250.[8] S. L. Hollis, R. H. Martin and M. Pierre, Global Existence and Boundlessness in Reaction-Diffusion Systems. Siam. J. Math. Anal, Vol 18, May 1987.[9] M. Kirane-A.Haraux, Estimation C 1 pour des problèmes paraboliques semi-linéaires, AnnalesFaculté des sciences Toulouse, Vol V, pp. 265-280, (1983).[10] S. Kouachi et M. Kirane, A strongly Nonlinear Reaction Diffusion Model for a DeterministicDiffusive Epidemic. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. Vol 12, n ◦ 1, (1995),JAPAN.[11] S. Kouachi et M. Kirane, Asymptotic Behaviour for a System Describing Epidemics withMigration and Spatial Spread of Infection. Dynamic Systems and Applics, Vol 2, n ◦ 1, (1993).USA.[12] S. Kouachi et M. Kirane, Global Solutions to a System of Strongly Coupled Reaction-Diffusion Equations. Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications. Vol 26, n ◦ 8,(1996), USA.[13] S. Kouachi and A. Youkana, Global Existence and Asymptotics for a Class of Reactions-Diffusion Systems. Bulletin of the Polish Academey of Science Mathematics, Vol. 49, no. 3,2001.[14] K. Masuda, On the Global Existence and Asymptotic Behaviour of Solutions of Reaction-Diffusion Equations. Hokkaido. Math. J. 12 (1983), 360-370.[15] A.M. Salem, Téchnique de construction des fonctionnelles de lyapunov en gradient pour uneclasse de systémes de réaction-diffusion, Memoire de Magister, université de constantine 2002.[16] K. Saoudi, Existence Globale des Solutions de Systèmes de Réaction-Diffusion , Thèse deMagister, Centre Universitaire de Tébessa 2002.[17] Turner et Ames, Twi-Sided Bounds for Linked Unknown Nonlinear Boundary Conditions ofReaction-Diffusion Systems. J. Math. Analysis and Applic.,71, (1979), 336-378.TAMTAM –Tunis– 2005

VEstimation d’ErreursError Estimation175

A Posteriori error estimator for the subgridmodeling stabilization applied toconvection-diffusion problemsB. Achchab *,**** , M. El Fatini *,*** , A. Souissi *,*** LERMA, Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, B.P. 765, Rabat-Agdal, Morocco** Mohammed VI-Agdal University, FS, BP 1014, Rabat. E-mail: souissi@fsr.ac.ma*** Hassan II University, FS Ben M’Sick Casablanca, Morocco. E-mail: m_elfatini@yahoo.fr**** Hassan I University, FSJES, BP 784 Settat, Morocco. E-mail: achchab@hotmail.comABSTRACT. We derive an a posteriori error estimator, for a stabilized finite element of convectiondiffusionequations by subgrid modeling. we deal in this work with dominant convection. The stabilizedsuggested yield global upper and local lower bounds on the error measured in the energy norm.RÉSUMÉ. Un estmateur d’erreur a posteriori est proposé pour l’approximation par éléments finis deséquations de convection-diffusion à convection dominante stabilisé par modilisation par sous mailles.L’estimateur suggéré a permi de construire une borne inférieure locale et une borne supérieure globalede l’erreur en norme d’énergie.KEYWORDS : A posteriori estimators, subgrid modeling, artificial viscosity.MOTS-CLÉS : Estimateur a posteriori, modélisation par sous mailles, viscosité artificielle177 TAMTAM –Tunis– 2005

178 Achchab et al.1. IntroductionDuring the last two decades there has been a rapid development in practical a posteriorierror estimation techniques for elliptic PDE’s. This explosion of interest has been drivenby the underlying need to increase the reliability and efficiency of finite element softwarefor solving such problems. In the specific case of the convection-diffusion equations, thework of Verfürth [9] is considered as the state of the art for residual based a posteriori errorestimates for reaction-convection-diffusion equations. The stabilazation was introducedby SUPG [5],[8], in isotropic finite element case. For anisotropic case [3], Achchaband al [1] derive lower and upper bounds. The quotient of lower and upper bounds isproportional to the matching function which depends on the anisotropy of the problemand is independent of the small perturbation parameter ɛ.For more details see Kunert [7] .We consider the reaction-convection-diffusion equation−ε∆u + β∇u + σu = f dans Ωu = 0 sur Γ D (1)∂ n u = g sur Γ N .Where Ω ⊂ IR n , is a bounded domain with the boundary ∂Ω = Γ D ∪ Γ N such thatΓ D ∩ Γ N = ∅. We suppose the following assumptions (H)• 0 < ε

A Posteriori error estimator 1792. Position of the problemSetequipped with the energy normH 1 D(Ω) = H 1 (Ω) ∩ {v : v = 0 sur Γ D }|||v||| ={ε ‖∇v‖ 2 0 + ‖v‖2} 1 2The standard weak formulation of problem (1) is to find u ∈ HD 1 (Ω) such thatWherea(u, v) = (f, v) + (g, v) ΓN ∀ v ∈ H 1 D(Ω) (2)a(u, v) = (ε∇u, ∇v) + (β∇u + σu, v)Due to Lax-Milgram theorem, problem (2) has a unique solution. Moreover, assumptions(H) and integrating by parts imply that|||v||| 2 ≼ A(v, v), ∀v ∈ H 1 D(Ω) (3)and{}a(v, w) ≼ |||v||| |||w||| 1 + ‖σ‖ L∞ (Ω)+ |||v||| ‖w‖ 0 ε − 1 2 ‖β‖L∞ (Ω)∀ v, w ∈ H 1 D(Ω) (4)We denote by T h , h > 0, a family of partition of Ω into n-simplices which satisfies thefollowing two properties:Admissibility: any two elements are either disjoint or share a complete k-face,0 ≤ k ≤ n − 1.Shape regularity: sup sup ≼ 1.ρ THere, h T and ρ T denote respectively the diameter of T and the diameter of the largest ballinscribed into T . Note that the shape regularity allows the use of locally refined meshes.Let}Xh 1 ={v h 1 ∈ HD(Ω), 1 vh|T 1 ∈ P 1(T ), ∀ T ∈ T h (5)h Th>0 T ∈T hbe the standard finite element space, then only bubble-like small scale functions are missingfor the Galerkin approximation to work properly. As a result we are led to introducean additional discrete space Xh 2 composed of the missing small scales, which have yet tobe clearly defined, so by settingX h = Xh 1 + X2 h, we introduce an artificial mechanism as follows∑h T (∇u 2 h, ∇vh) 2 T = b h (u 2 h, vh) 2 (6)T ∈T hTAMTAM –Tunis– 2005

180 Achchab et al.such that}Xh 2 ={v h 2 ∈ HD(Ω) 1 : vh|T 2 ∈ 〈ψ T 〉 , ∀ T ∈ T h(7)where ψ T = ̂ψ(G T ) and G T : T −→ ̂T is one to one affine mapping that maps T into ̂Tand ̂ψ is the bubble function defined on the reference simplex ̂T .We define c ψ =∫̂T ̂ψ 2meas( ̂T ), one easily verifies that{ ∫T ψ2 = c ψ meas(T ),c ψ meas(T ) ≤ ∫ T ψ ≤ meas(T )Finally the discrete problems we consider is to find u h ∈ X h so thata(u h , v h ) + b h (u 2 h, v 2 h) = (f, v h ) + (g, v h ) ΓN ∀v h ∈ X h (8)This problem has a unique solution [6].3. A posteriori error estimationLet f h and g h be approximations of f and g respectively by P 1 piecewise polynomialswith respect to T h and with respect to Γ N induced by T h . SetWhereη 2 T,h = α 2 T ‖R T,h (u h )‖ 2 0,T+ αT 2 ‖∇u 2 h‖ 2 0,T+ 1 ∑2+E∈E T ∩E h,Ωε −1∑E∈E T ∩E h,Nε −12 αE ‖R E,h (u h )‖ 2 0,E2 αE ‖R E,h (u h )‖ 2 0,E (9)R T,h (u h ) = f h + ε△u h − β∇u h − σu h . (10)⎧⎨ −[ε∂ n u h ] E si E ∈ E h,ΩR E,h (u h ) = g h − ε∂ n u h si E ∈ E h,N(11)⎩0 si E ∈ E h,DThus we have established the following result.TAMTAM –Tunis– 2005

A Posteriori error estimator 181Theorem 3.1 Denote by u and u h the unique solutions of problems (2) and (8), respectively.Setα S = min{h S ε −12 , 1}, S ∈ Th ∪ E h ,then the following a posteriori error estimates hold.|||u−u h ||| ≼( ∑T ∈T hη 2 T,h) 12⎧⎨ ∑+ αT 2 ‖f − f h ‖ 2 0,T +⎩T ∈T h∑E∈E h,Ωε −1η T,h ≼ |||u − u h ||| ωT{1 + ‖σ‖ L∞ (ω T ) + ‖β‖ L ∞ (ω T ) ε −12 αT}⎫⎬2 αE ‖g − g h ‖ 2 0,E⎭12(12)+α T ‖f − f h ‖ 0,ωT+{ ∑E⊂∂T ∩Γ Nε −12 αE ‖g − g h ‖ 2 0,E} 12(13)4. Concluding remarksThis is, as far as we know, the first attempt to develop the a posteriori error analysis ofthe Subgrid Modeling Method.Our error analysis is such that the error estimators yield global upper and local lowerbounds which differ by multiplicative constants which depend at most on the local mesh-Peclet number. Actually the upper and lower bounds differ by a factorc + ε −12 ‖β‖ L ∞ min{hε −12 , 1}. Here, c is independent of ε and of any meshsize, and his the local meshsize. Thus the estimates are optimal if the local mesh-Peclet number issufficiently small.To complement and improve the result of this work, we develop in [2] an other a posteriorierror estimators which is robust , for which the ratio of upper and lower bounds isuniformly bounded with respect to the meshsize and to the viscosity ε.Acknowledgements: This work has been supported in part by Volkswagen Foundation.Grant number I/79315.5. References[1] B.ACHCHAB, L.LAAYOUNI, B.POLMAN AND A.SOUISSI, “Anisotropic a posteriori ErrorsEstimations in Convection-Diffusion with Dominant Convection.”, IMACS, Milwaukee, Wisconsin,USA,2000, May 25-27, pp. 286-288.TAMTAM –Tunis– 2005

182 Achchab et al.[2] B.ACHCHAB, M.EL FATINI AND A.SOUISSI, “Robust a Posteriori Error Estimator for theSubgrid Modeling Stabilization applied to Convection-Diffusion Problems.”, (In preparation)[3] T. APEL AND G. LUBE, “Anisotropic mesh refinement in stabilized Galerkin methods.”, NumerMath, 1996, 74: 261-282.[4] F.BREZZI AND L.D.MARINI, “Augmented spaces, two level methods, and stabilizing subgrids.”,Int. J. Numer. Math., 2002, Fluids: 40: 31-46.[5] L.FRANCA, S.FREY AND T.HUGHES, “Stabilized finite element methods: 1 Application toAdvective-Diffusive Model.”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1992, 95: n ◦ 2, 253-276.[6] J.L.GUERMOND, “Stabilization of Galerkin approximation of transport equation by subgridmodeling.”, Model. Math. Anal. Numér. (M2AN),1999, 33(6): 1293-1316.[7] G.KUNERT, “A posteriori error estimation for anisotropic tetrahedral and triangular elementmeshes.”, Dissertation Universität Chemnitz, 1999.[8] G.MATTHIES AND L.TOBISKA, “The Streamline-Diffusion Method for non conforming andnon-conforming Finite Elements of LowestOrder Applied to convection-Diffusion Problems.”,Computing, 2001, 66: 343-346.[9] R.VERFÜRTH, “A posteriori error estimators for convection-diffusion equations.”, Numer.Math, 1998, 80: 641-663.TAMTAM –Tunis– 2005

R-adaptation de maillage par l’estimateurd’erreur hiérarchiqueA. Alla * , M. Fortin ** , F. Hecht *** , Z. Mghazli ** Laboratoire SIANO, Université Ibn Tofail, Faculté des Siences, B.P. 133, Kénitra, Maroc.** GIREF, Université Laval, Québec, G1K-7P4, Canada.*** Laboratoire J.L. Lions, Université Pierre et Marie Curie, B.C. 187, 4 place Jussieu, Paris Cedex05, France.RÉSUMÉ. L’objectif de ce travail est de détérminer la meilleure position des noeuds d’un maillage,utilisé lors de la discrétisation d’un problème aux limites par la méthode des éléments finis. La procédurede déplacement des nœuds (appelé aussi R-adaptation) est une étape importante dans la stratégieglobale d’adaptation de maillage. La position optimale des nœuds est détérminée en minimisantl’erreur d’approximation. Pour évaluer cette erreur nous utilisons l’estimateur d’erreur hiérarchique.Quelques tests numériques sont présentés.ABSTRACT. The objective of this work is to devise a method to determine the optimal position ofthe nodes in a finite element discretization for a boundary value problem. The node displacementprocedure (also called R-adaptation) is a crucial step in a global mesh adaptation procedure. in thepresent approch, we determine the nodal position by minimizing the approximation error. This error isevaluated using a hierarchical estimator. A numerical test is presented.MOTS-CLÉS : méthode des éléments finis, adaptation de maillage, estimateur hiérarchique.KEYWORDS : Finite element method, mesh adaptation, hierarchical estimator.183 TAMTAM –Tunis– 2005

184 Alla et al.1. IntroductionLes estimations a posteriori et les procédures d’adaptation de maillage sont devenuesces dernière décennies l’un des principaux axes de développement dans le domaine del’analyse numérique et un outil indispensable dans la discrétisation des équations auxdérivées partielles. Elles ont pour but d’améliorer la qualité de la solution calculée etpermettent d’assurer, d’une part que la solution approchée est d’une précision fixée, etd’autre part que cette précision est equidistribuée.Les estimations a posteriori d’erreur sont données en termes d’indicateurs d’erreurqui peuvent être locaux et qui ne tiennent compte que de la solution approchée u h effectivementcalculée et des donnés du problème. Plusieurs type d’ estimations a posteriori(cf.[6]) ont été développés depuis les travaux pionniers de Babushka et Rheinboldt [1].On en distingue les estimations par résidus, les estimations par dualité, les estimationshiérarchiques ([2]), . . . Ces dernières sont basées sur une idée simple : étant donné uneapproximation par éléments finis d’ordre k, une meilleure approximation, d’ordre k + 1,peut être utilisée pour estimer la précision de la solution calculée. Pour éviter de procéderà des résolutions couteuses on utilise une base hiérarchique de l’espace d’approximationéléments finis ([2]).Ayant obtenu un estimateur d’erreur a posteriori, ce dernier est utilisé comme critèrepour construire un procédé d’adaptation de maillage de manière à amener l’erreur réellementcommise à un niveau choisi par l’utilisateur. Les algorithmes d’adaptation sont généralementbasés sur des procédés de remaillage par création de sommets (raffinement), retournementd’arêtes, suppression de sommets (déraffinement) et déplacement des nœuds.Dans ce travail, nous nous intéressons aux déplacements des nœuds du maillage, et cherchonsla position optimale, dans le sens qui réduit l’erreur d’approximation u − u h , pourun problème linéaire elliptique de second ordre discrétisé par une méthode éléments finisconformes. Mathématiquement, ce problème est équivalent à un problème de minimisationd’une fonctionnelle coût liée à l’erreur d’approximation. Une étude dans ce sens aété réalisée dans [3] en utilisant la fonctionnelle d’énérgie comme fonction coût. Nousnous proposons ici d’utiliser la norme de l’estimateur hiérarchique comme fonctionnellecoût sous la contrainte de deux problèmes variationels discrets, l’un lié à la solution approchéeu h et l’autre lié à l’estimateur hiérarchique. Ceci pourra constituer une justificationmathématique de la procédure de déplacement des nœuds qui est souvent opérée,dans les différents codes de calcul, d’une manière intuitive. Le problème ainsi posé, estun problème d’optimisation de forme dont les paramètres sont la position des nœuds dumaillage. Nous utlisons les techniques de [7],[5] pour calculer la dérivée de forme de lafonctionnelle coût.TAMTAM –Tunis– 2005

R-adaptation de maillage 1852. Estimateur d’erreur hiérarchiqueEtant donné un ouvert polygonal Ω de IR n , de frontière Γ = ∂Ω, considérons leproblème modèle : Trouver u ∈ V, tel que∫où a(u, v) :=Ωa(u, v) = (F, v) ∀ v ∈ V (1)∇u·∇vdx, l’espace V = H 1 0 (Ω) muni de la norme ‖| v ‖| 2 = a(v, v), etF un élément de L 2 (Ω) muni du produit scalaire (·, ·). Nous approchons le problème (1)par une méthode d’éléments finis. Si T h est une triangulation régulière de Ω, on considèreV (k)h= {v h ∈ V; v h|K ∈ P k (K), ∀ K ∈ T h }, l’espace éléments finis de degrés k, oùP k (K) est l’espace des polynômes de degré ≤ k dans K. Le problème approché consisteà : Trouver u h ∈ V (k)htel quea(u h , v h ) = (F, v h )∀ v h ∈ V (k)h . (2)L’erreur e = u − u h , commise en approchant (1) par (2) est solution du problèmea(e, w) = r(w) pour tout w ∈ V , où r(w) = (F, w) − a(u h , w) est le résidu de l’équation (2). Une approximation de cette erreur peut être obtenue en résolvant le poblèmedans V (k+1)h, ce qui peut être très couteux. L’idée ici (cf. [2]) est d’utiliser une base hiérarchiquede l’espace d’approximation V (k+1)hde manière à ce que ce dernier soit la sommedirecte de V (k)h(polynôme de degré k) et d’un espace de correction E h de polynômes dedegré k + 1 : V (k+1)h= V (k)h⊕ E h . Nous considérons ici le cas k = 1. L’approximationlinéaire par morceaux est alors corrigée par une approximation quadratique par morceauxoù seulement les nœuds des milieux des côtés sont calculés, les valeurs des sommets restantinchangées. L’erreur peut donc être approchée par la résolution du problème : trouvere h ∈ E h , tel quea(e h , ŵ h ) = r(ŵ h ) ∀ ŵ h ∈ E h . (3)Nous résolvons donc un problème global mais dont la dimension, qui est celle de l’espaceE h , est beaucoup plus petite que celle de V (2)h. Ce problème est bien conditionné (cf.[6]) etpeut être résolu en quelques itérations par la méthode du gradient conjugué par exemple.La méthode hiérarchique a été analysée pour une large classe de problèmes aux limiteset le résultat principal est global.Théorème 1 (voir [2]) Sous les hypothèses(i) Hypothèse de saturation : ∃ 0 < β < 1 : ‖|u − u h ‖| ≤ β‖|u − u h ‖|(ii) ∃γ < 1 indépendant de h telle que ∀v ∈ V h ∀w ∈ E h : |a(v, w)| < γ ‖|v‖| ‖|w‖|,nous avons(1 − β 2 )(1 − γ 2 )‖|u − u h ‖| 2 ≤ ‖|e h ‖| 2 ≤ ‖|u − u h ‖| 2 (4)TAMTAM –Tunis– 2005

186 Alla et al.3. Position du problème d’optimisation de formeEtant la solution du problème (3) dont le second membre dépend des données et de lasolution u h , l’estimateur hiérarchique e h , est une quantité calculable, équivalente à l’erreure = u − u h dans le sens de l’inégalité (4). Il peut donc être utilisé comme critèredans une stratégie d’adaptation du maillage , qui comporte plusieurs opérations : retournementd’arrêtes, création de nœuds, suppression de nœuds et déplacement de nœuds.Nous proposons dans ce travail une méthode permettant de déterminer la position optimaledes nœuds du maillage dans la résolution du problème (2), en utilisant l’estimateurhiérarchique. Pour un maillage donné T h , les solutions des problèmes (2) et (3) qui, bienentendu, dépendent de T h , seront notées respectivement ∫ u h (T h ) et e h (T h ).Considérons la fonctionnelle J(e h (T h )) := 1 2 Ω |∇e h(T h )| 2 = 1 2 ‖|e h(T h )‖| 2 . NotonsM l’ensemble des nœuds de T h et T T la famille des triangulations T h (M) engendréespar les M ayant une même table topologique, et formant l’ensemble m T . Le problèmed’optimisation de forme qu’on considère est donc le suivant.⎧Trouver⎪⎨̂M ∈ m T tel quej( ̂M) = inf j(M) sous la contrainte{ M∈m T (5)a(eh (T ⎪⎩h (M)), ˆv h ) = (F, ˆv h ) − a(u h (T h (M)), ˆv h ) ∀ ˆv h ∈ E ha(u h (T h (M)), v h ) = (F, v h ) ∀ v h ∈ V hoù j(M) := J(e h (T h (M)).4. AlgorithmeNous supposons que le problème (5) admet une unique solution. Pour calculer la dérivéede la fonctionnelle j(·) par rapport aux paramètres de forme qui sont les nœuds dumaillage, nous introduisons le Lagrangien L(·, ·, ·, ·) pour transformer le problème aveccontraintes en un problème sans contraintes.L(ˆv h , v h , q h , µ h ) = 1 2 ‖|ˆv h‖| 2 + a(ˆv h , q h ) − (F, q h ) + a(v h , q h ) + a(v h , µ h ) − (F, µ h ).Pour calculer la dérivée de j(·) par rapport au domaine on utilise les techniques de [3],[7] et [5], en introduisantla transformation T t donnée par un champ de vitesse V et telleque T t (Ω h ) = Ω t h . On note Et h := T t(E h ), e t h := e h ◦ T t et M t = T t (M). La dérivéede j(M t ) par rapport à t à l’instant t = 0 est donnée pardj(M t ; V ) = 1 ∫∫(A ′ (0) ∇e h , ∇e h ) dΩ h − div (F V (0)) (p h + λ h ) dΩ h2 Ω h Ω h∫∫+ A ′ (0) ∇u h ∇λ h dΩ h + A ′ (0) ∇(u h + e h ) ∇p h dΩ h .Ω h Ω hTAMTAM –Tunis– 2005

R-adaptation de maillage 187où A(t) = DTt−1 J ∗ t DTt−1 et J t = det(DT t ), p h ∈ E h et λ h ∈ V h sont les solutionsdes problèmes adjoints. L’algorithme utilisé est comme suit : Nous partons d’un maillageinitial et une précision ε. Nous résolvons successivement les problèmes primaux (2) et (3),pour calculer u h et e h , puis les problèmes adjoints pour calculer p h et λ h . Ceci permet decalculer la dérivée de j(.) et sa norme en chaque nœud. Si le maximum de ces normes estsupérieur à ε, un déplecement de nœud est effectué suivant la diréction du gradient, sinon,le processus d’adaptation s’arrête.5. Tests numériques :Les résultats numériques sont donnés à l’aide du logiciel FreeFem++ v1.44 [4], pourΩ = [0, 1] × [0, 1] et F la fonction caractéristique du cercle de centre (1/2, 1/2) et derayon 1/4. On prend comme maillage initial T (0)hle maillage régulier de pas h = 0.1.Dans la figure 1 on trouve le maillage initial, les isovaleurs de l’estimateur associé etlasolution approché. On fixe ε à 10 −4 . A chaque itération de l’algorithme, les nœuds sedéplacent et la norme de l’estimateur diminue. Dans la figure 2 se trouve le maillage aubout de 584 itérations, les isovaleurs de l’estimateur associé et la solution approchée. Dansle tableau nous avons reporté les valeurs de J ainsi que les valeurs maximum et minimumde l’estimateur. Nous remarquons qu’au file des itérations le maximum et le minimum dee h diminuent et se rapprochent, ce qui signifie que l’erreur devient de plus en plus "équirépartie".La position finale des nœuds a lissé la solution comme on peut le remarquer surles figures. Comme nous l’avons signalé en introduction, nous rappelons que le processusdécrit ici est une des étapes dans un algorithme d’adaptation de maillage. Pour qu’il soitplus efficace il faut l’accompagner d’un procédé de raffinement/déraffiement.Itérations min e h max e h Jitér.1 - 0.00070533 0.00121134 9.51972e-05itér.10 -0.000690011 0.00113888 9.19377e-05itér.100 -0.00055789 0.000992523 7.83762e-05itér.200 -0.00044972 0.000924118 6.99162e-05itér.584 - 0.000571508 0.000825886 6.04132e-05TAMTAM –Tunis– 2005

IsoValue-0.00070533-0.000604452-0.000503575-0.000402698-0.000301821-0.000200943-0.0001000668.11357e-070.0001016890.0002025660.0003034430.0004043210.0005051980.0006060750.0007069520.000807830.0009087070.001009580.001110460.00121134IsoValue-0.000571946-0.000498414-0.000424883-0.000351351-0.000277819-0.000204287-0.000130756-5.7224e-051.63078e-058.98395e-050.0001633710.0002369030.0003104350.0003839660.0004574980.000531030.0006045620.0006780930.0007516250.000825157IsoValue0.0009868380.002960510.004934190.006907870.008881540.01085520.01282890.01480260.01677620.01874990.02072360.02269730.02467090.02664460.02861830.0305920.03256570.03453930.0365130.0384867IsoValue0.0009412220.002823670.004706110.006588550.0084710.01035340.01223590.01411830.01600080.01788320.01976570.02164810.02353060.0254130.02729540.02917790.03106030.03294280.03482520.0367077188 Alla et al.Figure 1. Maillage initial, estimateur hiérarchique et solution approchée.Figure 2. Maillage final, estimateur hiérarchique et solution approchée.6. Bibliographie[1] I. BABUSKA, W.C. RHEINBOLDT : « Error estimates for adaptive finite elemement computation», SIAM Numer. Anal., 1978, 15, p.736-754.[2] R.E. BANK, R.K. SMITH : « A posteriori error estimates based on hierarchical bases », SIAMJ.Numer.Anal, 1993, Vol.30, N ◦ 4, p.921-935.[3] M.C. DELFOUR, G. PAYRE, J.P. ZOLESIO : « An optimal triangulation for second orderelliptic problems », Comp. Methods Appl. Mech. Engrg. 50, 1985, 231-261.[4] F. HECHT, O. PIRONNEAU, K. OHTSUKA : « FreeFem++ Manual », November 4, 2004.[5] J. SOKOLOWSKI, J.P. ZOLESIO : « Introduction to Optimization, shape sensitivity analysis »Springer series in computational mathematics, Vol.16, 1992.[6] R. VERFURTH : « A reviw of a posteriori error estimation and adaptive Mesh-RefinementTechniques », Wiley and Tubner, 1996.[7] J.P. ZOLESIO : « Les dérivée par rapport aux noeuds des triangularisations et leurs utilisationsen identification des domaines », Ann. Sc. Math. Québec,1984, Vol.8, n ◦ 1, 97-120.TAMTAM –Tunis– 2005

Estimation a Posteriori h-hiérarchique pour laméthode des éléments finis avec jointsB. Achchab * , A. Ennori ** , Z. Mghazli *** Université Hassan 1er , Faculté des sciences juridiques, économiques et sociales, B.P. 784 Settat,Maroc.** Laboratoire SIANO, Département de Mathématique et d’Informatique, Faculté des sciences,Université Ibn Tofaïl, B.P. 133, Kénitra, Maroc.RÉSUMÉ. Nous considérons, dans ce travail, un problème elliptique modèle approché par une méthoded’éléments finis avec joints. Nous développons, pour cette approximation, des estimations aposteriori dite h-hiérarchiques pour lesquelles les espaces d’éléments finis construits sur un maillagede pas h sont enrichis en considérant les mêmes espaces avec un maillage de pas h/2.ABSTRACT. We consider, in this work, an elliptic problem model approximated by a mortar finiteelements method. We develop, for this approximation, a posteriori estimate called h-hierarchical forwhich the space finite elements on mesh of diameter h is enriched by considering the same spacewith a mesh of diameter h/2.MOTS-CLÉS : méthode d’éléments finis avec joints, estimateur hiérarchique, adaptation de maillage.KEYWORDS : mortar finite elements method, hierarchical estimator, mesh adaptation.189 TAMTAM –Tunis– 2005

190 Achchab et al.1. IntroductionLes estimations a posteriori sont devenues maintenant un outil indispensable pour mesurerla qualité de la solution calculée lors de la discrétisation d’équations aux dérivéespartielles. Elles permettent d’effectuer une adaptation automatique du maillage d’une manièrefiable et efficace. les estimations hiérarchiques ont été introduite par R.E. Bank etA. Wieser [3] et généralisée par [2],[1]. L’idée de ces estimations est la suivante : on estimel’erreur de la solution d’un problème approché par des éléments finis de degré k enutilisant l’espace approché par des polynômes de degré k + 1 en résolvant un problèmedans l’espace complémentaite. Nous allons considérer ici une méthode d’éléments finisavec joints pour un problème modèle (voir [4]), et nous développons des estimations aposteriori hiérarchiques d’un autre type que dans [1],[2],[3],[5]. Il s’agit d’estimer l’erreurd’approximation en considérant un espace éléments finis avec joints de degré 1 surun maillage de pas h, en utilisant le même type d’espace approché, mais avec un maillagede pas h/2. Pour le développement des ces estimations on utilise les techniques analoguesà celles utilisées dans [5].2. Approximation par éléments finis avec jointsSoit Ω un ouvert polygonal borné de IR 2 , nous considérons le problème modèle :{ −∆u = f dans Ωu = 0 sur Γ := ∂Ω,(1)où la donnée f est supposée dans L 2 (Ω). Nous considérons une décompositions conformede Ω en K sous domaines (Ω i ) 1≤i≤K polygônaux et sans recouvrement. Cette⋂décompositionest supposée conforme. On note Γ i la frontière de Ω, Γ ij = Γ ji = Γ i Γj et n ijest la normale à Γ ij orientée de Ω i vers Ω j . Nous définissons le squelette S = ⋃ Ki,j=1 Γ ij.On note M(i) l’ensemble des indices j correspondants aux sous-domaines voisins de Ω iet N(i) = {j ∈ M(i) ,j > i} de sorte que les indices ij, 1 ≤ i ≤ K, j ∈ N(i) décriventde manière univoque les interfaces situées à l’intérieur de Ω. Pour tout i (1 ≤ i ≤ K), onK∏note, HD 1 (Ω i) = {v i ∈ H 1 (Ω i ); v i|∂Ω∩∂Ωi = 0}, X(Ω) = HD(Ω 1 i ) ,H 0 (div, Ω) = {q ∈ L 2 (Ω) 2 , divq ∈ L 2 (Ω) 2 , (q · n)|∂Ω = 0}, H −1/2D(∂Ω i ) le dual deH 1/2D(∂Ω i) l’espace des traces des fonctions de HD 1 (Ω i). etW (S) = {λ = (λ i ) i ∈K∏i=1i=1H −1/2D(∂Ω i ), ∃q ∈ H 0 (div, Ω), tel que ∀i, λ i = q · n i }.TAMTAM –Tunis– 2005

Estimation a Posteriori h-hiérarchique 191Le problème (1) admet la formulation faible suivante qui admet une unique solution :⎧⎨ Trouver (u, λ) ∈ X(Ω) × W (S) solution dea(u, v) + b(v, λ) = f(v) ∀vX(Ω),(2)⎩b(u, µ) = 0 ∀µ ∈ W (S),avec a(v, w) := ∑ Ki=1 a i(v, w), a i (v, w) := ∫ Ω i∇v∇wdx, v, w ∈ ∏ Ki=1 H1 (Ω i ),b(w, µ) := ∑ Ki=1 < v, µ i > 1/2D,∂Ω, w ∈ X(Ω) , µ ∈ W (S), et < ., . >1/2D,∂Ω idécrit lecrochet de dualité entre H 1/2D (∂Ω i) et H −1/2D(∂Ω i ) (voir [4]).On note T hi une triangulation, régulière de Ω i (1 ≤ i ≤ K), h = (h 1 , . . . , h K ) leparamètre d’approximation, T h l’union de toutes les trianglulations T hi , E hi l’ensemblede toutes les arêtes de T hi et E h l’ensemble de toutes les arêtes de T h , P 1 (T ) l’espacedes polynômes définis sur T de degré total inférieur ou égal à 1. Nous construisons lesous-espace de HD 1 (Ω i) de dimension finie ( voir [4],[5]),X h (Ω i ) = {v ∈ C 0 (Ω i ); ∀T ∈ T hi , v |T ∈ P 1 (T ) , v ⋂|∂Ωi ∂Ω= 0}.Pour tout 1 ≤ i ≤ K et j ∈ N(i) notons par t ij la triangulation monodimonsionnelle deT hi sur l’interface Γ ij et qui a pour extrémités p ij1 et pij 2 . Notons que t ij diffère de t ji àcause de l’incompatibilité des maillages des sous-domaines voisins. Nous définissons surΓ ij un espace discret noté W h (Γ ij , T hi ) par (voir [4] )W h (Γ ij , T hi ) ={µ ∈ C 0 (Γ ij ) µ |E ∈ P 1 (E) , ∀E ∈ t ij , µ |E ∈ P 0 (E) si p ij1 ou pij 2 ∈ E}.Posons X h (Ω) = ∏ Ki=1 X h(Ω i ), et W h (S) := ∏ K ∏i=1 j∈N(i) W h(Γ ij , T hi ).Le problème approché par éléments finis avec joints du problème (2) est :⎧⎨ Trouver (u h , λ h ) ∈ X h (Ω) × W h (S) tel quea(u h , v) + b(v, λ h ) = f(v) ∀v ∈ X h (Ω)⎩b(u h , µ) = 0 ∀µ ∈ W h (S).(3)Notons que La norme d’énergie |‖.‖| est définie par ‖|v|‖ 2 = a(v, v) , v ∈ ∏ Ki=1 H1 (Ω i ).On note ‖.‖ L la norme à poids dépendant du maillage pour le multiplicateur de Lagrange,définie par ( voir [5]) : ‖v‖ 2 L = ∑ E∈E Lh E ‖v‖ 2 0,E , v ∈ L2 (S).3. Estimations a posteriori h-hiérarchiquesPour donner un estimateur h-hiérarchique au paroblème (3), nous considérons les espacesX h (Ω i ) := {v ∈ C 0 (Ω i ); ∀T ∈ T hi/2, v |T ∈ P 1 (T ) , v |∂Ωi∩∂Ω = 0},W h (Γ ij , T hi/2) ={µ ∈ C 0 (Γ ij ) v |E ∈ P 1 (E) , ∀E ∈ t (2)ij ,µ ∈ P 0(E) si p ij1ou pij 2 ∈ E}TAMTAM –Tunis– 2005

192 Achchab et al.où T hi/2 est le maillage obtenu en découpant chaque triangle du maillage T hi en 4 sous trianglescongruents, en joignant les milieux de leur arêtes, et t (2)ij est la triangulation monodimensionnellede T hi/2 sur l’interface Γ ij . Nous consiérons maintenant la décompostionen base hiérarchique suivante X h (Ω) = X h (Ω) ⊕ ̂X h (Ω), W h (S) = W h (S) ⊕ Ŵh(S)avec X h (Ω) := ∏ Ki=1 X h(Ω i ) et W h (S) = ∏ K ∏i=1 j∈N(i) W h(Γ ij , T hi/2)̂X h (Ω) := ⊕ K ⊕i=1 E∈E iVect(b E ), Ŵ h (S) = ⊕ E∈E LVect(φ E ), où les b E sont lesfonctions de bases nodales de X h (Ω), associées aux milieux des arrêtes E ∈ E h . Lesφ E sont de deux sortes : si E ne contient aucune extrêmités de Γ ij alors les φ E sont lesfonctions de base nodales de W h (S) associées aux sommets de t (2)ij et qui ne sont pas dessommets de t ij . Dans le cas contraire E est divisé en E 1 et E 2 en son milieu et φ E est telque φ E|E1 ∈ P 1 (E 1 ) et φ E|E2 ∈ P 0 (E 2 ) (voir fig 1)Figure 1. Les fonctions de base φ E de l’espace hiérarchique Ŵ h (S)Soit (ū h , ¯λ h ) la solution de problème⎧⎨ Touver (ū h , ¯λ h ) ∈ X h (Ω) × W h (S) tel quea(ū⎩ h , v) + b(¯λ h , v) = (f, v) 0,Ω v ∈ X h (Ω)b(µ, ū h ) = 0 µ ∈ W h (S).On montre qu il existe une constante β telle que0 ≤ β 2 < 1, |‖u − ū h ‖| 2 + ‖λ − ¯λ h ‖ 2 L ≤ β 2 ( |‖u − u h ‖| 2 + ‖λ − λ h ‖ 2 L). (5)Pour définir l’estimateur h-hiérarchique, nous considérons le problème de point selle suivant,défini sur les espaces hiérarchiques suplémentaires :⎧⎪⎨ Trouver (u e , λ e ) ∈ ̂X h (Ω) × Ŵh(S)a(u e , v) + b(λ e , v) = r 1 (v), v ∈⎪⎩̂X h (Ω)(6)b(µ, u e ) = r 2 (µ), µ ∈ Ŵh(S),où r 1 (v) := (f, v) 0,Ω − a(u h , v) − b(λ h , v) et r 2 (µ) := −b(µ, u h ). La norme ‖.‖ L estassociée à la forme bilinéaire (., .) L définie par (µ, ξ) L := ∑ E∈E Lh E µξdσ, µ, ξ ∈∫EW h (S). On montre en utilisant les techniques standards les lemmes suivants. Les lemmes1 et 2 vont nous permettre de démontrer le théorème suivant.Lemme 1 Il existe deux constantes 0 < η 1 , η 2 < 1 indeṕendantes de h telles que lesinégalités de Cauchy-Schwarz fortes sont satisfaites :a(v, w) 2 ≤ η 2 1|‖v‖| 2 |‖w‖| 2 , v ∈ X h (Ω), w ∈ ̂X h (Ω), (7)(4)TAMTAM –Tunis– 2005

Estimation a Posteriori h-hiérarchique 193(µ, ξ) 2 L ≤ η 2 2‖µ‖ 2 L‖ξ‖ 2 L µ ∈ W h (S), ξ ∈ Ŵh(S). (8)Lemme 2 la forme bilinéaire b(., .) est continue sur ̂X h (Ω) × W h (S), c’est-à-dire queb(v, µ) ≤ c 1 ‖v‖ L · |‖µ‖| , v ∈ ̂X h (Ω), µ ∈ W h (S), (9)où c 1 est une constante indépendante de h. De plus la forme bilinéaire b(., .) vérifie unecondition inf-sup discrète ( Condition de Babuška-Brezzi ) : il existe une constante c 2 > 0indépendante de h telle quesupv∈̂X h (Ω)|‖v‖|≠0b(v, µ)|‖v‖|≥ c 2 ‖µ‖ L , µ ∈ Ŵh(S). (10)Théorème 1 Il existe deux constantes 0 < c 3 ≤ c 4 < 1 telle quec 3 (|‖u e ‖| 2 + ‖λ e ‖ 2 L) ≤ |‖u − u h ‖| 2 + ‖λ − λ h ‖ 2 L ≤ c 4 (|‖u e ‖| 2 + ‖λ e ‖ 2 L). (11)4. Résultats numériquesLes résultats numériques sont donnés par le code FreeFem++ version 1.44. Nousconsidérons Ω =]0, 1[ 2 \[ 1 2 , 1] × [0, 1 2], la fonction f est donnée par f(x, y) = 1. Le domaineΩ est décomposé en deux sous-domaines Ω 1 =]0, 1 2 [×]0, 1[ et Ω 2 =] 1 2 , 1[×] 1 2 , 1[avec des triangulations régulières nom conformes (cf. Fig 2). Les résultats des testes numériquessont présenés pour un valeur de tolérance égale 10 −3 . La figure (3) présente lemaillages raffiné après trois itérations ainsi que les isovaleurs de la solution calculée et del’estimateur.5. ConclusionLes estimations a posteriori h-hiérarchiques donnent des résultats analogues à ceuxdonnés par les estimations a posteriori P -hiérarchiques. Elles ont l’avantage de n’utiliserque des polynômes des degré ≤ 1. Il est possible de combiner les deux versionsde l’estimateur hiérarchique dans le cas où on aurait différentes EDP dans les différentssous-domaines.TAMTAM –Tunis– 2005

IsoValue0.000933570.002800710.008402130.01026930.01213640.01773780.0196050.02147210.02707350.02894070.03080780.0364092IsoValue0.0009085430.002725630.008176890.009993970.01181110.01726230.01907940.02089650.02634770.02816480.02998190.0354332IsoValue-0.00141151-0.00107994-8.52274e-050.0002463440.0005779160.001572630.00190420.002235770.003230490.003562060.003893630.00488835194 Achchab et al.0.004542710.00635980.01362810.01544520.02271360.02453070.0317990.0336161Figure 2. Le domaine Ω, le maillage non conforme associé et la solution calculée.0.004667850.006534990.01400360.01587070.02333930.02520640.0326750.0345421-0.00074837-0.0004167990.0009094870.001241060.002567340.002898920.00422520.00455677Figure 3. le maillage raffiné, la solution calculée et les isovaleurs de l’estimateur d’erreur.6. Bibliographie[1] B.ACHCHAB,A.AGOUZAL,J.BARANGER AND J.F.MAITRE « Estimateur d’erreur a posteriorihiérarchique : Application aux éléments finis mixtes. », Numer. Math. 80 :159-179, (1998).[2] R.E. BANK AND R.K. SMITH, « A posteriori error estimates based on hierarchical bases. »,SIAM J. Numer.Anal. 30 :921-935, (1993).[3] R.E. BANK AND A.WEISER, « Some a posteriori error estimators for elliptic partial differentialequations. », Math. of Comp. 44 :283-301, (1985).[4] F. BELGACEM, « The mortar finite element method with Lagrange multipliers. », Numer.Math. 84 :173-197, (1999).[5] B. WOHLMUTH, « Hierarchical a posteriori error estimators for mortar finite element methodswith Lagrange multipliers. », SIAM J. Numer. Anal. 36 :1636-1658, (1999).TAMTAM –Tunis– 2005

Couplage modèle numérique de St-Venant etmaillage via les estimateurs a posteriori 1F. El Dabaghi a — N. Guelmi a,c — M. Amara a,ba INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.b Université de Pau -Avenue de l’Université, B.P. 1155, 64013 Pau, France.c ENP 10, Avenue Hassen Badi El Harrach, Alger, Algérie.1 Ce travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WADI, des programmes d’actionsIntégrées CMIFM MA/01/03., CMEP 01 MDU 529 et PLATON 05572UB.RÉSUMÉ. L’objectif de ce travail est le couplage maillage-modèle afin d’améliorer la simulation de lapropagation d’onde de crue, tant sur le plan de la qualité optimale d’une solution, pour une précisionrequise, que sur celui de son coût. Le modèle numérique adopté est basé sur une formulation vitessehauteur(U, H) des équations de St-Venant discrétisée en temps par un schéma Cranck-Nicholsonet en espace par éléments finis P 2 en U et P 1 en H, et faisant appel à un algorithme de Newtonpour les termes non-linéaires. Ainsi, l’idée consiste à extraire de l’analyse d’erreur a posteriori duproblème, des indicateurs géométrique calculés à partir d’une majoration de l’erreur d’interpolation;ensuite dans un processus itératif, ces indicateurs, combinés au Hessien de la solution obtenue àune étape, permettent de définir une métrique utilisée comme critère d’adaptativité et d’optimisationdu maillage à générer pour l’étape d’après. Cette approche est validée sur quelques cas de simulationd’écoulement à surface libre montrant l’amélioration intrinsèque de la qualité des solutions.ABSTRACT. In this work, we investigate coupling mesh-model technique, in order to improve numericalsimulations model of flood wave propagation, in term of optimal quality solution, for a requiredprecision, as well as in term of the computational cost. The adopted numerical model is based on awater depth-velocity formulation (U, H) of Saint-Venant equations, discretized by a Cranck-Nicholsontype scheme in time and by a finite elements method P 2 on U and P 1 on H in space. The correspondingfully non linear scheme is solved by Newton method combined to a direct linear solver. Thus,the idea consists to extract iteratively, from a posteriori error analysis of the problem, geometric errorestimators, calculated from error interpolation estimate. These indicators combined to the Hessian ofthe solution obtained at each iteration step allow to define a metric, which is used as adaptivity andoptimization criterion for generating new mesh for the next step. This approach is validated on somefree surface flow simulations cases, showing effectively the intrinsic improvement of solutions quality.MOTS-CLÉS : Simulation numérique, frontières libres, éléments finis, adaptation de maillage, métriqueanisotrope, estimateur d’erreur a posteriori, équations de Saint-VenantKEYWORDS : numerical simulation, free surface, finite elements, adaptive mesh, anisotropic metric,a posteriori error estimators, Saint-Venant equations195 TAMTAM –Tunis– 2005

196 El Dabaghi et al.1. Motivation et position du problèmeEn mécanique des fluides, les phénomènes physiques sont concentrés dans une partiedu domaine de calcul et certains d’entre eux sont de nature anisotrope (couche limite,chocs, singularités,...). Le maillage du domaine de calcul d’écoulement adapté à la solutiondu modèle permet de mieux détecter et capturer le comportement des phénomènesà simuler et d’améliorer par conséquence la qualité des résultats numériques et aussi deréduire notablement la taille des maillages et ainsi de diminuer le temps de calcul des simulations.De plus, la prise en compte de l’anisotropie des phénomènes physiques dans lemaillage permet d’accentuer ces gains et d’accélerer la convergence. L’idée du couplagemaillage-modèle est de contrôler la génération d’un nouveau maillage dans un shéma decalcul, de telle manière que l’erreur de calcul estimée sur ce maillage, est soit bornée parun seuil donné, soit équi-répartie sur tout le maillage. Plus précisément, à partir de la solutionnumérique obtenue, l’erreur d’approximation commise est estimée localement viaun indicateur d’erreur. Ensuite, le processus consiste à modifier (adapter) le maillage afinde satisfaire l’estimateur d’erreur suivant cette métrique, en augmentant (resp. diminuant)la densité du maillage là où l’erreur est supérieure (resp. inférieure) à un seuil donné. Unefois le nouveau maillage construit, le champ de solutions est interpolé sur ce maillagepour continuer le calcul. Dans notre travail, on se penche sur l’écoulement d’eau dans unerivière, considéré en général non stationnaire graduellement varié à surface libre. De telsécoulements sont bien décrits par les équations de Navier-Stokes ou de Reynolds. Pour cetravail, nous avons adopté un modèle basé sur les équations de Saint-Venant pour décrirede manière acceptable ce type d’écoulement. Ce modèle dérive de l’intégration verticaledes équations de Reynolds ou de Navier-Stokes 3D sous les hypothèses standards. Onintroduit H, V les espaces des champs de solutions admissibles pour la hauteur et la vitesse,D(t) = D × [0, T ] le domaine spatio-temporel de l’écoulement (voir figure (1))et Z F l’équation du fond supposé immobile et sans dépôt. La formulation variationnellestandard associée s’écrit (voir [1] et [6]) :Pour tout H ′ ∈ H et tout (U ′ , V ′ ) ∈ V, trouver H ∈ H et (U, V ) ∈ V solution de :{ ∫DH ′{ ∂H∂t + ∂HU∂x+ ∂HV }dD = 0 ds D(t) (1.1)∂y⎧⎪⎨⎪⎩∫ {U ′[ ∂HU+ gH ∂Z fD ∂t+β uv HUV ∂U ′∂y + 1 ′∂UgH22∫+Γ)]+(Hτ xx U ′ η x + Hτ xy U ′ η y∂x − ΩHV + 1 ρ(τ F x− τ S x∂x − Hτ ∂U ′xx∂x − Hτ ∂U ′xy∂y[η x(β uu HUUU ′) + η y(β uv HUV U ′ + 1 2 gH2 U ′))]−(β uu HUU ∂U ′∂x)}dDdΓ = 0 ds D(t) (1.2)TAMTAM –Tunis– 2005

Couplage modèle numérique et maillage 197⎧ ∫⎪⎨⎪⎩{V ′[ ∂HVD ∂t+β vv HV V ∂V ′+ gH ∂Z f∂y − ΩHU + 1 (τyF ρ′∂VgH2∂y − Hτ yx ∂V ′− τ S y)]−(β vu HV U ∂V ′)} ∂xdD∂y + 1 2 ∂x − Hτ yy ∂V ′∫∂y+[η x(β vu HV UV ′) + η y(β vv HV V V ′ + 1Γ2 gH2 V ′))]+(Hτ yx V ′ η x + Hτ yy V ′ η y dΓ = 0 ds D(t) (1.3)τ F et τ S étant les tenseurs de contraintes au fond et à la surface, Ω = 2ω sin ϕ avec ϕ lalatitude, ω la vitesse angulaire de la terre. Les termes correctifs β uu , β uv , β vv servent àrectifier les termes du flux advectif de la vitesse verticalement intégrée :β uu = 1HU 2 ∫ ZSu 2 dz, β uv = β vu = 1Z FHUV∫ ZSZ Fuvdz, β vv = 1HV 2 ∫ ZSZ Fv 2 dzFigure 1. Définition du domaine de calculAu système (1), on ajoute les conditions aux limites de glissement ou d’adhérencesur Γ solide . En général, la vitesse ou le flux sont préscrits sur Γ entree ; s’il s’agit d’unécoulement torrentiel (supercritique)la hauteur est donnée sur Γ entree ; par contre, dansle cas fluvial, on la donne uniquement sur Γ sortie comme condition Dirichlet ou commecondition de type absorbant la liant à la vitesse (travail en cours). On approxime H, Vpar H h , V h de dimension finie. Pour ce modèle, on utilise une triangulation τ h de D ;τ h = ∪K, K étant un triangle. Les fonctions d’approximation sont P 2 pour les vitessesU, V et P 1 pour la hauteur d’eau H.2. Estimateur d’erreurs a posteriori et maillage adaptatifSoit K = [a 1 , a 2 , a 3 ] ∈ τ h , soit u la solution du problème (u peut être H, U ou V )et π h u son interpolée linéaire P 1 sur K par la paramétrisation : π h u =3 ∑i=1λ i u(a i ) avecTAMTAM –Tunis– 2005

198 El Dabaghi et al.0 ≤ λ i ≤ 1 et3∑λ i = 1. Le but est de majorer e = ‖u − π h u‖ sur K dans une normei=1adéquate. Par un développement de Taylor de e, on obtient :e(a i ) = e(x)+ < −→ xa, ∇e(x) > + ∫ 1(1 − t)dt (1)où x un point quelconque dans K et H u le Hessien de u ; on cherche un point x où unextremum est atteint i.e. si x est strictement dans K, alors : ∇e(x) = 0 , soit encore :< ⃗v, ∇(u − π h u)(x) >= 0, pour tout ⃗v ∈ KComme e(a i ) = (u − π h u)(a i ) = 0, alors en reprenant l’équation (1), on obtient en x :e(x) = − ∫ 1(1 − t) dtAvec |H u | = R|Λ|R −1 et |Λ| = diag(|λ i |), on montre que (voir [2]) :‖e‖ ∞,K ≤ 2 9 maxy∈Kmax⃗e⊂K < ⃗v, |H u(y)|⃗v > (2)où R est la matrice des vecteurs propres et Λ la matrice des valeurs propres.Pour que le maximum sur le champ de métriques |H u | soit connu, il faut supposer quel’on sache exhiber sur K un tenseur de métrique M(K) vérifiant :max < ⃗v, |H u(x)|⃗v > | ≤ < ⃗v, M(K)⃗v >,x∈Kpour tout ⃗v ∈ E KOn obtient alors la majoration explicite suivante :‖u − π h u‖ ∞,K ≤ 2 9 max⃗v∈E K< ⃗v, M(K)⃗v > (3)T S0 0T SiiInterpolation solution SM S Ti+1T S Ti i i i+1 iiCalcul de la solution S iCalcule de la metrique M iGeneration de maillage T i+1Figure 2. Schéma classique d’adaptation de maillageAlors, l’erreur d’interpolation η (K), sur un élément K, dépend de la longueur des arêtesdu maillage et elle est estimée par :η (K) = c max⃗v∈E k< ⃗v, M(K)⃗v >TAMTAM –Tunis– 2005

Couplage modèle numérique et maillage 199Pour disposer d’un algorithme adaptatif éfficace, il est important d’avoir des estimateurslocaux η (K) et qui soient aisément calculables suivi d’un test d’arrêt approprié. On proposede chercher un point fixe pour le couple formé par le maillage et la solution. Autrementdit, on cherche à converger à la fois vers la solution du problème et vers le maillageadapté associé. Ce maillage est tel que l’erreur d’interpolation de la solution convergéesoit équirépartie. Il s’agit donc d’un algorithme itératif dans lequel chaque itération débuteavec comme couple initial le maillage et la solution issue de l’itération précédente.Après le calcul de la solution numérique, on estime l’erreur η (K) sur chaque élément dumaillage en utilisant l’estimateur d’erreur a posteriori présenté précédemment. A partirde cette estimation de l’erreur, une carte de métrique est construite servant de critère pourgénérer un maillage adapté. Ce processus est itéré jusqu’à convergence de la solution etdu maillage. Ce schéma est illustré sur la figure 2, où on a noté respectivement T , S et Mle maillage, la solution et la métrique à chaque itération.3. Résultats numériquesOn considère un canal à section trapézoïdale à fond légèrement incliné. Au départ, onfixe un maillage du canal, très régulier, voir figure (3). On calcule la solution du problèmede St-Venant, les indicateurs d’erreurs sur chaque triangle, les indicateurs d’erreur surchaque noeud et l’indicateur d’erreur global. Ensuite, on applique l’algorithme de la figure(2) pour aboutir au maillage à l’étape2 (FIG.4) puis à l’étape finale (FIG.5). On illustresur les figures (6) l’erreur a posteriori η(K) répartie sur tout le maillage à l’étape initialeet à l’étape2. Un résultat analogue à celui présenté à l’étape finale aurait nécessité unmaillage plus lourd (≈ 84000 noeuds P 1 − P 2 ) et un temps de calcul plus long si on a eurecours à un raffinement de maillage dans tout le domaine (voir [1]). Pour valider cetteFigure 3. Maillage Initial : 634 triangles et 1319 noeuds P1-P2 dont 343 sommetsapproche sur un cas réel, on considère tronçon de la rivière Nahr Soummam d’Algérie.Pour ce cas, on représente la hauteur d’eau (7) et la vitesse (8) sur le maillage initial et lemaillage final pour le cas stationnaire considéré. Comme dans les cas académiques (voir[3][4]), on constate que grâce aux indicateurs d’erreurs calculés sur chaque triangle, on aoptimisé le couple résultat-maillage pour une précision requise.TAMTAM –Tunis– 2005

200 El Dabaghi et al.Figure 4. Maillage à l’étape2 : 1992 triangles et 4087 noeuds P1-P2 dont 1048 sommetsFigure 5. Maillage final : 8690 triangles et 17431 noeuds P1-P2 dont 4411 sommetsFigure 6. Erreur a posteriori répartie sur le maillage initial et final4. ConclusionCe travail générique s’inscrit dans un cadre plus large de mise en place d’un simulateurnumérique pour l’analyse des risques d’inondations dans les bassins versants. Lesinondations et les crues de rivières de plus en plus fréquentes nous interpellent à développerdes outils de simulation numérique permettant de mieux prévoir les zones inondables.Dans la pratique, le calcul se fait dans des rivières assez longues et à géométrie irrégulière.La résolution des équations s’avère trop coûteuse lorsqu’on effectue un raffinement systématiquede maillage dans tout le domaine. Les Indicateurs d’erreurs et par conséquent lesestimations d’erreur a posteriori nous permettent de coupler l’optimalité de la qualité dela solution avec la réduction du temps de calcul en raffinant et en déraffinant le maillagedans des endroits bien précis.TAMTAM –Tunis– 2005

Couplage modèle numérique et maillage 201Figure 7. Iso-elevation d’eau sur le maillage initial et finalFigure 8. Iso-vitesse sur le maillage initial et final5. Bibliographie[1] M. ABDELWAHED„ F. EL-DABAGHI„ S. KARRAKCHOU„ B. NAKHLE„ S. TALAMALI,« Elaborationet Implémentation HPCN de CRUCID », Report D7 and D8, DGXIII -European commission,CruCID Contract, Dec 2000.[2] F. ALAUZET, « Adaptation de maillage anisotrope en trois dimensions », Application auxsimulations instationnaires en Mécanique des fluides, Thèse Univ. de Montpellier II, oct 2003.[3] M.AMARA, , F. EL-DABAGHI, , N. GUELMI, « Adaptation de Maillage via les Indicateursd’Erreur pour les Equations de Saint-Venant », International Conference on Thermal Engineering: Theory and Applications, ICTEA-ES1-02, Beirut-Lebanon, Mai 31-jun 04, 2004.[4] M.AMARA, , F. EL-DABAGHI, , N. GUELMI, « Numerical Modelling and Adaptative MeshRefinement for Shallow-Water Equations », Proc. of the IASTED International Conference onApplied Simulation and Modelling (ASM 2004), pp. 160-165, jun 2004.[5] K. IDER, « Modélisation Hydrodynamique d’un Cours d’Eau -Application à l’OuedSoummam- », Mémoire de Magister en Hydraulique, INRIA-ENP, 2003.[6] D. FROELICH, « FESWMS-2DH :Finite Element Surface Water Modelling System - Two DimensionalFlow in Horizontal Plane, Users Manuel-version 2 »,U.S Departement of transportation,1991.TAMTAM –Tunis– 2005

Residual error estimators for the timedependent Stokes equationsN. Kharrat * — Z. Mghazli *** LAMSIN, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, Faculté des Sciences de SfaxB.P.37, 1002 Tunis-BelvédèreTUNISIEnizar.kharrat@enit.rnu.tn** Laboratoire SIANOUniversité Ibn Tofaïl, Faculté des SciencesB.P. 133, 14000 KénitraMarocmghazli_zoubida@yahoo.comABSTRACT. We present a posteriori residual error estimators for the approximate time-dependentStokes model Chorin-Temam [4] projection scheme using a conforming finite element discretization.We prove a time-space global upper bound and local space lower bounds for the error.RÉSUMÉ. Nous présentons des estimateurs d’erreurs a posteriori par résidus pour le modèle deStokes instationnaire approché par le schéma de projection de Chorin-Temam [4] en utilisant unediscrétisation par éléments finis conformes. Nous prouvons une majoration globale de l’erreur spatiotemporelle,ainsi que des minorations locales sur l’erreur spatiale.KEYWORDS : A posteriori estimators, residual error, time-dependent Stokes model, projection scheme,global upper bound, local lower bound.MOTS-CLÉS : Estimateurs a posteriori, erreurs par résidu, modèle de Stokes instationnaire, schémade projection, majoration globale, minoration locale.TAMTAM –Tunis– 2005 202

REE for Stokes equations 2031. Introduction and preliminariesLet Ω be a bounded connected domain of R d (d = 2, 3), with Lipschitz-continuousboundary Γ and we denote by ⃗n the unit outward normed vector to Ω on Γ. Let T > 0 bea real constant. We set X = H0 1 (Ω) d , Y = L 2 (Ω) d and M = H 1 (Ω)/R.For an initial velocity field, u 0 ∈ H = {v ∈ Y ; ∇.v = 0 in Ω , v.⃗n = 0 on Γ }, dataf ∈ L 2 (0, T ; H), and a given real kinematic viscosity ν > 0, we consider the incompressibletime-dependent Stokes problem :Find (u(t), p(t)) ∈ X × L 2 (Ω)/R such that for almost every t ∈]0, T [⎧d ⎪⎨ (u, v) + ν(∇u, ∇v) − (p, ∇.v) = (f, v) ∀ v ∈ X,dt(q, ∇.u) = 0 ∀ q ∈ L ⎪⎩2 (Ω)/R ,(1)u(0) = u 0 .Let us introduce a regular partition 0 = t 0 < t 1 < ... < t N = T of the time intervalτ n−1[0 , T ], with step sizes τ n = t n − t n−1 such that the regularity parameter max is1≤n≤N τ nbounded from above independently of τ. We denote by τ the N−tuplets (τ 1 , ..., τ N ) andby f n = 1 ∫ tnf(t)dt for each 1 ≤ n ≤ N. The variational form of the semi-discreteτ n t n−1Chorin-Temam projection scheme applied to the Stokes equations (1), reads :Find (ũ n , u n , Φ n ) 1≤n≤N ∈ (X × Y × M) N initialized by u 0 = u 0 and satisfying(ũ n , v) + ντ n (∇ũ n , ∇v) = (u n−1 , v) + τ n (f n , v) ∀v ∈ X, (2){ (u n , v) + τ n (∇Φ n , v) = (ũ n , v) ∀ v ∈ Y,(u n (3), ∇q) = 0 ∀ q ∈ M.By standard arguments, it is readily checked that problems (2) and (3) are well posed.Indeed step (2) constitutes an elliptic boundary value problem for an intermediate velocityunknown ũ n , which is a prediction of u(t n ) satisfying a homogeneous Dirichlet boundarycondition, but is not divergence free. The second step (3) represents a Darcy’s problemwhich determines the end-of-step divergence-free velocity u n which is a correction ofũ n , together with a suitable approximation of the pressure distribution Φ n . We easilycheck that Φ n is the solution of a Poisson problem with homogeneous Neumann boundaryconditions. We assume thar Ω is polygonal or polyhedral (d = 2 or 3). For each n,0 ≤ n ≤ N τ , we associate a regular triangulation Thn of Ω into triangles or tetrahedra. Foreach element K in Th n,we denote by h K the diameter of K, E K the set of edges or facesE of K wich are not contained in Γ and for each element E in E K we denote by h E thediameter of E. The fully discrete version of algorithm (2)-(3) in the framework of spatialGalerkin finite element approximation takes similar formulation written for the unknowsequencedenoted by (ũ n h , un h , Φn h ) 1≤n≤N τretrieved in some appropriate approximationsubspaces of X, Y and M.TAMTAM –Tunis– 2005

204 Kharrat et al.The step (3) needs also a modified formulation while looking for a less regular pressure[1]. Besides, we notice that the approximate space of the end of step-velocity u n h isnever used in practice [7] and even in the present analysis. As a consequence, we will beconcerned by the approximation spaces of ũ n h and Φn h denoted respectively by Xn h andMh n nbuilt over the mesh Thand consisting of continuous functions which are piecewisepolynomials with degrees ≥ 1. The fully discrete scheme reads now:For each n, 1 ≤ n ≤ N, find ũ n h ∈ Xn hsolution of the variational equation :(ũ n h, v h ) + ντ n (∇ũ n h , ∇v h ) = (u n−1h, v h ) + τ n (f n , v h ) ∀v h ∈ X n h , (4)and Φ n h ∈ M h n solution of the Poisson problemand we set(∇Φ n h , ∇q h ) = − 1τ n(q h , ∇ũ n h) ∀q h ∈ M n h , (5)u n h = ũ n h − τ n ∇Φ n h , (6)initialized by u 0 h = Π hu 0 , where Π h denotes an appropriate interpolation or projectionoperator with values in { v h ∈ Xh 0; (v h, ∇q h ) = 0 ∀q h ∈ Mh} 0 . We mention that, thepair sequence of spaces (Xh n, M h n) 1≤n≤N τmust satisfy the Brezzi-Babŭska (or inf-sup)condition to eliminate all possible spurious pressure mode (see [6] for a priori analysis ofthe stability and convergence in time of the pressure).2. A posteriori error estimations2.1. The error estimatorsIn this section we present a posteriori residual error estimators for the error in timeand space induced respectively by the solutions of the algorithms (2)-(3) and (4)-(5)-(6).For each time step, we derive successively two types of estimators. The first ones ((7), (8)and (9)) beeing linked to time discretization and the second ones ((10), (11) and (12)) tospace discretization. They are defined for each n = 1, ..., N and K ∈ Thn(ζ n =ν τ n3) 1/2 ∣∣ũn h − ũ n−1 ∣h 1(7)ξ n = 1 2 ‖∇(τ nΦ n h − τ n−1 Φ n−1h)‖ 0 (8)˜S n =( ∫ tnt n−1‖f(s) − f n ‖ 2 0ds∥ ∥∥∥˜η n,K = h K fh n − ũn h − un−1 hτ nby) 1/2(9)+ ν∆ũ n h∥ + ν ∑ √hE ‖[⃗n E .∇ũ n0,K2h]‖ 0,E(10)E∈E KTAMTAM –Tunis– 2005

REE for Stokes equations 205η n,K = h K√τn‖∇.u n h‖ 0,K + 1 2∑E∈E K√hEτ n‖[⃗n E .u n h]‖ 0,E (11)S n,K = h K ‖f n − f n h ‖ 0,K . (12)The quantities [⃗n E .∇ũ n h ] and [⃗n E.u n h] denote respectively the jump of the normal derivativesof ũ n h and the normal jump of un h through E in a direction ⃗n E, while fhn is theorthogonal projection of f n onto the space of polynomials with degree ≤ 1. Moreover,since our goal is mesh adaptivity, the triangulations {Th n}1≤n≤N τare not independentin practice, noting the fact that any triangulation Thnn−1can be derived from Thby locallyrefining or coarsening the mesh. On the other hand, several triangulations can beemployed at the same time t n for mesh adaptivity, for simplicity, we use the notation Thnonly for the last one, so the term u n−1hin (4) has not be re-interpolated here. The functionu n−1happears also in the estimator (10) and can be interpolated without great difficultyon the new elements of Th n . We introduce for all n = 1, ..., N, the spacial global errorestimators√ ∑˜η n =√ ∑√ ∑˜η n,K 2 , S n = Sn,K 2 , η n = ηn,K 2 . (13)K∈T n hK∈T n hK∈T n hWe also use the following notations : |τ| = max τ n, with each family of velocity1≤n≤N(v n ) 0≤n≤N , and pressure fields (Φ n ) 0≤n≤N , we agree to associate the affine functionsrespectively defined for all t ∈ [t n−1 , t n ] byv τ (t) = t − t n−1v n + t n − tv n−1 and Φ τ (t) = t − t n−1Φ n + t n − tτ nτ nτ nτ n(τn−1τ n)Φ n−1 ;similarly, we define v hτ and Φ hτ the affine functions respectively associated to (v n h ) 0≤n≤N,and (Φ n h ) 0≤n≤N; we set ẽ(t) = (u − ũ τ )(t), e(t) = (u − u τ )(t), ε(t) = (p − Φ τ )(t)and for all n = 1, ..., N, ẽ n = ũ n − ũ n h , en = u n − u n h , εn = Φ n − Φ n h .We use the following convention :(a ≼ b ⇐⇒ a ≤ c b) , (a ≃ b ⇐⇒ a ≼ b and a ≼ b) ,where the constant c must be independent of ν, τ and h.2.2. Statement of the main resultsWe intend to bound the errors u−ũ hτ , u−u hτ , and p−Φ hτ at each time-step t n as afunction of the error estimators. For any function field v, we use here, the decompositionv − v hτ = (v − v τ ) + (v τ − v hτ ), and we start (of course for some appropriate norms)by evaluating v − v τ . We don’t bring any proof of the estimates below.Proposition1 Assume the data f ∈ L 2 (0, T ; H), u 0 ∈ H and ν|τ| ≤ 1. Then, theTAMTAM –Tunis– 2005

206 Kharrat et al.following estimations holds between the solution (u, p) of problem (1) and the solution(ũ n , u n , Φ n ) 1≤n≤N of problem (2)-(3) for all t n , 1 ≤ n ≤ N,∫ tn‖e(t n )‖ 2 0 + ν0where,|ẽ(s)| 2 1ds +n∑∫ tmτ mm=1t m−1|ε(s)| 2 1ds + ‖τ n ∇Φ n ‖ 2 ≼ RHS , (14)RHS =+n∑{ 1 ν ˜Sn∑m 2 + ζm 2 + ξm} 2 + ν τ m |ẽ m − ẽ m−1 | 2 1m=1m=1n∑‖ẽ m − e m − (ẽ m−1 − e m−1 )‖ 2 0 +m=1m=1n∑∫ tmτ mt m−1‖∇p(s)‖ 2 0ds ,∫ tn0‖ε(s)‖ 2 0ds ≼ |τ|n∑{ ˜Sn∑n 2 + νζn 2 + ξn} 2 + ‖ẽ m − e m − (ẽ m−1 − e m−1 )‖ 2 0m=1+νm=1n∑τ m |ẽ m − ẽ m−1 | 2 1 + ν|τ|m=1m=1n∑∫ tmτ mt m−1‖∇p(s)‖ 2 0ds .(15)Proposition2 Under the hypothesis of Proposition1, the following a posteriori error estimateholds between the solution (ũ n , u n , Φ n ) 1≤n≤N of problem (2)-(3) and the solution(ũ n h , un h , Φn h ) 1≤n≤N of problem (4)-(5)-(6) for all n, 1 ≤ n ≤ N,‖e n ‖ 2 0 + νwhere,n∑τ m |ẽ m | 2 1 +m=1n∑{‖ẽ m − e m−1 ‖ 2 0 + ‖ẽ m − e m ‖ 2 0} ≼ RHS, (16)m=1RHS = ‖u 0 − u 0 h ‖2 0 + 1 νn∑τ m˜η m 2 + 1 νm=1n∑τ m Sm 2 +m=1n∑τ m ηm 2 .m=1For n = 1, ..., N, the following local inverse estimates holds for all K ∈ T nh˜η n,K ≼ h K ‖ẽn − e n−1η n,K ≼ ‖ẽn − e n√τnτ n‖ 0,K + ν|ẽ n | 1,K + h K ‖f n − f n h ‖ 0,K ,‖ẽn − e n−1‖ 0,K + √ ‖ 0,K + ‖ en−1√ ‖ 0,K .τnτn(17)TAMTAM –Tunis– 2005

REE for Stokes equations 2073. Some Remarks1) The error bound (17) 1 implies in particular that the estimator ˜η n,K is robust (inthe sense of [9]) under the condition that the ratio h2 Ksatisfies h2 K≃ 1.ντ n ντ n2) Estimators (10) and (11) are in fact derived from the momentum and continuityequations. This, in part, gives rise to the error estimations (16) and (17) where only thevelocity components are introduced (see also [8] for a different approach of the Navier-Stokes equations). They imply, in addition, that the control of the error is mainly dependson the discrete velocity.4. References[1] Y. ACHDOU , C. BERNARDI , F. COQUEL“ A priori and a posteriori analysis of finite volumediscretizations of Darcy’s equations ”, Num. Math. 96, 17-42, 2003.[2] A. BERGAM, C. BERNARDI, Z. MGHAZLI“ A posteriori analysis of the finite element discretizationof a nonlinear parabolic equation.”, to appear in Math. Comp.[3] C. BERNARDI , B. METIVET“ Indicateurs d’erreur pour l’équation de la chaleur ”, RevueEuropéenne des Eléments Finis, Volume 9, n 0 4, 2000.[4] A. J. CHORIN “ On the convergence of discrete approximations to Navier-Stokes equations ”,Math. Comp. 23, 341-353, 1969.[5] CIARLET “ The Finite Element Methods for Elliptic Problems ”, North Holland, 1978.[6] J.L. GUERMOND “ Some implementation of projection methods for Navier-Stokes equations”,M2AN. Vol 30, n ◦ 5, 637-667, 1996.[7] J. L. GUERMOND, L. QUARTAPELLE “On the approximation of the unsteady Navier-Stokesequations by finite element projection methods”, Numer. Math. 80, 207-238, 1998.[8] S. PRUDHOMME , J. T. ODEN “ A posteriori error estimation and error control for finiteelement approximations of the time-dependent Navier-Stokes equations”, Finite Elements inAnalysis and Design. 33, 1999, 247-262, 1999.[9] R. VERFḦURTH “ Robust a posteriori error estimators for singularly perturbed reactiondiffusionequation”, Numer. Math. 78, 1998, 479-493, 1998.[10] R. VERFḦURTH “A posteriori error estimates for finite element discretization of the heatequation”, Calcolo 40, 195-212, 2003.TAMTAM –Tunis– 2005

VIMécanique des FluidesFluid Mechanics209

Eutrophisation des lacs : Modélisationd’injection de bulles dans un lac par uneméthode cinétiqueM. Abdelwahed * , R. Badé * , H. Chaker ** LAMSIN-Ecole Nationale d’Ingenieurs de Tunis, BP: 37, 1002 Tunis, TunisieRÉSUMÉ. Dans ce travail, nous-nous intéressons à la modélisation d’injection de bulles dans un laceutrophe. La difference d’échelle entre les deux fluides nous a amené à modéliser le mouvementdes bulles par l’équation de Vlasov alors que l’écoulement de l’eau est modélisé par les équationsde Navier-Stokes en leur rajoutant un terme source qui décrit l’effet du mouvement des bulles. Pourla simulation numérique du modèle couplé, nous utilisons la méthode de splitting. Ainsi, l’équationde Vlasov est discrétisée en utilisant la méthode particulaire alors que pour les équations de Navier-Stokes nous utilisons la méthode des caractéristiques pour les termes de convection et la méthoded’éléments finis mixtes pour les termes de diffusion et de pression.ABSTRACT. In this work, we are interested in modeling of bubbles injection in an eutrophic lake.Because of scale difference between the two fluids, we model the movement of the bubbles using theVlasov equation whereas the water flow is modelled using the Navier-Stokes equations to which weadd a source term modelling the effect of the bubbles on the water flow. For the numerical simulationof the coupled model, we use a method of splitting. Thus, the Vlasov equation is discretized using aparticles method whereas for the Navier-Stokes equations we use the method of the characteristic forthe terms of convection and the mixed finite element method for the terms of diffusion and pressure.MOTS-CLÉS : Ecoulement diphasique, équation de Vlasov, équations de Navier-Stokes, méthode desplitting, méthode particulaire, méthode d’éléments finis mixtes.KEYWORDS : Two-phase flow, Vlasov equation, Navier-Stokes equations, splitting method, particlesmethod, mixed finite elements method.211 TAMTAM –Tunis– 2005

212 Abdelwahed et al.1. IntroductionLes lacs et les barrages constituent des réserves importantes d’eau douce ; qui peuventservir à alimenter les villes en eau potable. Ces réserves sont parfois confrontées à des problèmesd’eutrophisation. Cette dernière est un processus physico-biologique et thermiqueassez complexe qui conduit à la raréfaction de l’oxygène dans l’eau. Si la concentrationen oxygène est en dessous de 3mg/l, le lac est alors déclaré en état d’eutrophisation quise manifeste par une dégradation progressive de la qualité de l’eau.Une des techniques qui permettent le ralentissement de ce fléau est celle qui consiste àcréer une dynamique de l’eau du lac en injectant des bulles sous pression à partir du fond.Ainsi en remontant les bulles entrainent avec elles une certaine quantité d’eau qui s’oxygèned’abord au contact des bulles, mais surtout au contact des couches superficielles etde l’air atmosphérique.On s’intéresse dans ce travail à la modélisation et la simulation numérique de ce phénomèneassez complexe du fait non seulement de la présence simultanée de deux phases(eau-bulles d’air), mais aussi de la différence d’échelle qui existent entre les deux phases.2. Position et modélisation du problèmeLa modélisation la plus fine du problème consiste à suivre les bulles dans leur mouvementde façon individuelle (Clement [2]). Dans notre cas, une telle modélisation est trèsdifficile à implémenter numériquement du fait du nombre assez important des bulles àinjecter. Pour éviter cette difficulté, Abdelwahed [1] a utilisé une technique qui consiste àtenir compte de l’effet des bulles dans les équations de mouvement de l’eau par un termesource qui depend de la fraction volumique occupée par l’air.Dans ce travail, on utilise cette technique tout en modélisant de manière plus précisel’effet des bulles sur l’eau en utilisant une méthode cinétique. Cette dernière permetd’avoir l’effet de toutes les bulles sans être ramener à les suivre une par une.La modélisation cinétique fait intervenir une fonction de distribution f(t, x, v) quiest fonction du temps t, de la position x et de la vitesse v. f(t, x, v)dx dv représente laprobabilité de présence des bulles à un instant t autour du point x et ayant une vitesseautour de v.Dans le cas où on ne tient pas compte des collisions entre les bulles, la fonction dedistribution f(t, x, v) vérifie l’équation de Vlasov donnée par :{ ∂f∂t + v∇ xf + ∇ v .(F f) = 0 pour t ∈ [0, T ], x ∈ Ω et v ∈ R 2f| t=0 = f 0 dans Ω × R 2 ,(1)TAMTAM –Tunis– 2005

Eutrophisation des lacs 213Ω désigne le domaine d’étude, T un temps fixé, f 0 est la distribution initiale et F représentele champ de force s’appliquant sur la bulle donnée par :m p F = gV B (ρ G − ρ L ) + C(v − u L )où la première quantité représente la force de flottabilité et la seconde la force de trainée.g, V B , ρ G , ρ L , v, u L et C sont respectivement l’accélération de la pesanteur, le volume dela bulle, la masse volumique de l’air, la masse volumique de l’eau, la vitesse de la bulle,la vitesse de l’eau et une constante donnée.L’écoulement de la phase eau est régit par les équations de Navier-Stokes incompressible:⎧ρ L ( ∂u L+ (u L .∇ x )u L ) + ∇ x p − µ△ x u L = I(f) dans [0, T ] × Ω∂t⎪⎨⎪⎩où∇ x .u L = 0 dans [0, T ] × Ωu L | t=0 = u 0 dans Ωu = u d sur ∂Ωu L .⃗n = 0 sur ∂Ω∫I(f) = − m p F f dvR 2représente la densité des forces exercées par les bulles avec f la solution de (1).(2)3. Résolution numériqueOn subdivise l’intervalle [0,T], en N intervalles [t n , t n+1 ], avec n ∈ N et △t =t n+1 − t n .Pour la résolution numérique du modèle couplé, nous allons découpler les deux phénomènesphysiques en utilisant la méthode de splitting. Le principe de cette dernièreconsiste à traiter l’équation de Vlasov en considérant la vitesse de l’eau comme donnéeet puis traiter les équations de Navier-Stokes en utilisant cette nouvelle solution f dans lesecond terme.Nous commençons d’abord par discrétiser les conditions initiales. u 0 est discrétisé enimposant ses valeurs aux sommets du maillage et pour f 0 nous l’approximons sous formed’une somme finie de fonctions de forme simple, appelées particules numériques et quireprésentent un ensemble de “vraie” particules.f 0 =N∑f 0k .k=1TAMTAM –Tunis– 2005

214 Abdelwahed et al.Ainsi, suivre le nuage des bulles revient à suivre les particules numériques représentéespar f k . Pour la définition de f k nous-nous sommes inspirés de Domelevo [3] et elless’expriment comme suit :f k = ξ(x, x k )E(v, g k , u k , e k ) et f =N∑f k (3)où ξ(., x k ) et E(., g k , u k , e k ) sont respectivement des gaussiennes données par :ξ(x, x k ) = 1 π exp(−(x − x k) 2 g k) E(v, g k , u k , e k ) =exp(− (v − u k) 2)2π(e k − u2 k2 ) 2(e k − u2 k2)où g k , g k u k et g k e k sont les trois premiers ordre du moment de E par rapport à v.Supposons maintenant qu’on connait à l’instant t n : f n , u n L et pn . La question estcomment calculer f n+1 , u n+1Let p n+1 à l’instant t n+1 ?k=13.1. Résolution de l’équation cinétiqueOn résout pour t ≥ t ndont la solution est donnée par :{ ∂fk∂t + v∇ xf k + ∇ v (F f k ) = 0f k (t n , x, v) = f n k (x, v) (4)f k (t, x, v) = f n k (X k (t n ; x, v, t), V k (t n ; x, v, t))e 2C(t−tn )où (X k , V k ) sont les caractéristiques de l’équation (4) et qui sont les solutions de l’équationdifférentielle ordinaire suivante :⎧⎨et sont données pardX k= V k ,dt⎩dV kdtX k (t n ) = Xk n , V k(t n ) = Vkn= −C(V k − u n L) + g(1 − ρ Lρ G)X k (t) = Xk n − V knC (e−C(t−tn) − 1) + [ gC 2 (1 − ρ L) + un Lρ G C ][e−C(t−tn) − 1]+[u n L + g C (1 − ρ L][t − t n ]ρ GV k (t) = [V nkEt ainsi on récupère f n+1 à partir de (5).− g C (1 − ρ Lρ G) − u n L]e −C(t−tn) + g C (1 − ρ Lρ G) + u n L . (8)(5)(6)(7)TAMTAM –Tunis– 2005

Eutrophisation des lacs 2153.2. Résolution des équations de Navier-stokesPour résoudre le système (2), on commence par traiter le terme de convection en utilisantla méthode des caractéristiques ( Pironneau et al [4]). Puis utiliser cette solutionpour traiter les autres termes en utilisant un schéma implicite en temps ce qui ramène àchercher (u n+1L , pn+1 ) tel que :⎧⎨⎩1△t ρ Lu n+1L+ ∇ x p n+1 − µ△u n+1 L = I n+1 + 1 ∆t ρ L u n L ◦ χ n∇ x .u n+1L= 0(9)où χ n = χ(x, t n+1 ; t n ) avec χ solution de dχdt = u L.La résolution de (9) se fait en utilisant la méthode des éléments finis mixtes en considérantl’élément fini ‘P 1 +bulle/P 1 ’.4. Résultats numériquesLes simulations numériques ont porté sur une coupe 2D d’un lac de dimensions réelles,qui fait 250 mètres de longueur et 20 mètres en moyenne de profondeur. L’injecteur estplacé à une profondeur de 17 mètres, mesure 12 mètres et comporte 100 trous de diamètre1 centimètre chacun. Nous avions considéré le nombre de Reynolds de l’écoulement égaleà 1000.4.1. Effet d’injection des bullesFigure 1. Isovaleurs de la norme de la vitesse,temps=1mntesse,Figure 2. Isovaleurs de la norme de la vi-temps=2mnTAMTAM –Tunis– 2005

216 Abdelwahed et al.Figure 3. Isovaleurs de la norme de la vitesse,temps=5mntesse,Figure 4. Isovaleurs de la norme de la vi-temps=15mnFigure 5. Isovaleurs de la densité macroscopiquede bulles, temps=40sscopique de bulles,Figure 6. Isovaleurs de la densité macro-temps=15mnAvec un pas de temps de 0.5 s, on a visualisé l’évolution de la dynamique creé par lemouvement des bulles à des temps caractérisants le début et vers un état où le nombre desbulles dans le lac reste constant. Cette évolution se voit sur les figures 1-4 où on remarqueque le brassage de l’eau est beaucoup plus important dans le cône couvrant la zone del’injecteur. Les figures 5, 6 représentent les isovaleurs de la densité macrocopiques desbulles et confirment bien le fait que la dynamique crée est beaucoup plus importante dansla zone où se trouvent les bulles. Ainsi les zones les plus aérées se situerons dans la partieséparant l’injecteur et la surface.5. ConclusionDans ce papier, nous avons présenté un modèle couplé 2D Navier-Stokes-Vlasov décrivantle processus d’aération d’un lac eutrophe. Les résultats numériques obtenus ; malgréles restrictions qui ont été faites notamment sur les forces s’agissant sur les bulles etaussi sur la dimension de l’espace physique ; sont assez encourageants et nous motivent àconsidérer toute la physique du problème.6. Bibliographie[1] ABDELWAHED M, D OUAZAR, DABACHI F, « An alternative two-phase flow correction foraeration process in lakes. », A paraitre dans International Journal of computational fluidsTAMTAM –Tunis– 2005

Eutrophisation des lacs 217dynamics.[2] CLIMENT E, « Dispertion de bulles et modifications du mouvement de la phase porteuse dansdes écoulement tourbillonnaires. », Thèse de doctorat 1996, Inst.Nat.Polytech de toulouse,Toulouse.[3] DOMELEVO K, SAINSAULIEU L, « A numerical method for the computation of dispersion ofa cloud of particules by a turbulent gas flow field. », Journal of Computational Physics, 1997,133, 256-278.[4] PIRONNEAU O, HUBERSON S, « Characteristique-Galerkin and the particule method forconvection-diffusion equation on the Navier-Stokes equation.. », ,Lectures in Applied Mathematics,1991, 28, 547-565.TAMTAM –Tunis– 2005

Procédure spectrale avec diagonalisation desopérateurs pour un écoulement fluideincompressibleM. El Guarmah * , A. Cheddadi ** , M. Azaiez **** Doctorant à l’Ecole Mohammadia d’Ingénieurs à Rabat, Laboratoire LERMA, Maroc.guarmah@hotmail.com** Professeur à l’Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, Modélisation et Informatique Scientifique,Laboratoire LERMA, Rabat, Maroc.cheddadi@emi.ac.ma*** Professeur à l’ENSCPB, Université Bordeaux 1, TREFLE UMR 8505, 33607 Pessac, France.azaiez@enscpb.frRÉSUMÉ. Dans ce papier, une méthode spectrale est appliquée à un problème gouverné par leséquations de Navier-Stokes couplées à celle de la chaleur pour un fluide visqueux incompressible ànombre de Prandtl fini, confiné dans un espace annulaire. La procédure de Collocation-Chebyshev estmise en oeuvre et mène à un système d’équations couplées du type Helmoltz. Le schéma de Crank-Nicolson est implémenté, et l’efficacité de la procédure de calcul est améliorée par diagonalisationdes opérateurs obtenus.ABSTRACT. In this paper, a spectral method is applied to a problem governed by Navier-Stokesequations, coupled with heat equation for a finite Prandtl number fluid, confined in an annular space.The Collocation-Chebyshev procedure is implemented and leads to a system of Helmholtz equations.The Crank-Nicolson scheme is used, and its efficiency is improved by diagonalization of the obtainedoperators.MOTS-CLÉS : Collocation-Chebyshev, Navier-Stokes, Equation de la Chaleur, Diagonalisation.KEYWORDS : Collocation-Chebyshev, Navier-Stokes, Heat Equation, Diagonalization.TAMTAM –Tunis– 2005 218

Procédure spectrale avec diagonalisation 2191. IntroductionOn étudie un problème de convection naturelle thermique se développant dans un espaceannulaire horizontal compris entre deux cylindres coaxiaux différentiellement chauffés,de rayons interne r i et externe r e (figure 1). Le rapport de forme r er isera noté R. Cetespace est occupé par un milieu fluide newtonien de viscosité dynamique µ et de coefficientde dilatation thermique β. Les cylindres intérieur et extérieur sont maintenus auxtempératures constantes respectivement T i et T e avec T i > T e . Ce problème a été traitédu point de vue théorique et expérimental [8].e rqgriree qFigure 1. Schéma de définitionFigure 1. Schéma de définitionLa modélisation de cet écoulement convectif nous ramène à la résolution d’un systèmed’équations couplées du type Helmholtz. On applique le schéma de Crank-Nicolsonet le système est ensuite traité dans la base des vecteurs propres. On revient enfin à l’espaceinitial.2. Equations gouvernantes en coordonnée rectangulaires.On opére en premier une transformation conforme qui permet de se placer dans lesbonnes conditions d’application de la méthode spectrale en domaine rectangulaire[0, lnR] × [0, π]. L’ écoulement laminaire stationnaire en milieu fluide newtonien est régipar les équations suivantes [5] :⎧⎪⎨(P 1 ) =⎪⎩∂ 2 ψ∂X 2∂ 2 ω∂X 2∂ 2 T∂X 2+ ∂2 ψ∂Y= −e 2X ω2+ ∂2 ω∂Y 2+ ∂2 T∂Y 2= Rae X (cosY ∂T= ∂ψ∂Y∂T∂X − ∂ψ∂X∂Y∂T∂Y+ sinY∂T∂X ) + 1P r ( ∂Ψ∂Y . ∂ω∂X − ∂Ψ∂X . ∂ω∂Y )TAMTAM –Tunis– 2005

220 El Guarmah et al.où Ra et P r sont deux nombres sans dimension respectivement de Rayleigh et Prandtl.Ψ est la fonction de courant, ω le rotationnel de la vitesse et T la température. Un secondnombre de Rayleigh Ral = Ra(R−1) 3 servira à présenter les résultats, afin de permettreles comparaisons avec le problème de Rayleigh-Bénard.Les conditions aux limites s’écrivent :⎧∂Ψ⎪⎨X = 0 : Ψ = 0, = 0, T = 1 , ∀Y∂X(C 1 ) =X = lnR : Ψ = 0 , ∂Ψ⎪⎩∂X = 0 , T = 0 , ∀YX = 0 et X = lnR : ω = −e −2X ∂2 Ψ∂X, ∀Y2Des conditions de symétrie par rapport au plan vertical contenant l’axe des cylindressont introduites :{∂T(S 1 ) = Y = 0 et Y = π : Ψ = 0 ,∂Y = 0 , ω = 0 , ∀X3. Approximation SpectraleOn utilise dans la direction angulaire périodique un développement de Fourier quiconsiste à écrire une approximation de la solution de la forme suivante :⎧∑Ψ = N f p (X)sin(py)p=0⎪⎨ ∑(1) = ω = N h p (X)sin(py)⎪⎩p=0∑T = 1 − αX + N g p (X)cos(py)Substituant les expressions (1) dans (P 1), on obtient un système d’équations de Helmholtzcouplées sous la forme :Pour p = 0 . . . . . . . . . N⎧f p⎪⎨′′ (x) − p24α 2 f p(x) = F p (x)h ′′p(x) − p24α 2 h p(x) = H p (x)⎪⎩ g p ′′ (x) − p24α 2 g p(x) = G p (x)où x = 2αX − 1 , x ∈ [−1, 1]Dans la méthode spectrale que nous utilisons, le problème est discrétisé en des pointsp=0TAMTAM –Tunis– 2005

Procédure spectrale avec diagonalisation 221de Collocation [1, 3, 4], qui sont les extrêmums des polynômes de Chebyshev. Il s’agitici de la chaîne dite de Gauss-Lobatto. Le paramètre naturel de la discrétisation est ledegré M de ces polynômes. On introduit alors une matrice D dite de dérivation [2, 6], etle système précédent devient :Pour p = 0, . . . . . . . . . , N⎧⎪⎨(P 2) =⎪⎩D 2 ⃗ f p − p24α 2 ⃗ f p = ⃗ F pD 2 ⃗g p − p24α 2 ⃗g p = ⃗ G pD 2 ⃗ h p − p24α 2 ⃗ h p = ⃗ H poù f ⃗ p , ⃗g p et h ⃗ p désignent les vecteurs formés par les valeurs des fonctions f p , g p eth p respectivement aux points de Collocation Chebyshev définis par x k = cos( k πM ) pourk = 0, . . . . . . , M.4. Méthode de résolutionLe système algébrique (P 2) est résolu par la suite en utilisant la méthode de diagonalisationproposée dans [7]. Les nouvelles matrices sont diagonalisables, à valeurs propressimples, toutes négatives. Les équations du système matriciel (P 2) rendu instationnaires’écrivent dans l’espace propre sous la forme :(1 + ∆t[f i ] n+1 = 2 λ i − ∆t2 4α 2 )[f i] n − ∆t[F i ] n(1 − ∆t2 λ i + ∆t p 22 4α 2 )Où [f i ] représente le vecteur ⃗ f p (respectivement ⃗g p , ⃗ hp ) dans la base des vecteurspropres, [F i ] représente le vecteur ⃗ F p (respectivement ⃗ Gp , ⃗ Hp ) dans la même base etλ i représente la ième valeur propre de la nouvelle matrice de dérivation seconde D 2 CLobtenue en tenant compte des conditions aux limites. Les exposants n et n + 1 désignentdes instants successifs. On revient à l’espace de départ en multipliant tous les vecteurs parles matrices de passage correspondantes.p 25. Résultats numériquesLe traitement ainsi décrit du système obtenu dans l’espace des vecteurs propres permetun gain énorme en temps de calcul par rapport au traitement dans l’epace initial, quia été envisagé dans un premier temps [5].TAMTAM –Tunis– 2005

222 El Guarmah et al.M 10 20 25 35 40 45 50N 10 20 25 35 40 45 50Iter 16 17 17 18 18 18 18Ral = 500 Nug 1.015 1.017 1.017 1.017 1.017 1.017 1.017Ψ max 1.678 1.791 1.796 1.813 1.812 1.816 1.818Iter 295 420 422 511 517 520 523Ral = 5000 Nug 1.554 1.602 1.608 1.613 1.614 1.615 1.615Ψ max 11.961 12.544 12.546 12.638 12.636 12.644 12.658Tableau 1. Variation de ψ max et Nug en fonction M et N pour R = 1.6.Figure 2. Convergence spectrale pour M = 40, N = 30 , R = 1.6 et Ral = 3000Figure 3. Lignes de courant et isothermes pour M = N = 50, R = 1.6 et Ral = 5000Le tableau 1 présente la variation de la fonction de courant maximale Ψ max et dunombre de Nusselt global Nug , caractérisant le transfert de chaleur, en fonction de Met N pour R = 1.6, P r = 0.7 et deux valeurs de Ral = 500; 5000. Ensuite la figure2 montre la convergnce spectrale en représentant le logarithme décimal des coefficientsspectraux pour un maillage M = 40, N = 30 , R = 1.6 et Ral = 3000. Enfin onreprésente la solution obtenue pour un maillage M = N = 50, R = 1.6 et Ral = 5000TAMTAM –Tunis– 2005

Procédure spectrale avec diagonalisation 223en termes de lignes de courant et d’isothermes à l’intérieur de l’espace annulaire (figure3).6. ConclusionLa diagonalisation des opérateurs permet d’obtenir des solutions précises et un gainimportant en nombre d’itérations. Le code informatique est opérationnel et nous a permisde calculer la température et la fonction de courant en tout point du domaine fluide. Lesrésultats numériques constituent une approche satisfaisante des problèmes de convectionnaturelle en géométrie annulaire, par la méthode de Collocation-Chebyshev.7. Bibliographie[1] C. BERNARDI, Y. MADAY, « Approximations spectrales de problèmes aux limites elliptiques.», Springer-Verlag France, Paris, 1992.[2] C. CANUTO, M. Y. HUSSAINI, A. QUARTERONI AND T. ZANG, « Spectral Methods in FluidDynamics. », Springer-Verlag, New York, 1986.[3] M.C. CHARRIER-MOJTABI , A. CHEDDADI ET A. MOJTABI, « Simulation numérique parméthode pseudo-spectrale de la convection naturelle en espace annulaire poreux. », 5 emesJournées internationales de Thermique, Tome 1, pp 151-160, Monastir, 22-26 avril 1991.[4] A. CHEDDADI, M. C. CHARRIER-MOJTABI ET A. MOJTABI, « Étude comparative de laconvection naturelle dans des espaces annulaires cylindriques fluide et poreux : 1-Ecoulementsbidimensionnels multicellulaires. », 6 eme Colloque Maghrébin sur les Modèles Numériques del’Ingénieur (C2MNI6), 24 − 26 Novembre 1998, Tunis.[5] A. CHEDDADI ET E. EL GUARMAH, « Simulation numérique par méthode spectrale d’unécoulement fluide anisotherme. », Colloque International sur les Problèmes Non Linéaires enMécanique, Fès 24-26 Mai 2004.[6] B. FORNBERG, « A practical guide to pseudo spectral methods », Cambridge University Press,1996.[7] D. B HAIDVOGEL AND T. ZANG , « The Accurate solution of Poisson’s equation by expansionin Chebyshev polynomials », J. Computational Pysics, Vol 30, 1979, pp 167-180.[8] T. H. KUEHN, R. J. GOLDSTEIN, « An Experimental and Theoretical Study of NaturalConvection in the Annulus Between Horizontal Concentric Cylinders », Journal of FluidMechanics, Vol 74, 1976, pp 695-719.TAMTAM –Tunis– 2005

Simulation de l’onde de crue via un modèlenumérique d’eau peu profonde basé sur laméthode des caractéristiques 1F. El Dabaghi a — A. El Kacimi a,b — B. Nakhle a,ca INRIA Rocqencourt B.P. 10578153, Le Chesnay Cedexb Ecole Mohamadia d’Ingenieurs, B.P. 765, Rabat, Marocc Ecole Supérieure d’Ingénieurs de Beyrouth, Univ. St-Joseph, B.P. 11-0514, Riad El Solh, Liban1 Ce travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WADI, des programmes d’actionsIntégrées CMIFM MA/01/03., CMEP 01 MDU 529 et PLATON 05572UB.RÉSUMÉ. Ce travail concerne la simulation numérique de la propagation des crues. Ce phénomǹepeut être décrit par les équations d’eau peu profonde ou de Saint-Venant, écrites sous forme nonconservative en formulation vitesse-hauteur. L’approximation numérique du modèle repose sur laméthode des caractéristiques pour la discrétisation temporelle, combinée à la méthode des élémentsfinis P 1 /P 1 pour l’approximation spatiale. Des résultats numériques concernant des simulationsd’écoulements subcritiques sont présentés dans des conduites à section rectangulaire avec obstacleet trapézoïdale.ABSTRACT. This work deals with the numerical simulation of flood waves propagation. This phenomenacan be described by the non conservative form of shallow water or St-Venant equations, in waterdepht-velocity formulation. The numerical approximation of the model is based on the Characteristicsmethod for the time discretization, combined to P 1 /P 1 finite element for the spatial approximation.Some numerical results describing subcritical flow on a rectangular fluid domain with obstacle andtrapzoidal channel are givenMOTS-CLÉS : équations d’eau peu profonde, caractéristiques, élément fini, onde de crue.KEYWORDS : shallow water equations, charactersitics, finite element, wave flood.TAMTAM –Tunis– 2005 224

Simulation de l’onde de crue 2251. Motivation et position du problèmeLes catastrophes naturelles dues aux ondes de crues touchent plusieurs régions dumonde, et notamment les pays de la méditerranée. En période de crue, le débit de la plupartdes rivières dépasse largement la capacité du lit mineur où elles sont habituellementconfinées : elles débordent et envahissent alors ces plaines d’inondations. L’écoulementdans de telles rivières devient subitement beaucoup plus complexe : en effet, de relativementuniforme, le champ des vitesses y devient hautement disparate.Face à ces phénomènes physiques complexes, plusieurs recherches ont été effectuées cesdernières années dans le domaine de l’environnement, pour le développement des simulateursd’écoulements d’eau peu profonde, notamment pour les crues et les inondations.Le but de ce travail est de présenter des cas de simulation d’onde de crues, à l’aide d’unmodèle numérique d’eau peu profonde basé sur les équations de Saint-Venant. La miseen oeuvre numérique repose sur la méthode des caractéristiques (M.O.C.) pour la discrétisationtemporelle, combinée à la méthode des éléments finis (E.F.) P 1 /P 1 pour l’approximationspatiale. L’approche E.F. n’est plus à justifier en particulier pour son degré deflexibilité bien élevé dans la représentation des domaines d’écoulement complexes (voirLuettich et al. [5], Galland et al. [4], F. El Dabaghi et al. [3]). L’utilisation de la méthodeM.O.C. ( voir [2], [6]) est déterminante dans ce genre d’écoulement où la convection estdominante par rapport à la diffusion ; en effet cette approche, consistant à discrétiser ladérivée Lagrangienne au long des trajectoires caractéristiques, conduit à un schéma décentréet stable pour des choix de grands et raisonnables pas de temps. La méthode estvalidé sur quelques exemples numériques.Les équations bidimensionnelles d’eau peu profonde dites de St-Venant sont obtenues parintégration suivant la verticale de l’équation de continuité et les équations de mouvementdu système Navier-Stokes incompressible 3D. Considérant la hauteur petite par rapportaux dimensions horizontales, et sous les hypothèses classiques de la faible variation de lavitesse verticale et des petites variations des vitesses horizontales par rapport à la profondeur,on obtient (voir [1] par exemple) :H t + ∇ · (Hu) = 0,u t + (u · ∇)u−µ∆u+g∇z = − gC 2 H |u| u−∇p aρ + ¯τρH + l × u,où u = (u, v) ⊥ sont les vitesses horizontales moyennées, z est l’élévation de la surfaced’eau suivant un niveau de référence, H = z − z b est la profondeur d’eau, z bétant l’élévation du fond suivant la même référence, µ est le coefficient de viscosité dynamiquesupposé constant, g est l’accélération de la pesanteur, C est le coefficient de Chezy,¯τ = (¯τ x , ¯τ y ) ⊥ est la contrainte du vent, l × u = (−lv, lu) ⊥ , l étant le paramètre de Coriolis,p a est la pression atmosphérique et ρ est la densité de l’eau supposée constante.Ce système est complété par les conditions initiales : H(., 0) = H 0 , u(., 0) = u 0 .Le système des équations aux dérivées partielles (1) est résolu sur un domaine borné ΩTAMTAM –Tunis– 2005

226 El Dabaghi et al.de R 2 , de frontière Γ = Γ s ∪ Γ o,in ∪ Γ o,out . Sur Γ on définit la normale extérieure n eton considère les conditions aux limites suivantes :– Condition d’adhérence sur la frontière solide Γ s : u = 0 sur Γ s .– Vitesses données à l’entrée sur Γ o,in : u = u d– Hauteur d’eau imposée et une condition de type Newman pour la vitesse à la sortieΓ o,out : H = ¯H, µ ∂u∂n − gzn = −gz dn sur Γ o,out .Ces conditions aux limites sont cohérentes avec le cas d’un écoulement subcritique.2. Approximation numériqueOn rappelle ici le principe de la méthode des caractéristiques qui consiste à approcherla dérivée totale d’une fonction S au temps t n+1 pardSdt (x, tn+1 ) ≃ S(x, tn+1 ) − S(X(x, t n+1 , t n ), t n )∆t(1)où X n = X(x, t n+1 , t n ) est la position au temps t n de la particule qui se trouve au pointx au temps t n+1 et X n (x, t n+1 ; τ) est la solution deddt Xn (x, t n+1 ; t) = u n (X n (x, t n+1 ; t)), t n ≤ t ≤ t n+1 , X n (x, t n+1 ; t n+1 ) = x.Introduisons les espaces suivants :⎪⎩V ψ = { v ∈ H 1 (Ω) × H 1 (Ω) ; v = 0, sur Γ s , et v = ψ sur Γ o,in},Q η = { q ∈ L 2 (Ω) ; q = η, sur Γ o,out}.En se servant de (1), la formulation variationnelle du problème (1) discrétisé en temps estdonnée par : pour tout v, q ∈ V 0 × Q 0 , trouver (u n+1 , H n+1 ) dans V u × Q ¯H tels que⎧ ( ) un+1∆t , v + µ ( ∇u n+1 , ∇v ) +⎪⎨|u(P)(C n | u n+1fH n), v − g ( ∇ · v, H n+1) =〈−g∇z b + un ◦ X n∆t( ) Hn+1, q + ( H n ∇ · u n+1 , q ) ( H n ◦ X n )=, q .∆t∆toù H n+1 et u n+1 sont les approximations respectives de H et u au temps t n+1 .Théorème 1 Le problème (P) admet une solution unique.〉, v ,V0 ∗,V0TAMTAM –Tunis– 2005

Simulation de l’onde de crue 227Preuve. Voir [2], [6].On supposera pour simplifier les notations que ū = ¯H = 0. Soit T h une triangulationrégulière du domaine Ω, en des éléments T , avec h T = diam(T ) et h = max h T . SoitT ∈T hW 1,h le sous espace de H 1 (Ω) défini sur cette triangulation, et constitué des fonctionspolynômiales par morceaux dans R 2 de degré inférieur ou égal à 1. Posons V h = W 2 1,h ∩V 0 and Q h = W 1,h ∩ Q 0 . On définit ensuite le problème (P h ) approchant (P) par :pour v, q ∈ V h × Q h , trouver (u n+1h, H n+1h) dans V h × Q h solution de (P h ).Théorème 2 Le problème (P h ) admet une solution unique avec une estimation d’erreuren O(h) pour u et H.Preuve. Voir [2], [6].3. Résultats numériquesA titre d’illustration, on présente quelques résultats numériques, dans le cas d’un écoulementsubcritique dans une conduite rectangulaire de longueur 100m et de largeur 10m,présentant un obstacle cylindrique (un pilier), à une distance de 30m de l’amont. Un autrecas test est également traité, où le domaine fluide est un canal prismatique de longueur100m, avec une section trapézoïdale de hauteur 5m, de largeur 20m pour la base supérieureet 14m pour la base inférieure. Ce deuxième cas test est effectué en faisant appelà un module de couvrant-découvrant des éléments, dans le but de traiter la surface libre.L’idée consiste à considérer un maillage fixe et à actuliser la logique des éléments et desnoeuds du maillage comme suit :a. L’élément est mouillé (ON) : Si H < ε pour un noeud donné de l’élément on le basculeOFF.b. L’élément est sec (OFF) : Est-ce qu’il tourne ON ?1. Sur les noeuds mouillés de l’élément (H > 0), la côte minimale de la surface libreZ min est déterminée en fonction de H et de la côte (Z f ) du noeud en question.2. Sur les noeuds secs de l’élément, l’élévation maximale du fond Z fmax est calculée.3. Si Z fmax + η < Z min (η une tolérence) , l’élément bascule ON et une hauteurH ∗ i = Z min − Z fi est attribuée au noeud i, Z fi est l’élévation du fond au noeud i.4. u = H = 0 pour les noeuds non actifs et u = 0 et H = H ∗ pour les noeudsactifs. Pour ces deux scénarios t ∈ [0, 200s] et un débit de 5 m 3 /s, on fait varier le débitentre t ∈ [50, 100], de 5 m 3 /s à 10 m 3 /s et de 5 m 3 /s à 20 m 3 /s (voir figure 1). Le20107.5t=0 t=50|t=75|t=100t=200Figure 1. Variation du débit entre 7.5 m 3 /s et 20 m 3 /s de t=0 à t=200sTAMTAM –Tunis– 2005

228 El Dabaghi et al.INRIA-MODULEFmaillage élément fini correspondant au premier cas (voir figure 2) est constitué de 3647noeuds et 6894 éléments (voir figure 2). On présente respectivement sur les figures 4 auxtemps (t = 50s, 75s, 95s, 120s, 160s, 200s) les Iso-valeurs du module de la vitesse etde la Hauteur pour un débit variant de 5 m 3 /s à 10 m 3 /s. On constate que la vitesse deFigure 2. Maillage du domaine rectangulaire avec et sans obstaclel’eau au cours du passage de la crue (50s < t < 100s) augmente. De plus, la présence del’obstacle cylindrique crée des circulations du fluide (voir figures 3) et fait augmenter lavitesse dans la zone de l’obstacle.INRIA-MODULEFLe maillage élément fini correspondant au deuxième cas est constitué de 5292 noeudset 10256 éléments. Sur les figures 6, on trace les iso-valeurs de la vitesse et de la hauteuraux temps (t = 100s, 120s, 160s, 200s, 260s, 280s) pour un débit variant de 5 m 3 /s à20 m 3 /s.On constate que la vitesse maximale de l’eau est moins importante dans ce cas test,par comparaison avec les résultats précédents (voir les figures 4 et 6). Ceci est justifiépar la géométrie du domaine fluide, ayant une plus grande largeur permettant à l’eau des’étaler et par conséquent de ralentir. Cette approche a été également testée sur des casréels d’innondation (voir [3], [6])4. Conclusion et perspectivesDans ([2], [6]) on a établi et démontré des estimations d’erreur a priori pour le schémanumérique (P h ) ; la validation méthodologique de ces estimations a été ainsi vérifiée surquelques exemples, en construisant des solutions analytiques artificielles. L’ensemble destests effectués dans ce travail montrent la cohérence des résultats numériques obtenusainsi que la consistence de l’algorithme du couvrant-découvrant proposé. Le profil devitesse à l’entrée, supposé parabolique, est calculé par explicitation de la hauteur dansl’équation du débit. Une telle considération ne tient pas compte de l’effet de bord d’unesection d’entrée quelconque et reste réaliste seulement dans le cas de conduites rectangulaires.Une autre approche basée sur la partition du débit, utilisant la méthode de débitance( FESWMS [7]), et un critère de mouillage et séchage des éléments intervenant dans letaux de remplissage des éléments, sont en cours d’implémentation.TAMTAM –Tunis– 2005

INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFSimulation de l’onde de crue 229.86INRIA-MODULEF.7211.141.281.421.56.5INRIA-MODULEF011.522.53.86INRIA-MODULEF.7211.141.421.281.56.5INRIA-MODULEF011.52.52Figure INRIA-MODULEF 3. Iso et vecteurs vitesse : t=95 ; débit [5-10] INRIA-MODULEF m 3 /s autour de l’obstacle3.72.86.86INRIA-MODULEF.72111.141.141.281.281.421.421.561.560.5.5INRIA-MODULEF0111.51.5222.52.533.86INRIA-MODULEF.7211.141.281.421.56.5INRIA-MODULEF011.522.53.86INRIA-MODULEF.7211.14INRIA-MODULEF1.421.281.56.5INRIA-MODULEF011.52INRIA-MODULEF2.53.72.8611.141.281.421.560.511.522.53INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINFigure 4. Iso hauteur (gauche) et vitesse (droite) : t=50,75,95,120,160,200 ; débit [5-10]m 3 /s5. BibliographieINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEF[1] AGOSHKOV V.I., QUARTERONI A., SALERI F., « Recent developments in the numerical simulationof shallow water equations. I- Boundary conditions », Diparimento di Mathematica,Poletcnico di Milano, 80/P, October 1992.[2] EL DABAGHI F., EL KACIMI A., NAKHLE B., « Characteristics time discretization and mixedfinite element approximation INRIA-MODULEF for shallow water equations : a priori error estimates INRIA-MODULEF », To appearInternational Journal of Scientific Computing[3] EL DABAGHI F., EL KACIMI A., GUELMI N., HENINE H., NAKHLE B., KADAKLOUCHAC., TAIK A., « Numerical models for hydrology and hydraulics, HPCN implementation aspectsfor flood propagation », Rapport de contrat WADI D4.2 : Flood forecasting and Flood wavepropagation modeling, DGXII - Commission Européenne, August 15, 2004.TAMTAM –Tunis– 2005

INRIA-MODULEF230 El Dabaghi et al.INRIA-MODULEFINRIA-MODULEF.41.22.250.81.62.40.5Figure INRIA-MODULEF 5. Maillage du domaine à section trapézoïdaleINRIA-MODULEF.7511.251.5.40.8INRIA-MODULEF1.21.622.4.250.5INRIA-MODULEF.7511.251.50.4.81.21.622.40.25.5.751.25INRIA-MODULEF11.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEF0.4.81.2INRIA-MODULEF21.62.40.25.5.75INRIA-MODULEF1.2511.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEF0.4.81.21.622.40.25.5.7511.251.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEF0.4.81.21.622.40.25.5.7511.251.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEF0.4.81.21.622.40.25.5.7511.251.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFFigure 6. Iso hauteur (gauche) et vitesse (droite) : t=100,120,160,200,260,280 ; débit [5-20] m 3 /sINRIA-MODULEFINRIA-MODULEF[4] GALLAND J.C., GOUTAL N., HERVOUET J.M., « TELEMAC : A new numerical model forsolving shallow water equations. Adv. Water ressourcesguilf, Adv. Water ressources, vol. 14,n o 3, 1974.[5] LUETTICH R.A., WESTERINK J.J., N.W. SCHEFFNER, « ADCIRC : An advanced three dimensionalcirculation model for shelves, coasts, and estuaries », Technical report 1, Departmentof the army, U.S. Army corps of Engineers, Washington, D.C.20314-1000.[6] NAKHLE, « Modélisation Numérique des Ondes de Crue ou de Submersion », Thèse de Doctorat: INRIA, Université Saint-Joseph - ESIB, Université de Pau et des Pays de l’Adour, 2005.[7] « FESWMS-2DH : Finite Element Surface Water Modelling System-Two Dimensional Flowin Horizontal Plane », U.S Departement of transportation,Users Manuel Ver. 2, Virginia, 1991TAMTAM –Tunis– 2005

Numerical spectral approximations for thesolution of Navier-Stokes problemK. Amoura and F. Z. Nouri ** Département de MathématiquesFaculté des SciencesUniversité Badji MokhtarBP 12, Annaba 23000, Algeria.ABSTRACT. This study is a continuation of the one done in [4], [5] and [6] which are based on thework done in [1]. Here, we propose an Algorithm to solve a nonlinear problem arising from fluidmechanics. The study in [4] and [5] was very useful as it decouples the pressure from the velocityduring the resolution of the Stokes problem. We also showed that this technique can be used insolving a nonlinear problem such as the Navier Stokes equations.RÉSUMÉ. Cette étude est la continuation des travaux [4],[5] et [6 ] qui sont basés sur l’étude faite dans[1]. Ici nous proposons un Algorithme pour résoudre un problème non-linéaire issu de la mécaniquedes fluides. L’étude dans [4] et [5] est utile vu qu’elle découple la pression de la vitesse lors de larésolution du problème de Stokes. Nous montrons aussi que cette technique peut être utilisée dansla résolution d’un problème non-linéaire comme les équations de Navier-Stokes.KEYWORDS : Numerical Algorithms, Spectral Approximations, Stokes and N-S Problems.MOTS-CLÉS : Algorithmes Numériques, Approximations Spectrales, Pbs de Stokes et N-Stokes.231 TAMTAM –Tunis– 2005

232 Amoura et al.1. IntroductionFor a start, we consider the Stokes problem in the cylindrical coordinates. We write:⎧−ν(∂r ⎪⎨2 u r + 1 r ∂ ru r − 1ru 2 r + ∂r 2 u r + ∂zu 2 r ) + ∂ r p = f r , inΩ−ν(∂r 2 u z + 1 r ∂ ru z + ∂zu 2 z ) + ∂zu 2 z ) + ∂ z p = f z , inΩ−∂ r u r + ⎪⎩1 r u (1)r + ∂ z u z = 0, inΩu r = 0, u z = 0 on Γ.For the known f = (f r , f r ) ∈ (v 1 0) ′ × (H 1 0 ) ′ , there existsu = (u r , u z ) ∈ (v 1 0) × (H 1 0 ). The nul divergence can be written as:−∂ r (ru r ) + ∂ z (ru z ) = 0, in Ω. (2)Equation (2) show that the vector (ru r, ru z ) is of nul divergence. From Theorem 3.1 inChapter 1 of [3], there exists a function ϕ verifying( )( )rur∂z ϕ= ru = rot(ϕ) =.ru z −∂ r ϕBy taking ϕ = rψ, we have ∂ z ϕ = r∂ z ψ and −∂ r ϕ = −ψ − r∂ r ψ, then we set{u r = ∂ z ψu z = − 1 r (∂ .r(rψ))Now, let us denote (2) by div r u which can also be written as∂ r u r + 1 r u r + ∂ z u z = 0 (3)and by rot r ψ the vector (∂ z ψ, − 1 r ∂ r(rψ)). We also introduce the operator Rot given by:and the operator rot such that for any ψ , we have:(∂z ψrotψ =−∂ r ψWe can then writeRot(v) = ∂ r v z − ∂ z v r /v = (v r , v z ) (4)).Rot(rotψ) = −∆ψ. (5)Note that If div v = 0 we have rotRot(v) = −∆v. If we define the operator ∆ r by :∆ r ψ = ∂ 2 r ψ + 1 r ∂ rψ − 1 r 2 ψ + ∂2 zψ, (6)we can then show thatRot(rot r ψ) = −∆ r ψ. (7)TAMTAM –Tunis– 2005

Spectral approximations for the N-S problem 2332. Continuous problemThe question is now what are the necessary boundary conditions to insure the existenceand unicity of the current function ψ defined by:{u r = ∂ z ψu z = − 1 r ∂ , (8)r(rψ)and then deduce its regularity from the regularity of the velocity u, the solution of theStokes problem, see [4 ] and [5] and references therein. In [5], we showed how we cangeneralize this result. We considerH 1 = (div r , Ω) = { v ∈ (L 2 1(Ω)) 2 /div r v ∈ L 2 1(Ω) }with the norm:()‖v‖ = H1(div r,Ω)‖v‖ 2 (L + ‖div rv‖ 2 1221 (Ω))2 L 2 1 (Ω)where 2 1(Ω) = { v square integrable such that ∫ Ω v2 (r, z)rdrdz ≺ ∞ } . We also definethe spaces: H 1 1 (Ω) = { v ∈ L 2 1 (Ω) /∇v = (∂ r v, ∂ z v) ∈ (L 2 1 (Ω)) 2} ,H 1 1,0 (Ω) = { v ∈ H 1 1 (Ω) v = 0 on ∂Ω/Γ 0}. Here Γ0 is the interior of the boundary Γ.Note that the boundary operator is defined and continuous from H1 1 (Ω) in H 1 21 (Γ). Notealso that H − 1 21 (Γ) coincides with H 1 21 (Γ) in the points away from Γ 0 ∩ Γ. In the sameway, we define the normal boundary operator which is continuous from H1 1 (div r , Ω) inH − 1 21 (Γ) . The dual of H 1 21 (Γ) is given by :∀v ∈ H 1 (div r , Ω) and q ∈ H 1 1 (Ω) ,(v.n, q) Γ= ∫ Ω (div rv.q)(r, z)rdrdz + ∫ (v.∇q)(r, z)rdrdzΩ3. Current-Whirpool function formulationIn this section, we introduce a new unknown called Whirpool functionω = rot(u) which gives: −∆u = rot r ω, ∆ is applied to (u r , u z ) in the two firstequations of (1). If we substitute this result in (1), we obtain{ −υ∂z ω + ∂ r p = f r−υ 1 r ∂ (9)r(rω) + ∂ z p = f z .The interesting point of this formulation is to decouple the pressure from the velocity toobtain a separate problem for the pressure (For details see [4]). We have−∆ r ω = 1 υ (∂ zf r − ∂ r f z ), (10)TAMTAM –Tunis– 2005

234 Amoura et al.where u = rot r ψ and ω = −∆ r ψ.Hence we can conclude that this formulation is equivalentto the one derived by Glowinski and Pironneau in [1] and [2].The reduced problem: The advantage of this decoupling is to write (1) as:⎧−∆ r ω = rot(f) on Ω⎪⎨(P )⎪⎩−∆ r ψ = ωψ| Γ = 0∂ψ∂η | Γ = 0on ΩProblem (P) is exactly a Dirichlet problem for the biharmonic operator ∆ 2 r, where thesolution is the current function ψ such that:⎧⎨ −∆ 2 rψ = rot(f) on Ω(P 0 ) ψ| Γ = 0 .⎩ ∂ψ∂n |Γ = 0Problem (P 0 ) can be written in a matrix form as:DU = F,where D and F have respectively the entries a N (h i l j , h r h s ) N and f(ρ i , ζ j )Ψ i δ j .We remark that D is a symmetric positive definite matrix, therefore the gradient conjugateAlgorithm can be used. A study of the continuous problem was done by [2], and thediscrete problem was studied in [4] and [5]. Here we would like to extend this study tothe Navier-Stokes equation..4. Numerical studyIn the same way we have applied the above analysis to a nonlinear problem and analogousresults have been found. Therefore we can write an Algorithm for the nonlinearNavier Stokes equation which is written as:⎧−ν∆ r ω + ∇ r ψ.rot r ω = rot(f) on Ω⎪⎨where ∇ r ϕ =(P )⎪⎩( 1r ∂ r(rϕ)∂ z ϕ−∆ r ψ = ωψ| Γ = 0∂ψ∂η | Γ = 0)and rot r ϕ =(∂ z ϕ− 1 r ∂ r(rϕ)on Ω,)for any regular ϕ.AlgorithmWe propose the following Algorithm- Approximate ψ and {ψ m } M m=1 by: ψ m+1 = ψ m + α(ψ m − ψ m ).TAMTAM –Tunis– 2005

Spectral approximations for the N-S problem 235- Approximate ω and {ω m } M m=1 by: ω m+1 = ω m + α(ω m − ω m ). ω m and ψ m are⎧⎨ −ν∆ r ω m = − 1 r ∂ r(rψ m )∂ z ω m − ∂ r (rω m )∂ z ψ m + rot(f)solution of−∆ r ψ⎩m = ω m.∂ωψ m | Γ = 0 and m∂η | Γ = 0Hence the nonlinear problem can be solved as four problems for ∆ r . For the numericaltests, we have taken the following examples.Example 1: The first test is the function:Ψ = cos(πr) sin(1 − r 2 ) 3 (1 − z 2 ).Example 2: The second test is a singular stream:Ψ = (1 − r) 3 (1 + r) 11/2 (1 − z 2 ).The results are resumed in the following Figures. As shown in these figures, numericalresults were compared to the exact solutions for both the Stokes and Navier Stokesequations. The error is linear in both cases and for both examples, however, it has beennoticed that for the example 1, the error is linear even for small N. The choice of theorthogonal polynomial does not affect the quality of our numerical results. However, byusing the roots or the extremums of Chebyshev polynomials, better results were found asindicated in the figures.The numerical test were carried out in the IRISA laboratory in France.Acknowledgement: We are very grateful for Professor Bernard Philippe who invitedus to the IRISA and let us use all the facilities provided that made the accomplishementof this work possible.5. ConclusionIn this paper, we proposed a new technique similar to the one by Glowinski Al [3]and show that we can reduce Stokes and Navier-Stokes problems to a set of saddle pointones; where the unknowns are the current and whirpool functions. Here the pressure iscompletely decoupled to give a simple Dirichlet problem to be solved. It is clear that thistechnique can be very useful in nonlinear cases as it has been shown here for the NavierStokes equations.TAMTAM –Tunis– 2005

236 Amoura et al.CURRENT FUNCTION5 x 10−3 N4.8Cheb. zerosCheb.extremumsLegendre zerosLegendre extremums4.64.4ERROR4.243.83.63.43.24 6 8 10 12 14 16 18 20Figure 1. Error Analysis for Navier-Stokes Equation, Example 26. References[1] R.Glowinski, Numerical Methods for nonlinear problems, Springer Verlag (1982).[2] R. Glowinski & O.Pironneau, Numerical Methods for the first biharmonic equation, SIAMSIREV, Vol 21 No 2 (1979).[3] V. Girault, P. Raviart, Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations, Theory andAlgorithms, Springer Verlag, New-York (1986).[4] F.Z. Nouri, A New Fitting for a Spectral Method for the solution of Stokes of Problem, Presentedin the Benial Conference of Numerical Analysis, Dundee Pitmann Notes Collection1999.[5] F.Z. Nouri, A Study of the Convergence of the Glowinski technique, Colloque Nationald’Analyse Mathématiques Appliquées, Tebessa 7-9, Mai 2000.[6] O. Boutagou & F.Z. Nouri, Spectral Approximations of A problem in Fluid-Dynamics, Presentedin the Benial Conference of Numerical Analysis, Dundee, 2001.TAMTAM –Tunis– 2005

Ecoulement Darcy-Forchheimer dans unmilieu poreux fracturéN. Frih * , J. E. Roberts ** , A. Saada **** N. Frih ENIT-LAMSIN, BP 37, 1002 Tunis-le Belvédère, Tunisie,najla.frih@lamsin.rnu.tn** J. E. Roberts, INRIA-Rocquencourt, B.P 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France,jean.roberts@inria.fr*** A. Saada, ENIT-LAMSIN, BP 37, 1002 Tunis-le Belvédère, Tunisie,ali.saada@ipein.rnu.tnRÉSUMÉ. Nous proposons un modèle numérique d’écoulement d’un fluide monophasique et incompréssibledans un milieu poreux fracturé. L’écoulement suit la loi de Forchheimer dans la fracture etla loi de Darcy dans la matrice rocheuse.ABSTRACT. We propose a numerical model for the flow of a single phase, incompressible fluid in aporous medium with fractures. In this model, the flow obeys Forchheimer’s law in the fracture andDarcy’s law in the rock matrix.MOTS-CLÉS : milieu poreux, fracture, loi de forchheimer, décomposition de domaine.KEYWORDS : porous media, fracture, Forchheimer’s Law, domain decomposition.237 TAMTAM –Tunis– 2005

238 Frih et al.1. IntroductionLa modèlisation numérique est un outil important pour l’étude de l’écoulement desfluides dans le sous sol, un sujet important dans plusieurs domaines d’applications tellesque l’industrie pétrolière, la gestion des déchets nucléaires et la gestion des nappes phréatiques.Les fractures sont présentes dans la plupart des systèmes géologiques, à des degrésdivers, et ces fractures sont généralement des lieux d’écoulement privilégiés, bien quedans certaines circonstances, elles peuvent se révéler des barrières imperméables. Maiselles sont difficiles à appréhender dans les modèles physiques pour au moins deux raisons.D’une part elles sont difficiles à localiser, et d’autre part elles existent à des échellesdiverses, du micron à la dizaine de kilomètre, posant de façon cruciale le problème deséchelles pertinentes de la modélisation.2. Traitement des fracturesPour aborder ce problème difficile, il existe différents modèles numériques pour letraitement des fractures. Le modèle de la double porosité est obtenu grâce à un processusd’homogénéisation. Ce modèle s’applique si la fracturation est suffisamment dense, régulièreet si les fractures sont interconnectées, voir [5], [6], [2]. Il prend bien en compte laprésence des fractures et les échanges intervenant entre les fractures et la roche.D’autres modèles représentent des réseaux de fractures sans prendre en compte ce quise passe dans la roche. L’objectif est alors de vérifier si on peut représenter le réseau defractures par un milieu poreux dont on peut calculer les perméabilités, voir par exemple[7].Dans [1], on propose une méthode pour modéliser individuellement les grandes fracturesde grande perméabilité. On propose d’assimiler les fractures à des interfaces séparantdes sous-domaines qui sont des milieux poreux de perméabilité plus faible que dansla fracture. Les fractures constituent des interfaces mathématiques particulières car si lapression est continue à travers la fracture, la composante normale du flux, elle, est discontinue.Le modèle dans lequel la fracture est assimilée à une interface est obtenu viaune analyse asymptotique. Un travail réalisé dans [8] étend le modèle précédant à desfractures barrières de faible perméabilité.Dans ce travail, le modèle d’écoulement dans la fracture suit la loi de Forchheimer quigénéralise la loi de Darcy. Cette loi est valable aussi bien quand l’écoulement est lent querapide.TAMTAM –Tunis– 2005

Ecoulement Darcy-Forchheimer 2393. Équations gouvernant l’écoulement dans un milieu poreuxL’écoulement dans un domaine Ω est gouverné par la loi de conservation. Avec l’hypothèsed’incompressibilité, elle s’écritdiv (u) = q dans Ω, (1)où q est le terme source. La vitesse de Darcy u est donnée, en négligeant la gravité, paru + k ∇ p = 0, dans Ω, (2)où p est la pression et k la perméabilité du milieu.Les phénomènes mis en jeu par la loi de Darcy sont très lents. Cette loi n’est valablequ’en régime permanent et pour des écoulements dans lesquels les vitesses débitantessont suffisament faibles pour que les forces d’inertie soient bien négligeables devant lesforces de viscosité. Au fur et à mesure que la vitesse augmente, l’effet des forces d’inertieaugmente, c’est le régime turbulent : il apparait un terme non-linéaire [4, 3] et l’équationmathématique qui décrit l’écoulement est l’équation de Forchheimer donnée parG(u) + k ∇p = 0 dans Ω. (3)La fonction G est définie par G(u) = (1 + a |u|) u avec a une constante d’inertie.4. Problème modèle :Par souci de simplicité, on suppose que Ω est un rectangle dans R 2 ,(Ω = −(1 + d 2 ), 1 + d )× (0, 1),2et on note par Γ = ∂Ω le bord de Ω. On suppose aussi que la fracture Ω f est le sousdomaine de Ω, Ω f = (− d 2 , d 2) × (0, 1). On note par γ l’hyperplan {0} × (0, 1) et parn = n 1 = −n 2 un vecteur unité, normal à γ. La fracture Ω f sépare Ω en deux sousdomaines : Ω 1 = (−(1 + d 2 ), − d 2 ) × (0, 1) et Ω 2 = ( d 2 , 1 + d 2) × (0, 1). On note aussiΓ i = ∂Ω i ∩ Γ, i = 1, 2, f et γ i = ∂Ω i ∩ ∂Ω f ∩ Ω, i = 1, 2. On note par p i , u i ,k i et q i les restrictions de p, u, k et q à Ω i , i = 1, 2, f, et par ¯p i les restrictions de p à Γ i ,i = 1, 2, f.Ainsi, le problème s’écrit de la manière suivante :u i = −k i ∇p i dans Ω i , i = 1, 2divu i = q i dans Ω i , i = 1, 2p i = ¯p i sur Γ i , i = 1, 2p i = p f sur γ i , i = 1, 2(4)TAMTAM –Tunis– 2005

240 Frih et al.et dans la fracture, on a le système d’équations suivant :(1 + a|u f |)u f = −k f ∇p f dans Ω fdivu f = q f dans Ω fp f = ¯p f sur Γ fp f = p i sur γ i , i = 1, 2.(5)Comme dans [8], nous allons traiter la fracture comme une interface entre les domainesΩ 1 et Ω 2 . Le modèle est obtenu en faisant la moyenne de u f et p f à travers la fracture.Concernant la conservation, on écrit une équation de conservation sur la surface γ avecun terme d’échange avec les sous-domaines. Quant’à l’équation de Forchheimer on ladécompose suivant la direction normale et tangentielle, et en pratique on considère quela loi de Forchheimer s’applique uniquement dans la direction tangentielle, celle de lafracture. Dans la direction normale c’est simplement la loi de Darcy qui s’applique.Soit ∇ τ et div τ le gradient tengentiel et la divergence tangentielle, et soit ∇ n et div nle gradient normal et la divergence normale. On décompose u f comme u f = u f,n + u f,τavec u f,n = u f · n.4.1. Équation de conservation de sur γ :En décomposant u f et l’intégrant suivant la direction normale de la fracture, la deuxièmeéquation du système (5) devient une nouvelle équation de conservation donnée pardiv τ U f = Q f + (u 1 · n 1|γ + u 2 · n 2|γ ) (6)où Q f =∫ d2− d 2q f dn, U f =∫ d2− d 2u f,τ dnet d est l’épaisseur de la fracture.4.2. Équation de Forchheimer sur γ :En supposant que la loi de Forchheimer ne s’applique que dans la direction normale àγ, la décomposition de la premiére équation du système (5) suivant la direction normaleet tangentielle donne le système suivant(1 + a |u f |) u f,τ = −k f,τ ∇ τ p fu f,n = −k f,n ∇ n p f .(7)En intégrant à travers la fracture le système d’équations (7), et en utilisant une formuled’intégration du trapèze appropriée dans ce cas, on obtient :(1 + a d |U f | ) U f = −k f,τ d ∇ τ P f ,d2 (u 1 · n |γ + u 2 · n |γ ) = −k f,n (p 2|γ − p 1|γ ).(8)TAMTAM –Tunis– 2005

Ecoulement Darcy-Forchheimer 241La première équation (8) représente l’équation de Forchheimer sur l’interface γ et ladeuxième équation (8) sera exploité pour déterminer les conditions de transmission surγ.4.3. Détermination des conditions de transmission sur γ :D’aprés la deuxième équation de (8), on ap 2|γ − p 1|γ = −d (u 1 · n2 k |γ + u 2 · n |γ ) (9)f,net on suppose, comme dans [8], qu’on aAinsi, on obtient le modèle suivant :p 2|γ + p 1|γ = 2 P f . (10)u i = −k i ∇p i dans Ω i i = 1, 2divu i = q i dans Ω i i = 1, 2(1 + a d |U f | ) U f = −k f,τ d ∇ τ P f , dans γdiv τ U f = Q f + u 1 · n 1|γ + u 2 · n 2|γ dans γp 2|γ2 − p 1|γ1 = −d (u 1 · n 1|γ + u 2 · n 2|γ )2 k f,nsur γp 2|γ2 + p 1|γ1 = 2 P f . sur γp i = ¯p i sur Γ i i = 1, 2, f.(11)5. ConclusionNous avons obtenu un modèle pour l’écoulement dans un milieu poreux avec fractureoù l’écoulement dans la fracture est gouverné par la loi de Forchheimer. Nous allons traiterce modèle numériquement en utilisant une méthode de décomposition de domaine avecla méthode des éléments finis mixtes pour la résolution des problèmes dans les domainesΩ i , i = 1, 2. Lors de la conférence, nous présenterons des résultats numériques obtenuspour ce modèle et nous les comparerons avec des résultats obtenus pour le domainecomplet.TAMTAM –Tunis– 2005

242 Frih et al.6. Bibliographie[1] C. Alboin, J. Jaffré et J. E. Roberts. – Domain decomposition for flow in fractured porousmedia. - In : Domain Decomposition Methods in Sciences and Engineering, Domain DecompositionPress, pp. 365-373, - Bergen, 1999.[2] C. Alboin, J. Jaffré, P. Joly et J. E. Roberts. – On a convolution operator arising in a doubleporosity model. - In : In Mathematical Theory of Networks and Systems symposium, 5 pages,submitted for publication, Perpignan, France, June 2000. mtns.[3] J.L. Auriault, C. Geindreau et P. Royer – Lois d’écoulement en milieux poreux. Site internet: http :www.3s.hmg.inpg.fr/mme/Fr/Thèmes de recherche / Milieux Naturels / Lois d’ècoulement.Principales Publications, Juillet 2002.[4] J. Douglas, P. J. S. Paes Leme et T. Giorgi –Generalized Forchheimer flow in porous media,in Boundary Value Problems for Partial Differential Equations and Applications, Masson, Paris,In :Research Notes in Applied Mathematics, J.-L. Lions and C. Baiocchi (eds.), 29 (1993) 99-113.[5] J. Douglas, Jr. et T. Arbogast Dual porosity models for flow in naturally fractured reservoirs,In :in Dynamics of Fluids in Hierarchial Porous Formations, J. H. Cushman (ed.), AcademicPress, pp. 177-221, 1990.[6] J. Douglas, T. Arbogast et U. Hornung Derivation of the double porosity model of singlephase flow via homogenization theory, In :SIAM J. Math. Anal., 21, pp. 823-836, 1990.[7] J. Erhel et J.R. Dreuzy – Efficient algorithms for the determination of the connected fracturenetwork and the solution of the steady-state flow equation in fracture networks,- In : Computersand Geosciences, 29 (1), pp. 107-111, 2002.[8] V. Martin, J. Jaffré et J. E. Roberts – Modeling fractures and barriers as interfaces for flowin porous media. Accepted for publication In :in SIAM Journal on Scientific Computing (SISC),INRIA Research Report, No 4848, Juin 2003.TAMTAM –Tunis– 2005

Analyse spectrale linéaire d'un jet turbulent libresoumis à la force de CoriolisM. Hasnaoui * — M. Agouzoul***Département des Structures et MatériauxEcole Royale de l'AirMarrakech.(Maroc)hasnaouimohammed@hotrmail.com** Département Génie MécaniqueE.MI, B.P.765Rabat-Agdal.(Maroc)agouzoul@emi.ac.maRÉSUMÉ. Dans cette étude, on s’intéresse à la diffusion d’un jet turbulent tridimensionnel etinhomogène, émis dans l’atmosphère d’un point source (une cheminée, par exemple), sousl’influence de la force de Coriolis. Notre but est la modélisation analytique de ce problème enutilisant une approche spectrale et une analyse asymptotique. L’intérêt de ces deux approchesréside dans le fait, une fois combinées, permettent de modéliser notre problème. Sous lesapproximations de Boussinesq et de la couche limite, l’épaisseur relative du jet définit un petitparamètre , qui gouverne l’analyse des développements asymptotiques. Une fermeture d’aprèsLam-Bremhorst est appliquée aux équations turbulentes. En utilisant une approche spectralelinéaire, la fermeture en deux points des équations des corrélations double de vitesse est obtenue.Ces équations, écrites dans l’espace spectral par la transformation tridimensionnelle de Fourier,permettent de définir le tenseur spectral de notre modèle.ABSTRACT. We are interested, in this study, in the diffusion of a three-dimensionalinhomogeneous jet in a buoyant fluid turbulent in the presence of Coriolis forces. The jet is emittedfrom a point source (for instance, a chimney) in an atmospheric medium. The use of both combinedspectral analysis and asymptotic tools then allows to modeling our problem. Under the Boussinesqapproximation, the relative thickness of the jet defines a small parameter in the flow. Thisparameter governs the asymptotic expansion of the analysis. A Lam-Bremhorst closure is applied tothe turbulent equations. Using a linear spectral approach, two-point closure correlation equationsare obtained under some realistic simplifying assumptions. These equations are then rewritten inspectral form using a Fourier analysis, in order to define the spectral tensor of our model.MOTS-CLÉS : Jet libre, turbulence, tridimensionnel, inhomogène, instationnaire, cheminée, force deCoriolis, modélisation, analyse spectrale linéaire, analyse asymptotique.KEYWORDS: Free jet, turbulence, three-dimensional, non-homogeneous, instationary, chimney,Coriolis forces, model, linear spectral analysis, asymptotic analysis.243 TAMTAM –Tunis– 2005

244 Hasnaoui et al.1. IntroductionLa turbulence pleinement développée, phénomène essentiellement aléatoire, a,depuis de nombreuses années, été décrite à travers des moyennes statistiques. Lesmodèles de fermeture en deux points, ou théories analytiques de la turbulence,apparaissent en effet comme beaucoup moins empreint d’empirisme que la plupart desautres modèles de prédiction.Un autre outil particulièrement adéquat pour l’analyse de la turbulence est l’analysespectrale. Théorie spectrale et théorie des corrélations sont intimement liées par latransformation de Fourier. Elles ont été principalement appliquées à la turbulencehomogène isotrope. Leurs extensions à des champs turbulents homogène et anisotropepermettaient d’enrichir les théories de déformation rapide, appelées aussi ``modèleslinéaires``. On peut reprocher à ces méthodes de donner lieu à d’amples calculscoûteux, il est possible d’en diminuer considérablement le volume en acceptantcertaines pertes d’informations. Les écoulements d’intérêt pratique présentent dans leurquasi-totalité un caractère inhomogène marqué. Les fermetures sophistiquées apportentpeut-être une compréhension profonde du phénomène turbulent, mais les seuls outils deprédiction qui présentent une quelconque efficacité pour des applications industriellessont aujourd’hui encore, les modèles phénoménologiques simples, dont on connaîtpourtant les sévères limites (modèle K-, ou modèle u i u j - ) [1]. L’extension auxécoulements inhomogènes des théories de fermeture en deux points, se heurte à une tropgrande complexité du système d’équations résultantes.L’usage des méthodes de l’analyse asymptotique permet la modélisation de certainsproblèmes. Ceci consiste à construire des modèles mathématiques approchés issus dumodèle exact de Navier Stokes pourvu que la formulation du problème de départ fasseintervenir un ou plusieurs petits (ou grands) paramètres réduits. Les Premiers papierssur la théorie asymptotique appliquée aux écoulements cisaillés turbulents sont apparusau début des années soixante-dix. Tout récemment, les méthodes asymptotiques ont étécombinées avec les modèles de turbulence [2].Le but de cette étude est de montrer que les fermetures en deux points et l'analyseasymptotique combinées peuvent fournir des outils pour la modélisation desphénomènes d'intérêts pratiques. Une bonne compréhension des effets de la force deCoriolis sur une structure turbulente peut améliorer notre capacité de prédiction desécoulements en rotation fréquemment rencontrés dans les applications industrielles etgéophysiques.2. Equations de transport des corrélations en un pointOn considère un jet turbulent tridimensionnel et instationnaire d’un fluide pesant,incompressible et visqueux, dans un repère relatif. Ce jet est émis d’un point source(une cheminée, par exemple) dans un milieu atmosphérique en présence des forces depesanteur et de Coriolis. Cet écoulement est régi par les équations de Navier Stokes etde continuité.TAMTAM –Tunis– 2005

Jet turbulent libre 245Après décomposition en mouvement moyen et turbulent, on établit les équations detransport uˆ u adimensionnelles qui s'écrivent :k ˆ jkj kj u k u j 2 R f u 3 u i [ mj km] 2 k kj 3j 3k t xi xm xm T x3 2 M M M ( ) [ ( ) ]2k k mj k j km 1kk12 j k j 12 k13 j (1) k xm x2 x3 u 3 u 2 1 k1[ 3 j 2 2 j ] [ 2lj2kl 23lj3 2l 2k] x1 x1Ro 1 k 2 k3tg M [( 2 ) ( 1 1 1 11)] .2k k j k j k k k j k Ro x1Où l’on a posé : 1 = 0; 2 = 1/tg ; 3 = 1 ; i,j,k=1,2,3 ; m=2,3 (2)Avec u k et uˆ k sont respectivement les composantes de la vitesse moyenne et fluctuante.pˆ et ˆ sont respectivement les fluctuations de la pression et de la température. klj et jk sont respectivement les symboles antisymétrique et symétrique de Kronecker. R o estle nombre de Rossby (= uo 2Lo sin ; la latitude, L échelle de longueur horizontale, o rotation de la terre, u o caractéristique de la vitesse fluctuante) qui caractérise l’effetde la rotation de la terre. j composantes de la force de Coriolis. G R est le nombre deGrashof (= g d3 2 ; dilatation volumique du fluide, d épaisseur du jet; différence de température entre le jet et le milieu ambiant; la viscosité) qui caractérisel’effet de la force de diffusion visqueuse par rapport aux forces d’inertie et de flottation.Le système (1) est valable sous la contrainte asymptotique : = R -1 e ; 1 (3)Le petit paramètre (= d / L) qui caractérise l’épaisseur relative du jet est relié aunombre de Reynolds de l’écoulement.En outre, en appliquant une méthode de fermeture sur la corrélation vitessetempérature selon un modèle de Lam-Bremhorst [3], on obtient :Ruuˆ f 3ˆ3 uˆ3uˆ3 (4)2T G R x3Où T est nombre de Prandtl turbulent (=0.9) [4]. R f est le flux de Richardson quidonne une mesure de flottation.3. Analyse spectraleOn introduit le tenseur des corrélations doubles de vitesse en deux points, tel que :Rkj uˆkuˆ j ; uˆk uˆk ( x,t); uˆk uˆk ( x,t)(5)1r x x; r k xk xk; x ( x x)2TAMTAM –Tunis– 2005

246 Hasnaoui et al.On obtient alors, après quelques transformations [5], les équations suivantes :22Rkj Rkj u j u k 1 Rkj Rkj u i + [ Rkm R jm ] [ 2 ] t x x x 2 x x r rˆûk- [ p xjR f- RT3 j u xi uˆ j pˆ ] 1 x3 3k3km= - Rkk1 ˆ[ ˆup x u 3[ 3 x1m1jj uˆ j pˆ ] x1 u 2 2 2 j ] x1+ [ 2lj2 Rkl 2 3lj3R2l 2k] RoD’après l'hypothèse de Kolmogorov, les structures turbulentes reliées à ladissipation dépendent faiblement de la déformation induite par l’écoulement moyen [6].Ainsi, les équations de la corrélation pression vitesse en deux points peuvent s’écriretelles que :2ˆ22 uj ( ˆu m Rj u m R1jp ) 2 2 r r x k x r mr k x1 r mr 1 R1j- [ ] ,R o r 2 tg r3 r k2 2 ˆ2ˆu( k u) 2 m Rk u Rp 2 m 1k r r x j x rmr j x1 rmr j 1 R- [ ] 1k.Ro r2tg r3 r j1m(7) (8)Les transformations de Fourier tridimensionnelles s’introduisent sous les formessuivantes : R ( x,k , t)I k . re d k d k d kkj kj1 2 3(9) uˆ j ( pˆ ) F x k tI k.r jk ( , , ) e d k1d k 2 d k3 xk (10)( pˆ) F ( x,k,t)e uˆk I k.rkjd k1d k 2 d(11)k 3 xjOù k est le vecteur d'onde et (d’éléments kj ) est le tenseur spectral. En utilisantensuite, le développement de Taylor autour de x , on établit : kj kj u k u j 2 R f u 3 u i [mj km] 2 k kj 3j 3k t xi x m x m T x32 M M M () 1 [ ( 1 2 12)1 3 ]2 k k mj k j km k k j k j k j k xm x2 x3 u 3 u 2 1 k1[ 3 j 2 2 j ] [ 2lj 2 kl 23lj 3 2l 2k] x1 x1Ro1 k 2 k 3 tg M [( 2 ) ( 1 1 1 1 1 )]2k k j k j k k k j k Ro x1mkmm(6)(12)TAMTAM –Tunis– 2005

Jet turbulent libre 247Où l’on a posé :2 2 2k k 2 k 3 ; M ( x,k , t) k j u j(13)Le scalaire k est le nombre d’onde transversal, et M mesure l’interaction entre levecteur d’onde et le champ de vitesse moyenne.le premier terme du membre de droite de l'égalité (12) représente la production aunombre d'onde k due au travail du gradient de vitesse moyenne sur la turbulence. Ledeuxième, étant le taux de dissipation visqueuse. Le troisième est le de transfert linéaireentre la pression et le gradient de vitesse turbulente. Le quatrième terme est le taux deproduction due à l'action du flux de chaleur vertical. Le dernier terme représente unecombinaison des taux de production rotationnel associé à la force de Coriolis d'une part,et ceux associés au transfert et l'effet géométrique de l'écoulement d'autre part.4. Résolution analytiqueLe système (12) peut s’écrire, à l’ordre compris, sous la forme indicielle :Lkj ( ) Akj(14)Où Lkj ()est un opérateur linéaire (cf. Eqs.12). Les Akj sont définis par : u 3 u 2 1Akj k1[ 3 j 2 2 j ] ( 2lj2kl 23lj32l2k) x1 x1Ro(15)1 k 2 k 3 tg M+ [2 ]( 1 1 1 1 1 ) .2 k k j k j k k k j k Ro x1Ensuite, on cherche kj sous la forme d’un développement asymptotique, tel que :o 1 2 2 kj kjkj kj ...(16)En supposant que 1 kjest uniformément petit devant okj, on annule ainsi lestermes à droite de l’égalité (12) : A kj = 0 (condition de non sécularité).Enfin, on obtient les équations linéaires non homogènes du 1 er ordre par rapportaux dérivées partielles à l’ordre 0 en, telles que :oo 12 12 u 2 2 o u 3 [2I(k1u1 k 2u2) 2k 12 t x3 x](17a)2oo 23 23 u 1 2 u 1 [2I( k 2u2 k 3u3) 2 k t x1 x1k 2 M k 3 Mo 2 2 ]22 23k x2k x3ooo 22 22 22 u 2 2 u1 u 3 2[ I k 2 u 2 2 k t x1 x3 x2k 2 Mo 2 ]222k x2(17b)(17c)ooo 33 33 33 u 3 2 u1 u 2 [2Ik3u 3 2 2 k t x1 x2 x3(17d)Rf u 3 k3 M o+ + 4 ]33.2 T x3k x3Elles expriment les caractéristiques physiques d’un jet libre turbulent,tridimensionnel et inhomogène sous les effets de la force de Coriolis et l’état del’atmosphère (stabilité et instabilité).TAMTAM –Tunis– 2005

248 Hasnaoui et al.5. Conclusion et remarquesNos résultats font globalement apparaître l’importance de la force de Coriolis dansla modélisation de la turbulence inhomogène, et la puissance de l’approche spectrale etde l’analyse asymptotique pour ce modèle. Nous soulignons tout d’abord que lorsque lemodèle est appliqué pour calculer les densités spectrales et les spectres des corrélationsvitesse-concentration [7;8], les confrontations entre prédictions et simulationsnumériques s’avèrent quantitativement acceptable, et qu’elles permettent, en plus, deretrouver un grand nombre de tendances expérimentales. La démarche nécessite certesde subir un lissage, mais les résultats sont encourageants puisque le modèle met enévidence la présence des structures cohérentes de différentes formes [9;10].6. Bibliographie[1] Canuto V.M. & Dubovikov M.S., 1996.-``A dynamical model for turbulence.I. Generalformalism``. Phys. Fluids, Vol. 8, N° 2, p. 571-586.[2] Gersten K ., 1994.- `What can asymptotic theory do for turbulent modellers?``. in : Proc. 2ndInt. Symp. on Transport Phenomena in « turbulent flows », Tokyo, October 25-29, pp. 201-214.[3] Lam C.K.G. & Bremhorst K., 1981.-``A modified form of the k- model for predicting wallturbulence``. A.S.M.E. J. Fl. Eng., 103, 456-460.[4] Launder B.E. & Spalding D.B., 1974.-``The numerical computation of turbulence Flows``.Comput. Methods in appl. Mech. and Eng., 3, 269-289.[5] Hasnaoui M., & Agouzoul.M., 2002,``Linear spectral analysis of three-dimensionalinhomogeneous turbulent free jet under realistic atmospheric conditions``. AMSE PeriodicalJournal.Modelling B, Vol. 71, n°5, pp. 1-22.[6] Lesieur M., 1993,``Turbulence in fluids. Stochastic and numerical modelling``. Kluwer,Amsterdam.[7] Hasnaoui M., & Agouzoul.M., 1998.,``Modélisation du transport et dispersion d’uncontaminant à partir d’un point source``. Les Annales Maghrébines de l’Ingénieur, Vol. 12, N°Hors Série, pp. 755-759.[8] Hasnaoui M., & Agouzoul.M ., 2000.,``Coherent structures associated to a passive scalar in aturbulent flow under the Coriolis effect : Modelling and Simulation``. International ConferenceMS’2000, Proceedings, pp. 147-154, 25-27 September, Las Palmas de Gran Canaria, Spain.[9] Lesieur M., Bégou P., Briand E., Danet A., Delcayre F & Aider J.L., 2003.,``Coherent vortexdynamics in large eddy simulations of turbulence``. J. Turbulence, vol 4, 016.[10] Yanis Cuypers ; Agnès Maurel & Philippe petitjeans., 2004.,``Comparison between anexperimental turbulent vortex and the lundgren vortex ``. J. Turbulence, 5, 030.TAMTAM –Tunis– 2005

A theoretical study of free surface flowD. Hernane-BoukariFaculté de MathématiquesUniversité des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne16111 Bab Ezzouar AlgerAlgériedahbia.hernane@laposte.netABSTRACT. The two-dimensional stationary flow of a fluid over an obstacle lying on the bottom ofa stream is discussed. The influence of gravity is taken into account but we neglect the effects ofsurface tension. The nonlinear free surface profile problem obtained is solved by applying the implicitfunction theorem.RÉSUMÉ. En appliquant le théorème des fonctions implicites à l’équation de Bernoulli, nous montronsun résultat d’existence et d’unicité de la solution d’un problème d’écoulement fluvial au dessus d’unobstacle.KEYWORDS : Free surface problem, Implicit function theorem.MOTS-CLÉS : Surface libre, théorème des fonctions implicites.249 TAMTAM –Tunis– 2005

250 Hernane-Boukari1. IntroductionWe consider the steady, stationary, two dimensional flow of an inviscid and incompressiblefluid perturbed by an obstacle lying on the bottom of a longitudinal stream offixed depth H. Far upstream the obstacle, the flow is uniform with constant velocityc and subject to the downward acceleration of gravity g. The problem may be nondimensionalizedwith respect to the velocity c and the depth H. Using some results ofF. ABERGEL and J. L. BONA, we have established a theoretical result of existence andunicity of a solution which decrease exponentially at infinity.2. The governing equationsWe consider a steady two dimensional flow of an ideal fluid in a stream in which hasbeen placed an obstacle described by the equation y = b(x). We denote by Ω γ b thedomain occuped by the fluid, where b is a regular function and γ is the perturbation of thefree surface. We putΩ γ b = { (x, y) ∈ R 2 / − ∞ < x < +∞, b(x) < y < H + γ(x) }(x, y) is a coordinate system in which x and y are respectively the horizontal and positivevertical directions. The function b(x) verify 0 ≤ b(x) < H and is regular, with a compactsupport. The irrotationality of the flow and the incompressibility of the fluid lead to theexistence of an harmonic stream function ψ such that the non-dimensionalized problemcan be formulated as :Given a bottom configuration b, find a function γ : R → R (free surface) verifying thefollowing system:where F =problem.∆ψ = 0 in Ω γ b(1)ψ = −b(x) on y = b(x) (2)ψ = −γ(x) on y = 1 + γ(x) (3)lim ψ(x, y) = 0 (4)|x|→∞lim γ(x) = 0 (5)|x|→∞F 22 (|▽ψ|2 + 2 ∂ψ2F+ 1) + γ(x) =∂y 2c √ gHon y = 1 + γ(x) (6)is the Froude number of the flow given by the non-dimensionalizedTAMTAM –Tunis– 2005

A theoretical study of free surface flow 2513. Solution of the free surface problemWe transform the equation (6) inγ(x) = − F 2 [|∇ψ| 2 (x, 1 + γ(x)) + 2 ∂ψ]2∂y (x, 1 + γ(x))(7)and we put :T (b, γ) = − F 22[|∇ψ| 2 (x, 1 + γ(x)) + 2 ∂ψ∂y (x, 1 + γ(x)) ].The problem can be formulated as : given a function y = b(x) which represents anobstacle, find a function γ : R → R (free surface) such that T (b, γ) = γ with ψ verifyingthe equations (1)-(4). This is equivalent to solve the equation :T 1 (b, γ) = γ − T (b, γ) = 0 for a fixed b.For b = γ = 0, ψ = 0 verifies equations (1)-(6). So T (0, 0) = 0 and T 1 (0, 0) = 0.To solve T 1 (b, γ) = 0, we use the implicit function theorem at a neighbourhood of(b, γ) = (0, 0). Consider the change of variables :{∼x = x∼y =y−b(x)1+γ(x)−b(x) , (8)we transform the domain Ω γ bin the following infinite strip Q:Q = { (x, y) ∈ R 2 / − ∞ < x < +∞, 0 < y < 1 } .We put ψ(x, y) = ∼ ψ( ∼ x, ∼ y) then ∼ ψ verifies :∼∆ψ ∼ + P γ bψ = 0 in Q (9)∼ψ( ∼ x, 0) = −b( ∼ x), ∼ x ∈ R (10)∼ψ( ∼ x, 1) = −γ( ∼ x),∼x ∈ R (11)P γ bis an operator defined by :∂ 2∂ 2P γ b = a 1∂ ∼ x∂ ∼ y + a 2∂ ∼ y 2 + a ∂3∂ ∼ ywhere∼y(b ′ − γ ′ ) − b ′a 1 = 2, a 2 = ( a 111 + γ − b2 )2 − 1 +(1 + γ − b) 2TAMTAM –Tunis– 2005

252 Hernane-Boukarianda 3 =−11 + γ − b [b′′ + ∼ y(γ ′′ − b ′′ 2)] +(1 + γ − b) 2 (γ′ − b ′ )[b ′ + ∼ y(γ ′ − b ′ )].The gradient operator becomes :⎛∼∇ b,γ =The equation (7) will be written :⎝∂ + −b′ − ∼ y(γ ′ −b ′ ) ∂∂ ∼ x (1+γ−b) 2 ∂ ∼ y1 ∂1+γ−b ∂ ∼ y⎞⎠ .γ( ∼ x) = −F ∣ ∣ 2 ∣∣∣2 [ ∼ ∼ ∣∣∣2∇b,γψ ( ∼ 2 ∂ψ∼x, 1) +1 + γ − b ∂ ∼ y (∼ x, 1)],where γ and b are searched in the space :⎧⎫⎨Bc2,λ (R)=⎩ v ∈ C2,λ (R)/ ∑supe ∣ c|x| ∣D xv(x) ∣ ⎬k < ∞⎭and ψ ∼ in the space :⎧⎨Bc 2,λ (Q) =⎩ v ∈ C2,λ (Q)/ supwhere 0 < λ < 1 and c > 0.Now we are able to state the main result :x∈R0≤k≤2supk+l≤2( |x|, ∼ ∼ y)∈Q⎫∣ ∣ ∣∣e c ∼ ∣∣ ∣ ⎬x ∣∣D k ∼x D l ∼ yv∣ < ∞⎭ ,Theorem 1. There exist ∼ c > 0 , there exist K < 1 , there exist an open ball B of radiusr 0 centered at the origin of Bc 2,λ (R)×Bc2,λ (R) where c ∈]0, ∼ c[ , and 0 < λ < 1, thereexist a neighbourhood V b of zero in Bc 2,λ (R), there exist a mapping g : V b −→ Bc2,λ (R) ofclass C 1 , such that :∀ F ∈]0, K[, {∀(b, γ) ∈ B, T 1 (b, γ) = 0} ⇔ {b ∈ V b , γ = g(b).}.4. References[1] ABERGEL F. et BONA J.L, A Mathematical Theory For Viscous, Free-Surface Flows Over aPerturbed Plane, Report NO. AM 81, February (1991).[2] CHARLES J. AMICK, Proprites Of Steady Navier-Stokes Solutions For Certain UnboundedChannels And Pipes, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and applications, Vol. 2 No 6, pp.689-720, (1978).[3] FREDERIC HELEIN, Ecoulement stationnaire dans un canal a fond presque plat,Groupe HydrodynamiqueNavale, URA CNRS 853, ENSTA, Centre de l’Yvette, 91120 Palaiseau, France.TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation numérique par la méthode descaractéristiques de la surface libred’écoulement d’eau gouverné par leséquations de Navier-Stokes 1C. Kada Kloucha *,** — F. El Dabaghi * — M. Amara *,*** INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.** Université de Pau -Avenue de l’Université, B.P. 1155, 64013 Pau, France.RÉSUMÉ. Ce travail concerne un problème d’écoulement d’eau à surface libre, décrit par les équationsde Navier-Stokes, en formulation vitesse-pression (u, p) où on impose l’imperméabilité commecondition sur l’interface eau-air. L’idée pour modéliser la frontière libre consiste à introduire la notiondu taux de présence de l’eau décrite par une équation de transport et de considérer le domaineeau-air fixe. On fait appel à la méthode des caractéristiques pour l’approximation temporelle du systèmed’équations du modèle. Quant à l’approximation spatiale, on utilise les éléments finis mixteP 1 +Bulle/P 1 . La méthode proposée est validée sur quelques exemples numériques.ABSTRACT. This works concerns a free surface water flow problem, described by the Navier-Stokesequations, in velocity-pressure formulation (u, p), where a permeability condition on water-air interfaceis prescribed. The idea for modelling the free surface consists to introduce the void fractionfunction, described by a transport equation and to consider the water-air domain as fixed. Ones callupon the characteristis method for the time discretization of the gouverning system equations of themodel. While for the spatial approximation, it is performed by a P 1 +Buble/P 1 mixed finite elements.The proposed method is validated on some numerical examples.MOTS-CLÉS : Navier-Stokes, surface libre, méthode des caractéristiques, éléments finis mixtes.KEYWORDS : Navier-Stokes, free surface, characteristics method, mixed finite elements.1. Ce travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WADI, des programmes d’actionsIntégrées CMIFM MA/01/03., CMEP 01 MDU 529 et PLATON 05572UB.253 TAMTAM –Tunis– 2005

254 Kloucha et al.1. Motivation et position du problèmeLa motivation de ce travail est le traitement par aération de l’eutrophisation des retenuesnaturelles ou artificielles d’eau (réservoirs, lacs, ...) ; on s’intéresse particulièrementà l’effet du vent sur la surface libre afin de traiter plus convenablement la dynamique dulac et par conséquent les trajectoires des bulles d’air servant à oxygéner au mieux le laceutrophe [4]. Pour l’analyse mathématique et numérique d’écoulement de fluides diphasiquesavec injection d’air sous pression on se réfère aux travaux de M.Abdelwahed [1] etM.Abdelwahed et al [2]. Notre approche consiste à considérer un domaine global d’écoulement,contenant l’eau et une partie de l’air atmosphérique, gouverné par les équationsde Navier-Stokes et par une équation de transport sur le taux de présence de l’eau dansce domaine pour modéliser l’effet de la surface libre. A l’interface air-eau, on considèrel’imperméabilité de la surface comme condition aux limites. Dans ce travail, on se restreintà l’étude d’un écoulement 2D représentant une coupe transversale d’un lac.Pour la résolution numérique de ce modèle, on adopte une approche Eulérienne [8] quiconsiste à utiliser un maillage fixe, avec un transport Lagrangien du domaine de l’eau.En effet, on va introduire une fonction caractéristique ϕ afin de déterminer la position del’eau dans l’espace au cours du temps. Cette fonction satisfait une équation de transportdans un domaine global où l’eau est confinée. La méthode des caractéristiques, utiliséepour la discrétisation en temps du système, conduit à la résolution successive de deuxproblèmes de convection puis d’un problème de Stokes évolutif. On utilisera les élémentsfinis mixte P 1 +Bulle/P 1 pour la discrétisation spatiale.Dans la suite on rappelle brièvement le modèle régissant ce type d’écoulement (voirfigure (1)) décrit par les équations de Navier-Stokes suivantes :⎧⎨⎩ρ ∂u + ρu.∇u − div(µξ(u)) + ∇p = ρg∂t∇.u = 0dans Ω(t)dans Ω(t)munis des conditions aux limites : u = u d sur ∂Ω(t) − Γ s (t) et de (−pI + 2µξ(u)).n =−p atm .n sur Γ s (t) Où ρ, u, µ, p et g désignent respectivement la densité, la vitesse, laviscosité cinématique, la pression et l’accélération de la pesanteur. ξ(u) étant le tenseurde déformation, p atm représente la pression atmosphérique appliquée sur la surface libreΓ s (t). Pour résoudre le problème (1), il faut définir à chaque instant t le domaine del’eau Ω(t) et par conséquent déterminer la surface libre Γ s (t). On introduit une nouvellevariable ϕ, définissant la fonction du taux de présence d’eau dans Λ (Voir figure 2 pourl’illustration). Son évolution est modélisée par l’équation de transport suivante :⎧⎨⎩∂ϕ+ u.∇ϕ = 0∂tdans Λ × [0, T ]ϕ(., t = 0) = ϕ 0 (.) dans Λ,(1)(2)TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation numérique de surface libre 255ventΓ s(t)ΛventΓinΓfΩ(t)ΓoutFigure 1. Coupe 2D du domaine d’étude au temps toù ϕ 0 est telle que ϕ 0 (x) = 1, si x ∈ Ω(0) et ϕ 0 (x) = 0, sinon. En introduisant lescourbes caractéristiques X(x, s; t) (Dabaghi et Saiac [5],Pironneau [9],..), la fonction ϕsera donnée par : ϕ(X(x, s; t), t) = ϕ(x, s), ∀x ∈ ΛConnaissant le domaine Ω(s), le domaine Ω(t) peut être défini pour t ≥ s parΩ(t) = {x ∈ Λ; ϕ(X(x, s; t), t) = 1}.2. Méthode d’approximationt n-1ΛtnΛJjΩn-1Γn-1τ n u n-1xJΓΩnnδhiIδhIFigure 2. Déplacement virtuel des cellules et projection des valeurs qu’elles contiennent.On note par ∆t le pas de temps et t n = n∆t. Connaissant u n−1 et ϕ n−1 , la discrétisationen temps de (2) conduit à : ϕ n = ϕ n−1 ◦ X n−1où X n−1 = X(x, t n ; t n−1 ) est la position du point matériel à l’instant t n−1 qui se trouveen x à l’instant t n ; les courbes caractéristiques X n−1 (x, t n ; t) discrétisées sont définiespar :⎧⎪⎨ dX n−1(x, t n ; t) = u n−1 (X n−1 (x, t n ; t)), t ∈ [t n−1 , t n ]dt⎪⎩X n−1 (x, t n ; t n ) = x.TAMTAM –Tunis– 2005

256 Kloucha et al.Si le domaine Λ est discrétisé par une triangulation : τ h = ∪K, K étant des triangles,alors le domaine de l’eau, à l’instant t n , Ω n est défini à partir de ϕ n par :Ω n = {K ∈ τ h ; ϕ n (K) ≥ β}, β ∈ [β 0 , 1]où β représente un seuil de taux de remplissage, qui une fois atteint, ceci permet de direque l’élément K est mouillé ; β 0 ∈ [1/2, 1] est une valeur dépendante du cas traité (fréquenceet amplitude estimées de la vague par rapport à une surface au repos, par exemple)et surtout de la finesse du maillage. Ainsi β 0 tend vers 1 pour un maillage fin, décrivantde manière assez précise la frontière libre. En discrétisant le système d’équation (1) et (2)par la méthode des caractéristiques, on obtient⎧1⎪⎨ ∆t ρun − div(µξ(u n )) + ∇p n = F n dans Ω n∇.u n = 0dans Ω n(3)⎪⎩ϕ n = ϕ n−1 ◦ X n−1 dans τ h × [t n−1 , t n ].F n = ρg + 1 ∆t ρun−1 ◦ X n−1 , ϕ n−1 ◦ X n−1 = ϕ n−1 (X(x, t n−1 ; t n−1 )),u n−1 ◦ X n−1 = u n−1 (X(x, t n−1 ; t n−1 )). On définit ensuite les espaces ∫ suivants :V n = {v ∈ H 1 (Ω n ) 2 ; v = 0, sur ∂Ω n − Γ n s }, Q n = {q ∈ L 2 (Ω n ); q(x)dx = 0}.Ω noù H 1 et L 2 sont les espaces de Sobolev usuels. La formulation variationelle sur Ω nassociée à (3) s’écrit (avec ρ supposé constant) : Trouver u ∈ V n et p ∈ Q n telles que⎧ ∫∫∫ρu n .v + µ ∇u n ∇v − p n ∇.v∆t Ω⎪⎨n Ω n Ω∫n= ρ g.v + ρ ∫∫u n−1 ◦ X n−1 .v + p atm .nvΩ ∆tn Ω n Γ n s∫⎪⎩ ∇.u n q = 0Ω n (4)On peut montrer l’unicité de la solution du problème (4) en utilisant le théorème deBabuska-Brezzi voir [3],[6]. Pour l’approximation spatiale, on utilise la méthode des élémentsfinis mixte P 1 +bulle pour la vitesse et P 1 pour la pression assurant la conditioninf − sup et par conséquent le bien posé du problème discret ; ainsi on sera ramené àrésoudre un système de Quasi-Stokes à chaque pas de temps, qui peut s’écrire sous laforme matricielle suivante : (Ah ) ( ) ( )B h uh fhBh T =(5)0 p h 0TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation numérique de surface libre 2573. Résultats numériquesUn test numérique a été fait sur un domaine rectangle dont le maillage est raffiné dansle voisinage de la surface libre au temps t = 0 (voir FIG. 3). Le domaine a une longueurde 250 mètres en x et 30 mètres en y avec une frontière libre initiale à 25 mètres à partirdu fond. Le maillage est constitué de 3450 noeuds et de 6487 triangles. A l’entrée Γ + (t)on prend u = (1, 0) et au fond Γ f , u = (0, 0) et des conditions libres à la surface et à lasortie (pI.n − µ ∂u∂n = 0), en supposant une pression atmosphérique p atm = 0.Sur les figures (4), on trace les isovaleurs de la vitesse aux instants t = 100, 200, 300,400, 550, 800s. La vitesse imposée à l’entrée, qui n’est pas très importante (1m/s), permetcomme on peut le remarquer sur les figures (4), de déclencher de petites perturbationsà la surface. En fait, ce test valide dans un premier temps notre approche de modélisationde la frontière libre due à l’effet du vent. Dans une deuxième partie de test numériquesur la simulation de l’aération de la retenue d’eau, notre souci majeure étant la restitutionde la INRIA-MODULEFfrontière libre, on a remplacé l’effet de l’injecteur d’air par un obstacle au fond dudomaine (voir FIG. 5). En fait, un calcul d’écoulement diphasique [1] et [2] peut s’avérercoûteux et pour ce cas préliminaire, cette étape permet de représenter l’effet sur la surfaced’une perturbation provenant de l’intérieur du fluide. Ainsi, on reprend les mêmesconditions de simulation du 1 er cas, et on trace les isovaleurs de la vitesse aux instantst = 300, 600, 650, 700, 750, 800s (voir FIG. 6). On constate que l’approche reste toujoursvalide INRIA-MODULEFavec une bonne stabilité de l’algorithme.Figure 3. Le domaine global initial avec un maillage raffiné au voisinage de la surface.Figure 4. Le domaine global avec un obstacle au milieu.4. Conclusions et perspectivesINRIA-MODULEFCette validation préliminaire et méthodologique sur la prise en compte de la frontièrelibre en deux étapes nous permet dans un travail à venir à considérer l’extension au problèmeavec des injecteurs et par conséquent à utiliser le code diphasique. Néanmoins, pourINRIA-MODULEFTAMTAM –Tunis– 2005

INRIA-MODULEF0INRIA-MODULEF.250INRIA-MODULEF00.25INRIA-MODULEF258 Kloucha et al..25.25INRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF.751.25.51.75.51.75.51.75.51.751.25.51.751.25.511.51.251.51.251.51.251.51.51.5.25.751.250.511.5INRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF.75.51INRIA-MODULEFINRIA-MODULEF1.251.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEF.25.751.250.511.5Figure 5. Vecteurs et isovaleurs de la vitesse pour t = 100, 200, 300, 400, 550 et 800sINRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF0.25INRIA-MODULEF.75.51.75.51.75.51INRIA-MODULEF1.251.5INRIA-MODULEF1.251.5INRIA-MODULEF1.251.5.25.751.250.511.5INRIA-MODULEFINRIA-MODULEFINRIA-MODULEFFigure 6. Vecteurs et isovaleurs de la vitesse pour t = 100, 200, 300, 400, 550 et 800sTAMTAM –Tunis– 2005INRIA-MODULEFINRIA-MODULEF

Modélisation numérique de surface libre 259gérer des géométries plus complexes, telles que les lacs, un travail supplémentaire sur lesconditions aux limites et sur le coefficient β est nécessaire. En effet, pour les résultatsprésentés, on a utilisé pour la surface libre une condition d’imperméabilité et β = 1/2.D’une part, cette condition, souvent utilisée pour les petites perturbations, ne permet pasde capter entièrement l’effet du vent sur la surface et de plus sur la sortie du domaine cettecondition est très limitative. En fait, on devrait utiliser des conditions aux limites faisantintervenir les composantes normales et tangentielles de la vitesse sur la surface et tenircompte de la pression hydrostatique, comme compromis, à la frontière de sortie. D’autrepart, un travail en cours est menée sur un algorithme de maillage adaptatif dans le voisinagede la frontière libre basé sur les estimateurs d’erreur a posteriori afin de disposerd’un moyen dynamique pour considérer des valeurs de β proche de 1.5. Bibliographie[1] M. ABDELWAHED, « Modélisation et simulation numériques d’écoulements diphasiques »,Thèse de l’université de Pau, 2002.[2] M. ABDELWAHED, F.DABAGHI, D. OUAZAR « A virtual numerical simulator for aeration effectsin lake eutrophication », International Journal of Computational Fluid Dynamics vol. 16., n o p.119-128, 2002.[3] F. BREZZI, « On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arisingfrom lagrangian multipliers », RAIRO Model. Math. Anal. Numer. vol. 8., n o p.129–151, 1974.[4] F.EL DABAGHI, « Numerical Aspects of Aeration Process Modelling in Eutrophised WaterBasin », J. of Systems Analysis Modelling Simulation, SAMS vol. 39, n o p.1-23, 2000.[5] F.EL DABAGHI, , J.H. SAIAC « Characteristics and time dependant methods for solving the 3Dincompressible Euler equations y a srteam vector-vorticity formulation », International Journalof Hydraulics, Hydrology and Hydrodynamicsin Engeneering, vol. 2(4), 1989.[6] V.GIRAULT, , P.A. RAVIART, « Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations »,Theory and Algorithms. Springer-Verlag, Berlin, 1986.[7] V. MARRONIER, , M PICASSO, , J. RAPPAZ, Numerical simulation of free surface flows. J.Comput. Phys, vol. 155, n o p.439-455, 1999.[8] V. MARRONIER, « Simulation numérique d’écoulements de fluides incompressibles avec surfacelibre, Lausanne, EPFL », 2000.[9] O. PIRONNEAU, « On the transport-diffusion algorithm and its application to the Navier-Stokesequation. Numer. Math » vol. 38, n o p.309-332, 1982.TAMTAM –Tunis– 2005

Dimensions fractales : attracteurs de Lorenz,attracteurs pour les équations deNavier-Stokes et arcs trinomiauxK. Lamrini Uahabi * , M. Zaoui *** Département de mathématiques, B.P. 524Université Mohamed PremierOUJDAMAROCkaoutar.lamrini@laposte.net** Département de mathématiques, B.P. 524Université Mohamed PremierOUJDAMAROCzaouim@wanadoo.net.maRÉSUMÉ. La dimension fractale est l’outil principal de l’analyse fractale. Cette dernière trouve sesapplications dans les différentes disciplines scientifiques telles la physique, la chimie, la biologie, lagéographie, etc. Il s’agit de traiter les exemples d’applications suivants : les attracteurs pour leséquations de Lorenz, les attracteurs pour les équations de Navier-Stokes et les arcs trinomiaux.ABSTRACT. The fractal dimension is the principal tool of the fractal analysis. There exist manyapplications of this analysis in different scientific areas such as physics, chemistry, biology, geography,...etc.In this paper, we will study following examples: Lorenz attractors, Navier-Stokes attractorsand trinomial arcs.MOTS-CLÉS : Dimension fractale, attracteur, équations de Lorenz, équations de Navier-Stokes, arcstrinomiaux.KEYWORDS : Fractal dimension, attractor, Lorenz equations, Navier-Stokes equations, trinomialarcs.TAMTAM –Tunis– 2005 260

Dimensions fractales 2611. IntroductionLes fractals sont des objets mathématiques suffisamment « irréguliers » et « brisés »pour échapper au traitement des outils de l’analyse classique. Vu la diversité de ces fractalset leur complexité, il existe plusieurs définitions des dimensions fractales et qui necoïncident pas toujours. Citons entre autres, la dimension de Hausdorff et la dimensionde Boîtes. Elles servent à mesurer le « taux de remplissage » ou le « degré d’irrégularité», par exemple dans le plan, d’une courbe fractale. Dans ce travail, nous allons nous entenir aux trois exemples de fractals suivants :- Attracteurs de Lorenz : Les attracteurs de certains systèmes dynamiques, dont les équationsdifférentielles sont non-linéaires sont d’une structure très irrégulière ; ils sont ainsides fractals. L’un des exemples le plus révélateur qui soit est l’attracteur de Lorenz.- Attracteurs pour les équations de Navier-Stokes : Ces équations différentielles sont leséquations fondamentales de l’étude de la dynamique des fluides. En fait, à de grandes vitesses,le comportement des fluides visqueux devient turbulent, de telle sorte qu’il décritdes trajectoires irrégulières qui pourront être des fractals.- Arcs trinomiaux : Ce sont les trajectoires des racines des équations trinomiales nonlinéairesz n = αz k + (1 − α), où z un complexe, n et k des entiers naturels tels que1 ≤ k ≤ n − 1 et α un réel.2. Dimension de HausdorffSoient F ⊂ 3 2 et d > 0. (U i ) i∈N est un δ-recouvrement de F si :F ⊂ ∪ i=1,···,∞ U i et 0 < |U i | ≤ δ, pour tout i ∈ N.Soit s un réel positif. Pour tout δ > 0, on définit :H s δ(F ) = inf{ ∑ |U i | s: (U i ) est un δ-recouvrement de F}.On note H s (F ) la limite de H s δ(F ) quand δ tend vers 0. Cette limite existe pour toutF ⊂ 3 2 et peut être 0 ou l’infini. H s (F ) est la s-mesure de Hausdorff. La dimension deHausdorff de F est : dim H (F ) = inf{s : H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = +∞}.3. Dimension de BoîtesSoient F ⊂ 3 2 , D le disque unité de 3 2 et ɛ > 0. La saucisse de Minkowski de Fest l’ensemble F + ɛD = ∪ x∈F B ɛ (x), où B ɛ (x) = {y ∈ F : d(x, y) < ɛ} (d est ladistance Euclidienne). En désignant par |F + ɛD| 2 l’aire de la saucisse de F, la dimensionde Boîtes de F est définie par : dim B (F ) = lim e−→0 (2 − log |F + ɛD| 2 / log ɛ).TAMTAM –Tunis– 2005

262 Lamrini Uahabi et al.4. Attracteurs de LorenzDans cette section, nous donnerons un aperçu sur l’un des travaux caractéristiques surles notions d’attracteurs et sur l’estimation de leurs dimensions, à savoir, celui de E. N.Lorenz ([7]).4.1. Quelques notions préliminairesSoit D ∈ 3 n et f : D −→ D une application continue. Soit f k la k ième itération def. Ainsi, f k (x) appartient à D pour tout k lorsque x est un point de D. Dans certains cas,f k (x) peut se déplacer au hasard, mais en restant toujours proche d’un certain ensemble,appelé attracteur, qui pourra être un ensemble fractal.Définition 1. ([4]) Un sous-ensemble F de D est un attracteur de f si les deux conditionssuivantes sont satisfaites :(i) F est un ensemble fermé qui est invariant sous l’action de f (i. e. f(F ) = F ).(ii) Il existe un ensemble ouvert V contenant F , tel que la distance de f k (x) à F convergevers 0 quand k tend vers l’infini, pour tout x dans V . L’ensemble V est appelé bassind’attraction de F .Définition 2. ([1]) Un attracteur F de f est dit attracteur étrange si f est sensible auxconditions initiales ; i. e. il existe un nombre δ > 0 de telle sorte que pour tout x dans F ,il existe des points y dans F arbitrairement proches de x tels que |f k (x) − f k (y)| ≥ δpour un certain k.Remarque. Il est à signaler que les équations différentielles dx/dt = f(x) qui sontlinéaires (i. e. f(x) est une fonction linéaire) peuvent être complètement résolues parles méthodes classiques. Par contre, les équations différentielles non-linéaires sont trèsdifficiles à manipuler par ces outils. Il s’agit donc d’utiliser de nouveaux outils ; ceux del’analyse fractale, comme dans le cas des équations de Lorenz par exemple.4.2. Les équations de LorenzC’est dans les travaux de E. N. Lorenz ([7]) qu’apparaît, pour la première fois, unattracteur étrange. Il s’est intéressé au comportement d’un fluide en convection : le fluidechaud peut s’élever grâce à sa flottabilité et circuler en mouvement cylindrique. Aprèsune série de simplifications drastiques, E. N. Lorenz fut amené à étudier le système différentielsuivant :dx/dt = σ(y − x)dy/dt = rx − y − xzdz/dt = xy − bz.Le terme x représente la vitesse de rotation du cylindre, z représente la déviation de lapente de température par rapport à la ligne verticale, et y correspond à la différence detempérature entre deux côtés opposés du cylindre. Les paramètres s, b et r, quant à eux,TAMTAM –Tunis– 2005

Dimensions fractales 263sont des constantes positives à signification physique ; la constante s est le nombre dePrandtl de l’air (le nombre de Prandtl signifie la viscosité et la conductivité thermique), bdépend du rapport entre la largeur et la hauteur de la couche du fluide, et r est un paramètrede contrôle représentant la différence entre la plus basse et la plus haute températuresdu système. Signalons que la non-linéarité des deuxième et troisième équations résultede la non-linéarité des équations du flot. E. N. Lorenz a étudié de façon particulière lecas où : σ = 10, b = 8/3, r = 28. Dans ce cas, les trajectoires se concentrent surun attracteur de structure très compliquée ; appelé attracteur de Lorenz. Ces trajectoiresne se coupent jamais. En fait, elles ne sont pas périodiques. La suite des lacets que cestrajectoires effectuent est entièrement sensible au changement des conditions initiales. Enconséquence, il est impossible de prévoir le détail sauf pendant un très court intervalle detemps. Il est clair que l’attracteur de Lorenz est un ensemble fractal. En voici le résultatde l’estimation de sa dimension fractale :Théorème 1. ([4]) Les dimensions fractales de Hausdorff et de Boîtes de l’attracteur deLorenz, avec les valeurs traditionnelles (10, 8/3, 28) du triplet (s, b, r) sont toutes lesdeux égales à 2.06.5. Equations de Navier-StokesÀ de grandes vitesses, le comportement des fluides visqueux devient turbulent, avecdes irrégularités à différentes échelles ; décrivant ainsi des trajectoires qui sont des fractals,dont on pourra estimer la dimension fractale. D’après [1], dans cette discipline, leconcept de dimension voit son rôle croître toujours un peu plus. Par la suite, il s’agit dedonner des bornes des dimensions fractales des attracteurs pour les équations de Navier-Stokes, et ainsi leur traduction physique, à savoir, l’estimation du nombre de degré deliberté d’un flot turbulent. L’équation de Navier-Stokes, équation différentielle fondamentalede l’étude de la dynamique des fluides, peut s’écrire sous la forme suivante :∂u/∂t + (u.∇)u − v∇ 2 u + ∇p = foù u est la vitesse de dissipation, p la pression, v la viscosité et f la fonction densité.D’après [4], déduire l’existence de régions d’activité fractales à partir des équations deNavier-Stokes est loin d’être simple. Cependant, en utilisant l’équation de Poisson, onpeut prouver que :Théorème 2. ([4]) L’ensemble des solutions u(x, t) de l’équation de Navier-Stokes est dedimension inférieure ou égale à 2.5.Soit F un attracteur pour les opérations de Navier-Stokes. Dans le reste de cette section,nous énoncerons un résultat de [1] donnant une majoration fondamentale du nombre dedegré de liberté, i.e. de la dimension fractale de l’attracteur F , en fonction de la longueurde Kolmogorov :Définition 3. Si ɛ est la vitesse de dissipation de l’énergie par unité de masse et de temps,on définit la longueur de Kolmogorov par : l d = (v 3 /ɛ) 1/4 et la longueur typique par :TAMTAM –Tunis– 2005

264 Lamrini Uahabi et al.l 0 = λ −1/21 , où λ 1 est une valeur propre associée à l’opérateur ∇ 2 .Théorème 3. ([1]) La dimension de Boîtes de l’attracteur F est majorée de la façon suivante: dim B (F ) ≤ c(l 0 /l d ) 3 , où c est une constante universelle.6. Arcs trinomiauxIl s’agit d’étudier les arcs trinomiaux, i.e. les trajectoires des solutions de l’équationtrinomialez n = αz k + (1 − α)(1)où z = ρe iθ est un complexe, n et k des entiers naturels tels que 1 ≤ k ≤ n − 1 et αun nombre réel. Dans [8], S. Dubuc et M. Zaoui se sont intéressés à une certaine réuniond’arcs trinomiaux spécifiques, faisant partie des solutions de l’équation non-linéaire (1)dans le cas 0 < α < 1 ; à savoir, les trois familles d’arcs A m , B m et F (p, q; r, s). En fait,dans [2], ils ont établi l’étude de leur monotonie et dans [3], le calcul de leurs dimensionsfractales.Quant à notre travail, dont il s’agit de donner par la suite les principaux résultats, nousnous sommes intéressés à régler la question de la monotonie des arcs trinomiaux dans satotalité ([6]). Ensuite, et puisque ces familles d’arcs sont des fractals, nous avons procédédans [5] à calculer toutes leurs dimensions fractales. Pour se faire, nous avons utilisé lesthéorèmes 4 et 5 suivants :Soit C un arc de classe C 1 et de longueur L, défini par : x(θ) = ρ(θ) cos θ ety(θ) = ρ(θ) sin θ, où θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 . En supposant que ρ(θ 1 ) = R 1 et ρ(θ 2 ) = R 2 , on a :Théorème 4. ([3]) Si la fonction ρ(θ) est monotone, alorsL ≤ max(R 2 , R 1 )|θ 2 − θ 1 | + R 2 − R 1 |D’autre part, l’aire de la saucisse de Minkowski de C est majorée comme suit :Théorème 5. ([3]) Si C est une courbe rectifiable simple de longueur L, alors pour toutɛ > 0, |C + ɛD| 2 ≤ 2ɛL + πɛ 2 .À partir de l’équation (1), l’équation de trajectoire des racines reliant uniquement ρ et θest :ρ n−k sin nθ − ρ n sin(n − k)θ = sin kθ.Alors, on distingue les trois cas suivants :α < 0 : signe(sin nθ) = −signe(sin kθ) = signe(sin(n − k)θ))0 < α < 1 : signe(sin nθ) = signe(sin kθ) = −signe(sin(n − k)θ))1 < α : signe(sin nθ) = signe(sin kθ) = signe(sin(n − k)θ))Définition 4. Un angle θ est admissible s’il vérifie l’une des égalités de signes ci-dessus.6.1. Arcs trinomiaux dans le cas α > 1Dans ce cas, l’équation (1) admet comme solutions quatre types d’arcs trinomiaux :D 1 (p, k, r, n), D 2 (p, k, r, n), D 3 (p, n − k, r, n) et D 4 (p, n − k, r, n), où p et r sont desTAMTAM –Tunis– 2005

Dimensions fractales 265entiers non nuls tels que r ≥ p :- Les arcs D 1 (p, k, r, n) sont formés des racines de (1) où les angles admissibles θ appartiennentà l’intervalle ](2r + 1)π/n, 2πp/k[, n ≥ 5 et k est un entier vérifiantpn/(r + 1) < k < 2pn/(2r + 1).- Les arcs D 2 (p, k, r, n) sont formés des racines de (1) où θ ∈]2πp/k, (2r + 1)π/n[,n ≥ 4 et k est un entier vérifiant 2pn/(2r + 1) < k < pn/r.- Les arcs D 3 (p, n − k, r, n) sont formés des racines de (1) oùθ ∈]2πp/(n − k), (2r + 1)π/n[, n ≥ 4 et k est un entier vérifiant(r − p)n/r < k < [2(r − p) + 1]n/(2r + 1).- Les arcs D 4 (p, n − k, r, n) sont formés des racines de (1) oùθ ∈](2r + 1)π/n, 2πp/(n − k)[, n ≥ 5 et k est un entier vérifiant[2(r − p) + 1]n/(2r + 1) < k < (r − p + 1)n/(r + 1). Dans [6], nous avons prouvé lesrésultats suivants :Théorème 6. La fonction ρ(θ) est :- croissante pour les arcs D 1 (p, k, r, n) et D 3 (p, n − k, r, n).- décroissante pour les arcs D 2 (p, k, r, n) et D 4 (p, n − k, r, n).En conséquence, nous avons prouvé, dans [5], que :Théorème 7. Chacune des dimensions de Boîtes des réunions des familles d’arcs D 1 (p, k, r, n),D 2 (p, k, r, n), D 3 (p, n − k, r, n) et D 4 (p, n − k, r, n) est égale à 3/2.6.2. Arcs trinomiaux dans le cas 0 < α < 1Dans ce cas, l’équation (1) admet comme solutions les six types d’arcs trinomiaux :A 1 (p, k, r, n), A 2 (p, k, r, n), B 1 (p, k, r, n), B 2 (p, k, r, n), F 1 (p, n − k, r, n) etF 2 (p, n − k, r, n), où p et r des entiers :- Arcs A 1 (p, k, r, n) : θ ∈]2πr/n, (2p + 1)π/k[, n ≥ 5, r ≥ p + 1 et(2p + 1)n/(2r + 1) < k < (2p + 1)n/2r.- Arcs A 2 (p, k, r, n) : θ ∈](2p + 1)π/k, 2πr/n[, n ≥ 3, r ≥ p + 1 et(2p + 1)n/2r < k < (2p + 1)n/(2r − 1).- Arcs B 1 (p, k, r, n) : θ ∈]2πr/n, (2p + 1)π/k[, n ≥ 3, r ≥ p + 1 etk = (2p + 1)n/(2r + 1) est un entier.- Arcs B 2 (p, k, r, n) : θ ∈](2p + 1)π/k, 2(r + 1)π/n[, n ≥ 3, r ≥ p + 1 etk = (2p + 1)n/(2r + 1) est un entier.- Arcs F 1 (p, n − k, r, n) : θ ∈]2πp/(n − k), 2πr/n[, n ≥ 5, r ≥ p + 1 et[2(r − p) − 1]n/(2r − 1) < k < (r − p)n/r.- Arcs F 2 (p, n − k, r, n) : θ ∈]2πr/n, 2πp/(n − k)[, n ≥ 4, r ≥ p et(r − p)n/r < k < [2(r − p) + 1]n/(2r + 1). Dans [6], nous avons montré les résultatssuivants :Théorème 8. La fonction ρ(θ) est :- décroissante pour les arcs A 1 (p, k, r, n) et B 1 (p, k, r, n).- croissante pour les arcs A 2 (p, k, r, n) et B 2 (p, k, r, n).- unimodale pour les arcs F 1 (p, n − k, r, n) et F 2 (p, n − k, r, n).TAMTAM –Tunis– 2005

266 Lamrini Uahabi et al.En conséquence, nous avons montré, dans [5], les deux théorèmes suivants :Théorème 9. Les dimensions de Boîtes de chacune des réunions des familles d’arcs trinomiauxA 1 (p, k, r, n) et A 2 (p, k, r, n) sont toutes les deux égales à 3/2.Théorème 10. Les dimensions de Boîtes de chacune des réunions des familles d’arcs trinomiauxB 1 (p, k, r, n), B 2 (p, k, r, n), F 1 (p, n − k, r, n) et F 2 (p, n − k, r, n) sont touteségales à 1.6.3. Arcs trinomiaux dans le cas α < 0Dans ce cas, (1) admet comme solutions les six familles d’arcs : A ′ 1(p, n − k, r, n),A ′ 2(p, n − k, r, n), B ′ 1(p, n − k, r, n), B ′ 2(p, n − k, r, n), F ′ 1(p, k, r, n) et F ′ 2(p, k, r, n),où p et r des entiers naturels :- Arcs A ′ 1(p, n − k, r, n) : θ ∈]2πr/n, (2p + 1)π/(n − k)[, n ≥ 5, r ≥ p + 1 et[2(r − p) − 1]n/2r < k < 2(r − p)n/(2r + 1).- Arcs A ′ 2(p, n − k, r, n) : θ ∈](2p + 1)π/(n − k), 2πr/n[, n ≥ 3, r ≥ p + 1,2(r − p − 1)n/(2r − 1) < k < [2(r − p) − 1]n/2r.- Arcs B ′ 1(p, n − k, r, n) : θ ∈]2πr/n, (2p + 1)π/(n − k)[, n ≥ 3, r ≥ p + 1 etk = 2(r − p)n/(2r + 1) est un entier.- Arcs B ′ 2(p, n − k, r, n) : θ ∈](2p + 1)π/(n − k), 2(r + 1)π/n[, n ≥ 3, r ≥ p + 1 etk = 2(r − p)n/(2r + 1) est un entier.- Arcs F ′ 1(p, k, r, n) : θ ∈]2πp/k, 2πr/n[, n ≥ 5, r ≥ p+1 et pn/r < k < 2pn/(2r−1).- Arcs F ′ 2(p, k, r, n) : θ ∈]2πr/n, 2πp/k[, n ≥ 4, r ≥ p et 2pn/(2r + 1) < k < pn/r.Dans [6], nous avons prouvé les résultats suivants :Théorème 11. La fonction ρ(θ) est :- croissante pour les arcs A ′ 1(p, n − k, r, n) et B ′ 1(p, n − k, r, n).- décroissante pour les arcs A ′ 2(p, n − k, r, n) et B ′ 2(p, n − k, r, n).- unimodale pour les arcs F ′ 1(p, k, r, n) et F ′ 2(p, k, r, n). Par conséquent, dans [5], nousavons prouvé les deux théorèmes suivants :Théorème 12. Les dimensions de Boîtes de chacune des réunions des familles d’arcstrinomiaux A ′ 1(p, n − k, r, n) et A ′ 2(p, n − k, r, n) sont toutes les deux égales à 3/2.Théorème 13. Les dimensions de Boîtes de chacune des réunions des familles d’arcstrinomiaux B ′ 1(p, n−k, r, n), B ′ 2(p, n−k, r, n), F ′ 1(p, k, r, n) et F ′ 2(p, k, r, n) sont égalesà 1.7. Bibliographie[1] G. CHERBIT, « Fractals : Dimensions non entières et applications. », Masson, Paris, France,1991.[2] S. DUBUC AND M. ZAOUI, « Sur la quasi-convexité des arcs trinomiaux. », Rend. Circ.Mat. Palermo, Série 2, XLV, 1996, pp. 493-514.TAMTAM –Tunis– 2005

Dimensions fractales 267[3] S. DUBUC AND M. ZAOUI, « The fractal dimension of a union of trinomial arcs. », WorldScientific Publishing Company, Fractals, Vol. 4, No. 4, 1996, pp. 555-562.[4] K. J. FALCONER, « Fractal geometry : mathematical foundations and applications. », JohnWiley and Sons, London, England, 1990.[5] K. LAMRINI UAHABI,« Monotonie et dimension fractale des arcs trinomiaux. », Thèse dedoctorat, Université Mohamed 1er, Oujda, Maroc, 2004.[6] K. LAMRINI UAHABI AND M. ZAOUI, « Sur la monotonie des arcs trinomiaux. », Rend.Circ. Mat. Palermo, À paraître.[7] E. N. LORENZ,« Deterministic non periodic flow. », J. Atmos. Sci., 20, 1983, pp. 130-141.[8] M. ZAOUI,« Dimension fractale d’une réunion d’arcs trinomiaux. », Thèse de doctorat,Université de Montréal, Canada, 1994.TAMTAM –Tunis– 2005

Numerical analysis for the problem ofviscoelastic fluid flow with characteristicsmethodM. El-Kyal * , D. Esselaoui ** , A. Machmoum *** , M. Seaïd ***** Ecole Nationale des Sciences Appliquées (ENSA)Université Ibn Zohr, B.P. 8106, Agadir, Maroc** Laboratoire SIANO, Faculté des sciencesUniversité Ibn-Tofial B.P.133. Kenitra, Maroc.*** LIMI (Laboratoire d’ingénieries mathématiques et d’informatiques)Université Ibn Zohr, Faculté des sciences, B.P 8106, Agadir, Maroc.Email : a_machmoum@yahoo.com.**** Fachbereich Mathematik, TU Darmstadt, 64289 Darmstadt, Germany.ABSTRACT. We formulate and analyze a characteristics finite element approximation of a class offlows in viscoelastic fluids described by the Phan-Thien-Tanner model. Compared to the classical Oldroydmodel, the considered model presents further difficulties due to the presence of nonlinear termsof exponential type in the constitutive equation. In this paper, we propose a characteristics-basedmethod to treat the transport part of the equations. The stress, velocity and pressure approximationsare P 1 discontinuous, P 2 continuous and P 1 continuous finite element, respectively. By assumingthat the continuous problem admits a sufficiently smooth and sufficiently small solution, and using afixed point method, we show existence of solution to the approximate problem. We also give an errorbound for the numerical solution.RÉSUMÉ. On propose d’étudier l’analyse numérique de fluides viscoélastiques régis par le modèlede Phan-Thien-Tanner. Ce modèle présente des difficultés supplémentaires liées à la non linéaritédu type exponentiel présente dans la loi de comportement. Les inconnues sont σ la composante purementvisqueuse du tenseur des extra-contraintes, u la vitesse et p la pression. On suppose quela solution (σ, u, p) est suffisament petite et régulière. L’approximation contrainte, vitesse et pressionsont respectivement des éléments finis P 1 discontinues, P 2 continue et P 1 continue. Pour l’approximationpar la méthode d’éléments finis de l’équation en σ à u fixé, qui est du premier ordre, on utilisela méthode des caractéristiques. On donne une majoration d’erreur.KEYWORDS : Numerical Analysis; Finite element method; Viscoelastic fluids; Characteristics method.MOTS-CLÉS : Analyse numérique, Méthode des éléments finis, Fluides viscoélastique, méthode descaractéristiques.TAMTAM –Tunis– 2005 268

Problem of viscoelastic fluid flow 2691. IntroductionViscoelastic fluid flows are a subject of very intensive research activities since theyinclude a wide variety of difficulties that typically arise in the numerical approximationof partial differential equations describing and consequently, determining their dynamics.The set of governing equations differ from one to another by the constitutive equationthat closes the system. In this paper, a Phan-Thien-Tanner (PTT) model [1] is selected forbeing more physically realistic than the Oldroyd-B model extensively studied in literature,see for example [4, 3] and further references are cited therein. The PTT model inherits themain difficulties from the Oldroyd-B equations due to the convection part. Moreover, themajor numerical difficulty in PTT model lies in the presence of nonlinear stress functionin the constitutive equation. In our work, we consider a PTT model with nonlinear termof exponential form.Although there is much work on the error analysis for finite element approximations toboth steady and evolutionary viscoelastic problems, error estimates of numerical methodsfor the PTT model have not been investigated as much. Our aim in this work is to providea numerical analysis of finite element approximation of a viscoelastic fluid flow obeyingthe PTT model. The central assumptions for carrying this analysis are (i) the continuousproblem admits a sufficiently smooth and sufficiently small solution (ii) the approximatestress, velocity and pressure are P 1 discontinuous, P 2 continuous and P 1 continuous finiteelement, ( respectively. ) Using Brouwer fixed point theorem we shall prove that the error ish2O √ + k .k2. The PTT problem and its finite element approximationThe PTT model we consider in this paper for steady-state and creeping flows consistsof the following non-dimensional set of governing equations,⎧F (σ)σ + λ(u · ∇)σ + λg a (σ, ∇u) − 2αd(u) = 0, in Ω,⎪⎨ −∇ · σ − 2(1 − α)∇ · d(u) + ∇p = f, in Ω,(O)∇ · u = 0, in Ω,⎪⎩u = 0, on Γ,whereF (σ) = exp(ɛ λ α tr(σ) ), tr(σ) = ∑ iσ ii ,g a (σ, ∇u) = 1 − a2(σ∇u + ∇u T σ ) − 1 + a2(∇uσ + σ∇uT ) , −1 ≤ a ≤ 1,TAMTAM –Tunis– 2005

270 El-Kyal et al.d(u) = 1 2(∇u + (∇u)T ) ,with σ is the extra-stress tensor, u is the velocity field, p is the pressure, λ (λ > 0) isthe Weissenberg number, α (0 < α < 1) is the viscosity coefficient, d(u) is the rateof deformation tensor, g a (·, ·) is a bilinear application and ɛ (ɛ small) is a dimensionlessmaterial parameter.We define the following spaces,T = { τ = (τ ij ); τ ij = τ ji ; τ ij ∈ L 2 (Ω); 1 ≤ i, j ≤ 2 } ,X = H 1 0 (Ω) = { v ∈ H 1 (Ω) 2 ; v | Γ = 0 } ,Q = L 2 0(Ω) ={q ∈ L 2 (Ω);∫Ω}q = 0 .The spatial domain Ω is supposed to be polygonal equipped with a regular family oftriangulation T h made of triangles, ¯Ω =⋃K, and there exists ν 0 and ν 1 such thatK∈T hhν 0 ≤ h K ≤ ν 1 ρ K ,where h K is the diameter of K, ρ K is the diameter of the greatest ball included in K,h = max h K and h max denotes the diameter of Ω. Let P r (K) denote the space ofK∈T hpolynomials of degree less or equal to r on K ∈ T h . For the approximation of (u, p) weuse the Hood-Taylor finite element spaces given byX h = { v ∈ X; v | K ∈ P 2 (K) 2 , ∀K ∈ T h},Q h = { q ∈ Q ∩ C 0 (¯Ω); q | K ∈ P 1 (K), ∀K ∈ T h},V h = {v ∈ X h ; (q, ∇ · v) = 0, ∀q ∈ Q h } .It is known that the pair (X h , Q h ) satisfies the following inf sup condition from [5], thereexists β > 0 independent of h such thatinfq∈Q h(q, ∇ · v)sup≥ β > 0. (1)v∈X h| q || d(v) |The stress tensor σ is approximated by P 1 discontinuous finite elements spaceT h = {τ ∈ T ; τ | K ∈ P 1 (K) 4 , ∀K ∈ T h }.TAMTAM –Tunis– 2005

Problem of viscoelastic fluid flow 2713. Approximation of PTT model and error boundThe first equation of (O), which is hyperbolic in σ when u is fixed, is approximatedby characteristics method introduced in [2]. The idea is to replace problem (O) by thefollowing set of equations⎧F (σ k )σ k + λ σk (x) − σ ( k X k (x) ) (+ λg a σ k , ∇u k) − 2αd(u k ) = 0, in Ω,⎪⎨(O k )⎪⎩k−∇ · σ k − 2(1 − α)∇ · d(u k ) + ∇p k = f, in Ω,∇ · u k = 0, in Ω,u k = 0, on Γ,where X k (x) = S(x, t, t−k), S(x, t, τ) being the approximation of trajectory of particledefined by{dS= u k (S(x, t, τ)) ,dτS(x, t, t) = x.An operator B on X h × T h × T h is defined by( σ(x) − σ(X k )(x))B(u, σ, τ) =, τ + 1 k2 (Du k σ, τ), (2)dx∣where Dk u dy ∣ − 1∣ (y) = ,dx∣∣∣ k ∣ dy ∣ = dθ k (y)dy ∣ is the determinant of the Jacobian matrixand θ k (y) = S(y, t, t + k).The problem (O) is approximated by problem (Oh k ) as follows:Find (σh k, τ h) ∈ T h × V h such that(F (σkh )σh, k ) (τ h + λB ukh , σh, k ) (τ h + λ ga (σh, k ∇u k )h), τ h − (3)2α ( d(u k h), τ h)= 0, ∀τh ∈ T h , (4)(σkh , d(v h ) ) + 2(1 − α) ( d(u k h), d(v h ) ) = (f, v h ) , ∀v h ∈ V h . (5)If we define the bilinear form A on T × X byA ((σ, u), (τ, v)) = 2α (σ, d(v)) − 2α (d(u), τ) + 4α(1 − α) (d(u), d(v)) , (6)then problem (O k h ) becomesFind (σ k h , τ h) ∈ T h × V h such that(F (σkh )σ k h, τ h)+ A((σkh , u k h), (τ h , v h ) ) + λB ( u k h, σ k h, τ h)+λ ( g a (σ k h, ∇u k h), τ h)= 2α (f, vh ) , ∀(τ h , v h ) ∈ T h × V h . (7)TAMTAM –Tunis– 2005

272 El-Kyal et al.Theorem 3.1 There exist positive constants M 0 , h 0 and k 0 such that if problem (O)admits a solution (σ, u, p) ∈ W 2,∞ (Ω) × ( W 3,2 (Ω) ∩ W 2,∞ (Ω) ) × ( H 2 (Ω) ∩ L 2 0(Ω) )satisfying}max{‖ σ ‖ 2,∞ , ‖ u ‖ 3,2 , ‖ u ‖ 2,∞ , ‖ p ‖ 2,2 ≤ M 0 ,√then for all h ≤ h 0 , k ≤ k 0 such that ∃ a 1 , a 2 : a 1 k ≤ h ≤ a 2 k, problem (Okh) admits asolution (σh k, uk h , pk h ) ∈ T h × X h × Q h and there exists a positive constant C independentof h and k such that( ) h| σ − σh k | + | d(u − u k 2h) | ≤ C √ + k , (8)k( ) h| p − p k 2h | ≤ C √ + k . (9)k4. References[1] N. PHAN-THIEN, RI. TANNER. A new constitutive equation derived from network theory, J.Non-Newtonian Fluid Mech. 2 (1977) 353-365.[2] J. BARANGER, A. MACHMOUM. A "natural" norm for the method of characteristics, to appearin M 2 AN.[3] A. MACHMOUM, D. ESSELAOUI. Finite element approximation of viscoelastic fluid flow usingcharacteristics method, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 (2001) 5603-5618.[4] J. BARANGER, D. SANDRI. Finite element approximation of viscoelastic fluid flow Existenceof solutions and error bounds. I-Discontinuous constraints, Numer. Math. 63 (1992) 13-27.[5] V. GIRAULT, P. A. RAVIART. Finite element method for Navier Stokes equations, Theory andAlgorithms. Berlin Heidelberg New York : Springer 1986.TAMTAM –Tunis– 2005

La pression dans les écoulements eau/air :Comparaison de différentes approximationsemployées pour modéliser les écoulementsdiphasiquesE. Marchand * , F. Clément ** , J. Jaffré **** E. Marchand, Andra, 1-7 rue Jean Monnet, Parc de la Croix-Blanche, 92298 Châtenay-Malabrycedex et Inria-Rocquencourt,Estelle.Marchand@inria.fr** F. Clément, INRIA-Rocquencourt, B.P 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France,Francois.Clement@inria.fr*** J. Jaffré, INRIA-Rocquencourt, B.P 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France,Jerome.Jaffre@inria.frRÉSUMÉ. L’équation de Richards est largement utilisée en hydrogéologie. C’est une simplificationdu modèle général que nous allons présenter, car elle suppose que la pression en air ne varie pas.Afin de tenir compte des effets de la présence d’air qui peut être piégé dans le sous-sol, l’idée estde considérer un écoulement diphasique. Une formulation des équations diphasiques à l’aide de lapression globale (technique issue de la communauté pétrolière) est discutée. Les équations dans lecas diphasique mènent à résoudre un système non linéaire à chaque pas de temps.ABSTRACT. The Richards equation is largely used in hydrogeology. It is a simplified form of thegeneral model that we present, which assumes that air pressure is invariant. To take into accountthe presence of air which may be trapped in the subsoil, the idea is to consider a two-phase flow. Aformulation of two-phase flow using the global pressure (a technique used in petroleum engineering)is discussed. The two-phase flow equations require the solution of a nonlinear system for each timestep.MOTS-CLÉS : écoulements diphasiques, équation de Richards, pression globale, hydrogéologie.KEYWORDS : two-phase flows, Richards equation, global pressure, hydrogeology.273 TAMTAM –Tunis– 2005

274 Marchand et al.1. IntroductionDans toute notre étude nous supposons que l’eau est un fluide incompressible et quel’air est faiblement compressible, c’est-à-dire que la loi reliant sa masse volumique à sapression est linéaire.On réduit le modèle obtenu à un système de deux équations à deux inconnues : lapression en air et la saturation en eau. En supposant que la pression en air reste partoutégale à la pression atmosphérique, on obtient l’équation de Richards. Pour des pressionscapillaires faibles on peut introduire une fonction auxiliaire qui permet de définir une nouvellevariable, la pression globale, et d’obtenir une nouvelle formulation aux propriétésmathématiques plus intéressantes.Les variables concernant l’eau portent l’indice w et celles concernant l’air portentl’indice a. On note s w ou s et on nomme saturation en eau la proportion de l’espace libredu sous-sol occupée par l’eau. On suppose qu’il n’y a pas de vide : la saturation en air estalors s a = 1 − s.2. Formulation classique2.1. Caractérisation d’un milieu poreuxUn écoulement en milieu poreux est caractérisé par deux catégories de paramètres :Certains paramètres sont constants ou dépendent uniquement de la position. Ce sontsont soit des propriétés du sous-sol (la porosité φ et la perméabilité intrinsèque K), soitdes propriétés des fluides (leur viscosité dynamique µ, leur masse volumique ρ pour lesfluides incompressibles ou leur coefficient de compressibilité c a pour les fluides compressibles).La compressibilité de l’air introduira des termes quadratiques dans les équationsque nous nommerons dans la suite “équations en pression”.D’autres paramètres sont également fonction de la saturation. Ceci est la source de nonlinéarités dans les équations que nous nommerons dans la suite “équations en saturation”.Il s’agit de la pression capillaire, qui représente la différence p c (s) entre les pressions desdeux fluides de l’écoulement – dans notre cas la pression en air est toujours supérieureà la pression en eau et on définit p c (s) = p a − p w > 0 – et des perméabilités relativesk ri de chaque fluide, fonctions croissantes de leurs saturations respectives et bornées par0 et 1. On représentera ces fonctions à l’aide des modèles établis par van Genüchten, quel’on peut retrouver dans [1]. Les liens avec d’autres modèles sont présentés dans [7].2.2. Lois de l’écoulementLes écoulements diphasiques sont régis par les lois de conservation de chaque fluide :φ ∂(ρ is i )∂t+ div(ρ i ⃗ϕ i ) = 0 pour i ∈ {a, w}TAMTAM –Tunis– 2005

La pression dans les écoulements eau/air 275où ⃗ϕ i représente le flux volumique du fluide i. Il est explicité à partir de la loi de Darcy([6]) :⃗ϕ i = −K k ( )r i ⃗∇pi − ρ i ⃗g pour i ∈ {a, w}.µ iOn remarque que les lois de conservation sont des lois massiques alors que la loi deDarcy est une loi volumique, ce qui introduit une difficulté supplémentaire lorsque l’ontient compte de la compressibilité d’un fluide par rapport au cas incompressible : on nepeut alors pas obtenir d’équation stationnaire par combinaison linéaire des deux lois deconservation.Après avoir introduit, pour simplifier les écritures, diverses fonctions non linéaires dela saturation et de la pression, on obtient à partir de la loi de conservation pour l’eaul’ ”équation en saturation” :φ ∂ρws∂t+ div⃗u w = 0,⃗u w = −Ka(s, p a ) ⃗ ∇s + b 0 (s, p a )⃗u + b ρ (s, p a )K⃗g.En sommant les deux lois de conservation on obtient l’ ”équation en pression” :φ ∂ ∂t (c a(1 − s)p a ( + ρ w s) + div⃗u = 0,⃗u = −Kd(s, p a ) ⃗∇pa − b 0 (s, p a )p ′ c(s) ∇s ⃗ )− γ ρ (s, p a )⃗g .On peut remarquer la présence d’un terme de diffusion en saturation dans l’équationen pression. Ceci signifie un couplage fort entre les deux équations et entraîne donc desdifficultés de résolution.3. L’équation de RichardsLe formalisme que nous avons utilisé jusqu’à maintenant est celui de la mécanique desfluides. Les hydrogéologues utilisent un formalisme différent et regroupent en particuliertoutes les propriétés du sol et du fluide i dans un seul paramètre noté K i . De plus ilsne quantifient pas la composition de l’écoulement par les saturations mais par la teneuren eau θ. Les pressions ne sont plus exprimées en Pascal mais en hauteur d’eau. Nousindiquons donc ici les correspondances entre ces formalismes :hypothèse :ɛ=0,5 (ɛ est un paramètre des fonctions de van Genüchten) ;h = −pcρ wgK si = ρiµ igKh a = paρ wgK i = K si k rih g = pgρ wgθ = φs.Avec ce nouveau formalisme et sous les hypothèses : p a est constant et uniforme, onobtient une nouvelle équation en saturation :∂θ( )∂t = div K w∇ϕ ⃗ , ϕ = h + z. (1)TAMTAM –Tunis– 2005

276 Marchand et al.On remarque en particulier que les paramètres liés aux propriétés de l’air ont disparu decette équation. Cette équation est donc celle d’un écoulement monophasique (on a supposéque l’équation en pression devenait ∂p∂t= 0). Cette équation est étudiée en particulierdans [4]. Les applications h → θ et h → K w ont des propriétés mathématiques plus intéressantesque θ → h et θ → K w . C’est pourquoi on résoud en général l’équation [1] parrapport à l’inconnue h. Malheureusement, pour des raisons de simplification, on ne peutpas choisir cette inconnue dans le cas diphasique.4. La formulation “pression globale”4.1. DéfinitionCette formulation, très efficace pour la modélisation des écoulements pétroliers, a étéintroduite par Guy Chavent en 1981 ([3] et [4]). L’idée est d’éliminer le terme de diffusionen saturation dans l’équation en pression en utilisant une nouvelle variable artificielle,homogène a une pression, qui est nommée “pression globale”. Pour celà on introduit unefonction auxiliaire∫ s∀s ∈]0, 1] ∀p ∈ [p w , p w + p c (s)] γ(s, p) =(b 0 (σ, p) − 1 )(−p ′s c2c(σ)) dσ.La pression globale est alors définie de façon implicite :{pw ≤ p globale ≤ p a ,p globale = 1 2 (p a + p w ) + γ(s, p globale ).La validité de sa définition est donc liée à un théorème de point fixe.La nouvelle équation en pression est obtenue en remplaçant p a par p g = p dans lesfonctions non linéaires :Φ ∂ ∂t [(c ap − ρ w ) (1 − s)] + div⃗u = 0,[(⃗u = −Kd(s, p) 1 − ∂γ )]⃗∇p − γ ρ (s, p)⃗g .∂p4.2. Motivations pour l’utilisation de cette formulationGuy Chavent a pu établir des théorèmes d’existence de solution pour cette formulation.De plus la pression globale représentée comme une fonction de la saturation en eau estplus régulière que la pression en eau ou la pression en air ; par conséquent on mettraplus facilement en place pour cette formulation des schémas numériques stables. Enfindes observations numériques montrent que la formulation pression globale sera a prioriTAMTAM –Tunis– 2005

La pression dans les écoulements eau/air 277d’autant plus valable qu’on est en présence de fortes saturations, alors que l’équation deRichards est valable pour des milieux faiblement saturés : leurs domaines de validité sontcomplémentaires.4.3. Limites dans le cas compressibleL’existence du point fixe définissant la pression globale est liée aux valeurs de la pressioncapillaire : en effet, l’application γ est contractante à condition que la pression capillairereste faible devant la pression en eau. Or la pression capillaire prend des valeursbeaucoup plus fortes pour les écoulements compressibles eau/air que pour les écoulementspétroliers, moins compressibles.De plus dans notre cas, les valeurs de la pression capillaire sont souvent beaucoupplus proches des valeurs de la pression en eau que de celles de la pression en air. Parconséquent, pour des fortes valeurs de p c , l’approximation p a ≃ p g ne sera plus valable.Les hypothèses permettant d’utiliser la formulation pression globale ne sont donc pasvérifiées.5. Implémentation numériqueOn choisit d’implémenter les deux formulations diphasiques (“classique” et “pressionglobale”) afin de les comparer et de conclure sur la validité de la seconde formulation.Nous disposons parallèlement des résultats de l’équation de Richards.On utilise une variante de la méthode IMPES (“implicit pressure explicit saturation”,efficace pour les écoulements pétroliers, voir par exemple [5]) : on découple la résolutiondes équations en pression et en saturation, en utilisant éventuellement des pas de tempsdifférents pour chaque type d’équation, pour s’adapter aux vitesses d’évolution de chaquevariable. On choisit d’écrire un schéma explicite pour les termes de convection, afin deréduire la diffusion numérique, et implicite pour les termes de diffusion, pour des raisonsde stabilité.La discrétisation spatiale utilise simultanément des volumes finis pour les termes deconvection et des éléments finis mixtes pour les termes de diffusion. On utilise une méthodede Newton pour résoudre les équations discrétisées, non linéaires.Des résultats numériques seront montrés pendant la conférence.6. ConclusionEn ce qui concerne la résolution de l’équation en saturation, le comportement généraldes solutions des formulations “classique” et “globale” est identique, on observe defaibles variations numériques. Cependant, l’utilisation du code diphasique pour résoudrel’équation de Richards est très coûteuse en temps de calcul : l’ampleur des non linéaritésTAMTAM –Tunis– 2005

278 Marchand et al.dans la formulation pression en eau / saturation en air impose de choisir des pas d’espace,et par conséquent des pas de temps, très grands.La prise en compte de l’équation en pression pose problème dans les deux cas. Onpense que ceci est lié à la différence entre les vitesses d’évolution des deux variables. Elleentraîne souvent une immobilisation de toutes les variables.7. Bibliographie[1] P. BASTIAN, « Numerical Computation of Multiphase Flows in Porous Media, chapter 1 : ModelingImmiscible Fluis Flow in Porous Media », Technischen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität Kiel, Habilitationsschrift, 1999.[2] J. BEAR AND A. VERRUIJT, « Modeling Groundwater Flow and Pollution », D.Reidel PublishingCompany, 1987.[3] G.CHAVENT, « The global pressure, a new concept for the modelization of compressible twophaseflows in porous media », Flow and Transport in Porous Media, Euromech 143 and Delft,A. A. BALKEMA, P 191–198, 1981.[4] G. CHAVENT AND J. JAFFRE, « Mathematical models and finite elements for reservoir simulation», Elsevier Science Publishers B.V, 1986.[5] Z. CHEN AND G. HUAN AND B. LI, « An Improved IMPES Method for Two-Phase Flow inPorous Media », Transport in Porous Media, vol 54, P 361–376, 2004.[6] H. DARCY, « Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Détermination des lois d’écoulementde l’eau à travers le sable. Appendice - Note D », V. Dalmont, Paris, 1856.[7] H.J. MOREL-SEYTOUX AND P.D. MEYERAND R.J. LENHARD M. NACHABE AND J.TOUMA AND M.T. VAN GENUCHTEN, « Parameter equivalence for the Brooks-Corey andvan Genuchten soil characteristics : Preserving the effective capillary drive », Water ResourcesResearch vol 32(5), P 1251–1258, 1996.TAMTAM –Tunis– 2005

Performance parallèle d’un code E.F.Navier-Stokes 2D en vitesse pression pour lasimulation d’écoulements diphasiques 1F. Mezali a b — F. El Dabaghi a — M. Abdelwahed c — B.Nakhle a da INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.b Ecole Nationale Polytechnique, 10 Avenue Hassen Badi El Harrach, Alger, Algérie.c LAMSIN ENIT, BP 37, 1002 Tunis, Tunisie.d ESIB, Ecole Supérieure d’Ingénieurs de Beyrouth, B.P. 11-0514, Riad El Solh, Liban.1 Ce travail a bénéficié du support du projet euro-méditerranéen WADI, des programmes d’actionsIntégrées CMIFM MA/01/03., CMEP 01 MDU 529 et PLATON 05572UB.RÉSUMÉ. On s’intéresse dans ce travail à la parallélisation d’un solveur numérique simulant un écoulementdiphasique eau-air gouverné par les équations de Navier-Stokes 2D en formulation vitessepressionet modélisant l’aération mécanique dans un lac eutrophe. La résolution, combinant la méthodedes caractéristiques et une méthode d’éléments finis C 0 P 1 +Bulle/P 1 , est basée sur un algorithmeGradient Conjugué Uzawa nécessitant la résolution de systèmes matriciels effectuée par unpar gradient conjugué préconditionné consommant 98% du temps CPU du code séquentiel. Aprèsune phase d’analyse algorithmique parallèle identifiant l’interdépendance des différentes tâches etdonnées, une implémentation du code sous MPI a été mise en place qui est d’une part validée pourla cohérence des résultats et d’autre part testée pour l’aspect performance parallèle. Sur ce dernierpoint les résultats, tant sur le plan temps CPU que Elapsed, confirment l’efficacité de l’algorithmeimplémenté.ABSTRACT. In this work, we focus our interest on the parallelisation of a numerical solver simulatinga two phase air-water flow governed by a velocity-pressure formulation of 2D Navier-stokes equationsmodelling the mechanical aeration of an eutrophized lake. The method of solution, combiningthe characteristic method and a C 0 P 1 +Bubble/P 1 finite element, is based on an Uzawa ConjugateGradient algorithm requiring the resolution of linear systems performed by a preconditioned conjugategradient consuming 98% of the total CPU sequential code time. After a parallel algorithmic analysisidentifying the interdependencies between the different tasks and data involved, an implementationunder MPI has been done which on the one hand is validated for the results coherence and on anotherhand tested for the parallel performance needs. For this last point, the results, as well for CPUtime as for Elapsed, confirm the efficiency of the implemented algorithm.MOTS-CLÉS : Navier-Stokes, formulation vitesse-pression, élément finis, calcul parallèle.KEYWORDS : Navier-Stokes, velocity-pressure, finite element, parallel computing279 TAMTAM –Tunis– 2005

280 Mezali et al.1. Motivation et modèle numériqueL’eutrophisation est un processus évolutif qui se manifeste surtout par le manqued’oxygène dissout dans l’eau entraînant une dégradation progressive de la qualité de l’eaudes lacs. L’aération mécanique est l’une des techniques les plus utilisées pour la restaurationdes lacs ou la prévention contre ce fléau. Elle consiste à injecter de l’air à une certaineprofondeur du lac afin d’aérer ces zones pauvres en oxygène soit par dissolution d’air ouen poussant l’eau vers le haut afin de l’oxygéner par contact des eaux superficielles oupar l’air atmosphérique. Malgré les différentes simplifications apportées aux différentsmodèles proposés dans nos travaux ultérieurs (voir [1], [3], [4]), la simulation numériquedu processus d’aération sur un cas d’application réel reste toujours limitée et ce même en2D ; ceci est dû naturellement à la grande taille des systèmes matriciels à résoudre pour lesproblèmes traités et ce malgré les ressources disponibles très importantes en capacité decalcul et en place mémoire. Prenons par exemple le cas d’une simulation dans une couperéelle d’un lac (voir [1], [2]) dont les dimensions moyennes sont de l’ordre de 500 mx 20 m : L’injecteur d’aération de forme cylindrique de diamètre 10 cm et de longueur1000 cm comporte une centaine de trous de diamètre de 1 cm chacun. Si on veut détecterconvenablement l’effet de l’injection des bulles, il est nécessaire de faire un maillageavec des éléments de l’ordre du volume de la bulle ce qui donnera un maillage d’une dizainede millions de noeuds. Si on propose de faire un maillage fin sur une zone prochede l’injecteur et grossier ailleurs, on reste toujours dans l’ordre de quelques millions denoeuds. Pour fixer les idées, un calcul sur un maillage de 6 10 5 noeuds nécessite environ1h10mn pour une itération en temps sur une machine RISK HP 750Mhz et 2Go de mémoireRAM i.e. aucun effet de pagination. Pour 1 heure de temps de simulation avec unpas de temps d’une minute, il faut 60 itérations en temps soit 70 heures de calcul (≃ 3jours). Ainsi, il est évident que pour des simulations plus fines en 2D ou grossières en 3D,la parallélisation du code est incontournable surtout si on ajoute que l’injection de l’airpeut prendre plusieurs jours pour bien entamer l’effet de l’oxygénation. On présente dansce travail une parallélisation d’un modèle 2D tenant compte de l’effet de l’aération par lebiais d’une correction aux équations de mouvement de la phase eau écrites en formulationvitesse-pression. On rappelle brièvement dans la suite le problème à résoudre.Soit Ω un domaine 2D représentant une coupe du lac et Γ = Γ 1 ∪Γ 2 la frontière de Ω avecΓ 1 = Γ 1 1 ∪Γ 2 1 ∪Γ 3 1, n le vecteur normal unitaire sur Γ, le temps T ∈ IR ∗ , Q T = Ω×]0, T ],Σ 1 T = Γ 1 × [0, T ], Σ 2 T = Γ 2 × [0, T ] et Σ(u d ) = {(x, t) ∈ Σ 1 T |u d.n < 0}.Soit : u 0 L : Ω → IR 2 et u d : Σ T → IR 2 .ρ L (., t = 0) = ρ 0 L (.) et u L(., t = 0) = u 0 L (.) dans Ω,TAMTAM –Tunis– 2005

Simulation d’écoulements diphasiques 281u L = u d sur Σ 1 T et µ ∂u LL∂n − p L.n = 0 on Σ 2 T .Trouver : ρ L : Q T → IR + , u L : Q T → IR 2 et p L : Q T → IR tel que⎧∂ρ L⎪⎨ ∂t + u L.∇ρ L = 0dans Q Tdu L(1)ρ L − µ L ∆u L + ∇p L = ρ L g dans Q T⎪⎩ dtdiv u L = 0 dans Q TLa discrétisation en temps du problème (1) utilise la méthode des caractéristiques ([7],[9]) et implique à chaque étape de temps t n le problème de type Quasi-Stokes suivant⎧⎪⎨⎪⎩ρ n+1L= ρ n L oXn dans Ω1∆t ρn+1 Lu n+1L− µ L ∆u n+1L+ ∇p n+1L= F n+1 dans Ωdiv u n+1L= 0 dans Ω(2)oùF n+1 = ρ n+1Lg + 1 ∆t ρn+1 Lu n LoX n (3)et dont la formulation variationnelle associé s’écrit : Pour tout v ∈ H 1 0(Ω) et q ∈ L 2 0(Ω) :⎧⎪⎨⎪⎩Trouver ∫ u L ∈ X d et p ∈ ∫L 2 0(Ω) tel queρ Lu L v dΩ + µ L ∇u ∇v dΩ∆tΩavec X d = {v ∈ H 1 (Ω) 2 , v = u d p.p. sur Γ}.Ω∫−∫−ΩΩ∫p ∇.v dΩ =Ωq ∇.u L dΩ = 0F v dΩ(4)2. Approximation numériquePour l’approximation du problème (4) on utilise les éléments finis ‘P 1 +bulle/P 1 ’ [5]décrits dans la suite. Soit (T h ) h une triangulation régulière de Ω. Soit K ∈ T h et a K i | i=1,3les sommets de K. Les coordonnées barycentriques de K sont définies par :λ K i ∈ P 1 (K) , λ K i (a K j ) = δ i,j , i, j = 1, 3où P 1 (K) dénote l’espace des polynômes de degré 1. La fonction bulle b K associée àl’élément K est un polynôme de degré 3 qui est égale à 1 au centre de gravité de K et27TAMTAM –Tunis– 2005

282 Mezali et al.s’annulant sur chaque arête. Elle est définie par : b K =3∏λ K i . On définit ensuite :i=1B h = {w h ∈ C 0 (Ω) 2 ; ∀K ∈ T h , w h|K = ζ b K , ζ ∈ R 2 }Y h = {y ∈ C(Ω) ; ∀K ∈ T h , y |K ∈ P 1 (K)}et on pose : W h = Y 2 h ∩ H1 0 (Ω) 2 , X h = W h ⊕ B h , M h = Y h ∩ L 2 0(Ω)X d h = {v h ∈ Y 2 h ∩ H 1 (Ω) 2 , v h = u d a.e. on Γ}La discrétisation spatiale du problème (4) s’écrit : pour tout v h ∈ X h et q h ∈ M h⎧Trouver ∫ u Lh ∈ Xh d ⎪⎨, p h ∈∫M h solutions deρ Lu Lh v h dΩ + µ L ∇u Lh ∇v h dΩ∆t ΩΩ⎪⎩∫−∫−ΩΩ∫p h ∇.v h dΩ =Ωq h ∇.u Lh dΩ = 0F h v dΩ(5)On montre dans [1], [4] que les problèmes (4) et (5) ont une solution unique. Le problème(5) est équivalent au système linéaire suivant :A h u h + B h p h = f h (6)B T h u h = 0 (7)L’algorithme de résolution consiste dans (6) à écrire : u h = A −1h [f h − B h p h ]et ensuite à substituer dans (7) : N h p h = Bh T A−1 hf hoù N h = Bh T A−1 hB h est une matrice symétrique définie positive. Un algorithme de Gradientconjugué Uzawa avec un préconditionneur Cahouet-Chabard [6] est utilisé pourinverser la matrice N h sans la construire explicitement.3. Analyse Algorithmique et performance parallèleUne analyse de différents cas tests a montré que la partie solveur G.C. consomme plusde 98% en temps CPU justifiant d’investir dans la parallélisation du gradient conjuguépréconditionné constitué des 3 opérations principales suivantes : 2 produits scalaires, 3combinaisons linéaires de deux vecteurs, le produit matrice-vecteur ainsi que l’étape depréconditionnement.Pour que la parallélisation soit efficace, il est recommandé de minimiser le nombre demessages interchangés entre les différents processus en dérivant un maximum de tâchesindépendantes. La dérivation de telles tâches dans les deux premières opérations est directe: Il suffit de couper les vecteurs en nombre de parties égal au nombre de processus.TAMTAM –Tunis– 2005

Simulation d’écoulements diphasiques 283Toutefois, pour les produits scalaires, une communication sera nécessaire pour que chaqueprocesseur envoie aux autres sa partie et reçoive de chacun leur partie. La dérivation destâches indépendantes dans la troisième opération (produit matrice-vecteur) est fonctiondu stockage morse utilisé. Cette opération est la plus importante en temps de calcul, elleconsomme a peu près 70% du temps CPU total. La stratégie adopté consiste à équidistribuerpar paquets de lignes de la matrice sur les processus ; chacun aura la totalité duvecteur X et un bloc A i de lignes de A h (Fig1). Chaque processeur P i se charge localementde faire le produit du bloc A i par le vecteur X. Le résultat sera un vecteur (AX) ide dimension égale au nombre de lignes de A i . On utilise une fonction de communicationsynchrone pour la mise à jour du vecteur global après chaque produit matrice-vecteur.Pour tester cette stratégie, nous avons exécuté le code parallélisé sous MPI [10] sur uneMaillage noeuds inconnuesh11089 3267h4225 126752h316641 49923h4 66049 198147Figure 1. Matrix-vector productFigure 2. Table de Maillages testsmachine MIMD (HP-V 2250) à 16 processeurs avec 8Go de mémoire partagée en architecture“Cross bar”. Les tests de performance ont été menés sur 4 discrétisations spatialesdu même domaine de calcul suivant le tableau FIG.2.On note que le passage d’un maillage h i à h i+1 nécessite 4 fois plus de données.Pour chaque maillage, une série d’exécution avec une partition sur 2,3,4,6,8,10,12 et 14processeurs a été effectuée. Les résultats seront analysés suivant deux types de courbes :- Courbes de temps CPU (Fig.3) et Elapsed (Fig.4) nous indiquant l’évolution absoluepar rapport au nombre de processeurs.- Courbes de Speed-Up CPU (Fig.5) et Elapsed (Fig.6) permettant d’évaluer l’efficacitéde l’algorithme parallélisé, l’influence de la communication entre les processeurs etl’impact de la granularité de calcul sur les performances.Au premier abord, on remarque généralement que plus le maillage est fin, plus le gainen performance est significatif et ce quelque soit le nombre de processeurs considéré.Ensuite on observe un comportement superlinéaire aussi bien en speed-Up CPU (à partirde 2 processeurs et du maillage h 2 ) qu’en speed-Up Elapsed (à partir de 2 processeurset du maillage h 3 ) : deux argumentations justifieraient ce comportement lié intimementà la granularité de calcul. En effet, pour les temps CPU la performance est quasi linéairemême pour le cas h 1 ce qui éliminent l’effet négatif de l’overhead ; par contre, pour lestemps Elapsed,est exclu la partie la plus importante de l’overhead résulte de l’échangeTAMTAM –Tunis– 2005

284 Mezali et al.Temps CPUTemps ElapsedGain (CPU 1 proc/CPU n procs)30002500200015001000500nb_var=1089nb_var=4225nb_var=16641nb_var=66049Temps Elapsed(n procs)30002500200015001000500nb_var=1089nb_var=4225nb_var=16641nb_var=6604900 2 4 6 8 10 12 14nbre_procs00 2 4 6 8 10 12 14nbre_procsFigure 3. Courbes Temps CPUFigure 4. Courbes Temps ElapsedSpeed-Up CPUSpeed-Up ElapsedSpeed-Up Tcalcul2015105nb_var=1089Droite theoriquenb_var=4225nb_var=16641nb_var=66049Speed-Up Elapsed2015105nb_var=1089Droite theoriquenb_var=4225nb_var=16641nb_var=6604900 2 4 6 8 10 12 14nbre_procs00 2 4 6 8 10 12 14nbre_procsFigure 5. Courbes Speed-Up CPUFigure 6. Courbes Speed-Up Elapsedde communications entre processeurs (exemple : send/receive). Afin de la diminuer, onprocède dès le départ à distribuer à chaque processeur le maximum de données dont ila besoin en autonome et ainsi minimiser au strict minimum ses échanges avec les autresprocesseurs. Ainsi dans notre cas, chaque processeur i reçoit sa partie A i une fois pourtoute tandis que le vecteur X sera assujeti à des remises à jour à chaque itération. Onnote toutefois que pour un même problème et avec un nombre de processeurs croissant,le temps de l’allocation des registres qui se fait en parallèle sur les processeurs est moinsimportant et de plus que les registres alloués au vecteur X et à la partie A i de la matriceresteront inchangés : ceci accentue la superlinéarité en CPU et la justifie en Elapsed àpartir d’un certain seuil de granularité où ce gain compense l’overhead de communicationet qui explique inversement la performance moyenne avec le cas h 1 et h 2 ayant une faiblegranularité. Ainsi, la contrainte d’overhead en communication entre un nombre importantde processeurs disparaît avec les gros cas, ce qui explique un gain en temps considérable.TAMTAM –Tunis– 2005

Simulation d’écoulements diphasiques 285Ajoutons à ceci que l’influence du facteur pagination sur la superlinéarité des speedupobtenus est exclue dans notre analyse puisque tous les cas traités ne nécessitaient pas demémoire swap.4. ConclusionLes performances obtenues aussi bien en CPU qu’en Elapsed indiquent que la stratégieadoptée est bonne et que la tendance vers un comportement superlinéaire, au delàdes effets de cache et des registres, est confirmée pour les gros problèmes. Ces résultatsencouragants nous incitent à continuer dans cette voie afin d’attaquer des problèmes degrande taille traitant des simulations réelles de lac eutrophe et atteignant quelques millionde noeuds.5. Bibliographie[1] M. Abdelwahed, Modélisation et simulation numérique d’écoulements diphasiques, Thèse del’Université de Pau et de l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, Octobre 2002.[2] Abdelwahed M., Dabaghi F. and Ouazar D. (2004) An alternative two phase flow correction foraeration process in lakes, To appear in International Journal of Computational Fluid Dynamics.[3] M. Abdelwahed, F. Dabaghi, D. Ouazar. A virtual numerical simulation for aeration effects inlake eutrophication. Int. J. on comp. fluid dynamics, Vol. 16(2), 119-128, 2002.[4] F. Dabaghi. Numerical Aspects of Aeration Process Modelling in Eutrophised Water Basins.Journal of Systems Analysis Modelling Simulation, SAMS, Vol.39, p. 1-23, 2000.[5] Arnold D., Brezzi F. and Fortin M. (1984) A stable finite element for the Stokes equations ,Calcoclo 21(4), 337-344.[6] Cahouet, J. and Chabard, J.P. (1988) Some fast 3-d finite element solvers for generalized Stokesproblem, Int. J. Num. Methods in Fluids, 8, 869-895.[7] Douglas J. and Russel T.F. (1982)Numerical methods for convection dominated diffusion problemsbased on combining the method of characteristics with finite element methods or finitedifference method, SIAM, J. Numer. Anal. 19, 871-885. Berlin.[8] Lind O.T. (1993) Reservoir eutrophication, Selected proccedings of the 2 nd InternationalConference on Reservoir Limnology and water quality, Ceské Budejovice, Czeck Republic.[9] Pironneau O. (1982)On the transport diffusion algorithm and its applications to the Navier-Stokes equations, Numer Math. 38, 309-332.[10] W. Gropp, E. Lusk, and A. Skjellum (1999) Using MPI : Portable Parallel Programming withthe Message-Passing Interface, MIT Press.TAMTAM –Tunis– 2005

R. Touihri & S. Ghnimi *Méthode de continuation pour des instabilitéshydrodynamiques 3D en géométrie cylindrique* LAMSIN ENIT BP. 37, 1002 Tunis.RÉSUMÉ. Nous considérons l’écoulement d’un fluide dans une une cavité cylindrique chauffée par lebas. Il s’agit des instabilités de Rayleigh Bénard où la convection apparaît après une certaine valeurcritique de la différence de température entre le haut et le bas de la cavité. L’obejectif de ce travailest d’étudier le comportement de la convection audelà de son apparition. Pour cela nous utilisonsune méthode de continuation qui nous permet de construire des diagrammes de bifurcation. Cetteméthode est combinée avec la méthode de Newton. A chaque itération de Newton, nous inversonsun systéme linéaire. Pour cela nous utilisons et comparons deux méthodes itératives : BICGSTAB etGMRES. Pour calculer la stabilité des branches de solutions, nous utilisons la méthode d’Arnoldi etune analyse de symétrie nous permet de conclure sur le type de bifucation et le nombre de solutionsobtenues.ABSTRACT. Three dimensional steady flows are simulated in a circular cylindrical cavity. The cavityis heated from below and its sidewalls are considered to be adiabatic. The nonlinear evolution of theconvection beyond its onset is presented through bifurcation diagrams. The bifurcation diagrams arecalculated by using the continuation method combined with the Newton method. To solve the linearsystem obtained at each Newton iteration, we use and compare two iterative methods: BICGSTABand GMRES. To check the stability of the solutions, we use the Arnoldi method. The symmetriesof the obtained solutions are discussed to conclude on the nature of bifurcation and the number ofsolutions appearing at the considered bifurcation.MOTS-CLÉS : convection, bifurcation, élèments spectraux, continuation, Méthode de Newton, GMRES,BICGSTAB, modes, symétries.KEYWORDS : convection, bifurcation, spectral elements, continutaion, Newton method, GMRES,BICGSTAB, modes, symmetries.TAMTAM –Tunis– 2005 286

Instabilités hydrodynamiques 2871. IntroductionL’étude de la stabilité des écoulements constitue un large domaine de recherche enMécanique des Fluides. Les processus et les mécanismes conduisant à l’apparition desinstabilités dans les écoulements des fluides, sont encore à l’heure actuelle loin d’êtrecompris et restent un enjeu de grande importance dans la recherche fondamentale et appliquée.Le présent travail traite des instabilités des écoulements à l’intérieur d’une cavité cylindriquechauffée par le bas. Le fluide se met en mouvement dès que la différence detempérature entre le bas et le haut atteind un certain seuil critique : Il s’agit de l’instabilitéde Rayleigh-Bénard.Parmi les travaux relatifs à cette configuration, nous citons l’étude de Charlson & Sani(1971) qui furent les premiers à étudier les seuils primaires de convection.Ces résultats furent complétés par l’étude de la convection au delà de son apparitionpar Neumann (1990), Wanschaura & al. (1996) et Touihri & al. (1999). Ces dernierstravaux ont pu mettre en évidence l’effet du nombre de Prandtl et du rapport de forme dela cavité sur le comportement nonlinéaire de la convection audelà de son apparition.Le schéma temporelle utilisé pour la simulation numérique directe des équations deconservation adimensionnées et le découplage entre la vitesse et la pression sont assuréspar une metode de ’time splitting’ (Karniadakis et al., 1991).La discrétistaion spatiale est assurée par la méthode des éléments spectraux isoparamétriques(Korzack & Patera, 1986).Pour le suivi des solutions et le calcul des diagrammes de bifucrcation, nous utilisonsune méthode de continuation basée sur la méthode de Newton.La résolution du système non linéaire par la méthode de Newton, conduit à chaqueitération à une inversion d’un système linéaire. Pour la résolution de ce système, nousutilisons deux méthodes itératives : méthode du Résidu Minimum Généralisé ’GMRES’et la méthode de Bi-Gradient Conjugué Stabilisé ’BICGSTAB’.Afin d’analyser les bifurcations obtenues nous procédons à une analyse fine des symétriesdes solutions qui paraissent en ces points de bifurcation (Crawford & Knobloch,1991).2. Modèle physique et formulation mathématiqueOn considère un fluide confiné dans une cavité cylindrique de rapport de forme A(A=H/D ; H étant la hauteur du cylindre et D son diamétre).La paroi inférieure est chauffée à une température constante T c , la paroi supérieureest maintenue à une température T f ( T f ≤ T c ) et les parois latérales sont supposéesadiabatiques. Le fluide est supposé newtonien et incompressible.L’état du fluide est décrit par le champ de vitesse ⃗v, la pression p et la température T .TAMTAM –Tunis– 2005

288 Touihri et al.Les équations gouvernantes du mouvement du fluide sont les équations de Navier-Stockes, qui expriment la conservation de la masse et de quantité de mouvement, combinéesavec l’équation de conservation de l’énergie, et s’écrivent sous leur forme adimentionelle:⎧∇.⃗v = 0dans Ω⎪⎨⎪⎩∂⃗v∂t + Gr(⃗v.∇)⃗v = −⃗ ∇p + ∇ 2 ⃗v + T⃗e z∂T∂t + Gr(⃗v.∇)T = 1P r ∇2 Tdans Ωdans Ωoù les nombres sans dimensions P r, Ra et Gr sont appelés respectivement nombre dePrandtl, nombre de Rayleigh et nombre de Grashof et sont définis par :P r = ν αg∆T H3, Ra =κ νκet Gr = RaP r .Les constantes ν, κ, g et ∆T = T c − T f sont respectivement la viscosité cinématique,le coefficient de diffusivité thermique, l’accélération de la pesanteur et l’écart de températureentre les parois chaude et froide.Les parois sont rigides, donc la vitesse est nulle sur tous les bords.La surface inférieure (resp. supérieure) est maintenue à une température constanteT c (resp. T f ), les parois latérales sont adiabatiques, donc le flux de chaleur à travers lasurface latérale est nul.Les conditions aux limites s’écrivent alors :⎧⎪⎨⎪⎩z = 0 u = v = w = 0, T = T cz = H u = v = w = 0, T = T fr = R u = v = w = 0,∂T∂n = 0.(1)3. Méthodes numériquesLe shcéma temporelle utilisé pour la simulation numérique directe des équations deconservation adimensionnées est assuré par une metode de ’time splitting’ (Karniadakiset al., 1991).La discrétisation spatiale est assurée par la méthode des éléments spectraux isoparamétriques(Korzack & Patera, 1986). Dans tout ce qui suit, on note :⃗U(⃗v, T ) = ⃗ U(u, v, w, T ), N ( ⃗ U) = (− ⃗ ∇p − (⃗v.∇)⃗v, −(⃗v.∇)T )etL( ⃗ U) = (∇ 2 ⃗v + T ⃗e z ,1P r ∇2 T ).TAMTAM –Tunis– 2005

Instabilités hydrodynamiques 289Ainsi, les équations de conservation (1) s’écrivent :Les états stationnaires du système (2) vérifient :∂ ⃗ U∂t = (GrN + L) ⃗ U. (2)(GrN + L) ⃗ U = ⃗0. (3)En appliquant la méthode de Newton au système (3) on obtient :(GrDN ⃗Uk + L) δ ⃗ U k = −(GrN + L) ⃗ U k . (4)Pour préconditionner ce système, en pratique on rèsoud le système linéaire suivant :(I − DtL) −1 (GrDN ⃗Uk + L)δ ⃗ U k = −(I − DtL) −1 (GrN + L) ⃗ U k , (5)et le système (5) peut se mettre sous la forme générale :avecC −1 Ax = C −1 b (6)C −1 = (I − DtL) −1 , A = (GrDN ⃗Uk + L)b = −(GrN + L) U ⃗ k et x = δU ⃗ k .Il est clair que dans la matrice C si le Dt est petit, le système est mal préconditionné(C = I). En pratique on prend Dt = 10 5 (Manum & Tuckerman, 1995).4. RésultatsDans le tableau (1) nous pouvons remarquer que pour la valeur de tolérance, T ol =10 −6 , le temps de calcul mis par BICGSTAB coûte dix fois plus cher que celui deGMRES.Il est à noter aussi que plus on est exigent sur la l’inversion du système linéaire (Dtpetit) et plus temps le calcul est plus cher, bien que pour les différentes valeurs de tolérancechoisies, la valeur maximale de la verticale de la vitesse W max est la même pourles deux méthodes.Sur la figure (4), on présente l’évolution du résidu en fontion du nombre d’itération surune echelle semilog. D’après cette figure on peut constater un comportement plus régulierpour la méthode GMRES et que le BICGSTAB n’as pas convergé, pour Dt = 10 −6 après200 itérations.TAMTAM –Tunis– 2005

290 Touihri et al.Tol N It (Newt) temps(s) W maxbicgstab gmres bicgstab gmres bicgstab gmres10 −6 3 3 122.97 12.14 14.57 14.5710 −4 3 3 12.93 8.05 14.57 14.5710 −2 4 4 10.63 7.62 14.57 14.57Tableau 1. Comparaison des résultats des méthodes BICGSTAB et GMRES(A =0.5, Gr=41000 et Pr=1), ε Newt = 10 −6 .(a)(b)Figure 1. Evolution du résidu en fonction du nombre d’itérations, pour la dernière itérationde Newton : (a) Tol = 10 −2 et (b) Tol = 10 −6 (A = 0.5, Gr = 41000 et P r = 1) ε Newt =10 −6 .La figure (2) présente le diagramme de bifurcation des états stationnaires, stables etinstables, obtenu en traçant la valeur de la composante verticale de la vitesse w en un pointen fonction du nombre de Grashof comme paramètre de continuation. A la valeur critiqueGr = 36162 se déclenche une branche de solution stable, et la convection apparaît avecun mode axisymétrique m = 0. Ceci correspond à une bifurcation primaire.TAMTAM –Tunis– 2005

Instabilités hydrodynamiques 291Pour Gr = 46003, la branche m = 0 perd sa stabilité, et on obtient une bifurcationsecondaire qui donne naissance à une nouvelle branche non axisymétrique stable avec unmode m = 02. La structure d’écoulement de cette nouvelle branche peut être identifiée àune superposition de deux modes : le mode m = 0, qui est le mode de base, et le modem = 2, qui correspond au mode du vecteur propre instable.Les deux bifurctations obtenues sont du type fourche du fait qu’elles s’accompagnent pardes brisures de symétrie. Avant l’apparition de la convection, le système est invariant partoute rotation R ∆ par rapport à l’axe du cylindre, par toute réflexion S P ∆ par rapport àtout plan vertical qui contient cet axe et par la réflexion S H par rapport au plan horizontalcentral P H . A la bifurcation primaire, uniquement la symétrie par rapport à P H est brisée,alors on obtient deux solutions image l’une de l’autre par la symétrie brisée. Pour labifurcation secondaire, le nombre de symérties brisées est infini, ainsi on obtient uneinfinité de solutions image l’une de l’autre par l’une des symétries brisées (Crawford &Knobloch, 1991).Figure 2. Diagramme de bifurcation donnant l’évolution de la valeur de la composanteverticale de la vitesse en un point de la cavité en fonction du nombre de Grashof (A = 0.5et P r = 1).TAMTAM –Tunis– 2005

292 Touihri et al.5. Bibliographie[1] G. S. CHARLSON AND R. L. SANI, « Thermoconductive instabiliy in a bounded cylindricalfluid layer », Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 14, pp. 2157-2160, 1971[2] G. NEUMANN, « Three dimensional numerical simulation of buoancy driven convection invertical cylinders heated from below », J. Fluid Mech., vol. 214, pp.559-578, 1990[3] M. WANSHURA, V. M. SHEVTSOVA,H. C. KUHLMANN & H. J. RATH, « ’Three-dimensionalinstability of axisymmetric buoyant convection in cylinders heated from below’ », J. FluidMech., vol. 326, pp.399-415, 1990[4] R. TOUIHRI, H. BENHADID & D. HENRY, « On the onset of convective instabilities in cylindricalcavity heated from below. Part one : Pure thermal case. », Phys. Fluids, vol. 11, pp.2078-2088, july 1999[7] G. E. KARNIADAKIS, M. ISRAELI & S. A. ORSZAG, « High order splitting method for theincompressible Naviers-Stockes equations », J. Comp. Physics, vol. 97, pp. 414-443, 1991[6] K. Z. KORZACK & A. T. PATERA, « An isoparametric spectral element method for solutionof the Navier-Stockes in complex geometry », J. Comp. Physics, vol. 62, pp. 361,382, 1986[7] C. K. MANUM & L. S. TUCKERMAN, « Asymmetry and Hopf bifurcation in spherical couetteflow », Phys. Fluids, vol. 124, pp. 80-91, 1995[8] J. D. CRAWFORD & E. KNOBLOCH, « Symmetry and Symmetry breaking bifurcation in fluiddynamics », J. Fluid Mech., vol. 23, pp. 341-387, 1991TAMTAM –Tunis– 2005

VIIMéthodes NumériquesNumerical Methods293

Décomposition de domaine pour un milieuporeux fracturéL. Amir 1 , M. Kern 2 , V. Martin 3 , J. E Roberts 41 INRIA-Rocquencourt, B.P. 105, F-78153 Le Chesnay CedexEmail: laila.amir@inria.fr2 INRIA-Rocquencourt, B.P. 105, F-78153 Le Chesnay CedexEmail: Michel.Kern@inria.fr3 Politecnico di Milano, Via Bonardi, 9, 20133 MILANO, ITALIAEmail: vincent.martin@mate.polimi.it4 INRIA-Rocquencourt, B.P. 105, F-78153 Le Chesnay CedexEmail: jean.roberts@inria.frRÉSUMÉ. Dans cet article, nous nous intéressons à la modélisation d’écoulement d’un fluide monophasiquedans un milieu poreux faillé en utilisant les méhodes de décomposition de domaine. On doitrésoudre un problème d’interface non standard qui prend en compte l’écoulement dans les fractures.Dans l’approche proposée, la fracture est considérée comme une interface active, les conditions detransmission et les échanges entre la roche et la fracture font intervenir les propriétés de l’écoulementdans la fracture.ABSTRACT. In this paper, we are interested in modeling the flow of a single phase fluid in a porousmedium with fractures, using domain decomposition methods. In the proposed approach, the fractureis regarded as an active interface, the transmission conditions and the exchanges between the rockand the fracture taking into account the flow in the fracture. We then have to solve a non standardinterface problem which takes into account the flow in the fractures.MOTS-CLÉS : fractures, milieu poreux, décomposition de domaine, écoulement, interface, conditionsde transmissionKEYWORDS : fractures, porous medium, domain decomposition, flux, interface, transmission conditions295 TAMTAM –Tunis– 2005

296 Amir et al.1. IntroductionLes milieux poreux sont généralement hétérogènes, en partie à cause de la présencede fractures qui peuvent jouer un rôle hydraulique en contribuant de manière considérableà la capacité des sols à transporter l’eau et les polluants ; ceci explique qu’il est importantde modéliser les fractures et les prendre en compte lors d’une simulation d’écoulementdans un milieux poreux fracturé.On peut distinguer entre deux types de fractures : les grandes fractures qui représententdes discontinuités géologiques, et qui sont en générale beaucoup plus perméables quele milieu ambiant, devenant des canaux privilégiés pour l’écoulement, ou au contraire(moins perméables) représentent des barrières géologiques. Le deuxième type de fractureest celui de petites fractures qui apparaissent en grand nombre dans le milieu formant unréseau des fissures, dont les localisations précises sont difficiles à déterminer [3], [4].Divers travaux et modèles traitent le problème des fractures suivant ses différentestypes. Une approche s’appuie sur le raffinement local du maillage au niveau de la fracture[2]. Un autre modèle, présenté dans [1], et dont cet article s’inspire, consiste à assimilerune fracture de grande perméabilité à une interface, et à traiter le problème résultant parune méthode de décomposition de domaine. Dans ce modèle, l’originalité repose sur letraitement de l’interface à travers laquelle la pression est continue mais le flux est discontinu.Ce modèle est généralisé au cas de fractures moins perméable dans [5], couplant surl’interface sauts de pression et sauts de vitesse normale. Ces deux derniers modèles sontétudiés théoriquement et numériquement en 2D avec des fractures régulières et perpendiculaireà la direction d’écoulement. Dans notre travail, nous allons généraliser ces étudesau cas 3D, avec des fractures plus perméables, qui peuvent s’intersecter et qui formentune angle quelconque avec la perpendiculaire à la direction d’écoulement.2. Équations d’écoulementDans un milieu poreux Ω, on considère un fluide monophasique incompressible dontl’écoulement est indépendant du temps, régi par deux lois :– la loi de conservation de masse ;avec −→ u la vitesse de Darcy et f le terme source,– et la loi de Darcy ;où P est la pression, et K est le tenseur de perméabilité.On ajoute des conditions aux limites qui peuvent être :div( −→ u ) = f dans Ω, (1)−→ u = −K−→ ∇P dans Ω, (2)P = P d dans ∂Ω D (3)TAMTAM –Tunis– 2005

DDM pour les fractures 297et−→ u · −→ ν = 0 sur ∂ΩN , (4)où ∂Ω D et ∂Ω N forment une partition de ∂Ω, et −→ ν est la normale unitaire sortante à Ω.3. Problème modèle avec les fracturesOn prend comme problème modèle un domaine géologique Ω de dimension 3, subdivisésen quatre sous–domaines Ω i , i= 1,..,4, naturellement séparés par des fractures. Lafigure (1) présente le type de configurations auquel on s’intéresse.Figure 1. Géométrie du domaine de calculLes fractures (γ 12 , γ 23 , γ 24 , γ 34 ) sont aussi des milieux poreux, plus perméables,mais leur dimension transverse est supposée plus petite que les deux autres, et elles sontassimilées à des interfaces (sans épaisseur, bien que l’épaisseur intervienne dans la loi deDarcy sur la fissure) : Ω = ⋃ 4i=1 Ω i, ∂Ω i ∩ ∂Ω j = γ ij pour tout i, j ∈ I = 1, 2, 3, 4,Γ Di = ∂Ω D ∩ ∂Ω i et Γ Ni = ∂Ω N ∩ ∂Ω i pour tout i ∈ I = 1, 2, 3, 4.Sur chaque sous domaine Ω i , on retrouve les équations d’écoulement usuelles (5),(6) :div i (⃗u i ) = f i dans Ω i (5)⃗u i = −K i⃗ ∇Pi dans Ω i (6)P i = P di dans Γ Di (7)⃗u i · ⃗ν i = 0 dans Γ Ni (8)P i = P γij dans γ ij . (9)TAMTAM –Tunis– 2005

298 Amir et al.L’équation (9) représente la continuité de la pression à travers la fracture γ ij et sur chaqueinterface γ ij , des lois analogues sont valides (10), (11) :div γij (⃗u γij ) = f γij + ( ⃗u i · ⃗ν i + ⃗u j · ⃗ν j ) dans γ ij (10)⃗u γij = −d ij K γij⃗ ∇γij P γij dans γ ij (11)P γij = P dijγ ijdans ∂γ ij ∩ ∂Ω D (12)u⃗γij · ⃗ν γij = 0 dans ∂γ ij ∩ ∂Ω N , (13)où d ij est l’épaisseur de la fracture γ ij , et où le terme source ( ⃗u i ·⃗ν i + ⃗u j ·⃗ν j ) représente lacontribution du flux des sous–domaines au flux de la fracture. Les deux opérateurs div γijet ∇ γij sont, respectivement, la divergence et le gradient surfaciques.Nous avons besoin d’une condition particulière au niveau de l’intersection des desinterfaces T = γ 23 ∩ γ 24 ∩ γ 34 . Nous imposerons la continuité de la pression et du flux :P γ23 = P γ24 = P γ34 = P T sur T (14)⃗u γ23 · ⃗ν γ23 + ⃗u γ24 · ⃗ν γ24 + ⃗u γ34 · ⃗ν γ34 = 0 sur T (15)4. Décomposition de domaine pour le traitement des fracturesDans la mesure où nous avons choisi de représenter les fractures par des interfacesentre les différentes parties du milieu poreux, il est naturel de résoudre le problème poséau paragraphe précédent par une méthode de décomposition de domaine. Pour cela, nouséliminons les inconnues ⃗u i , et P i à l’intérieur de chaque sous–domaine, pour nous ramenerà un problème posé sur l’ensemble des interfaces. Numériquement, nous utilisons uneméthode d’éléments finis mixtes–hybrides, qui ont fait leurs preuves pour approcher leséquations d’écoulement en milieu poreux.Plus précisément, nous introduisons dans chaque sous domaine Ω i , l’opérateur de Steklov-Poincaré S i tel queS i (λ) = (⃗u i · ⃗ν i )(λ, 0, 0)ainsi queχ i (f i ) = (⃗u i · ⃗ν i )(0, f i , P di ),où (⃗u i · ⃗ν i )(µ, g, φ) est ⃗u i · ⃗ν i pour (⃗u i , P i ) la solution du problème (5)– (9) sur le sousdomaine Ω i avec P γij = µ, f i = g et P di = φ.Les conditions sur les fractures (10)– (13) conduisent alors au système sur l’interface :4∑−→S i (λ) − div(−d K γ ∇λ) = −fγ −i=14∑χ i (f i ) (16)i=1TAMTAM –Tunis– 2005

DDM pour les fractures 299dont l’inconnue est λ la pression sur l’interface globale.Ce problème possède un terme supplémentaire (le terme div(−d K γ⃗ ∇λ)) par rapport àcelui que l’on obtient en résolvant un problème global par décomposition de domaines enl’absence de fracture. Ce terme représente l’écoulement dans la fracture.Ce système est symétrique, nous proposons une méthode itérative du gradient conjuguégénéralisé pour sa résolution. Chaque itération demande la résolution d’un problème deDirichlet dans chaque sous–domaine, ainsi que l’évaluation de l’écoulement dans la fracture.Pour accélérer la convergence de la méthode itérative, il est essentiel d’introduire unpréconditionneur. Dans le cas des méthodes de décomposition de domaine, le préconditionneurde Neumann–Neumann a prouvé son efficacité [6]. Il revient à inverser chacundes opérateurs S i localement, et demande la résolution d’un problème de Neumann surchaque sous–domaine. Par contre, en comparant les ordres différentiels des différentsopérateurs de (16), il est naturel de prendre comme préconditionneur l’inverse de l’opérateurd’écoulement sur la fracture, qui est d’ordre 2, alors que les opérateurs de Steklov–Poincaré sont seulement d’ordre 1. En fonction de la grandeur de la conductivité K γ , l’unou l’autre de ces préconditionneurs, ou une combinaison pourrait se révéler efficace.TAMTAM –Tunis– 2005

300 Amir et al.Nous présentons sur la figure 2, un exemple de résultat obtenu sans prendre en comptel’écoulement dans les fractures, en imposant un gradient de pression verticale et sur lafigure 3, un exemple de résultat qui prend en compte l’écoulement dans la fracture γ 12plus permeable en imposant un gradient de pression horizontale.Nous présenterons des résultats sur le modèle complet lors de la conférence.5. Bibliographie[1] C. Alboin, J. Jaffré et J. E. Roberts. – Domain decomposition for flow in fractured porousmedia. - In : Domain Decomposition Methods in Sciences and Engineering, Domain DecompositionPress, pp. 365-373, - Bergen, 1999.[2] C. Bernardi, Y. Maladay et A.T. Patera Domain Decomposition by mortar element method– Technical report, Publications du laboratoire d’analyse numérique de l’université de Pierre etMarie Curie, R92013, juin 1992.[3] J. Douglas, Jr. et T. Arbogast Dual porosity models for flow in naturally fractured reservoirs,In :in Dynamics of Fluids in Hierarchial Porous Formations, J. H. Cushman (ed.), AcademicPress, 1990, pp. 177-221.[4] J. Douglas, T. Arbogast et U. Hornung Derivation of the double porosity model of singlephase flow via homogenization theory, In :SIAM J. Math. Anal., (1990) 21 823-836.[5] V. Martin, J. Jaffré, J. E. Roberts – Modeling fractures and barriers as interfaces for flowin porous media. Accepted for publication In : SIAM Journal on Scientific Computing (SISC),INRIA Research Report, No 4848, Juin 2003.[6] A. Toselli, O. Windlund Domain Decomposition Methods – Algorithms and Theory, vol. 34,Springer Series in Computational Mathematics, Springer, 2004.[7] C. Alboin and J. Jaffré and J. E. Roberts and C.Serres, – Modeling Fractures as Interfacesfor Flow and Transport in Porous Media, - In :Contemporary Mathematics, Volume 295, pp.13-24, 2002TAMTAM –Tunis– 2005

Arlequin method: Practical impacts of themathematical analysisH. Ben Dhia* Laboratoire MSS-Mat, Unité Mixte de Recherche 8579 CNRSÉcole Centrale Paris92295 Châtenay-Malabry CedexFrancehachmi.ben-dhia@ecp.frRÉSUMÉ. Par superposition de modèles, le cadre Arlequin étend la mono-modélisation classique,et ce de manière consistante et flexible, à la fois. En mécanique, ce cadre consiste en fait en unefamille de formulations, obtenues par combinaisons de briques élémentaires. Tout choix formellementcohérent de ces briques donne lieu à une méthode Arlequin. L’objet de ce papier est de montrer quel’analyse mathématique aide à la discrimination de ces différents choix. L’efficacité et l’utilité pratiquesde cette démarche sont éclairées par des applications numériques.ABSTRACT. By superposing models, the Arlequin method offers an extended modelling frameworkfor a flexible design of mechanical problems. In mechanics, this approach leads actually to a family offormulations of mechanical problems, each of them being derived formally by combining basic bricks.This work aims at showing how the mathematical analysis of the Arlequin problems could help todiscriminate between the different formulations. The effectiveness of this methodology is exemplifiedby simple but relevant numerical tests.MOTS-CLÉS : multi-modèle, multi-échelle; partition de modèles; approche mixte; méthode ArlequinKEYWORDS : multimodel; multiscale; partition of models; mixed approach; Arlequin method301 TAMTAM –Tunis– 2005

302 Ben Dhia1. IntroductionZooming numerically with great flexibility a globally defined numerical model whilesaving human and machine resources is essential in the designing and analyzing of complexproblems such as the engineering ones. Nnumerical methods have been developedduring the last decade to address this issue (see [1], for references on this subject).The Arlequin method [2, 3] is one of these approaches which proved to be practicallyrelevant [4, 5, 6, 1]. It creates a multimodel framework in which the models are not addedbut crossed and glued partially to each others. More precisely, it consists in1) a superposition of mechanical states in a subzone, denoted S of the whole domainΩ occupied by the studied mechanical system ;2) an energy distribution between the mechanical states in S, by using weight functionsbuilding this way a partition of models ;3) a gluing of these states in a subzone of S called the gluing zone.Since based on superposition of models, the Arlequin method may recall the overset gridmethods (also known as Chimera methods) introduced by the computational fluid community(eg. [7]). These methods are closely related to the overlapping Schwarz methodsstemming from the classical alternating Schwarz algorithm. However, the overlappingSchwarz method may not seem to be in essence the most appropriate tool to address themultimodel or multiscale issues.In the Arlequin framework, the crossing and gluing processes [3] leads to some relevantmultiscale models. The gluing needs however to be addressed with sufficient care. Manycoupling operators have been suggested in the first papers by Ben Dhia [2, 3]. Some ofthese operators have been theoretically proved in [8, 5] to be particularly well-suited, inthe continuous and discrete ranges. This mathematical aspect of the approach is hereindeveloped further.By construction, the Arlequin framework allows the “cohabitation” of incompatible models,sharing energies of the system in the superposition zones. These energ distributionsrequire the definition of a kind of “partitions of the unity” that need also a special careand constitute a second issue which is here addressed from a mathematical point of view.In the next section, we recall the continuous and the discrete mixed Arlequin equationsfor a model elasticity problem by using either a penalty coupling operator or lagrangianones. These problems are then analyzed mathematically and under some hypotheses andchoices of the Arlequin bricks, existence and uniqueness results are given. Section 4 isdevoted to the mathematical analysis of the behaviour of the Arlequin solutions whendifferent models are superposed and when, by the sharing of energy mechanism, one ofthe model is much more stressed than the other. The effectiveness of the choices of someTAMTAM –Tunis– 2005

Arlequin method 303of the Arlequin components suggested by the mathematical analysis will be exemplifiedby numerical applications, one of them being given in this paper.2. Arlequin formulationsWe consider a static linearized elasticity problem defined in a polyhedral domain Ω.We let Γ, f, ε(v) and σ(v) respectively denote the clamped part of the boundary ∂Ω, theapplied density of body forces, the linearized strain and stress tensors associated to thedisplacement field v. Without restriction, the complementary part of Γ in ∂Ω is assumedto be free. We also assume that the constitutive material follows a Hooke’s law, whichreads using usual convention of summation over repeated indices :σ ij (v) = R ijkl ε kl (v) (1)The elasticity moduli R ijkl are supposed to satisfy the classical symmetry, coercitivityand regularity hypotheses.The classical “monomodel” displacement problem of the considered mechanical systemreads :Inf v∈W E(v) (2)where, using classical notations,W = {v ∈ H 1 (Ω) ; v = 0 on Γ} (3)E(v) = 1 ∫∫σ(v) : ε(v) dΩ − f.v dΩ (4)2ΩTo rewrite (1) - (4) according to the Arlequin vision, we consider that Ω is partitionedinto two overlapping polyhedral domains Ω 1 and Ω 2 . The clamped part Γ is assumed tobe, say, in ∂Ω 1 . We let S g denote the gluing zone supposed to be a non zero measuredpolyhedral subset of S = Ω 1 ∩ Ω 2 . It is assumed that the boundary of the superpositionzone is contained in the boundary of the gluing zone. Now, some continuous Arlequinformulations are given.2.1. Mixed Arlequin formulationsIn the mixed Arlequin approach, the gluing density of forces is a Lagrange multiplier fieldbelonging to the dual of the space of the admissible displacement fields restricted to S g .This leads to a coupling operator based on a duality bracket between H 1 (S g ) and its dualspace. Our first mixed continuous Arlequin problem is then the following : [3].whereInf (v1,v 2)∈W 1×W 2Sup λ∈W′gΩ{E 1 (v 1 ) + E 2 (v 2 ) + C d (λ, v 1 − v 2 )W 1 = {v 1 ∈ H 1 (Ω 1 ) ; v 1 = 0 on Γ} (6)}(5)TAMTAM –Tunis– 2005

304 Ben DhiaW 2 = H 1 (Ω 2 ) (7)W g = H 1 (S g ) (8)E i (v i ) = 1 ∫∫α i σ(v i ) :ε(v i ) dΩ − β i f.v i dΩ (9)2 Ω i Ω iC d (λ, v) = 〈 λ;v 〉 (10)and where α i and β i denote two weight parameter functions that are assumed to be positivepiecewise continuous functions in Ω i , satisfying the following equalities :α 1 + α 2 = β 1 + β 2 = 1 in S (11)α i = β i = 1 in Ω i \ S (12)Remark 1. In the superposition zone, distinct mechanical states concurrently exist. Thestress tensor field actually satisfying the mechanical equilibrium is defined as the weightingof the stress tensor fields associated to both models through the α functions pair :⎧⎪⎨ σ(u 1 )in Ω 1 \ Sσ arl = σ(u 2 )in Ω 2 \ S(13)⎪⎩α 1 σ(u 1 ) + α 2 σ(u 2 ) in SThe field defined by (13) is labelled as Arlequin stress tensor field [2].The use of the duality bracket in the discrete level is not so clear. One can replace it,as for surface coupling, by an L 2 (S g ) scalar product (for which a continuous Arlequinproblem would be with no sense !). Another strategy consists in observing that, by usingthe Riesz representation theorem, a natural scalar product of H 1 (S g ) can be substitutedto the duality bracket (eg. [9]). By the way, we notice that this last aspect stands foran advantage of the volume coupling operator (intimately related to the structure of theArlequin method) when compared to the more usual surface coupling used for instance inhybrid formulations [10].Baring these elements in mind, our second mixed Arlequin problem can be written asfollowing :}Inf (v1,v 2)∈W 1×W 2Sup λ∈W g{E 1 (v 1 ) + E 2 (v 2 ) + C(λ, v 1 − v 2 ) (14)where∫{C(λ, v) = λ.v + l 2 ε(λ) : ε(v) } dΩ (15)S gand where l denotes a strictly positive parameter homogeneous to a length.Remark 2. The coupling operator C(., .), defined by (15), can be replaced by anay otherscalar product equivalent to the H 1 (S g ) natural one.TAMTAM –Tunis– 2005

Arlequin method 3052.2. Penalized Arlequin formulationOne can also use elastic springs (or more fuzzy ones) to activate gluing (or filial !)forces in the gluing zone. This basically leads to the following penalized-like Arlequinformulation of the elasticity problem :}Inf (v1,v 2)∈W 1×W 2{E 1 (v 1 ) + E 2 (v 2 ) + C p (v 1 − v 2 )(16)where∫1C p (v) = p v.vdΩ (17)S g2and p is a strictly positive penalty parameter (that may be a function).2.3. Discretized Arlequin formulationsThough other discretization methods may be used, the discrete formulations are derivedhere from the continuous ones by means of the classical Finite Element Method.This important aspect is not developed here and the reader is referred to e.g. [2, 3, 5, 1],for discretized mixed and penalized Arlequin problems. Our basic quesions are actuallyabout the stability of these problems. The main results are given in the following section.3. Some mathematical resultsFor the results given in this section, it will be further assumed that :∀i ∈ {1, 2}, ∃ α 0 > 0 ; α i ≥ α 0 , in S (18)Notice that the condition (18) on the weight parameter functions α i presents no praticaldifficulty.For the existence results concerning the discrete mixed problems, it will also be assumedthat the space of rigid body motions over the gluing zone is contained in the spacesapproximating the Lagrange multipliers.3.1. Analysis of variuous gluing operatorsWe show here how the mathematical analysis can help us to choose the more suitableArlequin formulation for a given problem in practice. Let us begin with an existence anduniqueness result for the penalty based Arlequin problems.Theorem 1- Under the hypotheses (11), (18) and other classical ones, the Arlequin penalizedcontinuous problem, defined by (16), (17) and (6)-(9) and the associated discreteproblems admit each a unique solution, for each strictly positive parameter p.However, when the super-imposed models are different then the penaly discrete solutionsmay show very localized and unrealistic stresses behaviour in the gluing zones, unlessTAMTAM –Tunis– 2005

306 Ben Dhiaan appropriate projection operator is used to modify the gluing operator [2, 3], whichcomplicates significantly the otherwise simple to implement penalty gluing operator.Concerning the Lagrange multiplier based gluing operators, we have the followingresults, based on the classical Brezzi’s theory [11] of mixed problems.Theorem 2- Under the hypotheses of theorem 1, the first and second mixed continuousArlequin problems, defined by (5)-(10) and (6)-(9), (14), (15), respectively, admit each aunique solution.Moreover, we have :Theorem 3- One can identify the volume gluing multiplier defined in the first mixed Arlequinproblem with the classical surface coupling multiplier (up to a scaling factor dependingon the thickness of the gluing zone).The result given by theorem 3 suggests that the Lagrange multiplier defined in the firstmixed Arlequin problem could be quite irregular (this will be exemplified numerically).This is one of the reasons for which the gluing operator we favour is the one leading tothe second mixed Arlequin problem. As a matter of fact, let us mention that by adding thefollowing hypothesis :W hg ⊂ W h1|Sg or W hg ⊂ W h2|Sg (19)we can establish the following result [8] for the discrete mixed Arlequin problems derivedin a straightforward manner from the problem (14) :Theorem 4- Under the hypothes (19) and those of theorem 1, the discrete mixed Arlequinproblems derived from the second continuous mixed Arlequin problem by means of thefinite element method are well-posed. Moreover, if a sufficient regularity is assumed forthe continuous fields then we have the following optimal a priori error estimate :∃ C > 0 , indepedent of h 1 , h 2 and h g ;‖u 1 − u h1 ‖ W 1+ ‖u 2 − u h2 ‖ W 2+ ‖λ − λ hg ‖ W g≤ C max(h 1 , h 2 , h g ) (20)In the sequel, we will only consider the second mixed Arlequin problems.3.2. Influence of the partitions of unitiesThe weight functions, α 1 and α 2 , are assumed to be given. One can prove that theArlequin solution does not depend on these parameters when identical models are superposedto each other. This is a consistency argument for the approach. In the contrary,when different models are superposed, the Arlequin solutions do depend on the wheightparameters. The question is then : how to choose these papameters in practice ? Let usgive here somm answers.3.2.1. General considerationsThough optimal choices (if ever necessary) seem to constitute a rather intricate issuein general, operational choices may be guided by the consideration of the relative localTAMTAM –Tunis– 2005

Arlequin method 307refinements of the superposed models. An absolute limit situation consists in superposing(locally) a rigid model to a deformable one. In this situation there is no need for thedistribution of the internal energies. Notice that in these very particular situations, onecan establish a bridge between the fictitious domain method with a distributed Lagrangemultiplier [12] and the second mixed Arlequin method.3.2.2. A limit behaviourWhen considering deformable bodies, the stability analysis of the Arlequin problemsrequires that each α i must be strictly positive. But one can ask the question of existenceof a limit behaviour of the Arlequin solutions whenever either α 1 or α 2 tends to theunity (the other tending to zero) in situations where, in the unglued part of S, the twomodels are quite different. For this, let us for instance assume that in the unglued partof S, one model is fractured and the other is not. Moreover, we assume that the crackis strictly embedded in the interior of the unglued part of the fractured structure. Let usthen define two global monomodel problems, we denote by M 1 and M 2 , respectively. Thefirst problem is associated to the fractured domain, while the second is associated to the“same” but sound domain. We denote by u M1 and u M2 the respective solutions. Now, ifin the Arlequin framework α i is associated with the Arlequin model part of M i , i = 1, 2then we can prove the following result (important in practice) :Theorem 5- Under ad hoc hypotheses, the Arlequin solutions tend to u Mi when α i tendsto 1 and when β i has the same order as α i , i = 1, 2This result is based in the following lemma :Lemma- Under ad hoc hypotheses, the restriction of the displacement field u 1 , defined inthe second mixed Arlequin problem, is bounded by the norm of u 2 , independently of α 1and β 1 and vice versa.4. Numerical resultsEach point developed here will be exemplified by a numerical result, obtained by G.Rateau during his PhD thesis (collaboration with EdF). A zoomed deformed tyre is givenhere : a 2D-Model is superposed to a thin global curved beam.RemerciementsThe support of Électricité de France is greatfully acknowledged.5. Bibliographie[1] BEN DHIA H., RATEAU G., « The Arlequin method as a flexible engineering design tool »,International Journal for Numerical Methods in Engineering, accepted in 2004, to appear inTAMTAM –Tunis– 2005

308 Ben Dhiamaj. princ. σFigure 1. a zoomed tyre by the Arlequin method2005.[2] BEN DHIA H., « Multiscale mechanical problems : the Arlequin method », Comptes Rendusde l’Académie des Sciences Série IIb, vol. 326, 1998 : 899–904.[3] BEN DHIA H., « Numerical modelling of multiscale problems : the Arlequin method », In CDProceedings of ECCM’99, Munchen, 1999.[4] BEN DHIA H., ZARROUG M., « Contact in the Arlequin framework », In Contact Mechanics,Martins JAC, Monteiro Marques MDP (eds) ; Kluwer Academic Publishers, 2001 : 401–410.[5] BEN DHIA H., RATEAU G., « Application of the Arlequin method to some structures withdefects », Revue Européenne des éléments finis, vol. 11, n o 2-3-4, 2002 : 291–304.[6] BEN DHIA H., ZAMMALI C., « Level-Sets ans Arlequin framework for dynamic contact problems», Revue Européenne des éléments finis, vol. 13, numbername5-6-7, 2004 : 403–414.[7] STEGER JL., BENEK JA., « On the use of composite grid schemes in computational aerodynamics», Computer Method in Applied Mechanics and Engineering, vol. 64, 1987 : 301–320.[8] BEN DHIA H., RATEAU G., « Mathematical analysis of the mixed Arlequin method », ComptesRendus de l’Académie des Sciences Paris Série I, vol. 332, 2001 : 649–654.[9] RUDIN W., « Functional Analysis », McGraw Hill, 1973.[10] RAVIART PA., THOMAS JM., « Primal hybrid finite element methods for second order ellipticequations », Mathematics of Computation, vol. 31, 1977 : 391–396.[11] BREZZI F., « On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arisingform Lagrangian multipliers », R.A.I.R.O., Anal.Numér., vol. 8, R2, 1974 : 129–151.[12] GLOWINSKI R., HESLA T., JOSEPH D., PERIAUX J., « A distributed Lagrange multiplier/fictituous domain method for the simulation of flow arround moving rigid bodies : applicationto particule flow », Computer methods in applied mechanics and engineering, vol. 184, 2000 :241–267.TAMTAM –Tunis– 2005

Reduction methods and uncertaintypropagation: application to achemistry-transport modelJ. Boutahar * , B. Sportisse *** EHTP(Casablanca)/ENPC(Paris)** ENPC (Paris)ABSTRACT. In this article we review some reducing methods that may be applied for Chemistry-Transport Models in the case of impact studies, for which many simulations have to be made (computationof Probability Density Functions). A first approach is to reduce the initial model in order touse a Monte Carlo approach with a "fast" model. A second approach is to use appropriate MonteCarlo techniques with a reduced number of simulations. We present the different methods and somepreliminary applications to box models.RÉSUMÉ. Dans cet article nous présentons un apperçu sur les méthodes de réduction utilisées pourles modèles de Chimie-Transport dans le cadre d’une modélisation intégrée d’impact. Ce type d’applicationsnécessite un grand nombre de simulation (calcul des fonctions de densité de probabilité). Lapremière approche étudiée consiste à réduire le modèle d’orgine et d’utiliser par la suite la méthodeclassique de Monte carlo avec le modèle "rapide". La deuxième approche est basée sur une utilisationjudicieuse des techniques de Monte Carlo en réduisant le nombre de simulation. Nous présentons lesdifférentes méthodes utilisées ainsi que quelques applications à un modèle de Chimie-Transport.KEYWORDS : POD, HDMR, Monte Carlo, DEMM/SRSMMOTS-CLÉS : POD, HDMR, Monte Carlo, DEMM/SRSM309 TAMTAM –Tunis– 2005

310 Boutahar et al.1. IntroductionIn order to assess the environmental impact of anthropic activities, one has to use severalscenarios for the model inputs (typically emissions) or/and to propagate the uncertaintiesfrom model inputs to model outputs (typically chemical concentrations or depositionfluxes). In both cases, a large number of model simulations is necessary and this is ofcourse not feasible with comprehensive Chemistry-Transport Models, due to the need forhuge CPU times.Two approaches may be used in order to circumvent these difficulties:– A first approach consists in reducing the computationally cost of the original model,by building a reduced model. We will present two reduction techniques and their applicationto CTM models based on the chemical mechanism CBM IV ([12]).- The first method (POD: Proper Orthogonal Decomposition, [1]) is related to thestatistical behaviour of these systems.- The second method (HDMR: High Dimensional Model representation, [4]) is anefficient representation of the input/output behaviour of chemical models through lookuptables. It describes the output model by an expansion of finite hierarchical correlatedfunction in terms of the input variables.– A second approach (DEMM: Deterministic Equivalent Modeling Method, [5]) reducesthe number of model runs required by the standard Monte Carlo methods. It characterizesthe PDF of the uncertain model output as an expansion of orthogonal polynomialsaccording to model input uncertainties. The classical Monte Carlo simulations have onlyto be made at given appropriate inputs. We will present the DEMM method with anapplication to the EMEP chemical mechanism ([14]).2. Proper orthogonal decompositionThe key idea of this method is to search for a basis which contains all informationabout the behaviour of the exact solution. The reduced model is then the projection ofthe initial model in this basis. Let the model (typically chemical kinetics, c stands forchemical concentrations) be described by the following equation:dcdt = f(c) , c(0) ∈ Rn (1)In practice, we use the so-called “method of snapshots”. It first consists in computing anexact trajectory (c(t)). If there are N time steps (t 1 , . . . , t N ), we computeC = span(c(t 1 ), . . . , c(t N ), that may be viewed as a set of experimental data in R n . Theobjective is to extract as many informations as needed from this set. Of course, all theseinformations are contained in a basis of C, Ψ = (Ψ 1 , Ψ 2 . . . Ψ d ), whose dimension isd. We suppose that the basis is orthonormal with respect to a given scalar product. TheTAMTAM –Tunis– 2005

Reduction methods and uncertainty propagation 311POD methods is based on a particular choice of the orthonormal basis Ψ such that c(t j )can be optimally approached by successive truncated sums. Ψ is then such that for all1 ≤ k ≤ d, (Ψ 1 . . . Ψ k ) minimizes the function:J k (Φ 1 , . . . , Φ k ) =N∑ ∑i=k‖c(t j ) − 〈Φ i , c(t j )〉 Φ i ‖ 2 (2)j=1Ψ can be computed from the correlation matrix of the snapshots ([11]). The choice ofa truncated basis of dimension p (the number of degrees of freedom we keep) is relatedto the decreasing rate of the eigenvalues of the correlation matrix. We now search for areduced solution z(t) = ∑ pi=1 z i(t) Ψ i , z i ∈ R such that for 1 ≤ i ≤ p:〈〉dz ip∑dt = f( z i (t) Ψ i ), Ψ i , z i (0) = 〈c(0), Ψ i 〉 (3)i=1Application and result: We have applied this technique for the reduction of the chemicalmechanism CBM IV ([12]) with 68 reactions and 31 species. The time period forcomputing the POD basis (t N −t 1 ) is 4 hours. In figure 1, we compare the results obtainedwith the reduced model and an exact solution. We can see that the reduced model is validduring more than 500 minutes (to be compared with 240 minutes). The reduced modelis then valid locally. Notice that p = 3 degrees of freedom describe the 31-dimensionalsystem.i=1O3 ConcentrationNO Concentration30040POD (Snap=4h)POLAIRPOD(Snap=4h)POLAIR30Concentration (mol/cm3)200100Concentration (mol/cm3)201000 500 1000 1500Time(min)00 500 1000 1500Time(min)Figure 1. Profiles of O 3 and NO: exact (line) versus POD (- - -) models.3. HDMR techniqueWe now consider one integration of the chemical model (1) from time t s to timet s+1 as a model with n input variables x = (x 1 , x 2 ..., x n ) ∈ Ω and an output c =TAMTAM –Tunis– 2005

312 Boutahar et al.g(x). x are the initial concentrations and the appropriate forcing parameters (for instancetemperature). HDMR expresses g(x) as an exact expansion through:g(x) = f 0 + ∑ i=ni=1 f i(x i ) + ∑ 1≤i

Reduction methods and uncertainty propagation 313f 0 can be calculated from N sets of input vector x s = (x s 1, x s 2..., x s n), randomly generated:f 0 ≈ 1 ∑ NN s=1 g(Xs ). The φ k (x i ) are orthogonal polynomial functions with zero meanand unit norm over K i =[0,1 ]. They can be easily computed. In most cases ([9]), takinginto account the third-order development (φ 1 , φ 2 , φ 3 ) provides a satisfactory descriptionof g(x). The coefficients c i kand cijklare constants and can be computed by a minimizationprocedure.Implementation of FEOM model: We have implemented the HDMR method ina chemical kinetics model. The resulting model, FEOM (Fully Equivalent OperationalModel) replaces the initial chemical solver. FEOM can be used with a time step δt thatcan be much higher than the standard stiff integration time step (of the initial model).The use of FEOM starts with the definition of the input variables (initial concentrations,boundary conditions, temperature, pressure....) and of the output variables (species concentrationsto be computed at time t + δt). Finally the evaluation is done by a simplereading of the tables (once at the beginning of the integration) and a summation of thevarious component functions of HDMR according to Equation (4).We have used this approach by replacing the initial stiff solver (a Rosenbrock method,[13]) by FEOM. The chemical mechanism was CBM IV. The results are shown in figure2 are prove the accuracy of the method. The speed-up is about 3.4. Deterministic equivalent modeling method (DEMM)The DEMM method is used in order to reduce the number of simulations neededfor computing the PDF (Probability Density Function) of the output g(x) on the basisof the PDF of the inputs x. It is based on the representation of the uncertain outputg(x) as a development in series of orthogonal polynomials of random variables ξ (after atransformation of input parameters x to standardized random variables ξ) in the followingform ([5]):g(x) = Y 0 + ∑ n+ ∑ n−1i=1+ ∑ n−1i=1+ ∑ n−2i=1i=1 Y (1)iH 1 (ξ i ) + ∑ ni=1 Y (2)i H 2 (ξ i )∑ nj=i+1 Y (1)ij H 1 (ξ i )H 1 (ξ j ) + ∑ ni=1 Y (3)∑ nj=i+1 Y (2)iji H 3 (ξ i )H 1 (ξ i )H 2 (ξ j ) + ∑ n−1 ∑ ni=1 j=i+1 Y (3)ij H 2 (ξ i )H 2 (ξ j )∑ n−1 ∑ nj=i+1 k=j+1 Y (1)ijk H 1(ξ i )H 1 (ξ j )H 1 (ξ k ) + ... (10)where ξ i is a standard random variable (typically a gaussian variable), H m (ξ i ) are theseries of orthogonal polynomials of Hermit of degree m. The coefficients Y 0 , Y (1)i , y (2)i ,y (3)i , Y (1)ij , y (2)ij , y(3) ij , Y (1)ijk,... are computed by running the model with a limited numberof appropriate input values. The choice of these input values is therefore crucial ([6]). Inour case, we have used the SRSM method (Stochastic Response Surface Method, ([6]).The idea is to choose these points according to the PDF of the input parameters. TheTAMTAM –Tunis– 2005

314 Boutahar et al.number of runs grows according to the order of DEMM approximation taken into account.At first order, it is 1 + n, at second order 1 + 2n + n(n−1)2, at third order 1 + 3n +3n(n−1)2+ n(n−1)(n−2)6, ...Application and compraison with Monte Carlo simulation: In order to ilustratethe DEMM approach, we have applied this method to the EMEP chemistry (10 speciesand 9 reactions, ([14]). The output is computed after an integration of 150 minutes with atimestep of 900 secondes. We have supposed that the PDF for the kinetics rates k 3 , k 5 , k 7and k 8 are Gaussian distributions with a standard deviation of 20% (figure 3). We havecomputed the output PDF from the PDF of k 3 , k 5 , k 7 and k 8 with DEMM and with aclassical Monte Carlo simulation (with 10000 simulations). Results are plotted in figure4. Second-order expansion give accurate results with a small number of model runs.SO2 Concentration profileO3 Concentration profile10300POLAIR0DFEOMPOLAIR0DFEOMConcentration (mol/cm3)98Concentration (mol/cm3)20010070 500 1000 1500Time(min)NO Concentration profile00 500 1000 1500Time(min)NO2 Concentration profile4080POLAIR0DFEOMPOLAIR0DFEOM3060Concentration(mol/cm3)20Concentration (mol/cm3)40102000 500 1000 1500Time(min)00 500 1000 1500Time(min)Figure 2. Comparison of profiles for SO 2, O 3, NO and NO 2: exact model (line) versusFEOM (-x-).TAMTAM –Tunis– 2005

0.00e+00 1.00e−11 2.00e−11 3.00e−11 4.00e−11Reduction methods and uncertainty propagation 315k3 (Input Distribution)k5 (Input Distribution)2e+118e+11PROBABILITY DENSITY FUNCTION1.5e+111e+115e+10PROBABILITY DENSITY FUNCTION6e+114e+112e+110k300.00e+00 2.00e−12 4.00e−12 6.00e−12 8.00e−12k5k7 (Input Distribution)k8 (Input Distribution)2e+054e+05PROBABILITY DENSITY FUNCTION1.5e+051e+0550000PROBABILITY DENSITY FUNCTION3e+052e+051e+0500 5e−06 1e−05 1.5e−05 2e−05 2.5e−05 3e−05k700 2e−06 4e−06 6e−06 8e−06 1e−05 1.2e−05 1.4e−05k8Figure 3. PDF kinetic rates k 3,k 5,k 7 et k 8.NO2 (Output Distribution)PAN (Output Distribution)13012021.521Monte carlo (10 000)DEMM (1nd Order)DEMM (2order)Probability Density(m3/ug)110Probability Density (m3/ug)20.520100DEMM (2nd order)Monte CarloDEMM (1st order)19.5902.302 2.304 2.306 2.308 2.31 2.312Concentration(ug/m3)190.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2Concentration (ug/m3)Figure 4. PDF for P AN and NO 2 obtained with DEMM/SRSM and Monte Carlo.5. Conclusion and future workWe have reviewed in this paper some strategies that may be used in order to computereduced models and PDF for atmospheric chemical mechanisms. In the future we willuse the HDMR Method in a three-dimensional eulerian models (namely POLAIR, [13])with a focus on multiphase chemistry. POD approaches will be tested as well as look-upTAMTAM –Tunis– 2005

316 Boutahar et al.tables and Pod basis. In the same way, the DEMM/SRSM method will be applied in orderto take into account uncertainties in emissions concentrations.6. References[1] DJOUAD, R., SPORTISSE, B. Use of Proper Orthogonal Decompositions for the reduction ofatmospheric chemistry, J. Geophys. Res. Submitted (2002) 18–19.[2] SPORTISSE, B., DJOUAD, R. Reduction of chemical kinetics in Air Pollution Modelling,J.Comp. Phys. 164 (2000) 354-376.[3] RABITZ, H., ALIS, O. F. Efficient input-output Model representations, Journal of ComputerPhysics Communication 117 (1999) 11-20[4] RABITZ, H., ALIS, O. F. General foundations of high-dimensional model representations,Journal of Mathematical Chemistry 25 (1999) 197-223.[5] TATANG, M.A. Direct Incoporation of Uncertainty in Chemical and Environmental EngineeringSystems. PhD thesis. PhD thesis (1995). MIT[6] ISUKAPALLI, S.S. Uncertainty Analysis of Transport-Transformation Models. PhD thesis.PhD thesis (1995). MIT[7] SHORTER J.A., PRECILA, C. IP, RABITZ, H. An Efficient Chemical Kinetics Solver UsingHigh Dimensional Model representation, Journal of Physical Chemistry 103 (1999) 7192-7198.[8] ALIS, O.F., RABITZ, H. Efficient implementation of high dimensional model representations,Journal of Mathematical Chemistry 29-2 (2001) 127-142.[9] LI,G., WANF, S.W., RABITZ, H. Practical Approaches to Construct RS-HDMR componentFunctions, Journal of Physical Chemistry 106 (2002) 8721-8733.[10] VERWER J.H., SPEE, E.J., BLOM, J.G,HUNDSDORFER, A second order Rosenbrockmethod applied to photochemical dispersion problem, SIAM J. SCI. COMPUT. 20 (1999) 1456-1480.[11] KUNISCH, K., VOLKWEIN, S Galerkin proper orthogonal decomposition methods forparabolic problems Spezialforschungsbereich F 003 Optimierung und Kontrolle, ProjektbereichKontinuierliche Optimierung und Kontrolle, Bericht 171(1999).[12] GERY, M.W., WHITTEN, G.Z., KILLUS, J.K., DODGE, M.C. A photochemical kineticsmechanism for urban and regional scale computer modeling,J. Geophys. Research 94 (1989)12925-12956.[13] SPORTISSE, B., BOUTAHAR, J., DEBRY, E., QUELO, D., SARTELET, K. Some tracksin Air Pollution Modelling and Simulation, RACSAM: Journal of the Spanish ScienceAcademy/Applied Mathematics 96(3) (2002) 507-528.[14] EMEP/MSC-W : Co-operative programme for monitoring and evaluation of the long largetransmission of air pollutants in Europe EMEP/MSC-W Report 1 (1996).[15] BOUTAHAR, J. Méthodes de réduction et de propagation d’incertitudes : Application à unmodèle de Chimie-Transport pour la modélisation et la simulation des impacts. PhD thesis(2004). ENPC.TAMTAM –Tunis– 2005

Homogénéisation d’un problème deconduction-rayonnement, Simulation avecCAST3MK. El Ganaoui * , G. Allaire *** SFME/LTMF, CEA Saclay 91191 Gif-sur-yvette Cedexkelganaoui@cea.fr** CMAP, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedexallaire@cmapx.polytechnique.frRÉSUMÉ. On s’intéresse au transfert d’énergie par conduction / rayonnement dans un domaineparcouru périodiquement de petites perforations. Deux échelles, macroscopique et microscopique,caractérisent le problème. L’homogénéisation nous permet de considérer le domaine comme un milieuhomogène équivalent et de résoudre un problème macroscopique qui tient compte de la microstructure.On présente d’abord une étude complète d’un problème (plus simple) de conduction avecune condition non linéaire aux bords des perforations ainsi que sa simulation numérique avec le codede calcul CAST3M. On présente ensuite, l’homogénéisation (heuristique) du problème visé par l’étude(incluant la condition de rayonnement).ABSTRACT. We are interested by conductive and radiative transfer of energy in a domain traversedperiodically by very small perforations. Two scales characterize the problem : macroscopic and microscopic.We seek to consider the domain like an equivalent homogenous medium. So we usehomogenization theory to compute the effective macroscopic properties which take into account themicroscopic structure. We first present a full mathematical study of a simpler conduction problem withnon linear boundary condition and its simulation with the computer code CAST3M. Then we presenta heuristic homogenization of the real physical problem (including radiative boundary condition).MOTS-CLÉS : Homogénéisation, transferts conductifs et radiatifs, convergence à deux échelles.KEYWORDS : Homogenization, radiative and conductive heat exchange, two scale convergence.317 TAMTAM –Tunis– 2005

318 El Ganaoui et al.1. IntroductionNous nous intéressons au transfert d’énergie dans le coeur d’un réacteur nucléaire àcaloporteur gaz (refroidi au gaz). Les conditions de fonctionnement du réacteur nécessitentun calcul thermohydraulique complet du coeur qui contient un grand nombre decanaux cylindriques (une dizaine de milliers) de diamètre assez petit. Le combustible (solide)et le gaz ayant des propriétés très différentes, on se retrouve avec des modèles où lescoefficients sont rapidement oscillants. D’un point de vue numérique la simulation de telsmodèles exige un maillage très fin (dont le pas serait au moins plus petit que le diamètredes canaux). Ceci demanderait un long temps de calcul. Or, dans la plupart des cas, seulle comportement global (ou macroscopique) du milieu nous intéresse. On cherche doncà considérer le coeur comme un milieu homogène équivalent où le gaz et le solide sontmélangés. Ceci est possible grâce à la mise au point d’une méthode d’homogénéisation.Le transfert d’énergie se fait par conduction dans le combustible et le rayonnement estprésent en tant que condition aux limites non linéaire et non locale aux bords des canaux.Les problèmes considérés dans ce travail seront résolus dans un domaine 2D périodiquementperforé, représentatif de la géométrie réelle.2. Position du problèmeLe problème que nous voulons étudier est donné par⎧⎪⎨⎪⎩−div(K∇T ε ) = f dans Ω εK∇T ε · n = g [ sur ∂Ω−K∇T ε · n = 1 εσTε 4 − ∫ ]Γ ε,iσw(s, z)Tε 4 (z)dzsur Γ ε,i .(1)w(s, z) est le facteur de forme entre deux point s et z de la surface rayonnante (d’émissivitéégale à l’unité en un premier temps).Le domaine d’étude Ω ε est un milieu perforé périodiquement obtenu à partir d’un ouvertΩ de R d , d ≥ 2, de bord ∂Ω, auquel on a retiré une collection de trous identiques (les canaux).L’ensemble des bords Γ ε,i des canaux est noté Γ ε , ε désigne la période, positive ettrès petite en comparaison avec la taille du domaine global. La cellule unité de périodicitéest notée Y .Dans ce cadre, nous avons commencé par simplifier l’étude en considérant un problèmede conduction avec une condition non linéaire au bord pouvant être interprétéecomme un rayonnement avec un milieu infini de température constante T ∞ . Le problèmeétudié est donné par :TAMTAM –Tunis– 2005

Problème de conduction-rayonnement 319⎧⎨⎩(2)−div(K∇T ε ) = f dans Ω εK∇T ε · n = g sur ∂Ω−K∇T ε · n = εσ(Tε 4 − T∞) 4 sur Γ ε,i3. Homogénéisation du problèmeOn cherche un développement asymptotique à deux échelles de T ε de la forme :T ε (x) = T (x) + εT 1 (x, x ε ) + ε2 T 2 (x, x ) + ... (3)εavec T j (x, x ε) des fonctions définies sur Ω × Y et Y −périodique.Dans ce cas, le problème homogénéisé, obtenu en injectant (3) dans (2) nous fournitune cascade de problèmes qui nous permettent d’établir le problème homogénéisé décrivantun comportement moyen et qui est, dans ce cas, donné par :{ −div(K ⋆ ∇T ) + σα(T 4 − T 4 ∞) = βf dans Ω−K ⋆ ∇T · n = mes(Y )g sur ∂Ω(4)K ⋆ étant la matrice de conductivité homogénéisée, calculée en fonction des solutionsdes problèmes de cellule (au nombre de la dimension de l’espace, portant sur T 1 (x, x ε )et posés dans Y ), et α, β > 0 sont des coefficients homogénéisés. Au moyen du code deCalcul CAST3M, nous avons pu résoudre ces deux problèmes (2 et 4) et ainsi comparerla température réelle T ε (résolution directe) à son approximation par homogénéisationT (x) + εT 1 (x, x ε) (cf. 4).D’un point de vue théorique, nous avons établi rigoureusement et grâce à la méthodede convergence à deux échelles (cf. [1], [3]), le problème homogénéisé. Notons que laprésence d’un terme non linéaire dans une intégrale de surface périodique a constitué unedifficulté suppléméntaire par rapport aux travaux antérieurs de G. Allaire [1].Après cette étude complète du problème simplifié, nous avons établi formellement, leproblème homogénéisé associé au problème (1).{ −divy (K ∗ (T 3 )∇T )) = β 1 f dans Ω−K ∗ (T 3 )∇T · n = β 2 g sur ∂Ω(5)On note que dans (5) les coefficients de la matrice de conductivité homogénéisée nesont pas les même que précédemment et les problèmes de cellule sont aussi différents. β 1et β 2 sont des coefficients homogénéisés.TAMTAM –Tunis– 2005

SOLUTION DU 1ER CELL_PBVAL − ISO>−5.76E−03< 5.76E−03−5.47E−03−4.89E−03−4.32E−03−3.74E−03−3.17E−03−2.59E−03−2.02E−03−1.44E−03−8.64E−04−2.88E−042.88E−048.64E−041.44E−032.02E−032.59E−033.17E−033.74E−034.32E−034.89E−035.47E−03SOLUTION DU 2EME CELL_PBVAL − ISO> 1.58E−17< 1.15E−022.89E−048.66E−041.44E−032.02E−032.60E−033.17E−033.75E−034.33E−034.91E−035.48E−036.06E−036.64E−037.21E−037.79E−038.37E−038.95E−039.52E−031.01E−021.07E−021.13E−02320 El Ganaoui et al.4. Simulation avec CAST3MCi-dessous les simulations au moyen du code de calcul CAST3M associées au problème(2) où T ε est la solution du problème (2) obtenue par une résolution directe, T estla solution du problème (4) : problème homogénéisé associé et on a :T 1 (x, y) =2∑i=1ω i (y) ∂T∂x i(x) (6)où y = x ε et les ω i(i = 1, 2) sont les solutions des problèmes de cellule.Figure 1. ω 1Figure 2. ω 2VAL − ISO> 5.66E+02< 6.66E+02VAL − ISO> 5.66E+02< 6.73E+025.73E+025.78E+025.83E+025.88E+025.93E+025.98E+026.03E+026.08E+026.13E+026.18E+026.23E+026.28E+026.33E+026.38E+026.43E+026.48E+026.53E+026.58E+026.63E+026.68E+026.73E+025.73E+025.78E+025.83E+025.88E+025.93E+025.98E+026.03E+026.08E+026.13E+026.18E+026.23E+026.28E+026.33E+026.38E+026.43E+026.48E+026.53E+026.58E+026.63E+026.68E+026.73E+02TEMPERATURE RECONSTRUITETEMPERATURE REELLEFigure 3. T εFigure 4. T (x) + εT 1(x, x ε )5. ConclusionNous avons constaté dans le cas du problème (2) que l’erreur relative décroît commela période ε (qu’on fait tendre, numériquement, vers zéro en considérant un domaine deTAMTAM –Tunis– 2005

Problème de conduction-rayonnement 32110 −1 Cas Non_LineaireErreur Relative sur la TemperatureERR(T)epsilon10 −210 −310 −1Figure 5. Courbe de convergence de l’erreur de de reconstruction ‖T ε − (T + εT 1)‖ L 2 enfonction de εplus en plus grand). La simulation numérique associée au problème (1), et pour laquelleon s’attend à une précision équivalente, est en cours.Après ces étapes préliminaires nous étudierons un problème plus complexe où l’émissivitésera quelconque, comprise entre 0 et 1, pour mieux rendre compte du caractèregris et diffusant des surfaces rayonnantes. On s’intéressera également à l’écoulement ducaloporteur d’où un éventuel couplage entre le modèle thermique et les équations de lamécanique des fluides.6. Bibliographie[1] G. ALLAIRE, « Homogenization and Two-Scale Convergence. », SIAM J. Math. Anal., Vol.23, No. 6, pp. 1482-1518, November 1992.[2] A. BENSOUSSAN, J.L. LIONS ET G. PAPANICOLAOU, « Asymptotic Analysis for PeriodicStructures. », North-Holland, Amsterdam, 1978.[3] G. NGUETSENG, « A general convergence result for a functionnal related to the theory ofhomogenization. », SIAM J. Math. Anal., Vol. 20, pp. 608-629, 1989.[4] CAST3M, « http ://www-cast3m.cea.fr/cast3m/index.jsp. ».TAMTAM –Tunis– 2005

Equation d’Hamilton-Jacobi non-localemodélisant la dynamique des dislocationsA. Ghorbel * — R. Monneau ** CERMICS, Ecole nationale des Ponts et Chaussées,6 et 8 avenue Blaise Pascal, Cité Descartes,Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vallée Cedex 2Franceghorbel@cermics.enpc.frmonneau@cermics.enpc.frRÉSUMÉ. On présente ici une très brève introduction aux dislocations et à leur dynamique. On décritla dynamique de ces dislocations à l’aide d’un modèle simple. Il s’agit d’une équation d’Hamilton-Jacobi avec terme non local. Nous présentons un résultat d’existence et d’unicité de solution de viscositécontinue pour cette équation et des simulations numériques montrant le phénomène d’empilementlorsqu’on considère plusieurs dislocations et obstacles.ABSTRACT. We present here a brief introduction to the dislocations and their dynamics. We modelisethe dislocations dynamics by a non-local Hamilton-Jacobi equation. We give a result of existenceand uniqueness of a continuous viscosity solution for this equation. We provide some numericalsimulations showing essentially the pile-up’s phenomenon when we consider several dislocations andobstacles.MOTS-CLÉS : Dynamique des dislocations, équation de Hamilton-Jacobi, équation non-locale, solutionde viscosité continueKEYWORDS : Dislocations dynamics, Hamilton-Jacobi equation, non-local equation, continuous viscositysolutionTAMTAM –Tunis– 2005 322

Equation d’Hamilton-Jacobi 3231. ModélisationDans ce travail on s’intéresse à la dynamique de dislocations dans un matériau cristallin(cf. [5] et [6] pour une description physique). Un cristal parfait en petite déformationest bien décrit par les équations de l’élasticité linéaire. Les cristaux réels comportent enfait certains défauts appelés dislocations. Sous l’effet de contraintes extérieures, ces dislocationspeuvent se déplacer. La dynamique de ces dislocations est à l’origine du comportementplastique des métaux cristallins (cf. [2] pour une modélisation de la dynamiquedes dislocations).Figure 1. Représentation de plusieurs dislocations par la fonction E(u)On considère ici un modèle simple où les dislocations sont des lignes droites se déplaçantdans un même plan (xy) et parallèles à l’axe des y (voir Fig.1). Ce plan est contenudans un cristal élastique tridimensionnel. La géométrie très particulière de ce problèmepermet de se ramener à l’étude d’un problème unidimensionnel donné par l’équationd’Hamilton-Jacobi non-locale suivante qui modélise la plasticité à l’échelle des dislocations(pour T > 0)⎧⎪⎨⎪⎩∣ ∣∂u∣∣∣∂t (x, t) + c(x, t) ∂u ∣∣∣∂x (x, t) = 0 dans R × (0, T )c(x, t) = c ext (x) + c int (x, t)(1)c int ∫(x, t) = c 0 (x − x ′ )E(u(x ′ , t)) dx ′RTAMTAM –Tunis– 2005

324 Ghorbel et al.où la fonction E est la partie entière définie parE(v) = k si k ≤ v < k + 1, k ∈ Z.Ici, la fonction scalaire u est non-physique mais est choisie telle que les sauts de E(u) repèrentles positions des dislocations (cf. Fig.1). L’introduction de la valeur absolue∂u∣∂x∣dans l’équation permet de tenir compte de l’annihilation possible de deux dislocationsassociées à des sauts de E(u) opposés. Ces dislocations se déplacent à une vitesse c(appelée en physique force de Peach-Kohler résolue, cf. [6]) qui est la somme de deuxtermes. Le premier terme c ext représente les contraintes externes crées par les obstaclesà l’avancement des dislocations (tels que les précipités dans le matériau, d’autres dislocationsfixes ou bien d’autres défauts, . . .). Le second terme c int est non-local, donnépar une convolution, et représente les contraintes internes élastiques crées par toutes lesdislocations en mouvement. Ce dernier terme est obtenu par résolution des équations del’élasticité linéaire et fait apparaître un noyau c 0 qui tient compte des effets élastiques(longue distance) des dislocations. Nous considérons une situation physique où les obstaclesà l’avancement des dislocations, modélisés par la vitesse c ext , sont répartis de façonpériodique dans l’espace, de période 1. Cela revient à supposer quec ext (x + 1) = c ext (x) dans R (2)On s’intéresse à une classe particulière de solutions de (1) où la distribution des dislocations(c’est-à-dire des sauts de E(u)) est elle aussi spatialement périodique de période 1,chaque période contenant P ∈ N \ {0} dislocations. C’est en particulier le cas si on serestreint à l’étude des solutions u vérifiantu(x + 1, t) = u(x, t) + P dans R × (0, T ) (3)2. Existence et unicité de la solutionNous formulons les hypothèses suivantes sur la fonction c ext et le noyau c 0 :⎧c ext ∈ C ∞ (R)⎪⎨c 0 ∈ C0 ∞ (R)∫⎪⎩ c 0 (x) = c 0 (−x), c 0 (x) dx = 0où C ∞ 0 (R) désigne l’espace des fonctions C ∞ à support compact. On considère la conditioninitialeu(x, 0) = P x sur R (5)R(4)TAMTAM –Tunis– 2005

Equation d’Hamilton-Jacobi 325qui signifie qu’initialement les dislocations sont équidistantes les unes des autres. Uncadre naturel pour étudier les solutions de (1) est celui des solutions de viscosité continues.Nous renvoyons à [4] pour cette notion. On a alors leThéorème 2.1 Sous les hypothèses (2),(4), Il existe T > 0, tel qu’il existe une uniquesolution u de viscosité continue de (1),(3),(5).QUELQUES INDICATIONS POUR LA PREUVE DU THÉORÈME 2.1 Nous prouvons lethéorème en temps court en utilisant un argument de type point fixe inspiré de ([1, 2]),pour des solutions de viscosité continues de (1). De façon précise, étant donné T > 0et une fonction v vérifiant (3),(5), on considère la fonction w = S(v) vérifiant (3),(5),solution de(w t + c ext )+ c 0 ⋆ E(v) |w x | = 0 dans R × (0, T )Pour T choisi suffisamment petit, on montre que l’application S est une contractiondans un espace bien choisi, ce qui prouve l’existence d’un unique point fixe u = S(u)qui est donc solution de (1) sur R × (0, T ). Notons que le cadre des solutions de viscositécontinues se prête bien au calcul numérique contrairement aux solutions de viscositédiscontinues par exemple considérées dans [1, 2].□3. Simulations numériquesOn construit un schéma de type différences-finies d’ordre 1 en espace et en temps,caractérisé par :– un hamiltonien numérique (on utilisera le schéma de Rouy-Tourin [7]).– une convolution discrète pour la vitesse non-locale c int .– un schéma d’Euler explicite en temps.On note ∆x le pas d’espace et ∆t le pas de temps. On considère un maillage cartésienI d = {(i∆x, n∆t); i ∈ Z, n ∈ N}. On note (x i , t n ) le noeud du maillage (i∆x, n∆t) etv n = (v n i ) i∈Z les valeurs de l’approximation numérique de u(x i , t n ) où u est la solutioncontinue du problème. Le schéma numérique s’écrit :v n+1i = v n i − ∆t c i (v n )avec D − x v n i= vn i − vn i−1∆x{max(max(D−x v n i , 0 ) , max ( −D + x v n i , 0 )) si c i (v n ) ≥ 0min ( min ( D − x v n i , 0 ) , min ( −D + x v n i , 0 )) si c i (v n ) < 0(6)et D + x v n i= vn i+1 − vn i∆x.TAMTAM –Tunis– 2005

326 Ghorbel et al.On choisit ∆x = 1 où k ∈ N\{0}. On note cext i = c ext (x i ) qui vérifie alors c exti+kk = cext i .On s’intéresse à des solutions vi n vérifiant vn i+k = vn i +P . Ainsi, la vitesse discrète s’écrit :c i (v n ) = c exti + ∑ c 0 i−l E(vl n ) ∆xl∈Zoù c 0 i = 1 ∫[c 0 (x) dx, et I i = x i − ∆x∆x I i2 , x i + ∆x ], et vérifie c i+k (v n ) = c i (v n ).2Remarque 3.1 Pour obtenir des solutions nmériques raisonnables on suppose la conditionCFL (Courant-Friedrichs-Levy) satisfaite : ∆t∆x < 1sup |c n Notons néanmoins quei |.le schéma global n’est pas monotone car la vitesse c i (v n ) dépend de façon non monotonede la solution v n elle-même, (car certains c 0 i peuvent être négatifs).Remarque 3.2 Une façon de calculer la convolution (qui devient intéressante lorsque lenombre de points de discrétisation k = 1 est grand ) consiste simplement, en utilisantla FFT, à prendre la transformée de Fourier inverse du produit des transformées de∆xFourier.Dans [ les figures 2 à 5 l’axe des abscisses représente la position x i dans l’intervalle− 1 2 , 1 ]et l’axe des ordonnées, le temps t n . Sont ici représentées les trajectoires des dislocationsrepérées par le lieu du saut de E(vi n ), dans différentes situations. Si k = 2K +1,2où K ∈ N, on a pris,⎧−1 si i = 0⎪⎨c 0 1(x) = si |i| ≤ K et i ≠ 0(7)2K⎪⎩0 si |i| ≥ K + 1Remarque 3.3 Pour le choix de c 0 i donné par (7), le schéma global est monotone car seulle coefficient c 0 0 est strictement négatif.La figure 2 montre que quand il n’y a pas d’obstacles, c’est-à-dire (c ext ) ′ (x) = 0,les trajectoires des P = 6 dislocations sont des droites. Lorsqu’on rajoute des obstaclessuffisamment importants (cf. figure 3), les dislocations sont stoppées par les obstacles (icic ext (x) = 1 + 2 sin(4πx)). La figure 4 montre que si on augmente c ext d’une constantesuffisante en conservant les obstacles inchangés (en x ∼ −0.1 et x ∼ 0.4), on observeun mouvement des dislocations. On constate numériquement qu’ici ce mouvement sepériodise au cours du temps. On observe un effet d’empilement des dislocations justeTAMTAM –Tunis– 2005

0Equation d’Hamilton-Jacobi 3272’x+.res’2’x+.res’1.81.81.61.61.41.41.21.2110.80.80.60.60.40.40.20.2-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Figure 2. Absence d’obstaclesFigure 3. Les dislocations sont piégéespar deux obstacles2’x+.res’2’x+.res’1.81.81.61.61.41.41.21.2110.80.80.60.60.40.40.20.20-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Figure 4. Empilement de dislocations surdeux obstaclesFigure 5. Empilement de dislocations surdeux obstaclesavant chaque obstacle. Si on change légèrement le nombre de dislocations qui passentà P = 5, figure 5, on observe ici le même phénomène. On a pris ici k = 101, ∆x =9.90 10 −3 et ∆t = 4.71 10 −3 (fig.2), ∆t = 1.63 10 −3 (fig.3), ∆t = 9.84 10 −4 (fig.4),∆t = 9.87 10 −4 (fig.5).4. PerspectivesNous envisageons d’examiner s’il est possible, sous certains hypothèses, d’étendre entemps long le résultat d’existence et d’unicité du théorème 2.1. Nous nous intéresseronsà la convergence du schéma numérique présenté ici en s’inspirant de [3] et aussi à l’étudede l’homogénéisation.TAMTAM –Tunis– 2005

328 Ghorbel et al.Remerciements : Nous remercions O. Alvarez, E. Carlini, A. Finel, P. Hoch, Y. Le Bouaret E. Rouy pour de nombreuses discussions enrichissantes.5. Bibliographie[1] O. ALVAREZ, P. HOCH, Y. LE BOUAR, R. MONNEAU, « Résolution en temps court d’uneéquation de Hamilton-Jacobi non locale décrivant la dynamique d’une dislocation »,C. R. Acad.Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 679-684,[2] O. ALVAREZ, P. HOCH, Y. LE BOUAR, R. MONNEAU, « Dislocation dynamics driven by theself-force : short time existence and uniqueness of the solution », Preprint,[3] O.ALVAREZ, E.CARLINI, P.HOCH, Y.LE BOUAR, R. MONNEAU, « Dislocation dynamicsdescribed by non-local Hamilton-Jacobi equations », Preprint,[4] G. BARLES, « Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi », Springer-Verlag,Berlin (1994),[5] J.R. HIRTH, L. LOTHE, « Theory of dislocations »,Second Edition, Malabar, Florida : Krieger(1992),[6] D. RODNEY, Y. LE BOUAR, A. FINEL, « Phase field methods and dislocations », Acta Materialia51 (1) (2003) pp. 17-30,[7] E. ROUY, A. TOURIN, « A viscosity solutions approach to shape-from-shading », SIAM J.Numer. Anal. 29 (3) (1992) pp. 867-884,TAMTAM –Tunis– 2005

Détermination du nombre de régions d’uneimage couleur par les critères d’informationH. Hamzaoui * , A. Elmatouat ** , P. Martin **** Faculté des sciences, Fès, Maroc** Ecole Normale Supérieure, Fès, Maroc*** Institut Universitaire de Technologie, Université de Rouen,France.RÉSUMÉ. Dans cet article nous proposons une application de l’algorithme de classification floueet les critères d’information pour déterminer le nombre de régions d’une image couleur et le rayonconvenable correspondant. Afin de valider les résultats théoriques, le système de segmentation a ététesté sur l’image “HOUSE”. Les résultats de l’expérience montrent la performonce et l’efficacité dunouvel algorithme.ABSTRACT. In this paper we propose an application of the fuzzy classification algorithm, we introducethe information criterion in order to determine the number of regions and the optimal radius associated.The system of the segmentation of the color image has been tested on the image “HOUSE”. Theresults of this experience show then the performonce and the efficiency of the new algorithm.MOTS-CLÉS : Critères d’information, Histogramme, Algorithme de classification floue, Ensemblesflous.KEYWORDS : Information Criteria, Histogramme, Fuzzy Classification Algorithm, Fuzzy sets.329 TAMTAM –Tunis– 2005

330 Hamzaoui et al.1. IntroductionLa segmentation permet une décomposition d’une image couleur en des éléments individuellementhomogènes, les caractéristiques utilisées étant les composantes colorimétriquesdes pixels. On distingue, généralement, entre deux méthodes de segmentation :l’extraction des contours qui fournit, par les intensités moyennes des zones, des contoursbien localisés et l’extraction des régions qui entraîne une partition de l’espace couleursans prendre en compte la disposition spatiale des pixels.Les méthodes de classification sont beaucoups utilisées pour la deuxième approche. Ellessegmentent l’image par la division ou la croissance de régions, ou en considérant les deuxméthodes pour définir une règle d’appartenance d’un pixel à une région.Ce traitement entraîne un bruit occasionné par des pertes de détails locaux de l’image.Pour la correction de ce bruit, on introduit les techniques de la théorie des ensemblesflous dans les algorithmes de segmentation en considérant les régions comme des ensemblesflous et la fonction d’appartenance comme une fonction d’adhésion floue. Notretravail est basé sur la classification floue associant l’espace des composantes couleurs despixels de l’image à un ensemble de données à 3 dimensions et nous utilisons les critèresd’information pour déterminer le nombre de centres et le rayon optimal des régions. Nousconsidérons pour cela l’estimation de la densité de probabilité relative à l’espace couleurRGB de l’image par la méthode de l’histogramme et nous appliquons les critères d’informationpour définir un critère noté ICH pour estimer le nombre de régions et le rayonoptimal.Dans l’algorithme de segmentation le seul paramètre qui reste ensuite à choisir a prioriest le seuil d’arrêt du processus d’optimisation des centres.2. Les critères d’informationSoit un modèle paramétré caractérisé par la densité de probabilité f(.|θ) dans lequelle paramètre θ et sa dimension k sont inconnus. Divers critères d’information ont étéproposés pour estimer la dimension k, ils correspondent à une vraisemblance pénalisée etne différent que par le facteur de pénalisation choisi :IC(k) = −2n∑lnf(X i |ˆθ n) k + kC ni=1ˆk = argmin IC(k)avec ˆθ k n l’estimateur du maximum de vraisemblance, C n le facteur de pénalisation telque C n = 2 pour AIC(Akaike Information Criterion), C n = logn pour SIC(SchwarzInformation Criterion), C n = loglogn pour ϕ(Hannan et Quinn Information Criterion) etC n = n β loglogn, 0 < β < 1 pour ϕ β (Elmatouat et Hallin Information Criterion).TAMTAM –Tunis– 2005

Détermination du nombre de régions d’une image 3313. Estimation du nombre de classes d’un HistogrammeSoit Ω un ensemble non vide et Cl={Cl 1 ,...,Cl k } une partition de Ω en k classes, etsoit X une variable aléatoire continue de densité inconnue f asociée à une mesure σ−finieµ. La densité discrétisée de X relativement à la partition Cl est définie par :∀x ∈ Cl; ˆf(x|Cl) = ˆf(x|k) =k∑s=1θ(Cl s )µ(Cl s ) 1 Cl s(c)où θ(Cl s ) est la probabilité, supposée inconnue, de la classe Cl s , et où 1 Cls (.) désignela fonction indicatrice de Cl s . Nous avons ainsi une densité paramétrée par les probabilitésinconnues θ(Cl 1 ), ....., θ(Cl k ). Dans cette modélisation, nous avons la relation∑ ks=1 θ(Cl s) = 1 le nombre de paramètres libres est donc k − 1. Pour l’estimation de ladensité f par la méthode de l’histogramme, le choix du nombre k de classes à partir de nobservations X 1 , ....., X n de la variable X est important. Si k > n la taille n n’autorisepas le découpage puisque certaines classes ne seraient chargées par aucune observation,par contre si on ne considère qu’une seule classe k = 1 on perd toute l’information quepourraient apporter les observations. Le nombre k doit donc être choisi de façon optimaletout en dépendant de la mesure a priori µ. Nous appliquons pour cela les critères d’informationà l’histogramme.Pour les observations X 1 , ....., X n , l’estimateur du maximum de vraisemblance du vecteurparamètre θ(Cl) = (θ(Cl 1 ), ....., θ(Cl k )) correspond à un vecteur dont les composantesreprésentent les fréquences statistiques des classes Cl 1 , ..., Cl k . Comme le nombrede paramètres libres est k − 1, le critère s’écrit :et nous avons :n∑log ˆf(X i |k) =i=1IC(k) = −2n∑k∑i=1 s=1n∑logf(X s |k) + C n (k − 1)s=1log ν(Cl s)µ(Cl s ) 1 Cl s(X i ) =k∑s=1nν(Cl s )log ν(Cl s)µ(Cl s )où ν(Cl s ) est la fréquence de la classe Cl s et nν(Cl s ) sa taille. Le nombre optimal declasses de l’histogramme est donc obtenu en minimisant le critère noté ICH :ICH(k) = −2k∑s=1nν(Cl s )log ν(Cl s)µ(Cl s ) + C n(k − 1)ce qui nous permet d’avoir une estimation du nombre de classes de l’histogramme.TAMTAM –Tunis– 2005

332 Hamzaoui et al.4. Segmentation d’une image couleur4.1. L’algorithme de segmentationDans l’algorithme de classification floue, nous définissons la probabilité d’appartenanced’une couleur C à une région de centre P et de rayon R par :‖C − P ‖2G R (C − P ) = exp(−R 2 )Nous utilisons la fonction d’adhésion floue définie par Chen et Lu [7] pour construireles centres des régions de l’image progressivement, si l’image est formée de k régions,l’expression de cette fonction pour la région m est :H m (C, P 1 , ....., P k ) = G R (C − P m ) ∏[1 − G R (C − P i )]où P i est le centre de la région i pour i = 1, ..., k (k < N) et N le nombre de couleursdans l’image.Le centre P i d’une région est obtenu par une maximisation de la probabilité qu’une couleurC appartienne à la région de centre P i sans appartenir à aucune autre région. SoitV (C; P 1 , ....., P k ) la probabilité que la couleur C n’appartienne à aucune des régions decentre P 1 , ....., P k ,V (C; P 1 , ....., P k ) =i≠mk∏[1 − G R (C − P i )]la probabilité à maximiser est donc f(C)V (C; P 1 , ..., P k ) où f(C) est la fréquence de lacouleur C. L’algorithme de la segmentation est résumé comme suit :Pour k ≥ 11) Estimer les centres des régions par maximum de vraisemblance qui correspondà la maximisation de f(C)V (C; P 1 , ..., P k ) :Si k = 1 le centre estimé doit vérifier l’inégalité suivante :i=1f(C j ) ≤ f(P o k ), j = 1, ..., NSi k > 1 le centre estimé doit vérifier l’inégalité :P o kf(C j )V (C j ; P 1 , ..., P k−1 ) ≤ f(P o k )V (P o k ; P 1 , ..., P k−1 ), j = 1, ..., Nest le centre initial de la région ka) A l’itération (t + 1) le centre initial sera optimisé par :∑P t+1 Ck= iC i f(C i )H k (C i ; P 1 , ..., P k−1 , Pk t ∑)C if(C i )H k (C i ; P 1 , ..., P k−1 , Pk t)TAMTAM –Tunis– 2005

Détermination du nombre de régions d’une image 333b) Si ‖Pk t − P t+1k‖ ≤ δ le centre optimal est P t+1kc) Sinon refaire 1.a pour t = t + 12) Adresser les pixels de la région construite3) Calculer ICH(k).4) Si ICH(k + 1) ≥ ICH(k) Fin.4.2. Segmentation de l’image “HOUSE”Dans cette partie, nous appliquons l’algorithme proposé pour segmenter l’image “HOU-SE” qui contient N = 34177 couleurs et de dimension 256 × 256 pixels. Nous considéronsdans la construction des régions les rayons R = 64, 32, 16 et 8, nous avons obtenules résultats suivants : Par rapport à l’image originelle, nous voyons que la meilleure segmentationcorrespond à R = 16. Ce rayon est optimal, il a été validé par les critères ICH.On constate aussi que la segmentation avec R = 64 n’est pas satisfaisante et que celleque nous obtenons avec R = 8 n’apporte pas d’information supplémentaire.5. Bibliographie[1] Akaike, H. (1973), Information theory and an extension of the maximum likelihood principle, insecond international sympsium of Information Theory, ed. B. N. Petrov and F. Csaki, AkademiaKiado, Budapest, 267-281.[2] El Matouat A. et Hallin M. (1996). Order selection, stochastic complexity and kullback-leiblerinformation in Vol.11 : Time Series Analysis. 291-299. Springer Verlag, New York.[3] Rissanen J. (1981), Universal modeling and coding, IEEE, Trans. inf. theory, vol. IT27, 1,12-23.[4] Rissanen J. (1983), A universal prior for integers and estimation by minimum descriptionlenght, the annals of statistics, vol. 11, 416-431.[5] Schwarz, G. (1978), Estimating the dimension of a model, The Annals of Statistics, Vol.6, 461-464.[6] Shibata, R. (1976), Selection of the order of an autoregressive model by Akaike’s informationcriterion, Biometrika, 63, 117-126.[7] Tie Qi Chen, Yi Lu (2002), Color image segmentation-an innovative approach, Pattern Recognition,35, 395-405.TAMTAM –Tunis– 2005

334 Hamzaoui et al.Figure 1. Segmentation de l’image HOUSE selon différentes valeurs du rayons RTAMTAM –Tunis– 2005

Simulation des courants de Foucaultharmoniques dans des domaines non bornéspar la méthode de Schwarz alternéeF. Jelassi ** LAMSIN, ENIT, BP 37, LE BELVEDERE 1002 TUNIS, faten.jelassi@lamsin.rnu.tnRÉSUMÉ. Nous proposons une méthode pour traiter le modèle des courants de Foucault dans undomaine non borné, réécrit au moyen de la technique des éléments finis couplée à une représentationintégrale (désignée en général par la technique FEM/BEM). La difficulté majeure affrontée lors del’adoption d’une telle méthodologie est : comment prendre en compte numériquement la conditionexacte artificielle et non-locale imposée sur la frontière fictive du domaine tronqué ? Une techniqueitérative est alors mise au point, fondée sur une variante de la méthode de Schwarz, qui permetune meilleure approximation de la solution. Le gain essentiel, est qu’à chaque étape nous avonsà résoudre un problème posé sur un domaine borné avec une condition aux limites locale, ce quiconstitue une tâche relativement aisée pour de nombreux codes de calcul spécialisé.ABSTRACT. We investigate a computing procedure for the unbounded eddy current model put undera coupled finite elements/integral representation form. The exact and non-local artificial condition,enforced on the boundary of the truncated domain, is derived from the simple/double layers potentialand the critical point is: how to handle it numerically? An iterating technique, based on a modifiedSchwarz method, allows us to approximate accurately the solution. The advantage of it is that, at eachstep, only a bounded eddy current problem with a local condition has to be solved, which is currentlycarried out by most of the nowadays (specialized) computing codes.MOTS-CLÉS : Algorithme de Schwarz, électromagnétisme, courants de Foucault.KEYWORDS : Schwarz Algorithm, electromagnetic, Eddy currents.335 TAMTAM –Tunis– 2005

336 Jelassi1. IntroductionLa simulation numérique du problème des courants de Foucault posé dans des domainesnon-bornés, constitue un sujet d’intérêt actuel dans la communauté des numériciens.Les méthodes les plus populaires, utilisées dans ce genre de discrétisation, permettentde réduire les calculs à des domaines bornés en imposant une condition transparentesur le bord fictif enserrant le domaine de calcul. Classées, en général selon lanature de la condition aux limites, certaines techniques sont basées sur une représentationintégrale et engendrent des matrices non creuses. D’autres font appel à des conditions artificiellesasymptotiques (donc inexactes), produisant ainsi des matrices creuses mais assezlarges. Nous proposons, dans cette contribution, d’examiner un solveur de Schwarz pourla méthode de couplage éléments finis/représentation intégrale, connu dans la litérature,sous la dénomination du couplage FEM/BEM. Cette technique, qui utilise une conditionartificielle exacte en adoptant les formules intégrales , nous permet de découpler le traitementdes problèmes intérieur et extérieur générant, ainsi, des matrices creuses.Dans ce qui suit, nous rappelons le modèle réduit des courants de Foucault. Nous discutonspar ailleurs, les performances d’une variante de la technique de Schwarz, appliquéeau problème équivalent en domaine borné suivi d’une investigation numérique.2. Dérivation du modèle des courants de FoucaultSoit Ω = Ω Γ ×IR un domaine cylindrique décrivant un ensemble de plusieurs conducteurs,la section transversale Ω Γ est un domaine borné dans IR 2 avec une frontière régulièreΓ, divisée en p ∗ composantes connexes notées (Γ p ) 1≤p≤p ∗ correspondants auconducteurs (Ω Γp ) 1≤p≤p ∗ (voir Fig 1, Ω Γ est hachuré). Les équations que régissent lephénomène des courants de Foucault en régime harmonique sont :rot H − σE = 0 dans Ω, rot H = 0 dans Ω ′ , iωµH + rot E = 0 dans Ω,div (µH ) = 0 dans IR 3 . (1)Le domaine Ω ′ = IR 3 \ Ω est l’espace libre et sa section transverse est notée Ω Γ , (Ω Γ ∪Ω ′ Γ = IR2 ). Les champs de vecteurs H et E sont repectivement le champ magnétiqueet le champ électrique, ω désigne la pulsation et σ et µ constituent respectivement laconductivité électrique et la perméabilité magnétique. Nous supposons, de plus, que σ estconstante par morceaux à l’intérieur de Ω et que µ est constante dans l’espace libre Ω ′ ,ayant une symétrie transversale (donc indépendante de la variable longitudinale x 3 ). Enoutre, elle est supposée bornée à l’intérieur de Ω avec µ ≥ µ ∗ pour µ ∗ donnée dans IR ∗ +.Grâce aux symétries du système, nous optons pour une solution magnétique transversece qui justifie que toutes les inconnues soient indépendantes de la variable x 3 et queH = (H 1 , H 2 , 0 ) et E = (0 , 0 , E). L’équation (1) établit que H dérive d’un potentielTAMTAM –Tunis– 2005

Simulation des courants de Foucault harmoniques 337scalaire (µH 1 , µH 2 ) = (∂ x2 ϕ, −∂ x1 ϕ). Il est aisé, alors, de montrer que le potentielmagnétique ϕ satisfait le problème réduit suivant (voir [2]) :iωσϕχ ΩΓ − div (µ −1 ∇ϕ) = σCχ ΩΓ dans IR 2 , (2)[ϕ] = [µ −1 ∂ n ϕ] = 0 sur Γ, (3)|ϕ(x)| = α + O( 1 ) |x| → ∞, (4)|x|où ∂ n ϕ représente la dérivée normale de ϕ et χ ΩΓ désigne la fonction caractéristique deΩ Γ . Le terme source C est une fonction constante par morceaux qui s’annule dans l’espacelibre Ω ′ Γ . Les (C p = C |ΩΓp ) p dépendent du courant harmonique total I p circulant dans lesconducteurs Ω Γp . Dans la réalité, la condition à l’infini prend la forme ϕ(x) = α log |x|+O(1). Néanmoins, le facteur logarithmique est déterminé par la loi de Biot-Savart sous laforme α = − 1 ∑2π p I p ; dès lors l’utilisation d’un argument de splitting nous permet deretrouver le problème aux limite (2)–(4). Dans tout ce qui suit, pour toute frontière ferméeΣ ⊂ IR 2 , les symboles Ω Σ et Ω ′ Σ représentent, respectivement les domaines intérieur etextérieur délimités par Σ. Pour toute fonction ψ, ψ désigne son conjugué complexe. Deplus , toutes les fonctions sont à valeurs complexes.3. Résolution du modèle réduit par la méthode de SchwarzNous décrivons une variante de la technique de Schwarz pour le problème des courantsde Foucault (dans [4] Liu et Jin ont adopté l’algorithme de Schwarz dans la résolution desproblèmes de radiation et de diffraction électromagnétique). L’idée essentielle est d’avoirun équivalent variationnel discret issu de l’équation (2)–(4), accessible au calcul scientifique.Dans une première étape, nous faisons appel à la méthode de couplage FEM/BEMqui réunit les avantages substantiels des deux techniques FEM et BEM. Dès lors, le comportementde la solution à l’infini est traité par une condition à la limite artificielle exactenon-standard. Cette condition est exprimée au moyen d’une représentation intégrale surtoute frontière∫régulière Γ ∗ enserrant Ω∫Γ selon la formule :ϕ(x) = ϕG n (x, y) dγ(y) − ∂ n ϕG(x, y) dγ(y) + c = V Γ∗ ϕ(x) + c, (5)Γ ∗ Γ ∗c désigne une constante réelle, G(x, y), étant la fonction de Green de l’opérateur de Laplaceen dimension deux et G n (x, y) sa dérivée normale par rapport à y. Afin de profiterdes avantages de l’opérateur intégral V Γ∗ , nous définissons un problème équivalent dansun domaine borné. Nous introduisons alors, deux frontières fictives emboitées Γ ∗ et Σentourant le domaine Ω Γ . En vertu de la relation (5), nous imposons une condition à lalimite artificielle de type Neumann sur Σ ce qui permet de réécrire le problème réduitdans le domaine borné Ω Σ sous la formeiωσϕχ ΩΓ − div (µ −1 ∇ϕ) = σCχ ΩΓ dans Ω Σ , (6)TAMTAM –Tunis– 2005

338 Jelassi∂ n ϕ = ∂ n (V Γ∗ ϕ) sur Σ, (7)Notons que la condition (7) préscrite sur Σ est exacte et elle est de type Neumann nonstandardà cause de son caractère non-local provenant essentiellement du couplage entre(∂ n ϕ) |Σ et (ϕ |Γ∗ , (∂ n ϕ) |Γ∗ ). Nous soulignons d’emblée, que ce couplage induit quelqueseffets indésirables sur la matrice de rigidité issue du problème couplé discrétisé. Outre,qu’elle soit non-hermitienne, elle est de structure partiellement creuse avec des blocspleins liés aux degrés de liberté localisés sur Σ et autour de Γ ∗ . Ceci rend l’inversiondu système algébrique assez onéreuse pour les deux types de solveurs directs ou itératifs.Nous envisageons de briser ce couplage (entre Γ ∗ et Σ). Nous introduisons, alorsun algorithme de point fixe de Cauchy défini par une suite (ϕ m ) m dont la formulationvariationnelle est l’équation suivante : trouver ϕ m+1 ∈ H ΩΣ = {η ∈ L 2 (Ω Σ ); ∇η ∈L 2 (Ω Σ ) 2 } tel que : ∀ ψ ∈ H ΩΣ∫∫∫∫iω σϕ m+1 ψdx+ µ −1 ∇ϕ m+1 ∇ψdx = σCψdx+ ∂ n (V Γ∗ ϕ m )ψdx. (8)Ω Γ Ω Σ Ω Γ ΣNotre algorithme est interprété comme une méthode de décomposition de domaines deSchwarz, ce qui permet d’établir des résulats de convergence comparables à celles de [1]pour le problème de Poisson extérieur. Il existe r ∈ [0, 1[ tel que‖∇(ϕ m − ϕ)‖ L2 (Ω Σ) ≤ C(ϕ 0 )r m . (9)L’estimation (9) prouve que (ϕ m ) m approche ϕ avec un taux géométrique. Appercevantque l’élimination du couplage entre Γ ∗ et Σ dans la condition non-locale, restore le caractèrecreux de la matrice de rigidité de l’équation (8) approchée par la méthode deséléments finis. Dans la pratique, il est possible, voire recommandé, d’utiliser des solveursdirects ; la factorisation est achevée en pré-processing et, à chaque itération, l’inversionde (8) est effectuée par une méthode de descente-remontée. Par ailleurs, l’algorithme induitun gain considérable en temps comparé au traitement du problème couplé, il s’avèremoins consommateur en nombre d’itérations du à une convergence rapide du prcocessusde Schwarz garantie par l’estimation (9). Ces avantages paraissent bien plus importanteslorsque Γ est multiplement connexe ce qui constitue souvent le cas dans les problèmesd’électrotechnique. Le choix judicieux pour le processus itératif est de créer des frontièresfictives multi-connexes Σ = ∪ 1≤p≤p ∗Σ p et Γ ∗ = ∪ 1≤p≤p ∗Γ ∗,p , les bords Γ ∗,pqui entourent Γ p demeurent cantonnés dans Ω Σp (le sous-domaine interne délimité parΣ p ). L’étude de l’équation (8), dans ce cas de figure, revient à examiner une collection desous-problèmes variationnels, où chacun est posé dans Ω Σp .4. Discussion numériqueNous nous intéressons à la distribution de courant engendrée par deux conducteurscirculaires portants deux courants de charges opposées. Ils présentent une symétrie deTAMTAM –Tunis– 2005

Simulation des courants de Foucault harmoniques 339position par rapport à l’axe x 3 . Ses sections transverses (x 1 , x 2 ), notées Ω G et Ω D , sontdeux disques de rayons ρ = 0.5 séparés par une distance notée d d’axe x 1 (voir Fig. 1).Les valeurs numériques sont µ = µ 0 = 4π × 10 −7 , σ = 1.43 × 10 7 et ω = 120π.Les calculs élément finis sont effectués au sein du code MELINA (cf. [5]). Dans la figure2, nous représentons sur une échelle semi-logarithmique l’évolution du résidu entre deuxitérés successifs en fonction des itérations, et ce pour deux troncatures différentes connexeet non- connexe (voir Fig. 1). Nous observons une décroissance exponentielle du résidu,qui s’accroît lorsque le recouvrement est plus large (le cas connexe).ΓGΩΣdΓDΣΓG.O 2GΩ ΣΣGdBs ΓD. AO 1DΩ ΣΣDFigure 1. Domaines connexe (à gauche) et non-connexe (à droite). Les flèches indiquentle couplage entre Σ et Γ induit par la condition artificielle exacte (nous choisissons Γ ∗ = Γ).10 0Cas non−connexeCas connexe10 −2residu10 −410 −610 −80 5 10 15 20 25iterationFigure 2. Courbe de convergence de l’algorithme pour les configurations de la Fig.1Comme seconde expérience, nous choisissons de réaliser les tests du papier ([7]) (dansce cas ρ/δ = 5, où δ désigne la profondeur de peau). La figure 3, montre la distributionde la densité de courant normalisée sur la portion O 1 ABO 1 (Fig. 1), en magnitude et enphase, calculée à la convergence de l’algorithme, pour des diverses valeurs du quotientd/ρ = {2.1, 3, 5, 10}. La tendance, comparable à celles de ([7]), montre la capacité decette nouvelle procédure à capter la solution exacte.TAMTAM –Tunis– 2005

0 1 2 3 4 5340 Jelassi1|JZ/JB|B200105Densite de courant normalisee0.80.60.4A1053Angle de phase normalise (degre)−20−40−60−80−10032.10.2O12.1O2−1200Distance normalisee s/r−1400 1 2 3 4 5Distance normalisee s/rFigure 3. La distribution de la densité de courant en magnitude (à gauche) et en phase (àdroite) pour un système de deux conducteurs (Fig. 1)5. ConclusionL’objet de cette contribution est de mettre en exergue les performances d’un outil numériquepratique pour traiter le modèle des courants de Foucault. De tous les avantagesofferts par l’algorithme de Schwarz, qui ont été énumérés auparavant, nous retenons celuique nous considérons être le plus important, à savoir une simple modification desprogrammes conçus dans le cas des domaines bornés, permet son adaptation au cas nonborné.6. Bibliographie[1] BEN BELGACEM , M. FOURNIÉ , N. GMATI , F. JELASSI, « Handling boundary conditionsat infinity for some exterior problems by the alternating Schwarz method. », C. R. Math. Acad.Sci. Paris, 336, p. 277–282, 2003.[2] O. BESSON , J. BOURGEOIS , P.-A. CHEVALIER , J. RAPPAZ , R. TOUZANI, « Numericalmodeling of electromagnetic casting processes. », J. Comp. Phys., V. 92, 482–507, 1991.[3] A. JAMI , M. LENOIR, « A new numerical method for solving exterior linear elliptic problems.», Lect. Notes in Phys., 90, p. 292–298, Springer, 1979.[4] J. LIU , J. M. JIN, « A novel hybridization of higher finite element and boundary integralmethods for electromagnetic scattering and radiation problems », IEEE transac. ant. propag.,V. 49, (2001).[5] D. MARTIN, « MELINA, Guide de l’utilisateur. », I.R.M.A.R. et E.N.S.T.A. 2000.[6] J.–C. NÉDÉLEC, « Approximation des équations intégrales en mécanique et en physique. »,cours de DEA, CMAP-Ecole Polytechnique, 1977.[7] Q. ZHENG , J. YI , F. XI , L. MA, « Mutipole theory solution of two-dimensional unboundededdy current problem. », J. Phys. D : Appl. Phys. 33, p. 195–199, 2000.TAMTAM –Tunis– 2005

Une méthode d’accélération de convergenceappliquée à l’algorithme des approximationssuccessives pour la résolution des grandssystèmesA. Laouar * — J. Abdelli *** Département de Mathématiques, Faculté des SciencesUniversité Badji Mokhtar de Annaba B.P. 1223000 Annaba (Algérie)laouarhamid@yahoo.comRÉSUMÉ. Dans ce travail, on étudie une méthode d’accélération de convergence monotone de l’algorithmedes approximations successives (u k+1 = T u k + c, k = 0, 1..) pour la résolution des grandssystèmes (non) linéaires ou bien si le rayon spectral ρ(T ) de la matrice T est voisin de un (dans cecas l’algorithme des approximations successives converge très lentement). L’idée est alors de redémarrerl’algorithme de nouveau en substituant à certaine étape, l’itéré u k par û k qui est l’extrapolationde u k +α k (u k −u k−1 et de u k . Pour l’illustration de cette procédure, on propose d’étudier une classede problème du type d’inéquations variationnelles discrètes avec obstacle.{a(u, u − v) ≥ (f, v − u) L 2 (Ω)u ≤ Ψ, u ≤ voù a est une forme bilinéaire, Ψ l’obstacle et f une fonction donnée. Les résultats numériques obtenusmontrent bien qu’il y a une accélération de convergence très appriéciable.ABSTRACT.MOTS-CLÉS : Accélération de convergence, grands systèmes, équations variationnelles, ordre partiel.KEYWORDS : convergence acceleration, large systems, variational inequations, partial order341 TAMTAM –Tunis– 2005

342 A. Laouar et al.1. IntroductionDans cet article, nous nous intéressons à l’étude d’une procédure d’accélération deconvergence d’itérations à comportement monotones. Plus particulièrement, nous étudionsl’accélération des méthodes des approximations successives (u k+1 = T u k +c, k =0, 1..) dans un contexte d’ordre partiel. Cette procédure a été proposée initialement parM.Falcone et J.C.Miellou [7] en 1979 pour la résolution des systèmes linéaires et a étéétendue ensuite par M.N. El-Tarazi [4] en 1981 pour les systèmes non linéaires. Elleconsiste à interrompre les itérations de la suite ( u k ), k = 0, 1, .., produite par la méthodeitérative à certaine étape bien déterminée, en remplaçant u k par ũ k (où ũ k est l’extrapolationde u k+1 et u k + η k ( u k − u k−1 )), et on redémarre l’algorithme. Cette suite ũ kest plus proche de la solution exacte que les itérés u k+1 et u k et de plus elle préservela proporiété de la monotonie. Nous appliquons cette procédure pour la résolution desgrands systèmes ou bien aussi dans le cas où le rayon spectral ρ(T ) de la matrice T estvoisin de un.Pour l’ illustration de cette procédure, nous proposons la résolution numérique d’uneclasse de problème à frontière libre formulée en terme d’inéquations variationnelles avecobstacle{ a(u, u − v) ≥ (f, v − u)L2 (Ω)u ≤ Ψ, u ≤ voù a est une forme bilinéaire, Ψ l’obstacle et f une fonction donnée.Dans les sections 1 et 2, on posera le problème continu avec les hypothèses nécessaires.On donnera ensuite les analogues discrets du problème et l’application de point fixe discrète.Dans la section 3, nous faisons la description de cette procédure et nous énonçonsdeux théorèmes essentiels. Enfin, dans la dernière section nous présentons les résultatsnumériques.2. Position du problèmeSoit Ω un domaine borné de R n , polygonal et convexe. Considérons le problème del’inéquation variationnelle (I.V.) suivant :⎧⎨ Trouver u telle que(P ) a(u, u − v) ≥ (f, v − u)⎩L2 (Ω)u ≤ Ψ, v ≤ Ψoù a( , ) est une forme bilinéaire, définie parn∑ ∑∫a(u, v) =i,j=1Ωa ij (x) ∂u ∂vdx +∂x i ∂x jn∑∫j=1Ωa j (x) ∂u ∫vdx + a 0 (x)uvdx. (1)∂x j ΩTAMTAM –Tunis– 2005

Une méthode d’accélération de convergence 343Les fonctions a 0 , a i et a ij ∈ L ∞ (Ω), f une fonction régulière donnée dans L 2 (Ω) et Ψrepresente l’obstacle (Ψ ≥ 0 ).L’opérateur A associé à (1) est donné parAv = −n∑i,j=1(∂a ij (x) ∂v )+∂x i ∂x jqui est supposé elliptique au sens suivant :i,j=1n∑i=1a i (x) ∂v∂x i+ a 0 (x)v, (2)n∑n∑a ij (x).ζ i ζ j ≥ α .ζi 2 , .α est une constante posittive p.p. dans Ω, ∀ζ i ɛR n . (3)i=1De même, on suppose l’hypothèse suivante :n∑a ij (x).ζ i ζ j +i,j=1n∑n∑a i (x).ζ i ζ j + a 0 (x).ζ0 2 ≥ α( ζi 2 + .ζ0). 2 (4)i=1Pour plus de détail sur l’étude de l’existence et l’unicité de la solution du problème (P),nous vous renvoyons à ( [1] et [6]).i=13. L’analogue discret du problème (P)Le problème (P) dans sa version discrète s’écrit⎧⎨ Trouver u h la solution discrète de l’I. V.telle que(P h )a h (u h , u h − v h ) ≥ (f h , v h − u h )⎩u h ≤ r h Ψ h , v h ≤ r h Ψ hoù r h est l’opérateur d’interpolation usuel.L’application de point fixe associée au problème (P h ) est définie par(P f){Th : (L ∞ (Ω h ) + → V hw → T h w = z h (w)où V h est l’espace d’élément finis P1 approximant H 1 (Ω h ) et z h (w) est la solution discrètede l’I.V. suivante{ah (z(P f, h )h (w), v h − z h (w)) ≥ (f h , v h − z h (w))z h (w) ≤ r h Ψ h (w), v h ≤ r h Ψ hLe problème (P h ) peut s’écrire aussi comme suit⎧⎨ Trouver u h la solution maximale de(P h ) ′ A h u h≤ f h , u h≤ Ψ h⎩(A h u h − f h ) t (u h − Ψ h ) = 0TAMTAM –Tunis– 2005

344 A. Laouar et al.4. Description de la procédure d’accélérationL’introduction d’une telle procédure présente un grand avantage sur le plan calculatoirepuisqu’elle permet de réduire le temps de calcul sur ordinateur pour l’obtention dela solution numérique du problème. Pour assurer la monotonie de la suite des approximationssuccessives, nous avons besoin de rappeler et énoncer quelques définitions etthéorèmes essentiels.Pour deux vecteurs u et v de R n , la relation d’ordre naturel est définie par{ ∀ u, v ∈ R n , u ≤ v ⇐⇒ u i ≤ v i i = 1, ..., n∀ u, v ∈ R n , u < v ⇐⇒ u i < v i i = 1, ..., n.On pose d’une façon générale le système suivant :Au = b (5)où A=(a i,j ) est une matrice carrée d’ordre nxn et b = (b 1 , .., b n ) t .Ecrivons (5) sous la forme d’un problème de point fixeu = T u + b (6)et considérons l’hypothèse suivante :⎧⎨ T ∈ L(R n , R n ) est une matrice réelle de type , n × n,(H) positive, irréductible et tel que le rayon spectral ρ(T ) de T⎩soit strictement inférieur à 1.Notons par u ∗ le point fixe du problème (6).On définit l’algorithme des approximations successivesPour une donnée initiale u 0 ∈ R nu k+1 = T u k + b pour k = 0, 1, 2, .... (7)où u k est une suite de vecteurs de composantes {..., u k i , ...}.La suite {u k } définie en (7) peut converger vers le point fixe u ∗ pour tout u 0 ∈ R n ; maisbien entendu cette convergence n’est pas nécessairement monotone.Proposition 1.(cf.[7]) Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soit T u 0 + b ≤ u 0(resp. v 0 ≤ T v 0 + b) alors la suite u k (resp. v k ) définie par u k+1 = T u k + b (resp.v k+1 = T v k + b) satisfait u ∗ ≤ ... ≤ u k+1 ≤ u k ≤ ... ≤ u 0 ; lim u k = u ∗ (resp.v 0 ≤ T v 0 + b... ≤ v k ≤ v k+1 ... ≤ u ∗ ; lim v k = u ∗ .).Lemme 1.(cf.[5]) Sous l’hypothèse (H) et pour tout u, v ∈ R n , T u+b ≤ u et T v+b ≤ v.Soit z ∈ R n défini par z = min(u, v) [i.e. z i = min(u i , v i ),i = 1, ..., n] alors on aT z + b ≤ z.TAMTAM –Tunis– 2005

Une méthode d’accélération de convergence 345Lemme 2. Sous l’hypothèse (H) et. pour tout u, v ∈ R n , u ≤ T u + b, v ≤ T v + b.Soit z ∈ R n défini par z = max(u, v) [i.e. z i = max(u i , v i ), i = 1, ..., n] alors on a :z ≤ T z + b.Théorème 1.(cf.[4])Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soient T u 0 + b ≤ u 0 etun paramètre η k (η k > 0) défini parη k = mini∈I {[T (u k−1 − u k )] i[(I − T )(u k−1 − u k } = min)] ii∈I {[(I − T )u k − b] i[(I − T )(u k−1 − u k }.)] iCe minimum est choisi pour tout i vérifiant [(I − T )(u k−1 − u k )] i > 0, avec u k+1 =T u k + b, k = 0, 1, ...Alors la suite ũ k = min[u k+1 , u k + η k (u k − u k−1 )] est la meilleure approximation dupoint fixe u ∗ que les itérés u k ou u k+1 , et de plus cette suite préserve la propriété de lamonotonie (c.à.d u ∗ ≤ ũ k ≤ u k+1 ≤ u k , T ũ k + b ≤ ũ k ).Théorème 2.(cf.[4]) Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soient v 0 ≤ T v 0 + b etun paramètre µ k (µ k > 0) défini parµ k = mini∈I {[T (v k−1 − v k )] i[(I − T )(v k−1 − v k } = min)] ii∈I {[(I − T )v k − b] i[(I − T )(v k−1 − v k })] iCe minimum est choisi pour tout i vérifiant [(I − T )(v k−1 − v k )] i < 0 avec v k+1 =T v k + b, k = 0.1, ...Alors la suite ṽ k = max[v k+1 , v k + µ k (v k − v k−1 )] est la meilleure approximationdu point fixe u ∗ que les itérés v k ou v k+1 , et de plus elle préserve la monotonie (c.à.dv k ≤ v k+1 ≤ ṽ k ≤ u ∗ , ũ k ≤ T ũ k + b).Pour la résolution du problème itératif (7), nous décrivons l’algorithme itératif monotonepermettant de calculer la sur-solution et la sous-solution.Algorithme :Etape 0 :Considérons u 0 , v 0 ∈ R n tels que u 0 ≤ T u 0 + b et T v 0 + b ≤ v 0Etape 1 :{u(A lg 1)k+1 = T u k + bv k+1 = T v k pour k = 0, 1, 2, ....+ bL’algorithme accéléré :Etape 0 :Considérons u 0 , v 0 ∈ R n tels que u 0 < T u 0 + b et T v 0 + b < v 0 .Etape 1 : Pour k = 0, 1, ...{u(A lg 2)k+1 = max[T u k + b, u k + µ k (u k − u k−1 )]v k+1 = min[T v k + b, v k + η k (v k − v k−1 )].Le paramètre µ k (resp.η k ) est calculé par l’expression donnée dans le théorème 1 (resp.théorème 2). Pour le test de convergence de l’algorithme, on utilise la norme suivanteTAMTAM –Tunis– 2005

346 A. Laouar et al.‖ u k − v k ‖ ∞ < ε où ε est nombre positif très petit.Décrivons maintenant la procédure d’initialisation des vecteurs u 0 , v 0 . Si Au 0 < b, etb < Av 0 ( A = I − T ).Les vecteurs initiaux u 0 , v 0 dans l’étape 0 peuvent être choisis de la manière suivante :u 0 = −v 0 = −(δ, ..., δ) t avec δ > max( b λ , −bλ ) > 0etλ = min( ∑ ∑a i,j ) > 0, b = min(b i ), b = max(b i ) oùb = (b i ) i=1,...,n .iiij5. Application numériquePour la réalisation des simulations numérqiues, on prend Ω h =]0, 1[x]0, 1[ et on sedonne un maillage régulier de pas h (h = 1N+1 ). La discrétisation du problème (P h) sefait par la méthode des différences finies qui permet d’obtenir le système linéaire suivant :Au = h 2 f, f = (f 1 , ..., f n ) t (8)où A est la matrice de discrétisation de l’opérateur défini par (2). Cette matrice a unestructure multi-diagonale non symétrique et elle est diagonale dominante. La résolutiondu système (8) se fait par la méthode de Jacobi avec projection.Dans notre expérimentation, nous avons pris δ 1 = √ 2, δ 2 = 0, α 0 = 100, µ 1 = µ 2 =0.01, f = (30, ..., 30) T , Ψ = (3.2, 3, 3.2, ..., s) T et une précision ε = 10 −14 .Tous les calculs ont été traité par le logiciel Mathlab 6.5 ; nous avons calculé le nombred’itérations et mesuré le temps de résolution du problème par l’algorithme (Alg1) et l’algorithmeaccéléré (Alg2).Dans le tableau 1, on regroupe les résultats obtenus pour l’algorithme (Alg1).Le pas de discrétisation h = 1/ (n + 1) Nbre d’itérations Temps :cpu(S)1/9 65 36.80001/14 141 414.9601/16 180 896.4401/17 202 1272.020T ableau 1Le tableau 2 contient les résultats obtenus pour l’algorithme accéléré (Alg2). :Le pas de discrétisation h = 1/ (n + 1) Nbre d’itérations Temps : cpu1/9 30 26.56001/14 69 256.5601/16 88 340.7601/17 93 658.670T ableau 2TAMTAM –Tunis– 2005

Une méthode d’accélération de convergence 347Commentaire : Les résultats obtenus montrent bien qu’il y a une amélioration de convergencepuisque nous obtenons un gain en temps CPU environ de 30% . Pour la généralisationde cette méthode, nous proposons d’étendre cette étude à d’autres problèmes pluscomplexes.6. Bibliographie[1] A. BENSOUSSAN.et J. L. LIONS : Applications des inéquations variationnelles en contrôlestochastique. DUNOD, 1978.[2] C.BREZINSKI. : Convergence Acceleration during the 20th centry, J.Comput. Appl.Math.,122, pp 1-21, 2000.[3] C.BREZINSK & C. CHEHAB : Nonlinear Hybrid Procedure and Fixed Point Iterations, Numer.Funct. Anal. Optimization, 19 (1998) 465-487 systems.J.Comput. Appl.Math.,77, pp 35-51,1997.[4] M.N. El-Tarazi : On a monotony preserving accelerator process for succeccive approximationsmethods. IMA of Numerical Analysis , 6 pp. 439-446, 1986.[5] A. LAOUAR : Aspects de l’analyse numérique de méthodes itératives de point fixe : Erreursd’arrondi, Accélération de convergence, Sous-domaines. Thèse de Doctorat, Université de Besançon,France 1988.[6] S. MAZOUNI : Contribution à l’approximation en norme L ∞ des inequations variationnellesparaboliques. Thèse de Magister, Université de Badji Mokhtar, Annaba. 1996.[7] J.C. MIELLOU : Extrapolation aggregation of monotone kind. Application to "one obstacle’s"stationnary problem.Proceeding of intensive seminary one free boundary value problems. Pavia,Ed. Magenes pp. 411-437, 1979.TAMTAM –Tunis– 2005

Analyse et Application d’un schéma auxvolumes finis dédié au systèmes nonhomogènesS. Sahmim * , F. Benkhaldoun ** Laboratoire d’Analyse, Geometrie et ApplicationsUMR CNRS 7539Institut Galilee - Universite Paris NordAv. J.B. Clement 93430 Villetaneuse.RÉSUMÉ. Cet article concerne l’analyse, en vue de son extension au cas bidimensionnel, d’unschéma proposé récemment pour une classe de systèmes non homogènes. Nous considérons ceuxpour lesquels le problème de Riemann correspondant admet une solution autosimilaire. Des exemplesimportants de tels problèmes sont l’écoulement d’eau peu profonde au-dessus d’un fond non plat etles problèmes diphasiques. L’analyse de stabilité du schéma amène à une nouvelle écriture qui a iciune extension naturelle pour le cas non homogène. Des expériences numériques comparatives pourdes équations de Saint-Venant avec topographie variable, et un problème diphasique (Robinet deRansom) sont présentés pour évaluer l’efficacité du schéma.ABSTRACT. This article is devoted to the analysis, and improvement of a finite volume scheme proposedrecently for a class of non homogeneous systems. We consider those for which the correspondingRiemann problem admits a selfsimilar solution. Some important examples of such problemsare Shallow Water problems with irregular topography and two phase flows. The stability analysisof the considered scheme leads to a new formulation which has a natural extension here to non homogeneoussystems. Comparative numerical experiments for Shallow Water equations with sourceterms, and a two phase problem (Ransom faucet) are presented to validate the scheme.MOTS-CLÉS : Méthodes des volumes finis, Equation de Saint-Venant, Terme source, Problème deRieman, Problèmes diphasiques, Loi de conservation.KEYWORDS : Finite volume method, Shallow water equations, Source terms, Riemann Problems,Tow-phase flow, System of conservation laws .TAMTAM –Tunis– 2005 348

Schéma SRNHS 3491. IntroductionUn grand nombre de problèmes de la mécanique des fluides sont non homogènes ourégis par des équations hyperboliques avec des termes source.Notre but dans cet article est de proposer un schéma pour une classe particulière de systèmesnon conservatifs : ceux pour lesquels on suppose que la solution du problème associéde Riemann est autosimilaire. Cette classe de problèmes est assez large cependant,et peut contenir divers phénomènes tels que les écoulements diphasiques, ou les écoulementsd’eau peu profonde avec topographie raide.Nous nous basons pour cela sur le schéma Solveur de Riemann Non Homogène (SRNH)proposé par F. Benkhaldoun [2], que nous modifions, en introduisant une vitesse de Rusanov,en vue de son extension au cas bidimensionnel.L’analyse de stabilité de ce schéma dans le cas homogène, révèle que le respect dequelques conditions suffisantes pour le principe du maximum amène à réécrire la phaseprédicteur du schéma en introduisant une matrice signe. Le nouveau schéma se révéleraefficace aussi bien pour des problèmes d’écoulement d’eau que pour des problèmes diphasiques.2. Analyse du schéma et introduction de la matrice signe2.1. Cas de systèmes linèaires homogènesOn considère le système hyperbolique linéaire homogène 1D suivant :⎧⎪⎨∂W∂t + A∂W ∂x = 0, (x, t) ∈ D × R∗ +, D ⊂ R⎪⎩W (x, 0) = W 0 (x), x ∈ D(1)Pour ce problème le schéma SRNH présenté par F. Benkhaldoun dans [2] s’écrit, aprèsintroduction de la vitesse de Rusanov, de la manière suivante :⎧⎪⎨⎪⎩= 1 (Wn2 i+1 + Win ) α n i+− 1 22S n A ( Wi+1 n − W n )i(i+ 1 2 ) (2)i = Wi n − rA W n i+− W n 12 i− 1 2W n i+ 1 2W n+1où S n = maxi+ (|λ p|) = ρ (A), avec ρ(A) est le rayon spectral de A, [λ 1 p ] p=1,...,m2 p=1,...,msont les valeurs propres de la matrice A et α n est un paramètre de contrôle.i+ 1 2TAMTAM –Tunis– 2005

350 Sahmim et al.L’analyse de stabilité et de respect du principe du maximum pour ce schéma, montrequ’une condition suffisante consiste à choisir le paramètre de contrôle sous forme matricielle: α n = S n diag( 1i+ 1 2 i+ 1 |λ2 k |), en simplifiant on obtient le schéma SRNHS⎧⎨⎩W n = 1 i+ 1 22W n+1i = W n i − r( )Wni+1 + Win −12 sgn (A) ( Wi+1 n − W )in ,( ( ) ( ))F W n − F W n ,i+ 1 2i− 1 2( )avec sgn (A) = R sgn (Λ) R −1 et sgn (Λ) = diagλk|λ k |.2.2. Cas d’un système hyperbolique non linéaire et non homogèneOn considère le système hyperbolique non linéaire non homogène 1D suivant :⎧⎪⎨∂W∂t⎪⎩W (x, 0) = W 0 (x), x ∈ D+∂F (W )∂x= Q(x, W ), (x, t) ∈ D × R × +, D ⊂ R(3)(4)Pour ce cas le schéma SRNH s’écrit de la manière suivante :⎧⎪⎨⎪⎩= 1 (Wn2 i+1 + Win ) α n i+− 1 ( ( )2 F Wn2S n i+1 − F (Wni ) ) +( ( )i+ 1 2 ( ))i = Wi n − r F W n − F W n + ∆tQ n i+ 1 2i− 1 i2W n i+ 1 2W n+1On suppose qu’il existe un état intermédiaire ¯V ( W n i , W n i+1)tel queα n i+ 1 22S n i+ 1 2∆xQ n i+ 1 2(5)F ( Wi+1) n − F (Wni ) = A ( ( ¯V Wni , Wi+1)) n (Wni+1 − Win ). (6)De manière analogue au cas linéaire homogène, le schéma SRNHS pour le problème (4)s’écrit alors :⎧ (W n = 1 i+⎪⎨1 2 Wni+1 + Win 2+ 1 2 |Ā ( ( )) ¯V Wni , Wi+1n | −1 ∆xQ n i+ 1 2(⎪⎩W n+1Fi = W n i − r)−12 sgn ( Ā ( ( ( )¯V Wni , Wi+1))) n Wni+1 − Win(7)( ) ( ))W n − F W n + ∆tQ n i+ 1 2i− 1 i . 2TAMTAM –Tunis– 2005

Schéma SRNHS 3513. Application du schéma SRNHS pour le problème deSaint-Venant avec topographie irrégulière3.1. Problème de rupture de barrage avec fond discontinuNous prendrons des cas tests avec double singularité [1] : singularié au niveau desconditions initiales et discontinuité du fond.3.1.1. Cas subcritiqueNous allons commencer par tester ce schéma sur un cas subcritique (F r = √ ugh< 1),avec les conditions initiales :.h l = 5m, h r = 1m, u l = 0m/s, u r = 0m/s,3.1.2. Transition critiqueDans ce cas on prend comme condition initiale :h l = 5m h r = 1, u l = −4m/s, u r = 9m/s.4. Application du schéma SRNHS au problème de Ransom4.1. Modèle bi-fluideDans ce travail nous considérons un modèle bi-fluide à pression commune régi parquatre équations , dont deux décrivent la conservation de la masse des deux phases etdeux équations décrivent la conservation de la quantité de mouvement des deux phases.Dans ce cas le système avec condition initiale s’écrit de la manière suivante :⎧⎨∂W (x, t) ∂F (W (x, t))+ + S 1 (x, W ) = S 2 (x, W )∂t∂x(8)⎩W (x, 0) = W 0 (x)avecW (x, t) =S 1 (x, W ) =⎛⎜⎝⎛⎜⎝α v∂pα v ρ vα v ρ v u vα l ρ lα l ρ l u l0⎞⎟⎠ ;∂x + (p − pi v) ∂αv∂x0∂pα l ∂x + (p − pi l ) ∂α l∂x⎛F (W (x, t)) = ⎜⎝⎞⎟⎠ ; S 2(x, W ) =α v ρ v u vα v ρ v u 2 vα l ρ l u lα l ρ l u 2 l⎛⎜⎝⎞⎟⎠0α v ρ v g0α l ρ l g⎞⎟⎠TAMTAM –Tunis– 2005

352 Sahmim et al.4.2. Description de la méthodeOn applique la méthode de perturbation par les densités proposées par J. Cortes,A. Debussche et I. Toumi, en introduisant une matrice auxiliaire A 0 [3], on obtient alorsle schéma :⎧⎨⎩W n = 1 i+ 1 22W n+1i = W n i − r( )Wni + Wi+1n −1( (F W n i+ 1 22 sgn ( A 0 ( ¯W ) ) ( Wi+1 n − W )in ) ( ))− F W n + ∆tSi− 1 in 2(9)4.3. Application Numérique - Robinet de RansomIl s’agit d’un cas test monodimensionnel instationnaire proposé par V.H. Ransomcomme “benchmark” numérique pour les codes de thermohydrolique diphasique 1D [3].5AnalytiqueSRNHS5SRPCSAnalytique4.54.5443.53.5332.52.5220 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.5Figure 1. Cas subcritique : Courbe dela surface libre à t=1 s fond discontinuavec 1600 points0.50.4548 points150 points600 pointsanalyque1−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10Figure 2. Cas transcritique : Courbe dela surface libre à t=0.7s, 800 points−0.2−0.40.4−0.60.350.30.25Log(L1−erreur)−0.8−1−1.2−1.4y=0.480.2−1.60.150 2 4 6 8 10 12−1.8−2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6Log(dx)Figure 3. Courbe de taux de vide dela vapeur entre 48 points et 600 points,comparé à la solution analytiqueFigure 4. Courbe d’erreur en norme L 1associée au taux de vide, pente ≃ 0.5TAMTAM –Tunis– 2005

Schéma SRNHS 3535. ConclusionLes résultats obtenus, comparés à ceux d’autres schémas, attestent que le schémaSRNHS, appliqué au cas de Saint Venant avec topographie irrégulière et au cas diphasique,possède de bonnes propriétés de précision et de robustesse.6. Bibliographie[1] ALCRUDO F., BENKHALDOUN F., « Exact solutions to the Riemann problem of the shallowwater equations with a bottom step », Computers & Fluids. An International Journal, vol. 30,n o 6, 2001, p. 643–671.[2] BENKHALDOUN F., « Analysis and validation of a new finite volume scheme for nonhomogeneoussystems », FVCA3, HPS, R. Herbin, D. Kröner(Eds), Proceedings of the Third InternationalSymposium on Finite Volumes for Complex Application, 2002, p. 229–245.[3] CORTEZ J., DEBUSSHE A.„ TOUMI I. « A density perturbation method to study the eigenstructureof two-phase flow equation systems », Journal of Computational Physics, vol. 147,n o 2, 1998, p. 463–484.TAMTAM –Tunis– 2005

Smoothing and compressing surfaces: Someapplications of Mathematics in CAGD 1H. Mraoui * , D. Sbibih ** Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences,Université Mohammed I, Oujda, MarocE-mails:{mraoui, sbibih}@sciences.univ-oujda.ac.ma1 Research supported in part by PROTARS III D11/18.ABSTRACT. Let Ω = [a, b] × [c, d] be a bounded domain of the plane and let ∆ n,m be a rectangularpartition of Ω. Let C k,l (Ω) be the space of functions defined on Ω such that their mixed derivatives oforder r + s, 0 ≤ r ≤ k and 0 ≤ s ≤ l, are continuous. Given a piecewise function f in C k,l (Ω) exceptat the knots (x i , y j ) of ∆ n,m where it is only of class C k i,l j , k i ≤ k and l j ≤ l. In the first part of thispaper, we introduce a new method which smooth the function f at (x i , y j ), 0 ≤ i ≤ n and 0 ≤ j ≤ m.We describe algorithms allowing to transform f into another function which will be of class C k,l on thewhole domain Ω. Then, as application of this method, we have decomposed tensor product Hermitespline interpolants. In the second part, we present a method which allows us to compress Hermitedata. In order to illustrate our results, some numerical examples are given.RÉSUMÉ. Soit Ω = [a, b] × [c, d] un domaine borné du plan et ∆ n,m une subdivision rectangulaire deΩ. On note C k,l (Ω) l’espace des fonctions définies sur Ω telles que leurs dérivées partielles d’ordrer + s, 0 ≤ r ≤ k et 0 ≤ s ≤ l, sont continues. Etant donnée une fonction f définie par morceauxet de classe C k,l sur Ω sauf aux noeuds (x i , y j ) de ∆ n,m où elle est seulement de classe C k i,l j ,k i ≤ k et l j ≤ l. Dans la première partie de ce travail, on introduit une nouvelle méthode qui lissela fonction f aux (x i , y j ), 0 ≤ i ≤ n et 0 ≤ j ≤ m. Nous décrivons des algorithmes permettantde transformer f en une fonction qui soit de classe C k,l sur tout le domaine Ω. Ensuite, commeapplication de cette méthode, nous avons décomposé le produit tensoriel des interpolants splinesd’Hermite. Enfin, nous présentons une méthode qui permet de compresser des données d’Hermite.Pour illustrer ces différents résultats, nous donnons quelques exemples numériques.KEYWORDS : Smoothing of surfaces, tensor product, Hermite interpolants.MOTS-CLÉS : Lissage de surfaces, produit tensoriel, Interpolants d’HermiteTAMTAM –Tunis– 2005 354

Smoothing and compressing surfaces 3551. IntroductionLet I = [a, b] be a bounded interval of IR and ∆ n = {a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b}be a partition of I. For a given piecewise function f defined on I, which is of class C k oneach subinterval ]x i , x i+1 [, 0 ≤ i ≤ n − 1, and only of class C ki at the knot x i , k i ≤ k,we have proposed in [3] a simple method for smoothing f. More specifically, this methodallows to transform f into another function which will be of class C k on the whole interval[a, b]. In this paper, we want to extend this method to the multivariate case. One obviousway to do this is to use tensor product. Indeed, let ∆ m = {c = y 0 < y 1 < . . . < y m = d}be a partition of another interval J = [c, d] that with ∆ n forms a rectangular partition ofΩ = I × J denoted by∆ n,m = {R i,j = [x i , x i+1 ] × [y j , y j+1 ], (i, j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, . . . , m − 1}} .Let C k,l (ω) be the space of functions defined by{C k,l ∂ r+s}(Ω) = f : Ω → IR such that∂x r ∂y s f ∈ C(ω) for 0 ≤ r ≤ k and 0 ≤ s ≤ l .Let f be a piecewise function defined on ω, such that its restriction to [x i , x i+1 ] ×[y j , y j+1 ] is of class C k,l for all (i, j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, . . . , m − 1}. Suppose thatf is of class C ki,l on each {x i }×]y j , y j+1 [, of class C k,lj on each ]x i , x i+1 [×{y j } andf is only of class C ki,lj at each (x i , y j ), with k i ≤ k and l j ≤ l. It is clear that if weput r = min k i and s = min l j, then, f = f r,s ∈ C r,s (ω). Using some specific0≤i≤n 0≤j≤mdata on f r,s , we want to construct a new function f k,l which will be in the space C k,l (ω),and which has the same values and derivatives up to a given order than f r,s at the knots(x i , y j ). This process can be local or global and it is achieved by adding to f r,s someappropriate piecewise polynomial functions. As application of this method, we give arecursive construction of tensor product Hermite spline interpolants. More specifically, ifthe values and the derivatives up to order k (resp. l) of f in the first variable ( resp. secondvariable) at the knots of ∆ n,m are available, then we show that the Hermite interpolantf k,l of f can be decomposed in the form:k−1∑ ∑l−13∑f k,l = f 0,0 +r=0 s=0 t=1g t r,s,where f 0,0 is the bilinear tensor product interpolant to f at the vertices of Ω, and g t r,s arepiecewise polynomial functions that satisfy some particular and interesting properties.More specifically, we prove that the norm of each one tends rapidly to zero when r ands are large. However, this fact means that g t r,s can be considered as correction terms ordetail functions. Then, according to the above decomposition of f k,l , it natural to make aconnection with a multiresolution analysis. In this regard, we achieve compression of dataTAMTAM –Tunis– 2005

356 Mraoui et al.in the standard way by thresholding out small coefficients of detail functions g t r,s, and weshow that this process leads to the omission of some Hermite data, without affecting thesmoothness of the Hermite interpolant and sacrificing the quality of the approximation.2. Numerical examplesIn this section we give three numerical examples. In the first one, we give the smoothingof a surface. The second is reserved for the decomposition of an Hermite interpolant,and in the last one we give the compression of some Hermite data.2.1. Smoothing a surfaceLet Ω = [0, 2] × [0, 2]. In this example, we consider the piecewise function f definedon Ω by⎧− ln(1 + (x − 1) ⎪⎨2 (y − 1) 2 ) if (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1],sin(2πx) ln(1 + (y − 1f(x, y) =2 )) if (x, y) ∈ [1, 2] × [0, 1],sin(2π(x − 1)(y − 1))/3 if (x, y) ∈ [0, 1] × [1, 2],⎪⎩sin(πx) sin(πy) if (x, y) ∈ [1, 2] × [1, 2].It is obvious that f is only of class C 0,0 on Ω, see the graph of f in Figure 1. Ouraim is to smooth f in order to make it of class C 1,2 on Ω. For this, we use the smoothingalgorithm. We study this example using two different partitions of Ω. we consider the∆ n,m = ∆ n × ∆ m is defined from ∆ n = (0, 0.5, 0.7, 1, 1.3, 1.5, 2) and ∆ m =(0, 0.5, 0.7, 1, 1.1, 1.5, 2). In this case, the function f 1,2 given in Figure 2 is close tof. The corresponding graphs are given in the left column of Figure 2 for the functionsf 1,2 and in the right column for the error functions f − f 1,2 .Figure 1.TAMTAM –Tunis– 2005

Smoothing and compressing surfaces 357Figure 2.2.2. Decomposition of an Hermite interpolantIn this example, we describe the decomposition of the tensor product Hermite splineinterpolant f 2,2 that interpolates the values and the derivatives of the function f(x, y) =cos( x2 −y2), defined on Ω = [0, 4] × [−2, 2], at vertices (x i , y j ) = (i, j) of Ω ∩ Z 2 .According to Section 5, we have f 2,2 = f 0,0 + g0,0 1 + g0,0 2 + g0,0 3 + g1,1 1 + g1,1 2 + g1,1. 3 InFigure 3, we give the graphs of f, f 2,2 , f 0,0 and some detail functions.2.3. Compression of Hermite dataWe consider the function of the above example, i.e.,( x 2 )− yf(x, y) = cos2defined on Ω = [0, 4] × [−2, 2]. (x i , y j ) = (i, j) ∈ Ω ∩ Z 2 .For this function, the Hermite interpolant f 2,2 is completely determined by 368 coefficients.In the following table, we show the numbers of coefficients removed after thresholdingwith different values of ɛ = (ɛ 1 , ɛ 2 ).ɛ 2 \ɛ 1 0.01 0.02 0.03 0.08 0.15 0.2 0.5 0.70.01 49 52 56 72 93 95 104 1080.04 59 62 66 82 103 105 114 1180.1 61 64 68 84 105 107 116 1200.3 72 75 79 95 116 118 127 131The following graphs of f c 2,2 and er = f 2,2 − f c 2,2 are related to the thresholding valueɛ = (0.01, 0.01). f c 2,2 denoted the compressed Hermite interpolant obtained using ourmethod.TAMTAM –Tunis– 2005

358 Mraoui et al.Figure 3.Figure 4.TAMTAM –Tunis– 2005

Smoothing and compressing surfaces 3593. ConclusionStarting from the results given in [2] and [3], we have also proposed in [4] a methodwhich allows to compute recursively the tensor product Hermite interpolant f k,l . Thismethod is similar to the one studied in this paper, but it seems that the computationalcost for evaluating f k,l with the later one is better. Indeed, it is easy to verify that thenumber of coefficients needed for computing the detailed functions in the decompositionof f k,l using the method introduced in [4] is 4nm(k + l + 1), while we need only2n(m + 1)l + 2m(n + 1)k + 4nm if we use the method developed here. Numericalexperiments have still to be done in order to give other further information concerning thecomparison of these two methods.Obviously, the above decomposition of f k,l has several advantages. It allows to computethis interpolant step by step using basis functions which they have simple expressions.But this method is adapted only for tensor product Hermite interpolants. Hence, itis interesting to study the decomposition of any bivariate Hermite interpolant. In regard tothis topic, we have proposed in [5] a method allowing to build recursively bivariate Hermitepolynomial interpolants defined on triangles, and in [6] a Hierarchical computationof particular Hermite spline interpolants of class C k on IR 2 . The development of otherapplications of these results is still under investigation.4. References[1] D. HONG, L. L. SCHUMAKER, “Surface Compression Using A Space of C 1 Cubic SplinesWith A Hierarchical Basis.”, Computing 72 (2004), pp. 79-92.[2] A. MAZROUI, D. SBIBIH, AND A. TIJINI, “A recursive construction of Hermite interpolantsand applications.”, To appear in J. Comput. Appl. math.[3] A. MAZROUI, D. SBIBIH, AND A. TIJINI, “A simple method for smoothing functions andcompressing Hermite data.”, To appear in Adv. Comput. Math.[4] A. MAZROUI, D. SBIBIH, AND A. TIJINI, “A recursive method for the construction of tensorproduct Hermite interpolants.”, Curve and Surface Design, Saint-Malo 2002, T. Lyche, M.-L.Mazure, and L. L. Shcumaker, (eds), Nashboro Press, Brentwood, 2003, pp. 303-314.[5] A. MAZROUI, D. SBIBIH, AND A. TIJINI, “AHierarchical computation of bivariate Hermiteinterpolants.”, Curve and Surface Design, Saint-Malo 2002, T. Lyche, M.-L. Mazure, and L. L.Shcumaker, (eds), Nashboro Press, Brentwood, 2003, pp. 315-324.[6] A. MAZROUI, D. SBIBIH, AND A. TIJINI, “Recursive Computation of Bivariate HermiteSpline Interpolants.”, Submitted.TAMTAM –Tunis– 2005

Raffinement en temps par sous-domaine pourun problème de convection en milieu poreuxA. SbouiProjet Estime, INRIA-Rocquencourt, B.P 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France.RÉSUMÉ. L’objet de cet article est de présenter une méthode de discrétisation en temps telle que despas de temps différents sont utilisés dans différents sous-domaines en espace. L’équation d’advectionest discrétisée par un schéma décentré amont. Le raccord entre les grilles en temps est réalisé parinterpolation et moyenne temporelle..ABSTRACT. The subject of this paper is to present a method of time dicretization so as different stepsof time could be used in different fields of space. Advection’s equation is discretized by a decentredupwind scheme. The link between time’s greeds is realised by interpolation and temporal average.MOTS-CLÉS : Equation d’advection, Volumes finis, Shémas amont.KEYWORDS : Advection’s equation, Finite Volume, Upwind method .TAMTAM –Tunis– 2005 360

Problème de convection en milieu poreux 3611. IntroductionSoit Ω un ouvert de IR 2 de frontière Γ = ∂Ω et soit ⃗n Γ la normale extérieure à Ω. Onmodélise le transport d’un contaminant en milieu poreux par l’équation de conservation.∂c+ div(⃗uc) = 0 dans Ω ,∂tc(., t) = 1 sur Γ − = {(x, y) ∈ ∂Ω | ⃗u · ⃗n Γ < 0},c(., 0) = 0 dans Ω .c(x, y, t) (l’inconnue) est la concentration du contaminant dissout dans l’eau, t ∈ [0, T ],T ∈ IR + , et Γ − représente la frontière amont de Ω par rapport à ⃗u, la vitesse de Darcy del’eau. Celle-ci est solution d’un problème d’écoulement résolu auparavant, par exemple :div ⃗u = 0⃗u = − K ⃗ µ∇p⃗u · ⃗n = g sur Γ Np = p 1 sur Γ Doù K est la perméabilité du milieu poreux et µ la viscosité du fluide, p la pression dans lefluide ,et Γ N et Γ D sont les parties de Γ où une condition de Neumann et une conditionde Dirichlet sont imposées : Γ = Γ N ∪ Γ D .2. Discrétisation avec utilisation d’un pas de temps uniquePour simplifier on se place dans le cadre d’un maillage régulier de rectangle de côtésparalléles aux axes et numérotés j, k, j = 1 : nx et k = 1 : nyOn suppose que Ω =]a, b[×]d, e[ est un ouvert rectangulaire. Soit T h une subdivisionde Ω en carrés T j,k : Ω = (T j,k ) j,k .On discrétise l’intervalle [a, b] en sous intervalles [x j−1/2 , x j+1/2 ] et l’intervalle [d, e] ensous intervalles [y k−1/2 , y k+1/2 ] avecx 1/2 = a ≤ ... ≤ x j ≤ ... ≤ b et h x = x j+1/2 − x j−1/2 ,y 1/2 = c ≤ ... ≤ y k ≤ ... ≤ d et h y = y k+1/2 − y k−1/2.On approche c par une fonction constante sur chaque maille. En utilisant un schémadécentré amont d’ordre 1 en espace et d’Euler explicite en temps, on obtient :c n+1j,k = cn j,k(1 − ∆th x h y((Qx) j+1/2,k + (Qy) j,k+1/2 )) +c n j−1,k∆t(Qx) j−1/2,k + c n ∆tj,k−1 (Qy) j,k−1/2 . (1)h x h y h x h yTAMTAM –Tunis– 2005

362 SbouiQ x et Q y représentent les débits d’eau qui traversent respectivement les arêtes verticaleset horizontales par rapport à chaque maille.3. Utilisation de raffinement en temps par sous-domainesLe domaine carré Ω est divisé en deux sous-domaines Ω 1 et Ω 2 de perméabilité K 1 etK 2 différentes. On suppose que K 1 ≥ K 2 .Figure 1. partition du domaine : définition des sous domaines et des interfaces : Γ 12 =Γ + 12 ∪ Γ− 12 et Γ = Γ+ ∪ Γ−Dans un milieu à forte perméabilité le fluide a tendance à circuler rapidement, alorsque dans un milieu peu perméable le fluide se déplace lentement.Dans la suite on va montrer comment utiliser des pas de temps différents dans chacun dessous-domaines, les pas de temps étant déterminés par les condition CFL associées à cessous-domaines. La condition CFL implique que, pour une grille en espace donnée, le pasde temps est inversement proportionnel à la vitesse de Darcy.La situation sur l’interface Γ 12 est différente suivant qu’on se trouve sur Γ − 12 ou surΓ + 12 . En effet sur Γ− 12 l’amont se trouve sur Ω 1 où l’on utilise des pas de temps plus petitsque dans Ω 2 . Sur Γ + 12 l’amont se trouve dans Ω 2 où l’on utilise des pas de tempsplus grands que dans Ω 1 . Le choix des concentrations amont est imposé par le souci derepecter a concentraton de masse. Sur Γ12 − cette concentration est une moyenne desconcentrations calculées dans Ω 1 , tandis que sur Γ12 + les concentrations amonts sontcelles calculées dans Ω 2 .TAMTAM –Tunis– 2005

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Problème de convection en milieu poreux 3630.90.80.70.60.50.40.30.20.10Figure 2. La vitesse du fluide dans le cas où K 1 = 100 et K 2 = 10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 3. Concentrations dans le cas hétérogène (K 1 = 100 et K 2 = 1) calculées parla méthode de raffinement temporel à l’instant t = 3. Le rapport des pas de temps estR = 114On a calculé des erreurs L 1 et L 2 mesurant la différence entre la solution calculée surun maillage donné et la solution exacte. Cette solution “exacte“ est en fait calculée sur unmaillage fin.10 010 −1Erreur L210 −1Erreur L110 −210 −210 −3 10 −2 10 −110 −310 −3 10 −2 10 −1Figure 4. Erreur L2(à gauche) et L1(à droite) en échelle logarithmique à t = 5s entre lasolution de référence c f calculée avec h = 1/640 et la solution c h calculée avec h = 1/10,1/20, 1/40, 1/80, 1/160 et 1/320 dans le cas homogène K 1 = 1 par la méthode utilisantun seul pas de temps ( ... ) et la méthode utilisant deux pas de temps ( o ).TAMTAM –Tunis– 2005

364 Sboui4. ConclusionLa méthode de raffinement local en temps pour le traitement de la convection par unschéma explicite se montre prometteuse du point de vue numérique. En effet avec cetteméthode on arrive à diminuer le nombre de pas de temps nécessaires pour réaliser unesimulation tout en conservant une précision convenable.Il reste maintenant à confirmer ces bons résultats par une analyse théorique à tester la méthodedans des cas plus complexes, notamment sur des maillages plus raffinés en espace.5. Bibliographie[1] RANDAL J.LEVEQUE, « Finite Difference Methods for Differential Equations. », Washington,USA, 1998.[2] G.STRANG, « Introduction to Applied Mathematics. », Cambridge Press 1986.[3] A.SBOUI, « Raffinement en temps par sous-domaine pour un problème de convection en milieuporeux » à paraître.TAMTAM –Tunis– 2005

Condensation de masse pour la méthode des élémentsfinis mixtes hybridesAnis YOUNES *,** , Philippe ACKERER † , and François LEHMANN *** Laboratoire de Génie industriel, Université de la Réunion15 avenue René Cassin, BP 7151 – 97715 St Denis Cedex 09 La Réunion, France.e-mail : younes@imfs.u-strasbg.fr**Institut de Mécanique des Fluides et des Solides, Université Louis Pasteur deStrasbourg - CNRS/UMR 75072 rue Boussingault, F- 67000 Strasbourg, France.RÉSUMÉ.ABSTRACT.MOTS-CLÉS :KEYWORDS :365 TAMTAM –Tunis– 2005

366 Younes et al.1. IntroductionCe document regroupe toutes les informations nécessaires à la composition d'un Dansce travail, nous considérons la résolution numérique de l’équation elliptique suivante :PaP s f sur t PPesur D(1) P a g sur N 2 étant un domaine de de frontière avec Det Ndes partitions de correspondant à des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neuman et levecteur unitaire normal sortant à la frontière .Dans ce travail, l’équation (1) représente l’équation d’écoulement en milieu poreuxsaturé sans l’effet de la gravité. P désigne dans la pression, a la conductivité et fle terme puits/source.La méthode des Eléments Finis Mixtes Hybrides (EFMH) appliquée à (1) permetd’avoir un bilan de masse exacte à l’échelle de l’élément. Elle fournit simultanémentla variable P et la vitesse aP. Le système est dans ce cas résolu avec une valeurmoyenne TP par arête pour les inconnues. La matrice obtenue est symétrique définiepositive mais qui n’est pas, en général, une M-Matrice (une M-Matrice est unematrice non singulière avec les éléments mii0, mij 0 ).La propriété de M-Matrice est importante en physique, elle garantie le respect duprincipe de maximum discret i.e. dans un domaine (ou une partie de celui-ci) sanstermes puits source, il ne peut y avoir de minimum ou de maximum local dans lasolution en P obtenue. Cette propriété permet d’avoir des résultats en accord avec laphysique.Dans le cas d’un régime stationnaire ( s 0 ), les EFMH donnent une M-Matriceuniquement dans le cas d’une triangulation avec des angles aigus [1]. Pour préservercette propriété dans le cas du régime transitoire ( s 0 ), il est nécessaire de changerl’espace élément fini de Raviart-Thomas pour les flux [2].Dans la littérature, l’utilisation d’une formule de quadrature adéquate pour calculernumériquement les intégrales dans la matrice élémentaire a permis de diagonalisercelle-ci et d’aboutir ainsi à une procédure de condensation de masse. Cette techniqueTAMTAM –Tunis– 2005

Condensation de masse 367montre que les formules de quadratures rendent la méthode des EFMH équivalente àla méthode des différences finies dans le cas de mailles rectangulaires [3, 4].L’extension de cette technique pour les mailles triangulaires a été effectuée dans [5,6]. Notons que cette technique nécessite une triangulation aux angles aigus dans [2, 6]alors que cette condition est relaxée à une triangulation de Delaunay dans [7].Dans ce travail, nous allons rappeler le système final obtenu avec la méthode desEFMH pour la résolution de (1) et étudier les différentes conditions pour avoir une M-Matrice dans le cas du régime stationnaire et non stationnaire. Nous proposons ensuiteune procédures de condensation de masse basée sur le lien entre les EFMH et leséléments finis non conformes de Crouzeix-Raviart. Cette procédure de condensationde masse, notée EFMHC, sera généralisée à différents types de maillages (triangles,rectangles).La dernière partie de ce travail sera consacrée aux expériences numériques afind’étudier la robustesse et la précision de la méthode des EFMHC par rapport à laméthode standard des EFMH.2. La méthode des éléments finis mixtes hybrides (EFMH)Pour un élément triangulaire A avec les 3 arêtesvitesse à l’intérieur de l’élément est approchée par : 3A AqA Qi ii1Ai, dans le cas des EFMH, laAisont les vecteurs de base de l’espace de Raviart-Thomas [8] de plus bas degréRT0 :A1 Axx ii(x) ,i 123 , ,A (3)2 A yyiA Aavec x i,yi les nœuds de l’élément A et A sa surface.L’écriture variationnelle de l’équation q aPdonne 31 A 1A A A Aa q a B Q P P TP(4)AA i ij j i ij1AA AOù B est la matrice élémentaire ( B . ),ij i jAAP etrespectivement les pressions moyenne sur l’élément A et sur l’arêteAi.(2)ATPisontTAMTAM –Tunis– 2005

368 Younes et al.La matrice B étant inversible, l’équation (4) s’écrit3A 1A Aiijjj1Q a B P TP(5)Avec (voir [9])rjkrjk rjkrki rjkrij 1 1 111 1B rjkrki rkirki rij rki 1 1 1A 3 rjk rij rij rki rij r ij 1 1 1 (6) étant le coefficient défini par [9],3ij ik jk Bij 48 A312(7)j1avec rijle vecteur partant du nœud i au nœud j , ijson module ( ij rij).L’équation (1) est discrétisée avec un schéma implicite en temps :3sA1 PA,nA,n A A P Qj A fA Qs(8)tj1En utilisant (5), on obtient3AA,n1 aA,n1 A,n QsP iTPi P (9) i1 3 3sA1 1 1 , i B ij , i3 , a .tavec L’équation (5) devient j1 j13 3AA,n 1 ai A,n 1 1 A,n 1 i A,n iQ sQi ajTPj Bij TPj P j1 j1 ALe système final est obtenu en écrivant la continuité des pressions TPi TPi (10)des flux entre deux éléments adjacents A et B :Q Q 0(11)A,n1 B,n1iiPour une arête i , le terme diagonal de la matrice lui correspondant est :2A BA1aimii mii miiavec miiaBii (12) BetTAMTAM –Tunis– 2005

Condensation de masse 369Le terme hors diagonal estA a1 i j mijaBij (13) D’après (6), le terme diagonal devientrjkrAjk 1 1miia a 0(14)A3 2 3 a Le terme hors diagonal (13) s’écritA 1 a mija2cotank 2 (15)3 avec kl’angle correspondant au nœud k en face de l’arête k [9].Nous obtenons doncAo Si tank 0 alors mij 0(16)Ao Si 0tan k6 alors mij 0(17)o Si 6 tankalorsA3a 1 mij 0 pour 1(18) 16cotank Ainsi, dans le cas du régime stationnaire ( 0 ), les EFMH donnent une M-Mtricepour une triangulation à angles aigus. Dans le cas du régime transitoire, les EFMHdonnent une M-Matrice si le pas de temps de calcul vérifie la condition (18) pour tousles angles du maillage qui vérifient 6 tank.La méthode des Eléments Finis Mixtes Hybrides avec Condensation de masse(EFMHC)Dans le cas d’un régime stationnaire avec termes puits/source, les flux (10)deviennent :3 3AA,n1 i A,n1 1 A,n1iQsQ a TP a B TP (19)i j j ij j j1 j1Dans ce cas le système (11) pour les TP est identique au système obtenu avec leséléments finis non conformes [10]. La méthode des EFMH est également équivalenteau schéma boite dans [11]. La pression et la vitesse peuvent être approchés en deuxTAMTAM –Tunis– 2005

370 Younes et al.étapes. La pression est approchée via la méthode des éléments finis non conformes1Pnc,0. Ensuite, la vitesse est approchée dans chaque éléments via l’espace RT0 par : f x xA A qAaP (20)2 yyAqui vérifie l’équation de conservation de la masse au niveau de l’élément A ,.qA fA.Dans le cas du régime transitoire, il n y a plus d’équivalence entre les EFMH et leséléments finis non conformes.Si on utilise une procédure de condensation de masse avec les éléments finis nonconformes, l’expression de la vitesse q devient :A f x xA As xxAi n1nqA aP TPi TPi2 yyA 6ti yyiqui vérifie l’équation de conservation de la masse suivante(21) sA1 A,n1 1 A,n sAA,n1A,n.q A fA TPi TPi fA P P t 3 i 3(22)i tL’expression de la vitesse (21) peut s’écrire sous la forme AA A A A TPiqA qA i xfA sA ix3 (23) i 3 i tavec q Ala vitesse dans le cas du régime stationnaire ( s 0 ) sans termespuits/source ( fA 0 ).Ce schéma est équivalent à un schéma EFMH avec condensation de masse qui seranoté EFMHC, défini comme suit : La vitesse sur chaque élément A est définie via l’espace RT0 par 3A AqA Qi i(24)i1AQiest le flux à travers l’arête i défini parAA A A TPiQi Qi fA sA3 3 t(25)TAMTAM –Tunis– 2005

Condensation de masse 371Aet Qile flux correspondant au problème stationnaire sans termespuits/source, donné par3 3A i1Qia jTPj a Bij TPj(26) j1 j1 Le système final est obtenu en écrivant la continuité des pressions et des fluxentre deux éléments adjacents A et B :ABA B AA A TPBB BiTPiQi Qi Qi fA sA Qi fB sB0(27)3 3 t3 3 tPour l’arête i , le terme diagonal de ce système est :r A Bjkr Ajk sAA mii mii miiavec miia 0(28) A 3tLe terme hors diagonal estAmij 2acotank(29)AANous avons donc mii 0 et mij 0 pour 0 tank.La matrice obtenue avec les EFMHC est donc une M-Matrice dans le cas d’unetriangulation à angles aigus pour le régime stationnaire ainsi que pour le régimetransitoire.4. Bibliographie[1] Brezzi F, Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods., Springer,Berlin, 1991.[2] L. D. Marini and P. Pietra, New mixed finite element schemes for currentcontinuity equations, The Int. Jour. For Comp. And Math. In Electrical and ElectronicEngineering vol.9, No. 4, (1990), 257-268.[3] G. Chavent, and J. E. Roberts, A unified physical presentation of mixed,mixed hybrid finite elements and standard finite difference approximations for thedetermination of velocities in waterflow problems, Adv. in Water Resources, 14(1991), 329-348.[4] A. Weiser, M. F. Wheeler, On convergence of block-centered finitedifferences for elliptic problems, SIAM J. Numer. Anal., 25 (1988) 351-375.TAMTAM –Tunis– 2005

372 Younes et al.[5] R. Sacco and F. Saleri, Stabilized mixed finite volume methods forconvection-diffusion problems, East-West J. Numer. Math., 4 (1997), pp. 291-311.[6] Baranger J, Maitre JF, Oudin F. Application de la théorie des éléments finismixtes à l'étude d'une classe de schémas aux volumes-différences finis pour lesproblèmes elliptiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 1994; 319, Série I : 401-404.[7] S. Micheletti, R. Sacco and F. Saleri, On some mixed finite element methodswith numerical integration. SIAM J. Sci. Comput., 2001; 23 (1): 245-270.[8] P. A. Raviart and J. M. Thomas. A mixed finite element method for secondorder elliptic problems, in Mathematical Aspects of Finite Element Method, LectureNotes in Mathematics, Vol. 606, Springer, New York, 1977, 292-315.[9] Chavent, A. Younes, Ph. Ackerer. On the Finite Volume Reformulation ofthe Mixed Finite Element Method for Elliptic and Parabolic PDE on triangles.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192 (2003), pp. 655-682.[10] Z. Chen, Equivalence between and multigrid algorithms for mixed andnonconforming methods for second order elliptic problems, East-West J. Numer.Math. 4 (1996).[11] B. Courbet, J.P. Croisille, Finite Volume Box Schemes on triangular meshes,Math. Model. And Numer. (1998), 32, 5, 631-649. Z.TAMTAM –Tunis– 2005

VIIIModèles CinétiquesKinetic Models373

The two-band Schrödinger model: Applicationto a resonant interband tunneling diodeN. Ben Abdallah * , J. Kefi-Ferhane + -* Laboratoire Mathématique pour l’Industrie et la Physique, UMR5640, Université Paul Sabatier,118, route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex France.+ Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numérique dans les Sciences de l’Ingénieur, EcoleNationale d’Ingénieurs de Tunis, B.P. 37 Le Belvédère 1002 Tunis, Tunisie.- Fac des Sciences de Bizerte, Jarzouna Bizerte 7021.e-mail: naoufel@mip.ups-tlse.fr; Jihene.Kefi@lamsin.rnu.tn.ABSTRACT. A mathematical model for quantum transport in an interband resonant tunneling diodeis studied numerically. The wave function of electrons has two components and is a solution ofa 2 × 2 matrix Schrödinger equation derived from k.P theory. The first component representingthat part of electrons living in the conduction band while the second part is for the valence band.Transparent boundary conditions are derived and a Gummel type scheme is used to treat the twobandSchrödinger-Poisson coupling in order to accelerate the convergence. In the end, stationaryI-V characteristics and transmission coefficients are computed for an InAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs typestructure.RÉSUMÉ. Le modèle Schrödinger à deux bandes modélisant le transport électronique dans lesdiodes à effet tunnel résonnant interbande a était étudié numériquement. La fonction d’onde associéeaux électrons est solution d’un système matricielle ayant deux composantes. Une représentantles électrons se trouvant sur la bande de conduction et la seconde ceux se trouvant sur la bandede valence. Des conditions aux bords transparentes sont dérivées et une méthode type Gummel aétait utilisée pour la convergence du problème Schrödinger-Poisson. Les résultats numériques obtenusconcernent les caractéristiques de la structure InAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs: courant-tension etcoefficients de transmission.KEYWORDS : Two-band Schrödinger model; conduction band; valence band; resonant interbandtunneling diode.MOTS-CLÉS : Schrödinger à deux bandes, bande de conduction, de valence, diode à effet tunnelrésonnant interbande.375 TAMTAM –Tunis– 2005

376 Ben Abdallah et al.1. IntroductionThe tunneling phenomena in semiconductor heterostructure has been the focus of intensiveresearch since the pioneering work of Tsu and Esaki (Ref.1). They discovered aregion of negative differential resistance (NDR) in the current voltage characteristics ofelectron tunneling through a one-barrier heterostructure. Much experimental and theoreticalwork has been done to study their applications and to describe the transport processin these types of structures. Indeed, the resonant tunneling devices have been attractingmuch attention recently because they exhibit high peak current densities which is desirablefor ultra-high-speed application. For instance, the double-barrier resonant tunnelingdiode (RTD) has been a subject of great interest over the past several years. It displaysmultiple NDR regions in their current-voltage characteristics than the Esaki diodes. However,recent progress in the growth of materials with different band gaps has stimulated thedevelopment of novel tunnel structures. Recently, a resonant interband tunneling diodes(RITD) was proposed (Ref.2) as away to combine the features of both interband tunnelingin the Esaki diode and resonant tunneling in quantum wells. Contrarily to the conventionalRTD with one alignment band, the RITD has two band alignment. The tunneling in suchstructures takes place through resonant valence-band levels. Such devices were predictedto have a very low valley current as in tunnel diodes owing to the band-gap blocking of thenon-resonant components and a high peak current as in RTD due to the sharp resonanceon a quasi-bound state.In this paper, the quantum-well double-barrier resonant interband tunneling diode RITDhas been taken to be the prototype interband quantum semiconductor device (Ref.2). Thisdevice consists of two band alignment with a single quantum well bounded by tunnelingbarriers, as shown in the following figure 1.Figure 1. Schematic energy-band diagrams for a 1.D interband tunnel device under a potential V .This type of structure can be described by the two-band Schrödinger equation. Moreprecisely, the transport properties of these structure requires the self-consistent solutionof both Poisson and two-band Schrödinger equations.TAMTAM –Tunis– 2005

The two-band Schrödinger model 377The outline of this paper is as follows: section 2 is devoted to the introduction of thedifferent equations to solve and the description of the iterative procedure for obtaining theself-consistent two-band Schrödinger and the Poisson solution. In section 3, the numericalmethods are presented. Like in (Ref.3) and (Ref.4) , we deal with an explicit Runge Kuttaof order 4 with adaptatif mesh applied to the two-band Schrödinger equation and theGummel method to solve the Poisson equation. In section 4, the numerical results for anInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs type structure in the stationary case is presented.2. The different equations to solveIn this section, we use two types of equations in order to solve the coupled twobandSchrödinger-Poisson model. The first one is a one-dimensional non-scaled two-bandSchrödinger equation.⎛d 2⎜ − 2⎝ 2m dx 2 − eV c(x) iP d( ) ( )dx ⎟ ψ1 ψ1iP d − 2 d 2⎠dx 2m dx 2 − E ψ 2 = Eψ 2 . (1)g − eV c (x)Then, we derive in the same spirit of (Ref.5, 6 and 7) the associated Fourier boundaryconditions. Indeed, we getdΨdx (0) − iK −(E)Ψ(0) = i(k c (E)I 2 − K − (E))⃗e + c (E), (2)dΨdx (1) − iK +(E + eV 1 )Ψ(1) = 0, (3)where ψ 1,2 the components of the wave function Ψ according to the two bands, E is theenergy, V is the potential energy, the reduced Planck constant and m is the electronmass. The terms ⃗e ± c (E), k c,v (E) are given respectively by⃗e c ± (E) =⃗e v ± (k) =k c,v (E) = + √√( √ (δ 2 + P 2 k 2 + δ)2 √ δ 2 + P 2 k 2⎞√( √ (δ 2 + P 2 k 2 ∓P k+ δ)2 √ δ 2 + P 2 k 2 1(δ + E + P 22 ) ± √(δ + P 2)1∓P kδ+ √ , (4)δ 2 +P 2 k 2δ+ √ δ 2 +P 2 k 2), (5)2 )2 + EP 2 (6)and K ∓ (.) represent a 2 × 2 matrix wave with ′′ − ′′ for waves at x < 0 and ′′ + ′′ for wavesat x > 1.It is defined by the following expressionK ∓ (E) = B ∓ (E)D ∓ (E)B −1∓ (E), (7)TAMTAM –Tunis– 2005

378 Ben Abdallah et al.where B ∓ (E) is the 2 × 2 matrix transforming the canonical basis on to the basis vectors(e ∓ c (E), e ∓ v (E)) and B −1∓ (E) its inverse matrix. Indeed, D ∓ (E) is a diagonal matrix. Itis equal to( )∓kc (E) 0D ∓ (E) =. (8)0 ∓k v (E)The one dimensional Poisson equation is− d2 Vdx 2 (x) = e ɛ r(n D − n), with V (0) = 0 and V (1) = V 1 (9)where ɛ r is the relative dielectric constant and n D is the ionized donor concentration andn is the electron density distribution. The wave function Ψ and electron density n arerelated byn(x) =∫ +∞where g 0 (k) the one dimensional full Fermi-Dirac statistic0g 0 (k)|Ψ(x)| 2 dk (10)g 0 (k) = m∗ k b T−Ec(k) + eµπ 2 log(1 + exp( )). (11)k b TEc(k) is the conduction energy band, T is the temperature, m ∗ is the effective mass andµ is the Fermi potential related to the Fermi energy E F by E F = −eµ.In this case, we use an iteration procedure to obtain a self-consistent solution for equations[1]-[3] and [9]. Starting with a trial potential V (x), the wave function correspondingto each wave vector k can be used to calculate the electron density distribution n(x) using[10]. The computed n(x) and a given donor concentration n D (x) can be used to calculatethe Poisson potential via equation [9]. The new potential V is then obtained. The subsequentiteration will yield the final self-consistent solution for V and n which satisfy acertain error criteria.3. Numerical methodsThe simple way to solve the linear system [1]-[3] is to make a variable change whichleads to an ordinary differential equation. Then, the previous problem can be solvedusing for example fourth order Runge-Kutta method. For the discretization of the Poissonequation, we use the linear Gummel method where equation [9] becomes− d2 V newdx 2 (x) + e2ɛ r k B T |n(x)|V new = e (n D − n +eɛ r k B T |n(x)|V old)), (12)V new (0) = 0 and V new (1) = V 1 . (13)TAMTAM –Tunis– 2005

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3The two-band Schrödinger model 379120IpicT=300K10 −1100Current density (kA/cm 2 )80604020Ivalley0Log transmission coefficient10 010 −210 −310 −410 −510 −6TTcTv10 −70 0.5 1 1.5 2 2.5Energy (eV)Valence bandGap bandConduction bandVoltage (V)Figure 2. a)The current-voltage for an InAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs resonant interband tunneling with10Ang AlSb barriers and 30Ang GaSb well when P = 1.4 ∗ 1e + 6 eV.m. b) Calculated transmissioncoefficients of the interband resonant tunneling diode according to the two bands.To maximize the computing efficiency and to save the memory space, we have used aCholesky decomposition. We notice that this is not the unique method. Other methodshave been proposed such that in thesis of E. Polizzi (Ref. 4). He used an iterative methodwhich is a conjugate gradient with incomplete Cholesky preconditionor.4. Numerical resultsThe device simulated is a one dimensional RITD which consists of L b barrier widthand 1.97 eV height. The quantum well is of L w width. Then, the double barrier quantumwell region of the resonant interband consists of undoped GaSb well sandwiched betweenAlSb barriers. This region is separated from InAs electrode layers by 4.5 nm wide unintentionallydoped InAs space layers. Moreover, the conduction of InAs is chosen as theenergy reference (zero) point.The first important characteristic of this device is the simulation of the current voltagewhere the expression of the current is given byJ(x) = e(∫ +∞0g 0 (k) (Im(DΨ(x) • Ψ(x))) dk. (14)In figure 2-a), the device is run from 0 to 0.3 V olts in 0.01 increments. The peak currentI pic on the order of 110 kA/cm 2 is reached at a voltage 0.05 V olts. It correspondsto tunneling through the valence band. The peak-to-valley current (I pic /I valley ) ratio is8.3 at room temperature.In these heterostructure RITD, the device operation depends entirely on the unique fea-TAMTAM –Tunis– 2005

380 Ben Abdallah et al.ture that the valence band edge of GaSb is higher than the conduction band edge of InAsby 0.15eV . This gives rise to a tunneling window for the transmission of electrons betweenthe valence band edge and the conduction band edge. This is shown in figure 2-b).The transmission coefficients of electrons according to the valence band (dotted) and theconduction band (dashed) are calculated. The sum of both transmission coefficients givesthe total transmission coefficient (solid). The resonant peaks are seen clearly in the figure.The first peak is reached for a low energy 0.02eV in the energetic region of 0.15 eVcorresponding to the valence band. The two peaks after are reached for a higher energiescorresponding to resonance energies in the conduction band. These two peaks will nottake part in the conduction taking into account that the distribution of carriers holds witha 0.161eV Fermi level in InAs. Moreover, the high contrast between transmission in thevalence and the gap band was already found in the current curve (see figure 2-a) with alower potential corresponding to a high peak current. We also note the existence of energieshaving a transmission probability according to the valence band going to zero (-∞on a logarithmic scale).5. References[1] TSU R. AND ESAKI L., “Tunneling in a finite superlattice.”, Appl. Phys. Lett. 22 (11), 562-564,1973.[2] SWEENY M. AND XU J., “Resonant interband tunnel diodes.”, Appl. Phys. Lett. 54 (6) 546-548, 1989.[3] PINAUD O., “Transient simulations of a resonant tunneling diode.”, J. Appl. Phys., 92 4,1987-1994, 2002.[4] POLIZZI E. “Thèse de doctorat,” Institut National des Sciences appliquées, Toulouse, 2001[5] ARNOLD A., “Numerical absorbing boundary conditions for quantum evolution equation.”,VLSI Design 6, 1-4, 313, 1998.[6] BEN ABDALLAH N. AND KEFI J., “Limite semi-classique du problème de Schrödinger avecmasse variable.”, C. R. Acad. Sci. Paris t. 331, Série I, pp 165-170, 2000.[7] KEFI J., “The Schrödinger with variable mass model: mathematical analysis and semi-classicallimit.”, Quart. Appl. Math . 62, n:2, 201-220, 2004.TAMTAM –Tunis– 2005

Particules dans un potentiel de surface : unelimite asymptotique du modèle deVlasov-PoissonP. Degond * — C. Parzani * — M. H. Vignal ** MIP, UMR 5640 (CNRS-UPS-INSA),Université Paul Sabatier,118 route de Narbonne, 31062 TOULOUSE cedex, FRANCE.{degond,parzani,mhvignal}@mip.ups-tlse.frRÉSUMÉ. On s’intéresse ici à la modélisation du transport de particules chargées piégées dansun potentiel de surface. Ces particules collisionnent avec la paroi plane contre laquelle elles sontconfinées par le potentiel extérieur appliqué. A partir d’un modèle cinétique constitué de l’équationde Vlasov couplée à l’équation de Poisson, nous dérivons un modèle asymptotique obtenu lorsquele champ confinant est grand et lorsque le processus de collisions à la surface est essentiellementspéculaires.ABSTRACT. Here, we are interested in the modelization of the transport of charged particles trappedin a surface potential. These particles are subject to collisions with the plane surface and are confinedclose to the surface by an applied exterior potential. From a kinetic model, constituted of the Vlasovequation coupled with the Poisson equation, we derive an asymptotic model obtain when the confiningelectric fied is high and when the collisionnal processus on the surface is essentially specular.MOTS-CLÉS : collisions surfaciques spéculaires, limite asymptotique, Vlasov-Poisson, particuleschargées.KEYWORDS : specular surfacic collisions, asymptotic limit, Vlasov-Poisson, charged particles.381 TAMTAM –Tunis– 2005

382 Degond et al.1. IntroductionOn s’intéresse à la modélisation du transport de particules chargées confinées contreune surface plane par un champ éléctrique appliqué.Ce problème intervient notamment dans les phénomènes d’arcs électriques sur les panneauxsolaires des satellites. Durant l’utilisation de panneaux hautes tensions de sévèresintéractions apparaissent entre les cellules solaires du satélite et le plasma environnant.Dans [1], un scenario est proposé, il consiste en deux phases : une phase pendant laquelleun plasma haute densité est créé et une phase pendant laquelle un arc électrique s’établitet endomage le panneaux solaire. Ce travail est un premier pas vers la description de lapremière phase c’est à dire de la décharge primaire (voir [5]).Le point de départ de notre modélisation est un modèle cinétique constitué de l’équationde Vlasov couplée à l’équation de Poisson. On suppose qu’un potentiel extérieur estappliqué et confine les particules contre une paroi plane. Ces particules entrent en collisionavec cette surface. Nous nous intéressons au modèle limite obtenu lorsque le processuscollisionel dominant à la paroi est spéculaire et lorsque les particules sont confinéescontre la paroi. Le modèle ainsi obtenu consiste en une équation de type Boltzmann coupléeà une équation de Poisson modifiée. Les inconnues de ce modèle sont d’une partla moyenne de la fonction de distribution des particules dans la direction transverse à laparoi ainsi que la trace du potentiel sur la surface.Nous présentons tout d’abord, au paragraphe 2, le modèle physique cinétique ainsique son adimensionnement. Puis, au paragraphe 3 nous donnons le modèle asymptotiquedérivé formellement du modèle cinétique adimensionné.2. Le modèle de Vlasov-Poisson en variables physiques etadimensionnéesOn s’intéresse au mouvement de particules piégées dans un potentiel de surface etsubissant des collisions spéculaires avec cette surface. On considère le domaine Ω =IR 2 ×] − ∞, 0[ et on suppose qu’une paroi solide est située sur la frontière du domaine∂Ω = IR 2 × {0}. On note x = (x, z) ∈ IR 2 × IR − , v = (v, v z ) ∈ IR 2 × IR les vecteursposition et vitesse. Soit f la fonction de distribution des particules, elle satisfait l’équationde Poisson en variables physiques∂ t f + v · ∇ x f − q m ∇ xΦ · ∇ v f = 0, (1)pour tout (x, v, t) ∈ Ω × IR 3 × IR + , où q et m sont respectivement la charge et la massede chaque particule. Le potentiel électrique Φ est donné par Φ = φ + φ s où φ est unTAMTAM –Tunis– 2005

Particules dans un potentiel de surface 383potentiel extérieur donné et où φ s est le potentiel auto-consistant, donné par l’équation dePoisson :∫−ε 0 ∆ x φ s = q f(v) dv (2)IR 3dans Ω pour tout t ≥ 0, où ε 0 est la permitivité du vide et où les conditions aux limitessont données par∂ z φ s (z = 0) = 0 on ∂Ω × IR + ,lim φ s(x, ·) = 0 in IR + . (3)|x|→+∞On considère la condition initiale suivante dans Ω × IR 3f(t = 0) = f 0 , (4)où f 0 est ue fonction à support compacte dans ¯Ω × IR 3 .Afin de donner les conditions aux limites sur ∂Ω pour l’équation de Vlasov, nousintroduisons les traces entrante et sortante de f sur la surface ∂Ω, respectivement notéesγ − (f)(v z ) si v z < 0 et γ + (f)(v z ) si v z > 0, pour tout (x, v, t) ∈ IR 2 × IR 3 × IR + . Alorson considère la condition aux limitesγ − (f)(v z ) = βSγ + (f)(v z ) + (1 − β)Kγ + (f)(v z ), (5)où β est la probabilité pour une particule arrivant sur la paroi ∂Ω d’être réémise de manièrespéculaire. L’opérateur S est l’opérateur de réflexion spéculaire et K est un opérateurgénéral de collisions surfaciques. Pour tout v z < 0, on écritet∫Kγ + (f)(v z ) =Sγ + (f)(v z ) = γ + (f)(−v z ), (6){v ′ =(v ′ ,v ′ z )∈IR2 ×IR + }K(v ′ , v) γ + (f)(v ′ z) v ′ z dv ′ , (7)où K(v ′ , v) |v z | dv est le nombre de particules réémises dans [v, v+dv] pour une particulearrivant sur la surface ∂Ω, avec une vitesse v ′ .Le but de ce travail est d’obtenir un modèle asymptotique lorsque les collisions spéculairessont dominantes à la paroi et lorsque le potentiel extérieur φ confine les particulescontre la paroi. On note |E ⊥ | l’échelle de |∂ z φ| et |E // | celle de |∇ x φ|, alors, on supposeque α = |E // |/|E ⊥ | est un très petit paramètre adimensionné. De plus, on suppose queles collisions dominent à la paroi, c’est à dire que β = 1 − α.On effectue un changement d’échelle dans [1]-[5]. On note L c , v c et t c la longueur,la vitesse et le temps caractéristiques avec v c = √ |q| L c |E // |/m et t c = L c /v c . Deplus, soit f c l’ordre de grandeur de f 0 , alors les variables adimensionnées sont ¯x =(¯x, ¯z), ¯v et ¯t définies par x = L c ¯x, z = L c ¯z/α, v = v c ¯v et t = t c ¯t. De plus, onpose ¯φ(¯x, ¯t) = q φ(x, t)/(|q| L c |E // |), f α (¯x, ¯v, ¯t)) = f(x, v, t)/f c et φ α s (¯x, α¯z, ¯t) =TAMTAM –Tunis– 2005

384 Degond et al.q φ s (x, t)/(|q| L c |E // |). On note ˜z = α ¯z et on suppose qu’il existe ¯f 0 indépendante deα, à support compacte dans ¯Ω × IR 3 et telle que f 0 (x, v) = f c ¯f0 (¯x, ¯v). Il est à noter∂ z φ = C/α ∂ z φ, ainsi si ∂ z φ est un paramètre d’ordre 1, ∂ z φ est d’ordre 1/α >> 1.Ce changement d’échelle nous conduit à introduire un nouveau paramètre adimensionné: λ. Il est supposé d’ordre 1/αλ = q f c L c (v c ) 3ε 0 |E // |= ¯λα ,avec ¯λ d’ordre 1.Enfin, on introduit ¯ψ le potentiel extérieur transverse défini par¯ψ(x, z, t) = ¯φ(x, z, t) − ¯φ(x, 0, t), (8)pour tout (x, z, t) ∈ Ω × IR + et on fait l’hypothèse suivanteest dé-Hypothèses 1 Pour tout (x, t) ∈ IR 2 × IR + , la fonction IR − → IRz ↦→ ¯ψ(x, z, t)croissante et lim z→−∞ ¯ψ(x, z, t) = +∞.En utilisant ce changement d’échelle et ces nouvelles notations dans [1]-[5], en remarquantque ∂ z φ = ∂ z ψ et en omettant les « barres », nous obtenons l’équation de Vlasovadimensionnée, posée dans Ω × IR 3 × IR + ,(∂ t f α (z)+v·∇ x f α (z)−)∇ x φ(z)+∇ x φ α s (α z) ·∇ v f α (z)−∂˜z φ α s (α z) ∂ vz f α (z) [9]+ 1 α()v z ∂ z f α (z) − ∂ z ψ(z) ∂ vz f α (z) = 0,où φ est le potentiel extérieur donné et φ s le potentiel auto-consistant donné par l’équationde Poisson adimensionnée−∆ x φ α s (α z) − ∂ 2˜z˜zφ α s (α z) = λ ∫f α (z, v) dv, (10)α IR 3dans Ω pour tout t ≥ 0.Les conditions aux limites sontγ − (f α )(v z ) = (1 − α) Sγ + (f α )(v z ) + α Kγ + (f α )(v z ), pour tout v z < 0,(11)∂˜z φ α s (z = 0) = 0, sur ∂Ω × IR + , (12)lim|x|→+∞ φα s (x, ·) = 0, dans IR + , (13)où S est donné par [6] et K par [7] (en changeant K en ¯K et en omettant les « barres »).Enfin la condition initiale estf α (t = 0) = f 0 , (14)TAMTAM –Tunis– 2005

Particules dans un potentiel de surface 385dans Ω × IR 3 .3. Le modèle asymptotiqueOn présente dans ce paragraphe le modèle asymptotique obtenu en passant formellementà la limite α tend vers zéro dans le système [9]-[14].Théorème 2 Soit α > 0, f 0 à support compacte dans ¯Ω × IR 3 et φ régulier. On note ψ lapartie transverse de φ définie par [8]. On suppose que ψ satisfait les Hypothèses 1. Soitf α , φ α s les solutions du modèle Vlasov-Poisson adimensionné [9]-[14]. Alors, la limiteformelle α → 0 donne f α → f et φ α s → φ s avecf(x, v, t) = F (x, v, ε z , t), (15)où ε z = |v z | 2 /2 + ψ(z) et où la fonction F satisfait, pour tout x ∈ IR 2 , v ∈ IR 2 , ε z ≥ 0et t ≥ 0,()∂ t F + v · ∇ x F − ∇ x ˜φs + < ∇ x φ > ·∇ v F +()< ∂ t ψ > +v· < ∇ x ψ > ∂ εz F= 1 N z(K(F ) − F ),la fonction ˜φ s est la valeur du potentiel auto-consistant φ s en z = 0, c’est à dire⎧˜φ s (x, t) = φ s (x, 0, t), pour ∫ tout (x, t) ∈ IR 2 × IR + ,⎪⎨ −∆ x φ s − ∂zzφ 2 s = λ δ(z) N z F dε z dv, ∀ (x, z, t) ∈ IR 2 × IR − × IR + ,IR 2 ×IR +∂ z φ s (z = 0) = 0,⎪⎩ lim φ s = 0,|x|→+∞où δ est la distribution de Dirac et où N z est la densité d’état donnée par(16)(17)N z (x, ε z , t) = √ ∫ 012 √ dz, (18)Z(x,t,ε z) εz − ψ(x, z, t)où ε z ↦→ Z(x, t, ε z ) est l’inverse de la fonction bijective z ↦→ ψ(x, z, t) de IR − dans IR + .De plus pour toute fonction g de IR − dans IR n (n ≥ 1), < g > est la moyenne de g dansle potentiel ψ et est donnée par< g >=√ ∫ 2 0g(z)√ dz. (19)N z Z(x,t,ε z) εz − ψ(x, z, t)TAMTAM –Tunis– 2005

386 Degond et al.Enfin l’opérateur K est un opérateur de collisions, surfaciques, non spéculaires, donnépar∫ (K(F )(x, v, ε z , t) =(v ′ , − √ 2 ε ′ z), (v, − √ )2 ε z ) F (x, v ′ , ε ′ z, t) dε ′ z dv ′ ,IR 2 ×IR + Kpour tout (x, v, ε z , t) ∈ IR 2 × IR 2 × IR + × IR + .(20)4. Bibliographie[1] M. CHO, D. E. HASTINGS, « Dielectric charging processes and arcing rates of high voltagesolar arrays », J. Spacecraft and Rockets, 28 698–706, 1991,[2] N. BEN ABDALLAH, F. MEHATS, O. PINAUD, « Adiabatic approximation of the Shrödinger-Poisson system with a partial confinement », SIAM J. Math. Anal, à paraître,[3] P. DEGOND, « Transport of trapped particles in a surface potential », Nonlinear partial differentialequations and their applications, Collège de France Seminar, Vol. XIV, 273–296, Paris,1997/1998, Stud. Math. Appl., 31, North-Holland, Amsterdam, 2002 ,[4] P. DEGOND, C. PARZANI, M.H. VIGNAL, « An asymptotic model for particles confined in asurface potential », en préparation,[5] P. DEGOND, R. TALAALOUT, M.H. VIGNAL, « Electron transport and secondary emissionin a surface of solar cell », Proceedings of the Workshop ESA-CNES, ESTEC, Noordwijk, theNetherlands, 2000,TAMTAM –Tunis– 2005

IXOptimisationOptimization387

Les métaheuristiques : applicationréseaux intelligents d’antennesF. Debbat* & F.T. Bendimerad***Institut d’informatiqueCentre Universitaire de MascaraALGERIEdebbat-fati@yahoo.fr**Laboratoire de TélécommunicationUniversité de TlemcenALGERIEft_bendimerad@yahoo.frRÉSUMÉ. Les problèmes d’optimisation requièrent des méthodes robustes, efficaces et flexibles.Afin de s’affranchir de la complexité du problème d’adaptation d’un réseau d’antennes, de réduire lecoût de réalisation et de simplifier le modèle étudié. nous avons proposé l’utilisation de deuxmétaheuristiques qui sont : l’algorithme génétique et le recuit simulé pour l’optimisation d’un réseaud’antennes intelligent (adaptatif). Ce type de réseaux annule les signaux brouilleurs en pondérantet combinant les signaux du réseau d’antennes. Ainsi le diagramme de réception du réseaud’antennes prévoit une extinction dans les directions des signaux brouilleurs tout en évitant unedégradation du gain dans la direction du signal de communication désiré.MOTS-CLÉS : Optimisation, métaheuristique, Algorithme génétique, Recuit simulé, Réseauxd'antennes intelligents.KEYWORDS: optimization, metaheuristic, genetic algorithm, simulated annealing, smart arrayantennas.389 TAMTAM –Tunis– 2005

390 Debbat et al.1. IntroductionUn problème d’optimisation combinatoire est un problème qui peut s’exprimer parune fonction (dite coût) avec ou sans contraintes, à minimiser ou maximiser sur unensemble de définition fini ou dénombrable. C’est le cas de nombreux problèmes, dansdes domaines d’applications très variés, qu’ils soient scientifiques ou techniques. Toutles problèmes d’optimisation combinatoire n’ont pas le même degré de difficulté, celuici étant surtout lié à la dimension de l’espace de recherche et au paysage de la fonctionà optimiser (nombre de minima, dérivabilité, etc.) En conséquence, de multiplesalgorithmes d’optimisation ont été développés. Le travail que nous présentons a commeobjectif, l’étude et l’évaluation de l’adéquation de deux algorithmes d’optimisation(recuit simulé et l’algorithme génétique) dans le cadre de l’optimisation d’un réseaud’antennes intelligent (adaptatif). Ce type de réseaux annule les signaux brouilleurs enpondérant et combinant les signaux du réseau d’antennes. Ainsi le diagramme deréception du réseau d’antennes prévoit une extinction dans les directions des signauxbrouilleurs tout en évitant une dégradation du gain dans la direction du signal decommunication désiré.2. Principe général de l’Algorithme Génétique et le RecuitsimuléL’algorithme génétique est un algorithme d'optimisation s'appuyant sur destechniques dérivées de la génétique et de l'évolution naturelle : croisement, mutation,sélection, etc. L’algorithme génétique a déjà une histoire relativement ancienne puisqueles premiers travaux de John Holland sur les systèmes adaptatifs remontent à1962(Holland.J.H.75). L’algorithme génétique recherche le ou les extrema d'unefonction définie sur un espace de données. Pour l'utiliser, on doit disposer des cinqéléments suivants (Holland.J.H.75) (Salomon.M2001)(Barbay.J.98) : un principe decodage de l'élément de population, un mécanisme de génération de la populationinitiale, une fonction à optimiser, des opérateurs permettant de diversifier la populationau cours des générations et des paramètres de dimensionnementLe recuit simulé est une méthode d’optimisation apparue en 1982, avec la publicationdans la revue science d’un article de Kirpatrick (Kirpatrick.S &al 93).. Le recuit simuléfut obtenu par analogie avec le phénomène thermodynamique de recuit des métaux.Initialement, le métal est porté à très haute température, puis il est refroidiprogressivement (Salomon.M2001) (Bosi.H.C 96). Bien qu’originellement le recuitTAMTAM –Tunis– 2005

Les métaheuristiques 391simulé fut introduit pour des problèmes discrets, il peut être utilisé pour résoudre desproblèmes continus en discrétisant l’espace de recherche.3. Application : Optimisation d’un réseau intelligentd’antennes3.1. Principe d’un réseau intelligent d’antennesUn réseau d'antennes est un ensemble d'antennes élémentaires, disposées selon unegéométrie particulière, et destinées à émettre ou à recevoir la même fréquence. Enagissant sur la pondération en amplitude et en phase du signal appliqué ou reçu parchaque élément, on peut obtenir un diagramme de rayonnement particulier : parexemple très directif, ou sur un angle solide donné, ou encore présentant une réjectionde directions particulières. Le processus de sélection des poids est effectué par desalgorithmes d’adaptation qui construisent des signaux de référence à partir d'uneconnaissance préétablie de la structure des signaux de communication ou d'une portiondes données transmises. (Farina.A 92) (Rong.Z 96) (Quiniou.T 99) (Lehne.P.H &al 99).3.2. Optimisation par l’algorithme génétiqueSoit un réseau rectiligne et uniforme de N éléments. Le champ total est donné par :FN 1i 0 f a exp jkid sin i 0cos b i(1) : angles de direction des sources, a : amplitude de l’alimentation duietiréseau d’antennes,ibi: phase de l’alimentation du réseau d’antennes, d : représentef champ d’un élément du réseaul’espacement entre les éléments du réseau,d’antenne (il est identique pour l’ensemble des antennes du réseau) et k0 est lenombre d’onde.Le principe de l’adaptation du réseau d’antennes est de déterminer la pondérationcomplexe d’alimentation qui place des zéros dans les directions des interférences, c'està-diretrouver les valeurs de a iet bi. L’approche utilisée à l’aide de l’algorithmegénétique pour adapter le réseau d’antennes est de fixer l’amplitude de la pondération etTAMTAM –Tunis– 2005

392 Debbat et al.de rechercher uniquement la loi de phase optimale qui minimise les niveaux derayonnement en directions des interférences.Le lien entre l’algorithme génétique et le problème d’adaptation du réseau d’antennesest réalisé par la fonction fitness suivante:M 1Nfitness 20 log10 sif(i) anexp jk0ndsin ncos n bn (2) i1n 1M : le nombre d’interférence, s : vecteur d’espace des sources,iLes variables à optimiser sont représentées par des gènes et l’ensemble des gènesconstitue un individu. Par analogie avec notre problème, les gènes sont les b n etl’individu est l’ensemble du vecteur phase de n éléments.La première étape de l’algorithme génétique est de générer une population initialesous forme d’une matrice binaire de L lignes et de C colonnes, telles que : L est lenombre d’individus et C est le nombre de gènes dans l’individu et est égal au nombred’éléments, c'est-à-dire N fois le nombre de bits du codage binaire utilisé. Nousévaluerons la force des individus de la population, en calculant la fitness de chaqueindividu (chaque ligne de la matrice initiale). A partir de cette étape, les opérateurs del’algorithme génétique vont intervenir dans la reproduction de populations par : lasélection, le croisement et la mutation. Notons que ces opérations sont réalisées sur lapopulation codée en binaire. L’AG effectue la sélection et le classement des meilleursindividus en se basant sur le principe de la sélection proportionnelle.Implémentation et résultatsComme premier essai, nous avons considéré un réseau d’antennes rectiligne à 10éléments espacés uniformément de /2. Le réseau d’antennes est d’abord alimentéuniformément en phase et en amplitude(figure1).TAMTAM –Tunis– 2005

Les métaheuristiques 393Fig. 1 Diagramme de rayonnement non Fig. 2 Réjection d’une interférence à 50°adapté d’un réseau rectiligne à 10 éléments.pour un réseau rectiligne à 10 éléments.En présence d’une interférence localisée à la direction 50°, Le diagramme derayonnement adapté par l’algorithme génétique est présenté par la figure 2. Dans cettefigure, nous remarquons que le diagramme de rayonnement ne subit aucune dégradationet la réjection est systématiquement dans la direction de l’interférence avec un niveau deréjection très bas de l’ordre de -64 dB.Dans le cas de réjection suivant, nous utilisons un réseau rectiligne à 100 éléments,en présence de deux interférences localisées à 44° et 52°. L’augmentation du nombred’éléments implique une amélioration de la réjection (le niveau de réjection de l’ordrede -55dB). Nous remarquons aussi une diminution des niveaux de lobes secondaires etaucune dégradation du gain.Fig. 3: Diagramme adapté en présence d’interférences à 44° et 52°.TAMTAM –Tunis– 2005

394 Debbat et al.3. 3.Optimisation par le recuit simuléL’approche utilisée à l’aide du recuit simulé pour adapter le réseau d’antennes à sonenvironnement est similaire à celle adopté dans le cas de l’algorithme génétique c’est àdire fixer l’amplitude de la pondération et rechercher uniquement la loi de phaseoptimale. On garde la même fonction objectif (fitness) utilisée dans l’algorithmegénétique. Pour l’optimisation d’un réseau d’antennes par le recuit simulé, nous avonsdéveloppé l’algorithme suivant :X1 2 hxnà n inconnus (n est le nombred’antennes du réseau) dont chaque composante de ce vecteur est comprise dans unintervalle [a, b] (bornes inférieure et supérieure de variation de la phase).Soit f (X) la fonction coût que l’on doit minimiser ( f (X) = coût de l’équation 2).Soit un vecteur phase x, x ,...., x ,...., L’algorithme de recuit simulé procède de manière itérative lorsqu’il génèresuccessivement, à partir d’un vecteur phase initial X0, les nouveauxvecteurs X1 ,...,Xi, jusqu’à obtention du minimum global de la fonction coût f (X) .'Pour cela, on génère un nouveau vecteur X , à partir du vecteur courant Xi:/X Xi g X(3)Où : g Xtransformateur suivant lequel évolue la variable du problèmeSi le vecteur phase X ’ obtenu est meilleur que X i , il est alors accepté et devient X i+1 . Ilest en plus enregistré dans X opt (meilleur vecteur phase obtenu) et la solutioncorrespondante dans f opt (fonction coût minimal).Dans le cas contraire, on utilise la probabilité d’acceptation du processus du recuitsimulé, pour savoir si nous gardons ou si nous rejetons le vecteur phase déterminé. Sile vecteur est accepté, nous générons alors le vecteur X i+1 qui est égale à X ’ .L’algorithme démarre à haute température T 0 (température initiale). Après chaqueM n itérations (M le nombre de transformation à température constante), latempérature est réduite grâce à un coefficient r T et une nouvelle séquence demouvement est produite. on s’arrêté à température finale donnée initialement.Simulation et résultatsNous avons utilisé un réseau rectiligne à 10 éléments imprimés rectangulaires etespacés uniformément de /2. Nous supposons dans un premier cas la présence d’uneinterférence localisée à la direction 40°, ensuite nous allons étudier le comportement duprocessus du recuit simulé en présence de plusieurs interférences(3).TAMTAM –Tunis– 2005

Les métaheuristiques 395Fig.4 : Réjection d’une interférence à 40°. Fig. 5 Réjection à -65°,10° et 50°D’après la figure 4, nous constatons que la réjection se fait systématiquement dansla direction de l’interférence et Le niveau de réjection de l’interférence estremarquablement très bas de l’ordre de -82dB. Dans la figure 5, nous remarquons quele taux de réjection reste très amélioré. Le niveau de réjection est de l’ordre de -60dB.Aucune dégradation du gain dans la direction du signal utile même pour lesinterférences très proches du faisceau principal et la réjection se fait systématiquementdans la direction de l’interférence.4 ConclusionL’optimisation d’un réseau d’antennes par ces deux méthodes a donné des résultatsde réjection très intéressants, surtout pour le cas du recuit simulé, puisque le taux deréjection est très comparable avec les méthodes analytiques sans aucune dégradationen direction du signal utile. Ce qui peut être considéré comme une importanteamélioration apportée par cette méthode. Cependant, il faut se rendre compte du nombrede paramètres qui interviennent dans l’implémentation de ces approches de réjection etde la forte influence de ces paramètres utilisés. Notons que ces réjectionsd’interférences par l’algorithme génétique et le recuit simulé ont été obtenues, enn’optimisant qu’un seul paramètre de l’alimentation du réseau, à savoir la phase engardant l’amplitude fixe. Ceci a pour effet direct de réduire le coût de réalisation duréseau et son encombrement.TAMTAM –Tunis– 2005

396 Debbat et al.5. BibliographieBarbay.J,98 Barbay.J, "Capacités d’adaptation des algorithmes génétiquesde DEA, aout.1998.Bosi H.C, 96 Bosi H.C, "Evaluation de la sûreté de fonctionnement modèles combinatoires etmarkoviens", Thèse de Doctorat, IRISA. Décembre.1996.Farina. A, 92 Farina. A "Antenna-Based signal processing techniques for radar systems",artech house,INC. 1992.Holland J.H, 75 Holland J.H., "Adaptation in naturel and artificial systems", MIT Press, 1975.Kirpatrick.S,& al 83 Kirpatrick. S, C.D.Gelatt and M.P.Vecchi, "Optimization by simulatedannealing", Science,220(4598),pp 671-680,June 1983.Lehne.P.H,& al 99 Lehne.P.H and M.Pettersen " An overview of smart antenna technology formobile communications systems", IEEE Communications Survys Vol.2 N o .4,1999.Rong.Z, 96 Rong.Z, " Simulation of adaptive array algorithms for cdma systems", Master thesis,Verginia Polytechnic and State University, Blasksburg, Verginia, September.1996.Salomon.M, 2001 Salomon.M, "Etude de la parallésation de méthodes heuristiquesd’optimisation combinatoire", Thèse de Doctorat, université louis Pasteur Strasbourg 1,Décembre.2001.Quiniou T, 99 Quiniou T, " Les antennes intelligentes dans le domaine des radiocommunicationfixes et mobiles : caractérisation et modélisation spatio-temporelle du canal de propagation",Thèse de Doctorat, Université de Renne1, Juin 1999.TAMTAM –Tunis– 2005

Prices after capacity addition in multi-userelastic demand communication networksM. El Kamili * , M. Abbad * , R. El Azouzi †* Département Math-Info, Faculté des sciences B.P. 1014, 10000 Rabat, Maroc. (melkamili@yahoo.fr,abbad@fsr.ac.ma)† LIA-CERI 339 chemin des Meinajariès BP.1228, 84911 AVIGNON Cedex 9 France.(rachid.elazouzi@lia.univ-avignon.fr)ABSTRACT. We consider in this paper some propperties on prices under flow control in a networkthat is to be shared by noncooperative users. Each user is faced with an optimization problem whichis formulated as the minimization of its own criterion subject to constraint on the flows of the otherusers. The operating points of the network are the Nash equilibria of the underlying routing game.Our objective is to study the behavior of prices of all users when the network designer needs toallocate capacities to network links. For parallel links topologies, we show that degradation of theperformances such as prices will not take place, as well as the users may find it beneficial to improvetheir requests.RÉSUMÉ. Nous considérons dans cet article quelques propriétés sur les prix (mesure de performance)dans le cadre de contrôle des flux dans un réseau de télécommunication qui doit être partagépar des utilisateurs non coopératifs. Chaque utilisateur est confronté à un problème d’optimisation quiest formulé par la minimisation de sa propre fonction objective sous contraintes sur les flux des autresutilisateurs. Le point fondamental de fonctionnement du réseau est l’équilibre de Nash. Notre objectifest d’étudier le comportement des prix de tous les utilisateurs quand le concepteur du réseau veutaugmenter les capacités des liens de réseau. Pour le cas simple de la topologie des liens parallèles,nous montrons que la dégradation des performances tels que les prix n’aura pas lieu et les utilisateurspeuvent améliorer leurs demandes.KEYWORDS : Computer Communication Network, Routing, Flow control, Noncooperative Games.MOTS-CLÉS : Réseaux de télécommunication, Routage, Contrôle de flux, Jeux non-cooperatifs.397 TAMTAM –Tunis– 2005

398 El Kamili et al.1. IntroductionFlow control and routing are two components of resource and traffic management intoday’s high-speed networks, such as the Internet and the ATM. Flow control is used bybest-effort type traffic in order to adjust the input transmission rates (the instantaneousthroughput of a connection) to the available bandwidth in the network. Routing decisionsare taken to select paths with certain desirable properties, such as minimum delays. Inreal time applications, however, an application may have several criteria for quality ofservice. It might be sensitive to delays and losses, or it might seek to minimize somecost imposed on the use of network resources. In the presence of several users each withseveral objectives, who determine the routes for flows they control, this gives rise to anoncooperative multicriteria game. As is often the case in today’s networks, quality ofservice of an application is often given through an upper bound on some performancemeasure (delay, loss rate or jitter, see e.g. [ATM1999]). An appropriate framework formodeling this situation is that of noncooperative game theory.In this paper, we approach the problem of combined competitive flow control androuting from a different viewpoint: given that the network is shared by noncooperativeusers, is it possible to devise a set of design rules which guarantee that the resulting Nashequilibrium exhibit certain desirable properties? In other words, we consider the problemof capacity allocation in a noncooperative setting when the request of the playersis controlled. Moreover, the network designer allocates link capacities while satisfyinglower bounds specified per link and an upper bound on the total capacity of the network.A capacity allocation was addressed in [Kor1997] in the sense that the resultingequilibrium after capacity addition, exhibits the best performance according to some networkwide efficiency criterion such as the price as seen by each user. The authors in[Kor1997] consider the case of constant demands(flows). In our setting we consider thecase where the flows are controlled and we address the problem of the behavior of userprices when some capacities are added to the network links. The well known Braessparadox indicates that, in general, addition of capacity to a network may degrade theperformance of each and every user, some upgrading guidelines have been proposed in[Alt2003, ElA2002, Kor1995, Kor1999] so as to avoid the Braess paradox or so as toobtain a better performance. We show that, in the case of the capacity addition, we don’thave that Braess paradox and the users do have interest to improve their requests.The structure of the paper is as follows. In the next section we formulate the model.We consider the topology of parallel links, and user cost functions representing the meansof the delays in the M/M/1 queues. In section 3, we provide some expressions for the bestreply, costs and prices of each user. These expressions extend those given in [Kor1997]since in our case the demands are not constants. In section 4, we treat the problem of capacityaddition and we show that when the capacity of the network increases, the demandsincrease while the prices decrease.TAMTAM –Tunis– 2005

Multi-user elastic demand communication networks 3992. Model and problem formulationWe consider a set I = {1, .., I} of users that share a set L = {1, .., L} of communicationlinks interconnecting a common source to a common destination node. Let c lbe the capacity of link l and C = ∑ l∈L c l be the total capacity of the system. Eachuser i has to determine the amount of flow r i ∈ R i := [m i , M i ]. We assume thatm 1 ≥ m 2 ≥ ... ≥ m I ; M 1 ≥ M 2 ≥ ... ≥ M I and R i ⋂ R i+1 is not empty forall 1 ≤ i < I. Let r = ∑ i∈I ri denote the total demand of the users, and defineM := ∑ i∈I M i . We only consider capacity configurations c = (c 1 , ..., c L ) that canaccommodate the total user demand, that is, configurations with C > M and we assumethat c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c L .User i ships its flow by splitting its demand r i over the set of parallel links, accordingto some individual performance objective. Let fli denote the amount of flow that useri sends over link l, which is constrained to be nonnegative. The user flow configurationf i = (f1, i ..., fL i ) is called a routing strategy of user i, and the set F i = {f i IR L : 0 ≤ fl i ≤c l , l ∈ L; ∑ l∈L f l i = ri ∈ [m i , M i ]} of strategies that satisfy user’s demand is called thestrategy space of user i. The system flow configuration f = (f 1 , ..., f I ) is called a routingstrategy profile and takes values in the product strategy space F = ⊗ i∈I F i .The performance objective of user i is quantified by means of a cost function J i (f).User i aims to find a strategy f i ∈ F i that minimizes its cost. This optimization problemdepends on the routing decisions of the other users, described by the strategy profilef −i = (f 1 , ..., f i−1 , f i+1 , ..., f I ), since J i is a function of the system flow configurationf.Definition 2.1 (Cost Functions and Nash equilibrium)Let J i (f) be the cost for user i when the flows of all users are given by f ∈ F. A Nashequilibrium of the routing game is a strategy profile from which no user it beneficial tounilaterally deviate. Then we seek for a Nash Equilibrium (NE) ˜f, that is an ˜f ∈ FsatisfyingJ i (˜f) =min J i (f i ,˜f −i )(f i ,˜f −i )∈FwhereJ i (f i ,˜f −i ) := J i (˜f 1 , ...,˜f i−1 , f i ,˜f i+1 , ...,˜f I ). (1)The problem of existence and uniqueness of equilibria has been investigated in [ElA2004,Ord1993] for certain general classes of cost functions. Here, we consider cost functionsthat are the sum of link cost functions minus the utility function U(r i ):J i (f) = ∑ l∈LJ i l (f l ) − U(r i ), J i l (f l ) = f i l T l (f l ). (2)where f l = (fl 1, ..., f l I), and T l(f l ) is the average delay per unit of flow on link l thatdepends only on the total flow f l = ∑ i∈I f l i on that link. The average delay should beTAMTAM –Tunis– 2005

400 El Kamili et al.interpreted as a general congestion cost per unit of flow that encapsulates the dependenceof quality of a finite capacity resource on the total load f l offered to it. In the presentpaper, we concentrate on congestion cost of the form:T l (f l ) ={ (cl − f l ) −1 , f l < c l∞ , f l ≥ c l(3)This represents the expected delay of a M/M/1 queue operating under the FIFO regime,packets are served at arrival order, see [Lutton] or the delay of a M/G/1 queue operatingunder the processor sharing regime. c l has the interpretation of the queuing capacity.Other possibilities for the cost related to rejection probabilities can be found in [Alt2002].We make the following assumptions on the utility function U, which will be invokedthroughout the paper:G1 U is continuous in its argument.G2 U is concave in its argument.G3 U is continuously differentiable in its argument. We set K 0 (r i ) := −∂U(r i )/∂r i .3. Structure of the equilibrium prices and costsThe link costs Jl i(f l) of user i, as defined by [2] and [3], are convex and continuouslydifferentiable functions in fl i , and we have :K i l (f l ) := ∂J i l (f l)∂f i l= fl i T l ′ (f l ) + T l (f l ) = c l − f −il(c l − f l ) 2 (4)where Tl ′ is the derivative of T l with respect to f l and f −il= ∑ j≠i f j lis the total flowthat all users except the ith send on link l. Note that Tl ′ = T l 2.Hence, the minimization problem in [1] is equivalent to the following Kuhn-Tucker optimalityconditions: For every i ∈ I, there exists a set of Lagrange multipliers µ i , γ i suchthat:K i l (f l ) + K 0 (r i ) = µ i − γ i , if f i l > 0 (5)K i l (f l ) + K 0 (r i ) ≥ µ i − γ i , if f i l = 0 (6)µ i (m i − r i ) = 0, γ i (r i − M i ) = 0 (7)m i − r i ≤ 0, r i − M i ≤ 0, f i l ≥ 0 (8)µ i ≥ 0, γ i ≥ 0 (9)Note that λ i := µ i − γ i is, in fact, the marginal cost of user i at the optimality point.Define η i := λ i − K 0 (r i ), that will be referred to as the price of user i [Kor1997].TAMTAM –Tunis– 2005

Multi-user elastic demand communication networks 401In [ElA2004], it has been shown that the routing game described above has a uniqueNash equilibrium. We start by investigating the structure of the Nash equilibrium for agiven capacity configuration c. Define:{G i l = ∑ l−1m=1 ci m − √ ∑c i l−1√l m=1 ci m , l = 2, ..., LG i 1 = 0, G i L+1 = ∑ L(10)m=1 ci m.Where c i l = c l − f −ilis the residual capacity seen by the user i on link l, we have thefollowing results:Proposition 3.1 The Nash equilibrium f of the routing game in a system of parallel linkswith capacity configuration c satisfies the following relationship:⎧ ( ) √⎨fl i c i l=− ∑L im=1 ci m − r i c il∑ L i √ , l ≤ L ic i⎩m=1 m(11)0 , l > L iwhere, for every i ∈ I, L i is determined byG i L i < ri ≤ G i L i +1 . (12)The equilibrium marginal cost and the equilibrium cost for user i are, respectively[ ∑ √λ i l∈A ci] 2= ∑ ll∈A (ci l − f l i) + K 0 (r i ), for any set A ⊆ L i (13)=[ ∑ Li √ ]l=1 ci 2l∑ L il=1 ci l − + K 0 (r i ). (14)ri∑J i = [λ i − K 0 (r i )] (c l − f l ) − L i − U(r i )=[∑L il=1√cil] 2L il=1∑ L il=1 ci l − ri − L i − U(r i ). (15)4. Capacity additionA capacity configuration ĉ is an augmentation of configuration c, if ĉ l ≥ c l for alll and ∑ l ĉl > ∑ l c l. Throughout this section we shall compare the Nash equilibriumTAMTAM –Tunis– 2005

402 El Kamili et al.of a capacity configuration c to that of some configuration ĉ. "Hat" values will refer toconfiguration ĉ, while "nohat" values refer to c. For example, ˆT l and T l are the equilibriumdelay of link l under ĉ and c, respectively. Now, we introduce some performancemeasures , by which the designer can evaluate the efficiency of a capacity configuration.We shall concentrate on measures that are expressed by means of the user prices.Definition 4.1 Consider two capacity configurations c and ĉ, and let η i and ˆη i be theprice of user i at the respective equilibrium. Then, configuration ĉ is said to be user priceefficient relative to configuration c, if ˆη i ≤ η i , for all i ∈ I.Let us start by proving some technical results that will play a key role in the proof ofthe fact that the demands increase when some capacity is added.Lemma 4.1 We have the following relations:(i) { ˆT l ≤ T l ; ˆλ i ≥ λ i ; ˆr i < r i } ⇒ ˆf i l ≥ f i l(ii) { ˆT l > T l ; ˆλ i ≤ λ i ; ˆr i ≥ r i } ⇒ ˆf i l ≤ f i l(iii) { ˆT l ≤ T l ; ˆλ i > λ i ; ˆr i ≤ r i } ⇒ ˆf i l ≥ f i lThe following Theorem is fundamental in the study of the capacity addition problemwhen user demands are variables, it shows that user demands increase in the case of anaddition of the capacity.Theorem 4.1 If a capacity configuration ĉ is an augmentation of configuration c, thenthe demand of each user i is higher under configuration ĉ, i.e., ˆr i ≥ r i , ∀i ∈ I.Lemma 4.2 If a capacity configuration ĉ is an augmentation of configuration c, then theequilibrium delay of each link l is lower under configuration ĉ, i.e., ˆT l ≤ T l for all l ∈ L.The following proposition shows that an addition of capacity is always price efficient.Proposition 4.1 (PRICE EFFICIENCY )If a capacity configuration ĉ is an augmentation of configuration c, then ĉ is user priceefficient relative to c , i.e., ˆη i ≤ η i for all i ∈ I.5. References[ElA2004] R. EL AZOUZI, M. EL KAMILI, E. ALTMAN, M. ABBAD AND T. BAŞAR, “CombinedCompetitive Flow Control and Routing in Multi-User Communication Networks withHard Side-Constraints.”, 2004 Chapter of book Analysis Control and Optimization of ComplexDynamic Systems, Editors E. K. Boukas and R. P. Malhamé[Alt2002] E. ALTMAN, R. EL AZOUZI AND V. VYACHESLAV, “Non-cooperative routing in lossnetworks. ”, Performance Evaluation, Vol 49, Issue 1-4, pp. 257-272, 2002.TAMTAM –Tunis– 2005

Multi-user elastic demand communication networks 403[Alt2003] E. ALTMAN, R. EL AZOUZI AND O. POURTALLIER, “Avoiding Paradoxes in Multi-Agent Competitive Routing. ”, Computer Networks 43:133-146, 2003.[ElA2002] R. EL AZOUZI, “Avoiding Paradox in Routing Games in Networks when Travel Demandis Elastic. ”, in proceeding of the Tenth International Symposium on Dynamic Game andApplications, Saint-Petersburg, Russia, 2002.[Kor1995] Y. A. KORILIS, A. LAZAR AND A. ORDA, “Architecting Noncooperative Networks.”, IEEE J. on Selected Areas in Communication, 13(7):1241-1251, 1995.[Kor1997] Y. A. KORILIS, A. LAZAR AND A. ORDA, “Capacity Allocation Under NoncooperativeRouting. ”, IEEE Transaction on Automatic Control, 42(3):309-325, 1997.[Kor1999] Y. A. KORILIS, A. LAZAR AND A. ORDA, “Avoiding the Braess paradox in noncooperativenetwork. ”, J. of Appl. Proba., 36, :211-222, 1999.[ATM1999] THE ATM FORUM TECHNICAL COMMITTEE, “Traffic Management Specification.”, Version 4.1, AF-TM-0121.000, March, 1999.[Lutton] J. L. LUTTON, “On link costs in networks. ”, private communication, France Telecom.[Ord1993] A. ORDA, R. ROM, AND N. SHIMKIN, “Competitive routing in multi-user communicationnetworks. ”, IEEE/ACM Transactions on Networks, 1:510-520, 1993.TAMTAM –Tunis– 2005

Shape optimization for the Stokes equationsusing topological gradientM. Hassine ** ENIT-LAMSIN, BP 37, 1002 Tunis Belvédaire, Tunisia.e-mail: Maatoug.Hassine@enit.rnu.tn.ABSTRACT. In this paper, we consider a shape optimization problem related to the Stokes equations.The proposed approach is based on a topological sensitivity analysis. It consists in an asymptoticexpansion of a cost function with respect to the insertion of a small obstacle in the domain. Thetheoretical part of this work is discussed in both two and three dimensional cases. In the numericalpart, we use this approach to optimize the shape of the tubes that connect the inlet to the outlets ofthe cavity maximizing the outflow rate.RÉSUMÉ. Dans ce papier, on considère un problème d’optimisation de forme lié aux équations deStokes. On propose une approche basée sur une analyse de sensibilité topologique. On donne undéveloppement asymptotique d’une fonction coût par rapport à la perturbation du domaine par l’insertiond’un petit obstacle. Des résultats théoriques sont donnés en 2 D et 3 D. Dans la partie numérique,on utilise cette approche pour optimiser la forme des tubes liant l’entrée aux sorties d’un cavité.KEYWORDS : Shape optimization, topological optimization, topological gradient, Stokes equations.MOTS-CLÉS : Optimisation de forme, optimisation topologique, gradient topologique, équations deStokes.TAMTAM –Tunis– 2005 404

Shape optimization 4051. IntroductionTopological optimization is concerned with the variation of a cost function with respectto a topology modification of a domain. The most simple way of modifying thetopology consists in creating a small hole in the domain. Usually, the cost function involvesthe solution of a p.d.e. defined on this domain. In the case of structural shapeoptimization, creating a hole means simply removing some material. In the case of fluiddynamics where the domain represents the fluid, creating a hole means inserting a smallobstacle. The situation is similar in electromagnetism. The topological sensitivity toolswhich have been developed by several authors [4, 7, 8] allow to find the place where creatinga small hole will bring the best improvement of the cost function. These tools arebased on a gradient like expression of the formj(Ω ε ) = j(Ω) + f(ε)g(x 0 ) + o(f(ε)), (1)where ρ(ε) is a scalar positive function going to zero with ε, Ω is an open and boundedsubset Ω of IR d , d = 2, 3, and, for ε > 0 and x 0 ∈ Ω, Ω ε = Ω\(x 0 + εω) is the subsetobtained by removing the subset x 0 + εω from Ω, where ω ⊂ IR d is a fixed open andbounded subset containing the origin. This expansion is called the topological asymptoticand g the topological gradient. The function g is very easy to compute. Obviously, ifwe want to minimize j, the "best" location where to create an infinitesimal hole is therewhere g(x) is the most negative.1ΓoutΓ inΓ2outΓ3outΓmoutFigure 1. The cavity Ω.In this work, we consider the Stokes equations describing the circulation of an incompressiblefluid flow in a cavity Ω having one inlet Γ in and some outlets Γ i out, i = 1, m.(see Figure 1). Our purpose is to determine the optimal shape of the tubes that connectthe inlet to the outlets of the cavity maximizing the outflow rate. It consists in insertingsome small obstacles in the cavity in order to maximize the outflow rate at Γ i out, i = 1, m.TAMTAM –Tunis– 2005

406 Maatoug2. Topological optimization problemConsider a viscous incompressible fluid F, governed by Stokes equations, in steadyregime. The Eulerian velocity vector u and the pressure p of F fulfil the system⎧⎨⎩−ν∆u + ∇p = F in Ωdiv u = 0 in Ωu = u d on Γ,where Ω ⊂ IR d , d = 2, 3, is the domain occuped by the fluid, ν is the (constant) kinematicviscosity coefficient of F, F is a given body force per unit of mass and u d is prescribedvelocity on the boundary Γ = ∂Ω.We denote by Ω ε the perturbed domain, obtained from inserting a small obstacle ω εin Ω. We suppose that the obstacle has the form ω ε = x 0 + εω, where x 0 ∈ Ω, ε > 0 andω is a given fixed and bounded domain of IR d , containing the origin, whose boundary ∂ωis connected and piecewise of class C 1 .In Ω ε , the velocity u ε and the pressure p ε of F are solution to⎧⎪⎨⎪⎩−ν∆u ε + ∇p ε = F in Ω εdiv u ε = 0 in Ω εu ε = u d on Γu ε = 0 on ∂ω ε ,Note that for ε = 0, Ω 0 = Ω and (u 0 , p 0 ) is solution to⎧⎨ −ν∆u 0 + ∇p 0 = F in Ω,div u 0 = 0 in Ω,⎩u 0 = u d on Γ.Consider now a cost function j(ε) of the formj(ε) = J ε (u ε ),where J ε is defined on H 1 (Ω ε ) d for ε ≥ 0 and J 0 is differentiable with respect to u, itsderivative being denoted by DJ 0 (u).Suppose that J satisfies the following hypothesis.(2)(3)Hypothesis 2.1 There exist a function δJ defined on H 1 (Ω) d and a positive scalar functionf(ε) such that()J ε (v) − J 0 (u) = DJ 0 (u)(v − u) + f(ε)δJ(u) + o ‖v − u‖ 1,Ω+ f(ε) u, v ∈ H 1 (Ω) dlim f(ε) = 0.ε→0Our aim is to derive an asymptotic expansion of the cost function j with respect to ε.TAMTAM –Tunis– 2005

Shape optimization 4072.1. Variation of the cost function when inserting a small obstacleThe topological sensitivity results for the Stokes equations, when inserting a smallobstacle inside the domain are the following. We have to distinguish the cases d = 2 andd = 3. This is due to the fact that the fundamental solutions to the Stokes equations inIR 2 and IR 3 have an essentially different asymptotic behavior at infinity. It is proved in[5, 6] that f(ε) = ε if d = 3 and f(ε) = −1/ log(ε) if d = 2.2.1.1. The three dimensional caseTheorem 2.1 If Hypothesis 2.1 holds, then function j has the following asymptotic expansion[( ∫)]j(ε) = j(0) + ε − T (y) ds(y) .v 0 (x 0 ) + δJ + o(ε) (4)∂ωwhere T ∈ H −1/2 (∂ω) is solution to the boundary integral equation∫E(x − y) T (y) dγ(y) = −u 0 (x 0 ), ∀x ∈ ∂ω.∂ωThe function v 0 is the solution to the adjoint problem associated to (3) and the function(E, P ) is the fundamental solution to the Stokes equations in 3D:E(y) = 1 ( )I + e r e T r , P (y) = y8πνr4πr 3 , with r = ||y|| and e r = y/r.In the particular case where ω = B(0, 1), the density T is given explicitly T (y) =3ν2 u 0(x 0 ), ∀y ∈ ∂ω.Corollary 2.1 Let x 0 ∈ Ω. Under the hypotheses of theorem 2.1, we have[]j(ε) = j(0) + ε 6πν u 0 (x 0 ).v 0 (x 0 ) + δJ + o(ε). (5)2.1.2. The two dimensional caseIn this case the fundamental solution (E, P ) of the Stokes equations is given byE(y) = 1 ()− (log(r)I + e r e T r , P (y) = y4πν2πr 2 .Theorem 2.2 Under the same hypotheses of theorem 2.1, the function j has the followingasymptotic expansion[]j(ε) = j(0) + −1/ log(ε) 4πν u 0 (x 0 ).v 0 (x 0 ) + δJ + o(−1/ log(ε)). (6)TAMTAM –Tunis– 2005

408 Maatoug3. Numerical resultsHere, we limit ourselves to the two dimensional case. We consider a cavity with oneinlet Γ in and three outlets Γ i out, i = 1, 2, 3, having the same section. We assume that theflow satisfies the following boundary conditions:• On the inlet Γ in we define the normal component of the stress tensor : σ(u).n =φ on Γ in , where σ(u) = ν(∇u + ∇u T ) − pI and I is the 2 × 2 identity matrix.• On the outlets, we use a free surface boundary condition : σ(u).n = 0 on ∪ 3 i=1 Γi out.The cost function measuring the outflow rate is given by3∑∫J(u) = |u.n| ds.i=1Our implementation is based on the following optimization algorithm. We apply aniterative process to build a sequence of geometries (Ω k ) k≥0 with Ω 0 = Ω. At the k-thiteration, the topological gradient is denoted by g k , and the new geometry Ω k+1 is definedby a level set curve of g k .The algorithm :• Initialization: choose Ω 0 = Ω, and set k = 0.• Repeat until g k ≥ 0 in Ω k :− solve (2) and its associated adjoint problem in Ω k ,− compute the topological sensitivity g k ,− set Ω k+1 = {x ∈ Ω k , g k (x) ≥ c k }, where c k is chosen in such a way that the costfunction decreases as most as possible,− k ←− k + 1.This algorithm can be seen as a descent method where the descent direction is determinedby the topological sensitivity g k and the step length is given by the volume variationmeas(Ω k \Ω k+1 ).In the above algorithm, the direct and the adjoint problems are discretized by a finite elementmethod using a Reynold number Re = 100. The computation of the approximatesolution is achieved by Uzawa algorithm.The results are presented in figures 2 and 3. We illustrate the topological gradient and thegeometries obtained during the optimization process in figures 2. The topological gradientcorresponding to the initial geometry is shown in Figure 2-(a). The shape obtainedafter optimization is presented in figure 2-(d). In figure 3, we present the velocity fieldcomputed in the geometry during the optimization process. The optimal velocity is givenin figure 3-(d).Γ i outTAMTAM –Tunis– 2005

Shape optimization 409(a)(b)(c)(d)Figure 2. The topological gradient describing the geometry during optimization process.4. ReferencesG. Allaire, F. Jouve, A-M. Toader. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-setmethod. J. Comput. Phys. 194 (2004), no. 1, 363-393.M. Bendsoe. Optimal topology design of continuum structure: an introduction. Technical report,Departement of mathematics, Technical University of Denmark, DK2800 Lyngby, Denmark,1996.G. Buttazzo and G. Dal Maso. Shape optimization for Dirichlet problems: Relaxed formulationand optimality conditions. Appl. Math. Optim. 23, 17-49, 1991.S. Garreau, Ph. Guillaume, M. Masmoudi. The topological asymptotic for pde systems: the elasticitycase, SIAM J. Control Optim., 39, no.4(2001), 1756-1778.Ph. Guillaume and K.Sid Idris. Topological sensitivity and shape optimization for the Stokes equations.SIAM J. Control Optim. 43(1), 1-31, 2004.TAMTAM –Tunis– 2005

410 Maatoug(a)(b)(c)(d)Figure 3. Velocity field obtained during optimization process.M. Hassine and M. Masmoudi. The topological sensitivity analysis for the Quasi-Stokes problem.ESAIM, COCV J. vol. 10, 478-504, 2004.A. Schumacher, Topologieoptimierung von bauteilstrukturen unter verwendung von lopchpositionierungkrieterien,thesis, Universitat-Gesamthochschule-Siegen, 1995.J. Sokolowski and A. Zochowski. On the topological derivative in shape optimization. SIAM J.Control Optim., 37, no.4(1999), 1251-1272 (electronic)TAMTAM –Tunis– 2005

Problèmes d’optimisation en économie OLG :Calcul d’un sentier optimal de croissanceéconomiqueM. MabroukEcole supérieure de Statistique et d’Analyse de l’Information de Tunisie. INSAT Charguia1, Tunis.m_b_r_mabrouk@yahoo.frRÉSUMÉ. On cherche à caractériser le sentier optimal de croissance dans une économie à générationsimbriquées (économie OLG) où l’accumulation du capital est réalisée à travers les legs degénération à génération, ceci en évitant d’utiliser l’hypothèse de préférence pour le présent à l’échellesociale. Cette question est modélisée par deux programmes d’optimisation dans l’espace des suitesbornées l ∞: un programme d’optimisation simple pour l’optimalité consensuelle et un programmed’optimisation sous contrainte pour la Pareto-optimalité. Après l’application du théorème de Karush-Kuhn-Tucker généralisé au second programme, la décomposition du dual de l ∞ grâce au théorème deHahn-Banach, permet la ré solution de ces deux programmes et la mise en évidence d’une conditionde premier ordre caractérisant le sentier optimal de croissance.ABSTRACT.MOTS-CLÉS : économie à générations imbriquées, legs, accumulation, croissance optimale, règled’or, optimisation sur l ∞.KEYWORDS :411 TAMTAM –Tunis– 2005

412 Mabrouk1. Introduction :De nombreux auteurs, comme Barro (1974), définissent le sentier optimal de croissanceen maximisant une somme infinie du type :ou, en temps discret :∫ +∞0u(c(t))e −ρt dt+∞∑0u(c(t))(1 + ρ) t .Se faisant, ils se basent sur la préférence pour le présent dont le taux ρ est supposé êtrestrictement supérieur à 0.Mais cette hypothèse supposerait qu’on privilégie les générations présentes par rapportaux générations éloignées.D’autres, comme Allais (1946) , estiment qu’il y a lieu d’accorder une importanceégale à toutes les générations.Comment, dans ce cas, caractériser le sentier optimal de croissance ?C’est le but de ce travail.On se situera dans le cadre d’une économie à générations imbriquées (économie OLG)où l’accumulation du capital est réalisée à travers les legs de génération à génération, maisen évitant d’utiliser l’hypothèse de préférence pour le présent à l’échelle sociale (c’est-àdired’une génération à la suivante).Pour se concentrer sur les problèmes d’optimalité, on considère une économie sanscroissance démographique, et où les individus sont semblables en tous points. On élimineaussi la possibilité d’échanges intragénération et le seul échange intergénération est lelegs.Si on note K = (k 1 , k 2 , ...) la suite de legs d’une génération à la suivante (qu’on désigneaussi par sentier de croissance), et U (k n−1 , k n ) l’utilité (degré de satisfaction) réaliséepar la génération g n au cours de sa vie avec un héritage k n−1 et un legs k n , le sentieroptimale de croissance K ∗ doit vérifier deux programmes d’optimisation dans l’espacedes suites bornées l ∞ (indicées de 1 à +∞) : un programme d’optimisation simple pourl’optimalité consensuelle, S (Ψ), et un programme d’optimisation sous contrainte pour laPareto-optimalité, P (K). Ces programmes sont :avecP i (K) =max U(b i−1, b i )B=(b 1,b 2,...)P (K) = ∩ i≥1 P i (K)sous contraintes : U(b j−1 , b j ) ≥ U(k j−1 , k j ) ∀j ≥ 1, j ≠ iTAMTAM –Tunis– 2005

Problèmes d’optimisation en économie OLG 413etS (Ψ) = maxB Ψ [(U(b i−1, b i )) i≥1 ]où Ψest le critère d’optimalité consensuelle entre les différentes générations.La fonction U est supposée être concave, C 1 de D u convexe strictement de R 2 dans R,telle que l’intérieur deD = {K = (k 1 , k 2 , · · · ) ∈ l ∞+ / ∀i ≥ 1 : (k i−1 , k i ) ∈ D u }soit non vide et inclus dans l ∞ et telle que D 1 U ≻ 0. La fonction Ψ est Fréchetdifférentiablede l ∞ dans R.La décomposition du dual de l ∞ grâce au théorème de Hahn-Banach, permet la résolutionde ces deux programmes et la mise en évidence d’une condition de premier ordrecaractérisant le sentier optimal de croissance.2. Decomposition de l ∗ ∞On note l ∗ ∞ le dual de l ∞ , c le sous-ensemble de l ∞ des suites convergentes, c 0 lesous-ensemble de c des suites convergeant vers 0, l 1 le sous-ensemble de l ∞ des suites(x 1 , x 2 , ...) vérifiant ∑ n≥1 |x n| ≺ +∞ et δ ∞ la forme linéaire définie sur c par δ ∞ (x) =lim x n .Le lemme suivant sert à calculer la variable adjointe du programme P i (K), ce quipermet de déterminer une condition nécessaire de Pareto-optimalité, qui s’avérera ensuitesuffisante moyennant certaines restrictions sur le sentier de croissance. Il sert aussi à calculerce qu’on a appelé la partie infinie de la différentielle d’une fonction de l ∞ dans R,ce qui permet de déterminer une condition nécessaire d’optimalité consensuelle.Lemme : Soit y ∈ l ∗ ∞. On peut alors écrire d’une seule manière :tel que y 1 verifie :+∞∑i=1y = y 1 + y 2|y 1i | ≺ +∞et y 2 est tel que sa restriction à c est proportionnelle à δ ∞ .Remarque : La partie infinie de la différentielle d’une fonction de l ∞ dans R est donnéepar∂flim inff(x 0 + r n (h)) − f(x 0 )∂∞ (x n0) = lim‖h‖−→0,h∈c,δ ∞(h)≠0 δ ∞ (h)TAMTAM –Tunis– 2005

414 Mabrouk3. Sentier optimal de croissance :3.1. Pareto-optimalitéOn note D ◦ ◦l’intérieur de D et D u l’intérieur de D u . On a :Théorème Soit K ∈ D ◦ ∩ (L − ∪ L + ) tel que (k 0 , k 1 ) ∈ D ◦u . Alors K est un sentierde croissance Pareto-optimal si et seulement si+∞∑p∏D 2 U(k n , k n+1 )∣D p=0 n=0 1 U(k n+1 , k n+2 ) ∣ ≺ +∞L’ensemble L − ∪L + constitue ici l’ensemble des sentiers non-oscillants (condition moinsforte que la stationnarité).La condition+∞∑p∏D 2 U(k n , k n+1 )∣D 1 U(k n+1 , k n+2 ) ∣ ≺ +∞p=0 n=0implique que pour "la plupart" des générations, on doit avoir−D 2 U(k n−1 , k n ) ≤ D 1 U(k n , k n+1 )ce qui signifie que la génération g n gagnerait moins d’une baisse de son legs d’une unitéque ce qu’y perdrait la génération g n+1 .Pour les régimes permanents (sentiers tels que lim k n = k ∞ existe), le théorème cidessusimplique que si -D 2 U(k ∞ , k ∞ ) ≺ D 1 U(k ∞ , k ∞ ) alors K est Pareto-optimal.Cela signifie qu’ asymptotiquement, une baisse du legs du père lui procure strictementmoins de satisfaction qu’elle n’en fait perdre au fils.3.2. Optimalité consensuelleLe concept de Pareto-optimalité correspond à l’idée d’utilisation efficace des ressources,mais il ne prend pas en compte le consensus social sous-jacent à la stabilité et ladurabilité sociale. Par exemple, une situation où toute la richesse est détenue par un seulindividu peut être Pareto-optimale mais elle n’est clairement pas socialement durable.Par conséquent, un sentier optimal de croissance doit non seulement être Paretooptimalmais il doit respecter aussi un critère réfletant le consensus social.L’optimalité consensuelle peut alors s’écriremax Ψ [(U(b i−1, b i )) i≥1 ]B∈Doù Ψ depends du système politique, des valeurs sociales...C’est comme si Ψ exprimait lespréferencers d’un planificateur "en dehors de la société et du temps" jouissant d’une largeautorité morale. On peut l’assimiler à une sorte de PIB intergénérationnel.TAMTAM –Tunis– 2005

Problèmes d’optimisation en économie OLG 415Avec un critère consensuel suffisamment régulier (Fréchet différentiable) et non saturableà l’infini (c’est-à-dire vérifiant ∂Ψ∂∞(K) ≻ 0), on montre que tout optimum consensuelintérieur converge nécessairement vers k ∗ tel que :−D 2 U(k ∗ , k ∗ ) = D 1 U(k ∗ , k ∗ )On suppose pour la suite que U est tel qu’un tel k ∗ existe et est unique. On montreque k ∗ est la limite de la solution demax U(k n−1, k n )K∈cC’est donc le meilleur état stationnaire possible pour les générations lointaines.On définit ensuite formellement la propriété d’égalitarisme global d’un critère Ψ.On montre alors que le sentier atteignant k ∗ le plus rapidement et consistant à léguerle maximum jusqu’à atteindre k ∗ (ceci dans le cas où on commence avec un capital initialinférieur à k ∗ ), est non seulement Pareto-optimal mais aussi optimum consensuel si lecritère Ψ est non-saturable à l’infini et s’il est globalement égalitaire.Cela rejoins l’idée que si on accorde de l’importance au bien-être des générationsfutures et si on mets toutes les générations sur le même pied d’égalité, alors seul doitcompter l’intérêt des générations futures. Dans ce cas le sentier optimal de croissanceconsiste à léguer au maximum jusqu’à ce que la désutilité marginale du legs atteignel’utilité marginale de l’héritage.Remarques :1-Sous l’hypothèse de neutralité intertemporelle, on montre que le sentier optimal decroissance vérifie la règle d’or : productivité marginale du capital = taux d’amortissementdu capital2-Si on ajoute à U(h, l) une composante altruiste A (l) qui représente la satisfactionque retire le père d’assurer un legs l à sa descendance, on montre qu’un équilibre spontanéne peut être sentier optimal que si la satisfaction marginale que l’on ressent quand onreçoit une unité d’héritage de plus est égale à la satisfaction marginale de léguer une unitéd’héritage de plus à la génération suivante.Si les sentiments pour l’héritier sont déficients, l’économie restera en sous-accumulation(faible niveau de capital). S’ils sont excessifs, l’économie évoluera vers la sur-accumulation(niveau de capital excessif et inexploitable).4. Bibliographie[1] M. Allais, « Economie et intérêt, »,Clément Juglar Paris, 1999.[2] R. Barro, « Are government bonds net wealth ? . », Journal of Political Economiy 1096-1117,1974.[3] D.Luenberger « Optimization by vector spaces. », Interscience 1997.TAMTAM –Tunis– 2005

XProblèmes InversesInverse Problems417

Assimilation de données pour l’environnementD. AurouxLaboratoire MIPUniversité Paul Sabatier Toulouse 3118 route de Narbonne31062 TOULOUSE Cedex 4FRANCEauroux@mip.ups-tlse.frMéthodes variationnelles et nudgingRÉSUMÉ. Nous présentons dans cet article plusieurs méthodes variationnelles d’assimilation de données,ayant pour but de combiner de façon optimale les observations d’un système et la connaissancedes lois physiques qui le régissent. Nous rappelons la méthode variationnelle classique avant de présenterl’approche duale correspondante. Enfin, nous introduisons un nouvel algorithme basé sur destechniques de nudging, tout aussi efficace que les deux autres méthodes mais plus simple dans saconception et son implémentation.ABSTRACT. Data assimilation consists in combining in an optimal way the observations of a systemand the knowledge of the physical laws which govern it. We study initially a traditional variationalalgorithm before introducing the corresponding dual method. Finally, we propose a new algorithm,which is more simple and efficient than the two other variational methods.MOTS-CLÉS : assimilation de données, méthodes variationnelles, dualité, nudging.KEYWORDS : data assimilation, variational methods, duality, nudging.419 TAMTAM –Tunis– 2005

420 Auroux1. IntroductionL’assimilation de données sert à estimer de façon optimale l’état initial d’un systèmeà l’aide d’observations à différents instants. A partir de cette ébauche, on espère obtenirde bonnes prévisions de l’évolution future du système. La dimension du problème estgénéralement telle que la prise en compte de l’erreur modèle dans les méthodes opérationnellesest numériquement impossible.L’hypothèse d’un modèle parfait étant largement irréaliste, une nouvelle classe de méthodes,dites duales, a été introduite tout d’abord dans un cadre linéaire, puis récemmentétendue à des problèmes non linéaires. Ces méthodes permettent la prise en compte inhérentede l’erreur modèle sans augmenter la dimension du vecteur de contrôle.Plus récemment, un nouvel algorithme, à base de nudging, a été développé dans le but des’affranchir de certaines contraintes imposées par les algorithmes variationnels classiques,à savoir la linéarisation du modèle pour construire le modèle adjoint, et la nécessité d’unalgorithme de minimisation efficace en très grande dimension.2. Un algorithme opérationnel : le 4D-VARConsidérons un problème d’évolution de la forme :⎧⎨⎩∂y(t, x) + A(t, x; y) = f(t, x) + v(t, x),∂t 0y(0, x) = y 0 (x) + u(x),< t < T(1)où A est un opérateur différentiel, u et v modélisent respectivement l’erreur sur la conditioninitiale et l’erreur modèle. On ajoute au système (1) des conditions aux limites adéquateset on suppose le problème bien posé.Nous supposons que nous avons à notre disposition des observations partielles en espaceet discrètes en temps du système, représentées par les fonctions (z i (x)) i=1..N aux instants(t i ) i=1..N .Nous imposons également l’existence d’opérateurs d’observation (H i ) i=1..N permettantde comparer à chaque instant t i l’état y(t i , x) du système et l’observation z i (x) correspondante.En effet, dans le cadre de l’océanographie, la majorité des observations sont réaliséespar les satellites, qui mesurent notamment la hauteur d’eau à la surface des océans.Il faut alors relier ces données aux paramètres modélisés dans les équations océaniques(température, salinité, vitesse des courants, . . .).Le but est alors d’identifier la condition initiale du système (1) dont la trajectoire issue estla plus proche, au sens des moindres carrés, des observations. En notant respectivementP 0 , Q et R i les matrices de covariance d’erreur sur la condition initiale, d’erreur modèleet d’erreur d’observations, on peut définir la fonction coût suivante [5] :TAMTAM –Tunis– 2005

Assimilation de données pour l’environnement 421∫ TJ (u, v) = 1 −1〈P0 u, u〉 + 1 〈Q −1 v(t), v(t)〉dt2 2 0+ 1 N∑〈R −1i (H i (y(t i )) − z i ) , H i (y(t i )) − z i 〉 (2)2i=1Les deux premiers termes de la fonctionnelle J permettent de contrôler les inconnues uet v afin que la solution reste physique et le dernier terme contrôle l’écart entre la solutiondu problème (1) et les données.La minimisation de J nécessite la connaissance de son gradient. Pour cela, on utilise laméthode de l’adjoint [4] :⎧⎪⎨⎪⎩− ∂p∂t (t, x) + A(t, x)T p(t, x) =p(T, x) = 0N∑i=1H T i R −1i (z i (x) − H i y(t i , x)) δ(t − t i ),0 < t < Ten supposant H i et A linéaires (ou en les linéarisant, le cas échéant). Le gradient de Js’écrit alors∇J (u, v).(h 1 , h 2 ) = 〈P −10 u − p(0), h 1 〉 +∫ T0(3)〈Q −1 v(t) − p(t), h 2 (t)〉dt (4)On en déduit alors le système d’optimalité que doit satisfaire le couple (ŷ, ˆp) au minimumde J : ⎧⎨ ∂ŷ(t) + A(t; ŷ) = f(t) + Qˆp(t),∂t⎩ŷ(0) = y 0 + P 0 ˆp(0),⎧⎪⎨− ∂ ˆp(5)N∑∂t (t) + A(t)T ˆp(t) = Hi T R −1i (z i − H i ŷ(t i )) δ(t − t i ),⎪⎩i=1ˆp(T ) = 0.Un des inconvénients majeurs du 4D-VAR est qu’il est difficile en pratique de tenir comptede l’erreur modèle (pour des raisons de dimensions et de coûts de calcul et stockage).Néanmoins, le 4D-VAR reste généralement la méthode utilisée de façon opérationnellepour résoudre les problèmes d’assimilation de données.3. Méthodes duales : le 4D-PSASDans le cadre de la section précédente, avec les opérateurs A et H i linéarisés, nouspouvons associer un lagrangien au problème de minimisation de J sous la contrainte demodèle :∫ TL(u, v; y; p) = J (u, v) + 〈p(t), ∂y + A(t)y(t) − f(t) − v(t)〉dt. (6)∂t0TAMTAM –Tunis– 2005

422 AurouxLe problème de la minimisation de J se ramène alors à un problème de min-max (respectivementsur (u, v) et p), qui lui-même est équivalent (en supposant les opérateurs A et H ilinéaires) au problème de max-min. On peut donc réécrire le problème de minimisationde J sous la forme d’un problème de maximisation d’une fonctionnelle duale J D .On peut alors définir un opérateur sur l’espace des observations :• Considérons un vecteur m = (m 1 ...m N ) dans l’espace des observations (m i correspondà une observation du système à l’instant t i ).• On peut alors résoudre l’équation adjointe − ∂p m∂t (t) + A(t)T p m (t) =N∑Hi T m i δ(t − t i ) avec la condition initiale p m (T ) = 0.i=1• On pose alors y m (0) = P 0 p m (0) et on résoud ∂y m∂t (t) + A(t)y m(t) = Qp m (t).• Enfin, on définit D(m) = Hy m .La fonctionnelle duale J D s’écrit alors :J D (m) = 1 〈(D + R)m, m〉 − 〈d, m〉 (7)2où d = z − Hỹ est le vecteur d’innovation, ỹ étant la solution sans erreur du systèmedirect (1) (avec u = 0 et v = 0).On peut prouver [1] que la solution ŷ du système d’optimalité (5) est la somme de la solutionsans erreur ỹ et de la solution y ˆm correspondant au minimum ˆm de J D . Ceci montrel’équivalence des deux approches (4D-VAR/4D-PSAS) lorsque les opérateurs sont linéarisés.Cette méthode présente deux avantages certains sur le 4D-VAR : d’une part la prise encompte inhérente de l’erreur modèle (sans aucun surcoût de calcul ou stockage), et d’autrepart la minimisation de la fonctionnelle duale qui s’effectue dans l’espace des observationsdont la dimension est généralement de 1 à 2 ordres de grandeur inférieure à celle del’espace des états. Cette méthode peut être étendue pour des problèmes non linéaires etoù l’inversion du min et du max pour le lagrangien n’est en théorie plus possible [2].4. Un nouvel algorithme : le nudging direct et rétrogradeConsidérons à nouveau le modèle initial (1). On suppose toujours u et v sont inconnueset que nous disposons d’observations z(t, x).La méthode du nudging consiste à rajouter directement dans l’équation du modèle unterme de rappel aux observations :⎧⎨ ∂y(t, x) + A(t, x; y) = f(t, x) + K(z(t, x) − y(t, x)),∂t 0 < t < T (8)⎩y(0, x) = y 0 (x).TAMTAM –Tunis– 2005

Assimilation de données pour l’environnement 423Le but des techniques d’assimilation de données étant de reconstruire une condition initiale,il nous faut un moyen de récupérer un état à l’instant 0 à partir de la trajectoirecorrespondant à (8). Pour cela, nous appliquons la méthode du nudging au système rétrogradeen repartant de la condition finale précédemment obtenue :⎧⎨ ∂ỹ(t, x) + A(t, x; ỹ) = f(t, x) − K(z(t, x) − ỹ(t, x)), T > t > 0∂t (9)⎩ỹ(T, x) = y(T, x).On peut alors réitérer le procédé un certain nombre de fois, et l’algorithme du nudgingdirect et rétrograde s’écrit alors :⎧⎨ ∂y k∂t (t, x) + A(t, x; y k) = f(t, x) + K(z(t, x) − y k (t, x)), 0 < t < T(10)⎩y k (0, x) = ỹ k−1 (0, x),⎧⎨⎩∂ỹ k∂t (t, x) + A(t, x; ỹ k) = f(t, x) − K(z(t, x) − ỹ k (t, x)), T > t > 0ỹ k (T, x) = y k (T, x),avec la convention ỹ −1 (0, x) = y 0 (x).D’un point de vue théorique, pour un opérateur linéaire symétrique compact (par exemplel’opérateur de la chaleur), on peut montrer que cet algorithme converge vers une trajectoirelimite y ∞ (t, x), indépendante de la condition initiale y 0 (x) [3]. De plus, à chaqueitération de (10) et (11), la trajectoire obtenue se rapproche des observations.D’un point de vue asymptotique, si K tend vers +∞, y k (t, x) tend vers z(t, x) pour toutt > 0, et y ∞ (t, x) tend vers z(t, x) pour tout t (même en t = 0). De même, si K est plusgrand qu’une constante ne dépendant que de l’opérateur A et si on fait tendre T vers l’infini,alors y ∞ (t, x) converge également, sous réserve que la fonction z(t, x) soit bornéeen temps [3].D’un point de vue pratique, sur un problème océanographique non linéaire (modèle quasigéostrophiquebarocline à 3 couches), on constate que cet algorithme permet d’obtenir desrésultats au moins similaires (et même meilleurs dans de nombreux cas) à ceux obtenuspar le 4D-VAR : la figure de gauche montre la décroissance de la fonction coût (2) du4D-VAR et de la norme de son gradient dans chaque couche en fonction du nombre d’itérationsdu processus de minimisation du 4D-VAR. La figure de droite montre la mêmechose pour l’algorithme du nudging direct et rétrograde.On constate que l’on gagne en moyenne 2 ordres de grandeur, aussi bien sur la fonctioncoût que sur son gradient, en une vingtaine d’itérations. Il faut noter que le temps decalcul d’une itération est comparable entre les deux méthodes puisque chaque itérationcomprend une résolution d’un modèle direct et une résolution d’un modèle rétrograde.Pour obtenir une estimation de la condition initiale du même ordre de grandeur que le4D-VAR (ou le 4D-PSAS), le nudging direct et rétrograde nécessite moins d’itérations (et(11)TAMTAM –Tunis– 2005

424 Auroux1e+141e+121e+101e+141e+121e+10J||gradJ 1 ||||gradJ 2 ||||gradJ 3 ||1e+081e+06100001e+08J||gradJ 1 ||1e+06||gradJ 2 ||||gradJ 3 || 100000 5 10 15 20Iterations 4D-VAR0 5 10 15 20Iterations nudging direct et retrogradedonc de résolutions du système direct et du système rétrograde). Enfin, le très grand intérêtde cet algorithme est qu’il ne nécessite pas la mise en œuvre ni du modèle adjoint (et doncpas de linéarisation d’opérateurs à effectuer), ni d’aucun algorithme de minimisation.5. ConclusionDe nombreux tests numériques sont en cours pour voir si le nudging direct et rétrograde,en apportant une réponse simple et efficace aux problèmes non linéaires de dimensionquelconque, peut prétendre remplacer les méthodes variationnelles classiques d’iciquelques années.6. Bibliographie[1] AMODEI L. « Solution approchée pour un problème d’assimilation de données météorologiquesavec prise en compte de l’erreur modèle » C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 321-II, 1087-1094,1995.[2] AUROUX D., BLUM J. « Data assimilation methods for an oceanographic problem » dansMultidisciplinary Methods for Analysis, Optimization and Control of Complex Systems, Mathematicsin Industry, Springer, 2004, XVI, 312 p.[3] AUROUX D., BLUM J. « Back and forth nudging » soumis à C. R. Acad. Sci. Paris.[4] LE DIMET F.X., TALAGRAND O. « Variational algorithms for analysis and assimilation ofmeteorological observations : theoretical aspects », Tellus, vol. 38A, 97-110, 1986.[5] LUONG B., BLUM J., VERRON J. « A variational method for the resolution of a data assimilationproblem in oceanography » Inverse Problems, vol. 14, 979-997, 1998.TAMTAM –Tunis– 2005

Écart à la Réciprocité et identification defissures planesF. Delbary ** INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, B.P. 10578153 Le Chesnay Cedex, FRANCEfabrice.delbary@inria.frRÉSUMÉ. On s’intéresse au problème inverse d’identification de fissures planes et de fonctionsd’impédance en acoustique à partir de données frontière surdéterminées. On utilise pour cela leconcept d’écart à la réciprocité.ABSTRACT. We consider the inverse problem of determining planar cracks and impedance functionsthrough acoustic imaging. In order to determine the flaws we perform acoustic measurements withprescribed over-determined boundary data. The reciprocity gap concept is exploited to determinesuch planar screens.MOTS-CLÉS : fonctionnelle Écart à la Réciprocité, problème inverse, reconstruction de fissuresplanes, impédanceKEYWORDS : Reciprocity Gap functional, inverse scattering, planar cracks recovering, impedance425 TAMTAM –Tunis– 2005

426 Delbary1. IntroductionOn considère le problème inverse de détection de fissures et de fonctions d’impédancepar des données frontière surdéterminées dans le cadre de l’équation de Helmholtz enmilieu homogène borné.La majorité des travaux portant sur les identifications de fissures considère le problèmedes fissures parfaitement conductrices (condition limite de type Dirichlet) ou le cas dual,c’est-à-dire celui des fissures parfaitement isolantes (condition limite de type Neumann)(voir [3]).Très peu de travaux, y compris dans le cadre simple de l’équation de Laplace, portentsur le cas où la fissure obéit à une condition aux limites de type Robin. Ceci correspondpour le cas de l’équation de Helmholtz à la présence d’une impédance. On citera, pourl’équation de la chaleur stationnaire le récent travail de Bryan, Ronald Ogborne III ete Vellela [4] où l’Écart à la Réciprocité est exploité dans le procédé d’identification defissures rectilignes ainsi que celui de Cakoni et Darrigrand [5] pour l’équation de Maxwelldans le cas de conditions mixtes sur la fissure (condition de type Dirichlet d’un côté et detype Robin de l’autre).2. Le problème directOn considère un domaine borné régulier Ω de R n (n ∈ N) contenant strictement unefissure plane σ. On notera Π le plan de σ, Π étant défini par sa normale N ∈ R n et saposition γ ∈ R : x · N = γ ∀x ∈ R n .La normale N définit deux demi-espaces : Υ + situé du côté où pointe la normale et Υ −situé de l’autre côté. On notera λ + l’impédance sur σ du côté de Υ + et λ − celle du côtéde Υ − , avec Reλ ± ≥ 0. Le problème de diffraction en domaine homogène borné d’uneonde acoustique de nombre d’onde k par σ s’écrit de la manière suivanteTrouver u ∈ H 1 (Ω \ σ) telle que⎧⎨⎩∆u + k 2 u = 0 dans Ω \ σu = f sur ∂Ω∂ N u ± ± ikλ ± u ± = 0 sur σTAMTAM –Tunis– 2005

Identification de fissures planes 4273. Problème inverse et fonctionnelle Écart à la RéciprocitéLe problème inverse que nous considérons consiste à identifier la ou les fissures σ etles impédances λ ± à partir des données f = u et g = ∂ ν u sur la frontière ∂Ω du domaine(données surabondantes pour le problème direct). Pour cela on utilisera la fonctionnelleÉcart à la Réciprocité RG introduite par Andrieux et Ben Abda pour le cas du Laplaciendans [1] et étendue au cas de l’équation de Helmholtz par Ben Abda, Delbary et Haddardans [6], définie sur H(Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) / ∆v + k 2 v = 0 dans Ω}, parRG : H(Ω) → C∫v ↦→∂Ω∫f ∂ ν v ds − v g ds∂ΩPour tout v ∈ H(Ω), en appliquant la formule de Green dans Ω, on obtient la relationsuivante∫∫RG(v) = [u] Π∂ N v ds − [∂ N u] Πv dsσoù [u] Πest le saut du champ acoustique à travers la fissure σ et [∂ N u] Πle saut de la dérivéenormale.On supposera par la suite que le plan Π portant la fissure σ est à priori connu. Le problèmeque l’on s’est fixé précédemment se résume donc à retrouver la forme de la fissure σ etles impédances λ ± connaissant f et g.3.1. Détermination de la forme de la fissureOn sélectionne une famille de champs v de type Caldèron : v(x; θ) = e iθ·x avec θ ∈C n , tels que θ · θ = k 2 . Alors pour tout θ tel que |θ| = k, v(·; θ) ∈ H(Ω) et∫∫RG(v(·; θ)) = [u] Π(x) ∂ N v(x; θ) ds(x) − [∂ N u] Π(x) v(x; θ) ds(x)c’est-à-dire∫RG(v(·; θ)) = i(θ · N)σσσσ∫[u] Π(x) exp(iθ · x) ds(x) − [∂ N u] Π(x) exp(iθ · x) ds(x)σOn peut alors facilement obtenir les transformées de Fourier des sauts [u] Πet [∂ N u] Π. Partransformation de Fourier inverse on obtient donc les sauts. Il reste à identifier la formede la fissure, c’est le but du lemme suivant :Lemme 3.1 Supposons f non identiquement nulle et Support (λ + + λ − ) = ¯σ, alorsSupport [u] Π∪ Support [∂ N u] Π= ¯σTAMTAM –Tunis– 2005

428 DelbaryPreuve:Supposons qu’il existe un ouvert connexe non vide σ 0 de σ tel que[u] Π= 0 et [∂ N u] Π= 0 sur σ 0Soit V 0 ⊂ Ω un ouvert connexe non vide tel que V 0 ∩ σ ⊂ σ 0 . On a ∆u + k 2 u = 0 dansV 0 .Rappelons de plus l’ensemble des conditions que l’on a sur σ 0 :⎧⎪⎨⎪⎩∂ N u + + ikλ + u + = 0∂ N u − − ikλ − u − = 0∂ N u + − ∂ N u − = 0u + − u − = 0Le déterminant de ce système est ik(λ + + λ − ), donc ≠ 0 p.p. Donc u + = u − = 0 et∂ N u + = ∂ N u − = 0 sur σ 0 . On a alors d’après le théorème de prolongement uniqueu = 0 dans V 0 . Et d’après le même théorème u = 0 dans Ω. Donc f = 0, ce qui contreditl’hypothèse.□Le calcul des sauts permet donc de retrouver la forme de la fissure.3.2. Calcul des impédances λ + et λ −Après avoir retrouvé les sauts [u] Πet [∂ N u] Πsur la fissure, on peut, grâce aux formulesde représentation intégrale, retrouver les valeurs limites du champ acoustique u + et u −et les valeurs limites de sa dérivée normale ∂ N u + et ∂ N u − de chaque côté de la fissure.Ensuite, à l’aide des condtions de Robin sur la fissure on pourra retrouver les impédancesλ + et λ − .En effet, ∂ N u ± ± ikλ ± u ± = 0 sur la fissure, c’est-à-dire λ ± = ±i ∂ N u ±ku ± .On voit donc que l’on peut en théorie retrouver les impédances sur la fissure à partirdes sauts reconstruits. Seulement, comme le montre l’égalité précédente, les cas où u ±s’annule peuvent poser problème.4. Résultats numériquesOn se place en dimension 2. Dans le plan (Oxy) on considère une fissure située surl’axe (Ox) entre −1 et 1.On travaille en milieu non borné, le problème de la section 2 s’écrit alorsTrouver u ∈ H 1 loc (R2 \ σ) telle que{ ∆u + k 2 u = 0 dans R 2∂ N u ± ± ikλ ± u ± = 0 sur σTAMTAM –Tunis– 2005

Identification de fissures planes 429avec u = u i + u s où u i est le champ incident : e.g. u i (x) = e ik d·x avec |d| = 1et u s vérifie la condition de radiation de Sommerfeld√lim r(∂r u s − iku s ) = 0 uniformément dans toutes les directions ˆx = x/|x|.r=|x|→∞On utilisera alors pour retrouver la fissure et les impédances les valeurs du champ u etde sa dérivée normale ∂ ν u sur le carré formé par les points suivants : (2, 2), (2, −2),(−2, −2), (−2, 2). On recherche la fissure sur l’axe (Ox) entre −2 et 2.Dans toutes les figures les valeurs exactes seront en bleues et les valeurs reconstruites enrouge.Pour tester la méthode de recherche de la forme de la fissure et des fonctions d’impédanceon donne un exemple numérique.On prend λ + (x) = 1+i et λ − (x) = (1−x 2 ) 2 +i. L’onde utilisée pour retrouver la fissureet les fonctions d’impédances est une onde plane de vecteur d’onde −→ k = 10.(0, 0, 1)4.1. Recherche de la forme de la fissureComparons les courbes obtenues pour les sauts réels et les sauts reconstruits.1.520[u]1[∂ Nu]15100.550−2 −1 0 1 2x0−2 −1 0 1 2xFigure 1. module du saut de pressionFigure 2. module du saut de la dérivéenormale de la pressionOn voit alors que les sauts sont correctement approchés. On remarque cependant sur lafigure 2 une nette différence entre les sauts exacts et reconstruits pour la dérivée normaledu champ acoustique losrqu’on se trouve près des extrémités de la fissure. Cela est dû aufait que l’inversion de Fourier fournit un saut continu alors que le saut exact présente unediscontinuité en −1 et 1. Mais cela n’aura d’incidence que sur le calcul des impédancespuisque ce qui nous intéresse dans ces courbes pour la reconstruction de σ, ce sont leursupport.TAMTAM –Tunis– 2005

430 Delbary4.2. Recherche des impédancesEssayons maintenant de reconstruire les impédances de part et d’autre de la fissure.Pour cela on doit calculer les valeurs limites u + et u − du champ et ∂ N u + et ∂ N u − de sadérivée normale de chaque côté de la fissure.On rappelle que : λ ± = ±i ∂ Nu ±ku ± La reconstruction des impédances nécessite donc queles valeurs limites du champ reconstruit ne s’annule pas sur la fissure. Hors cette conditionn’est pas vérifée pour u + comme le montre la figure 3. On voit alors sur les figures 5 et6 que l’impédance λ + reconstruite n’approche pas du tout l’impédance exacte. La valeurlimite u − quant à elle ne s’annule pas. On voit alors que la reconstruction de l’impédanceλ − est bien meilleure comme le montrent les figures 7 et 8.u +0.70.60.50.40.30.20.1u −1.51.41.31.21.110.90−1 −0.5 0 0.5 1xFigure 3. module de u + Figure 4. module de u −−1 −0.5 0 0.5 1x0.84120.500−0.5λ +−2λ +−1−4−6−1.5−2−2.5−8−1 −0.5 0 0.5 1xFigure 5. partie réelle de λ + Figure 6. partie imaginaire de λ +−1 −0.5 0 0.5 1x−3TAMTAM –Tunis– 2005

Identification de fissures planes 43111.30.81.20.61.1λ −λ −0.410.20.90−1 −0.5 0 0.5 1x−1 −0.5 0 0.5 1x0.8Figure 8. partie imaginaire de λ −Il semble alors qu’on arrive à recontruire correctement l’impédance du côté de la fissurequi est éclairé par l’onde incidente.5. Bibliographie[1] ANDRIEUX S., BEN ABDA A., « Identification de fissures planes par une donnée au bordunique : un procédé direct de localisation et d’identification », C.R. Acad. Sci. Paris, vol. 315,n o 12, 1992[2] KRESS R., LEE K.-M., « Integral equation methods for scaterring from an impedance crack »,Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 161, n o 1, 2003[3] BRYAN K., VOGELIUS M., « A review of selected works on crack identification », GeometricMethods in Inverse Problems and PDE Control, IMA, vol. 137, 2004[4] BRYAN K., RONALD OGBORNE III F., E VELLELA M., « Reconstruction of cracks with unknowntransmission condition from boundary data », Inverse Problems, vol. 21, n o 1, 2005[5] CAKONI F., DARRIGRAND E., « The inverse electromagnetic scaterring problem for mixedboundary value problem for screens », Journal of Computational and Applied Mathematics,vol. 174, 2005[6] BEN ABDA A., DELBARY F., HADDAR H., « On the use of the reciprocity gap principle ininverse scattering from planar cracks », (submitted)TAMTAM –Tunis– 2005

Étude de la robustesse de l’algorithme deKohn et VogeliusS. Chaabane * , C. Elhechmi ** , M. Jaoua **** ENIT-LAMSIN, BP 37, 1002 Tunis-Bélvédère & Faculté des Sciences de Sfax, Tunisieslim.chaabane@fsm.rnu.tn.** ENIT-LAMSIN & Faculté des Sciences de Gabès, Tunisiechokri.elhechmi@issatm.rnu.tn*** Laboratoire J.-A. Dieudonné, Université de Nice, Parc Valrose, F-06108 Nice cedex 02 &ENIT-LAMSINjaoua@math.unice.frRÉSUMÉ. Nous considérons le problème inverse d’identification du coefficient de Robin par des mesuresfrontières. Après avoir transformé le problème inverse en un problème d’optimisation, en utilisantune fonction coût de type Kohn et Vogelius, nous étudions la stabilité de cette méthode et nousprouvons la robustesse de l’algorithme. Nous présentons des résultats numériques en utilisant desdonnées synthétiques.ABSTRACT. We consider the inverse problem of identifying a Robin coefficient by performing measurementon some part of the boundary. After turning the inverse problem to an optimisation oneby using a Kohn and Vogelius cost function, we study the stability of this method and we proof therobustess of the algorithm. We present some numericals experiments using synthetic data.MOTS-CLÉS : identification des coefficients, robustesse, stabilité.KEYWORDS : identification of coefficient, robust methods, stability.TAMTAM –Tunis– 2005 432

Algorithme de Kohn et Vogelius 4331. Le problème inverse de RobinSoit Ω un domaine connexe borné de IR 2 de frontière ∂Ω de classe C 1,β avec β ∈]0, 1[. Supposons que sa frontière ∂Ω est divisée en deux ouverts connexe non videΓ N et γ tel que :∂Ω = γ ∪ Γ N .On considère le problème inverse (PI) suivant :⎧⎪⎨(PI)⎪⎩Imposer un flux de courant électrique φ ≢ 0.Effectuer des mesures de potentiels électrostatiquesf sur Γ N .Trouver une fonction q sur γ tel que la solution u q de⎧⎪⎨(PN)⎪⎩∂u∂nvérifie aussi u |ΓN = f.∆u = 0 dans Ω,∂u∂n = φ sur Γ N,+ qu = 0 sur γ,Soit n ∈ N, n ≥ 1 et on suppose que le flux φ ∈ W n,20 (Γ N ) tel que φ ≢ 0.Alors en se référant à [3], le problème inverse (PI) admet une solution unique noté ¯qdans Q ad défini par :Q n ad = {q ∈ C n 0 (¯γ) /|q (k) | ≤ c ′ , 0 ≤ k ≤ n, et q ≥ c XK }où c et c ′ sont deux constantes positives et K est un ouvert connexe non vide de γ tel que∂γ ∩ K = ∅.Sous ces hypothèses, u q ∈ C n,,1/2 (¯Ω) , u q|∂Ω ∈ W n+1,2 (∂Ω) et en se référant à [2]W n+1,2 (∂Ω) ⊂ C n,1/2 (∂Ω) alors f = u q|Γ est de classe C n sur Γ N .Pour q ∈ Q ad , on désigne par u N (q) la solution du problème de Neumann (PN) etpar u D (q, f) la solution du problème Robin-Dirichlet (PD)suivant :⎧⎪⎨(PD)⎪⎩∆u = 0 dans Ωu = f sur Γ N∂u∂n + q u = 0 sur γTAMTAM –Tunis– 2005

434 Chaabane et al.On définit une foncion coût J sur Q ad par :∫J(q, f) = |∇u N (q) − ∇u D (q, f)| 2 +Ω∫γq |u N (q) − u D (q, f)| 2En se référant à [3], la fonction J admet un unique minimum qui est la solution q duproblème inverse(PI), qui se transforme au problème d’optimisation suivant :⎧⎨ Trouvez q ∈ Q ad tel que(PO)⎩J(q, f) ≤ J(ξ, f) ∀ ξ ∈ Q ad .2. Étude de la robustesse du probleme de KvSoit f ε une suite des mesures perturbées dans L ∞ (Γ N ) vérifiant :lim ‖f ε − f‖ ∞,ΓN = 0.ε→+0Dans ce cas la paire des données (φ, f ε ) n’est plus compatible, ce qui signifie que leproblème inverse (PI) n’admet pas de solution et que le problème d’optimisation (PO ε )associé à cette paire des données n’est plus équivalent au problème inverse.2.1. Stabilité de L’algorithmeEn se référant à [1], on a prouvé dans le cas où lim ‖f ε − f‖ 1ε→+0 2 ,Γ Nsuivants :• Existence :·Il existe q ε ∈ Q ad tel que inf J(q , f ε ) = J(q ε , f ε ).q ∈ Q ad• Convergence de l’algorithme de KV :limε→0 J(qε , f ε ) = 0.• Un résultat de stabilité :q ε converge vers ¯q fortement dans L 2 (γ).2.2. Étude de la robustesse du probleme de Kv= 0 les résultatsDans tout ce qui suit, on suppose que la mesure f est dans C n (Γ N ) et on considèreun cas général où les perturbations des données ne sont pas régulières c’est à diref ε /∈ H 1 2 (ΓN ).Le probléme inverse sera résolu à partir des données lissées. La technique de lissage parTAMTAM –Tunis– 2005

Algorithme de Kohn et Vogelius 435les B-splines cubiques [4] permet d’obtenir à partir des données non régulières f ε , desdonnées lisseses qu’on notera aussi f ε ∈ L ∞ (Γ N ).On a le résultat de robustesse suivant :Théorèmelim ‖f ε − f‖ L∞ (Γε→∞ N ) = 0 =⇒limε→∞ ‖qε − ¯q‖ L∞ (γ) = 03. Résultats numériquesPour la mise en œuvre de l’algorithme, on a utilisé au début une approche hiérarchique.Les résultats numériques obtenus sont satisfaisants dans les cas où les donnéestraitées ne sont pas oscillantes.Physiquement, le coefficient de Robin peut être oscillant du fait de la corrosion. Afind’améliorer la capture des oscillations, on a proposé et on a mis en œuvre un algorithmede relaxation tout en développant l’impédance q en série de Fourier. Cette méthode a produitdes meilleurs résultats même si le traitement des données très oscillantes reste encoreinsatisfaisant.Une procédure “d’anti-dumping”, qui consiste à amplifier la j iême composante par unfacteur bien choisi permet d’ameliorer la capture des oscillations. Mais, la procédure nécessitetoujours une étude complète pour déterminer le facteur approprié.L’excès de régularisation que la méthode du Kohn-Vogelius apporte nous a donné l’idéed’utiliser cette fonction coût comme terme de régularisation. Cette méthode améliore lesrésultats obtenus par les autres techniques comme le montre la figure 4.4. Une nouvelle approcheToutes les méthodes numériques qu’on a mis en œuvre reste non satisfaisante pouridentifier les données fortement oscillantes. Pour cette raison on propose de modifier l’algorithmeprécédent et de procéder de la manière suivante :• Etape 1 : Trouver q 1 la valeur moyenne du coefficient de Robin en utilisant l’algorithmeprécédent.• Etape 2 : Trouver q 2 en minimisant la fonctionnelle suivante :J 1 (q 2 ) = 1 2 ‖uN (q) − f‖ 2 L 2 (Γ N ) + ε 2 ‖q 2‖ 2 Gavec G est un espace adapté aux éléments oscillants introduit par Y. Meyer pour identifierles textures en traitements d’images, il est défini par :G = {q ∈ L 2 (γ) ; q(s) = h ′ (s), h ∈ H 1 0 (γ)},‖q‖ G = infh ′ =q ‖h‖ 0,∞,γ.TAMTAM –Tunis– 2005

436 Chaabane et al.La présence de la norme infinie dans l’expression de J 1 rend cette fonctionnelle nondifférentiable. Cette difficulté s’ajoute à la difficulté due à la non linéarité de u en fonctionde q. Pour cela, on propose de résoudre ce problème par pseudo-dualisation. Aprés unediscrétisation, on démontre que le problème de minimisation de J 1 sur l’espace G est ledual du problème suivant :⎧ (⎨ 1min(OP d −∗) 2 ‖M −∗ z‖ 2 L 2 (IR n+2−k ) + < Z, M −1 f 0 > + 1)2 ε ‖z‖2 L 1 (IR k−1 )⎩z ∈ IR k−1L’étude numérique de ce problème de minimisation est actuellement en cours.11exactcomputed (eps=0.005)0.80.80.60.60.40.40.2ExactF+RAnti dumping0.200 0.5 1 1.500 0.5 1 1.5(a) (b )1exactcomputed (eps=0.01)1exactcomputed (eps=0.1)0.80.60.50.40.200 0.5 1 1.500 0.5 1 1.5(c) db )Figure 1. (a) Comparaison : relaxation et anti-duming. (b) Régularisation : le coefficient de régularisationε = 0.005, (c) ε = 0.01 , (d) ε = 1.TAMTAM –Tunis– 2005

Algorithme de Kohn et Vogelius 4375. Bibliographie[1] Chaabane S., Elhechmi C., Jaoua M.(2004) : ’A stable recovery method for the Robin inverseproblem’, Mathematics and Computers in Simulation 66,367-383[2] Chaabane S., Jaoua M. and Leblond J (2003) : ‘Parameter identification for laplace equationand approximation in analytic classes’, J. Inv. ILL-Posed Problems 11 35-57[3] Chaabane S., Jaoua M. (1999) : ‘Identification of Robin coefficients by the means of boundarymeasurements’, Inverse Problems 15, 1425-1438[4] De Boor C. (2001) : A practical guide to splines, revised edition, Springer-Verlag New york ;v. 27.[5] Meyer Y. (2001) : ’Oscillating pattern in image processing and in some non linera evolutionequation’, The Fiftenth Dean Jacquelines B. Lewis Memorial Lectures.TAMTAM –Tunis– 2005

Application de la méthode alternative deKozlov pour la résolution d’un problème deCauchy en EEGM. Farah * A. El-Badia * , T. Ha-Duong * , V. Pavan ** Université de Technologie de Compiègne - Laboratoire de Mathématiques Appliquées60200 Compiegne Cedex - FRANCEmfarah@dma.utc.frRÉSUMÉ. Dans cette communication, on parlera de la localisation de sources épileptiques en EEG.Plus particulièrement, on traitera le problème de construction des données de Cauchy sur les différentescouches de la tête à partir des données du potentiel mesuré par l’EEG. On présentera laméthode itérative de Kozlov qu’on a utilisée et implémentée dans R 3 . On montrera également desapplications et résultats numériques.ABSTRACT. This presentation talks about the problem of locating epileptic sources on EEG. We treatspecially the problem of estimating Cauchy data over the layers of the head, knowing only the ones onthe scalp measured by EEG. We present the iteratif algorithm of Kozlov that we used. Some numericalexamples are also presented.MOTS-CLÉS : Problème de Cauchy, Equations intégrales, Méthode itérative de Kozlov, ElectroEncéphaloGraphie(EEG).KEYWORDS : Cauchy Problem, Integral Equations, Algorithm of Kozlov, ElectroEncephaloGraphy(EEG).TAMTAM –Tunis– 2005 438

Résolution d’un problème de Cauchy en EEG 4391. IntroductionLe cadre de cette communication se situe dans le thème de localisation de sourcesépileptiques en EEG. Il s’agit de résoudre un problème inverse intervenant dans la déterminationde foyers d’activité épileptogènes à l’intérieur du cerveau.L’Electro-Encéphalo-Graphie (EEG) permet de mesurer l’activité électrique du cerveau.Grâce à la performance de sa résolution temporelle, de l’ordre de la milliseconde, ellepermet d’étudier la dynamique des phénomènes cérébraux, notamment les cas pathologiquescomme l’épilepsie ([7]).Le problème direct en EEG consiste à calculer les potentiels recueillis sur la peauqu’engendrent une configuration de sources connues. Cela nécessite une bonne connaissancede la géométrie de la tête ainsi que les propriétés de conduction dans les tissuscérébraux ([5]).Le problème inverse qui nous concerne ici, consiste à estimer la distribution des dipôlesde courants ayant produit les potentiels électriques mesurés sur la peau par l’EEGau moyen des électrodes. Dans notre étude nous considérons le cas de plusieurs dipôlesdont nous chercherons à déterminer les positions et les amplitudes au moyen de mesuresdu potentiel sur la tête qu’elles auraient engendrées.2. Position du problèmeOn divise la tête en 3 couches, qui représentent de l’extérieur à l’intérieur : Peau, Os,Cortex.Dans ce modèle de tête, couramment utilisé chez les praticiens, le problème mathématiqueconsiste en deux parties :1) Dans un premier temps, on utilise les ’données de Cauchy’ (potentiel et fluxmesurés par EEG) à la couche externe (peau) pour obtenir ces mêmes données successivementsur les interfaces Peau-Os puis Os-Cortex.C’est ce qu’on appelle ’problème de Cauchy’. Il s’agit de résoudre le problème suivant :⎧⎨⎩−∆u = 0u = f∂u∂n = gdans Ωsur Ssur SOù Ω est un ouvert borné de R 3 et S une partie de mesure non nulle de la frontière ∂Ω(une des couches extérieures - peau ou os - de la tête), et f, g sont des fonctions données.TAMTAM –Tunis– 2005

440 Farah et al.2) Enfin, on aura à résoudre le problème inverse de sources dans le cerveau :{ −∆u =∑λk · δ Sk dans Ω 0 (le cerveau)u et ∂u∂n connus sur le bord de Ω 0s’il s’agit de sources monopolaires, ou −∆u = ∑ ⃗p k · ⃗∇δ Sk si ce sont des sourcesdipolaires.Dans cette communication on se limite à la résolution de la partie (1). La deuxièmepartie est décrite dans ([3],[1],[9]).3. Résolution du problème de Cauchy∂u∂nLa résolution de la partie (1) signifie qu’à partir des données du potentiel u et du flux∂uélectriques données sur une partie S de la peau, on arrive à déterminer u et∂n surles autres surfaces de la tête (telles que les frontières entre Peau et Os, ou entre Os etCortex) en supposant que les sources de l’activité électrique se situent dans les régionsassez profondes du Cortex.Dans le présent résumé, je présente seulement la résolution du problème de Cauchydans le cas où S représente toute la peau, le cas où S est une partie stricte sera présenté àla conférence.Il s’agit alors de résoudre le Problème de Cauchy suivant :⎧⎨ −∆u = 0(P bC) u = f⎩ ∂u∂n = gdans Ωsur Γ esur Γ epour déterminer u et ∂u∂n sur Γ i où elles sont inconnues. Ω est la couronne représentant ledomaine entre deux couches de la tête, Γ e est la surface extérieure de la couronne et Γ iest la surface intérieure, f et g sont des fonctions données.Ce problème admet une solution unique si les données du bord sont compatibles.Mais c’est un problème mal-posé dans le sens où une légère perturbation des données àla frontière entraîne une grande incertitude sur la solution à l’intérieur du domaine.Il existe une littérature énorme sur des méthodes de régularisation pour résoudre ceproblème mal-posé.Parmi ces méthodes, on distingue la méthode de quasi-réversibilité et la régularisationde Tikhonov. La difficulté de ces méthodes réside dans le choix du paramètre derégularisation qui peut être difficile à réaliser dans de vraies circonstances pratiques.Plus récemment, Kozlov a proposé un schéma itératif régularisant pour résoudre leProblème de Cauchy. Les paramètres de régularisation de cette méthode sont le nombred’itérations et le choix initial de l’algorithme. Cette méthode sera détaillée dans le paragraphesuivant.TAMTAM –Tunis– 2005

Résolution d’un problème de Cauchy en EEG 4413.1. La méthode itérative de KozlovC’est une méthode basée sur un procédé itératif alternatif qui consiste à résoudre unesuite des problèmes elliptiques aux conditions limites mêlées de Dirichlet-Neumann bienposés, et qui sont équivalents au problème de Cauchy au cas des données exactes.Cet algorithme se base sur un choix quelconque d’une estimation du potentiel (ou du flux)sur la surface intérieure (Γ i ). Et, il s’arrête quand les deux suites formées par la trace et latrace normale du potentiel sur Γ i deviennent stationnaires.On réfère à ([8]) pour l’étude théorique de cette méthode.3.1.1. Le schéma de l’algorithmePour le problème (P bC), ce schéma s’écrit :– Indiquer f 0 quelconque ∈ H 1/2 (Γ i ) une approximation initiale du potentiel sur Γ i .– Résoudre :{ −∆u(P b1)2n+1 = 0 dans Ω∂∂n u2n+1 = g surΓ e , u 2n+1 = f n sur Γ ipour obtenir u 2n+1 (x) pour x ∈ Ω et g n = ∂∂n u2n+1 | Γi– Ayant construit u (2n+1) , résoudre :{ ∆u(P b2)2n+2 = 0 dans Ωu 2n+2 ∂= f surΓ e ,∂n u2n+2 = g n sur Γ ipour déterminer u 2n+2 (x) pour x ∈ Ω et f n+1 = u 2n+2| Γi.3.2. La résolution d’un problème aux conditions limites mêléesComme l’on peut constater, on a un problème du Laplacien aux conditions mêlées àrésoudre pour chaque étape de l’algorithme de Kozlov. Et, ce problème apparaît sous deuxformes (P b1) et (P b2). En général, ce problème s’écrit comme suivant :⎧⎨ −∆u = 0 dans Ω⎩u = f∂u∂n = gsur Γ Dsur Γ Noù Γ D est la partie de la frontière où l’on a la donnée de Dirichlet et Γ N est celle où on aune donnée de Neumann, et elles représentent respectivement ( )Γ e , Γ i pour le problème(P b1) et ( )Γ i , Γ e pour le problème (P b2).Ce problème est bien posé. Et, pour le résoudre on a choisit la méthode des élémentsde frontière puisque les inconnus qu’on cherche sont les valeurs au bord.La formulation intégrale utilisée est ([6]) :∫u(y) =Γ[G(x, y) ∂u∂n (x) −∂∂n xG(x, y)u(x)]dγ(x)pour y ∈ ΩTAMTAM –Tunis– 2005

442 Farah et al.1où G(x, y) =4π‖x−y‖ .On écrit cette formulation sur Γ D et Γ N séparément, on obtient ainsi un systèmede relations portant sur le potentiel et le flux sur les deux surfaces. Matriciellement, cesystème s’écrit :[ ] ( ) [SD,D −D ID2] ( )D,NpD+ DS N,D − I =D,D −S D,N uDN2− D N,N u N D N,D −S N,N p N} {{ }} {{ }A 1A 2où u L et p L ≡ ( ∂u∂n ) L désignent respectivement le potentiel et le flux sur la surface Γ L ;I L désigne l’opérateur identité sur Γ L et∫(SL1,L) p(y) = G(x, y)p(x)dγ(x), y ∈ L 1 ,2L 2∫( )DL1,L 2u(y) = ∂ nx G(x, y)u(x)dγ(x) , y ∈ L 1 .L 2Une méthode de Galerkin, avec des fonctions de base P 1 , a été choisie pour discrétiserces équations intégrales.Notons que dans le cas du problème aux conditions mêlées qui apparaît dans la suitepaire de l’algorithme de Kozlov (P b1), on aura à inverser la matrice A 1 , et dans le cas duproblème de la suite impaire (P b2), on inversera la matrice A 2 . Les résultats numériquesseront présentés à la conférence.4. ConclusionL’implémentation de l’algorithme de Kozlov ainsi que les tests numériques réalisésnous ont permis d’étudier son comportement numérique et d’en tirer plusieurs conclusionsintéressantes.Les applications numériques faites sur des couronnes sphériques ont montré une convergencenumérique de l’algorithme en un faible nombre d’itérations (3 ou 4) avec une précisionrelative d’ordre 0.02% pour le potentiel calculé sur le Cortex et 0.1% pour le flux.Même si l’on ne connaît pas les données sur toute la frontière externe de la couronne(ce qui est surtout le cas en EEG pour la première couronne Peau/Os), la convergencenumérique est toujours assurée en peu d’itérations. Et, l’erreure relative sur le potentiel(au Cortex) arrive jusqu’à 8% et celle du flux 5% au cas où les mesures sont prises surpresque 70% de la surface extérieure de la couronne.Ces conclusions, sans doute propres aux domaines qui sont des couronnes sphériques,à faibles épaisseurs, justifient notre choix de la méthode de Kozlov dans ce problèmeEEG, et nous laissent satisfaits de son implémentation numérique.TAMTAM –Tunis– 2005

Résolution d’un problème de Cauchy en EEG 4435. Bibliographie[1] L. BARATCHART , A. BEN ABDA , F. BEN HASSEN AND J. LEBLOND , « Recovery ofpointwise sources or small inclusions in 2D domains and rational approximaion », InverseProblems 21 (51-74), 2005.[2] M. CHAFIK , A. EL-BADIA , T. HA-DUONG, « On some inverse EEG problems », InverseProblems Eng. Mech. II (537-544), 2000.[3] A. EL-BADIA , T. HA-DUONG, « An inverse source problem in potential analysis », InverseProblems 16 (651-663), 2000.[4] A. EL-BADIA , T. HA-DUONG, « Some remarks on the problem of source identification fromboundary measurements », Inverse Problems 14 (883-891), 1998.[5] O. FAUGERAS , F. CLÉMENT , R. DERICHE , R. KERIVIEN , T. PAPADOUPOLO , J. RO-BERTS , T. VIÉVILLE , F. DEVERNAY , J. GOMES , G. HERMOSILLO , P. KORNPROBST ,D. LINGRAND « The inverse EEG and MEG problems : The adjoint space approch I : Thecontinuous case », INRIA research report 3673, 1999.[6] J. GIROIRE, « Mise en oeuvre de méthodes d’éléments finis de frontière », Cours de DEA,1997.[7] M. HÄMÄLÄINEN , R. HARI , R. J. ILMONIEMI , J. KNUUTILA , O. V. LOUNASMAA,« Magnetoencephalographiy-theory, instrumentation, and application to noninvasive studies ofworking humain brain », Rev. Mod. Phys. 65 (413-497), 1993.[8] V.A. KOZLOV , V.G. MAZ’YA , A.V. FOMIN, « An iterative method for solving the cauchyproblem for elliptic equation », Comput. Math. Phys. 31 (45-52), 1991.[9] T. NARA , S. ANDO , « A projective method for an inverse source problem of the Poissonequation », Inverse Problems 19 (355-369), 2003.TAMTAM –Tunis– 2005

Problème inverse géométrique : Identificationd’une partie inconnue de la frontièreS. Chaabane * — I. Fellah * — M. Jaoua * — J. Leblond *** LAMSIN, ENITCampus universitaire B.P. 37, 1002 Tunis BelvédèreTUNISIEslim.chaabane@fsm.rnu.tnfellahimen@yahoo.fr et imen.felleh@enit.rnu.tnmohamed.jaoua@enit.rnu.tn** APICS, INRIAB.P 93, 06902 Sophia Antipolis CedexFRANCEjuliette.leblond@sophia.inria.frRÉSUMÉ. On s’intéresse dans ce travail à l’étude d’un problème inverse d’identification d’une partieinconnue de la frontière inaccessible par des mesures de surface d’un domaine Ω régulier de IR 2 ,en utilisant les transformations conformes. On commence par donner un résultat de stabilité localede type log(log) de ce problème inverse géométrique, équivalent à un résultat de stabilité globalelogarithmique prouvé dans [3] pour le problème inverse d’identification du coefficient de Robin. Onprésente ensuite une méthode originale permettant l’identification d’une partie inconnue de la frontièreen question, qui se base sur des outils d’analyse complexe et d’approximation.On présente à la fin les résultats numériques en utilisant les problèmes extrémaux bornés.ABSTRACT. We are concerned here to an inverse problem of identifying an unknown part of theboundary of a smooth domain from overdetermined measurements on the other part of the boundary,using conformal mappings. We establish some local stability results and logarithmic type estimatesfor this problem. This result can be seen as sequel of [3], where we state some global and logarithmicstability for the inverse problem of identifying a Robin coefficient. We give here an original method ofidentification of an unknown part of the nonaccessible boundary by using tools from complex analysisand we give some numerical test related to our work.MOTS-CLÉS : problèmes inverses, identification de frontières, stabilité, analyse complexe, approximation,espace de Hardy.KEYWORDS : Inverse problems, identification of boundaries, stability, complex analysis, Hardy spaces.TAMTAM –Tunis– 2005 444

Problème inverse géométrique 4451. IntroductionOn s’intéresse à l’étude d’un problème inverse d’identification d’une partie inconnuede la frontière par des mesures de surface, via des équations elliptiques. Dans un contextethermique, le principe consiste à identifier une partie de la frontière inaccessible à partirdu flux de chaleur imposé et de la température mesurée sur la partie du bord accessible. Onconsidère le problème inverse suivant : étant données un domaine Ω de IR 2 de frontière ∂Ωune courbe de Jordan de classe C 1,β avec β ∈]0, 1[, un sous ensemble Γ de la frontière∂Ω (Γ surface de mesure), un flux de chaleur de densité Φ ∈ L 2 (Γ) (Φ ≢ 0 sur Γ) ,trouver γ de ∂Ω telle que la solution u de :⎧∆u = 0 dans Ω⎪⎨(P D)⎪⎩∂u∂n = Φ sur Γ∂u∂n = 0 sur γvérifie aussi : u |Γ = f.On désigne par Φ désigne le flux de chaleur imposé sur Γ vérifiant : ∫ Γ Φ = 0.Le problème inverse donné ci-dessus est un problème qui concerne l’identification (géométrique)d’une partie inconnue de la frontière γ de ∂Ω appartenant à l’ensemble defrontières admissibles Γ ad (constitué par des courbes de Jordan γ ∈ C 1,β (β ∈]0, 1[),ayant les mêmes extrémités que Γ et de longueur plus petite que α > 0), à partir d’un fluximposé Φ et d’une mesure f de la solution du problème (PD) sur la partie accessible Γ dubord complèmentaire : Γ = ∂Ω \ γ.Le problème inverse d’identification de la frontière inaccessible se formule ainsi de lamanière suivante :⎧⎨ Trouver γ ∈ Γ ad , telle que :(P I)⎩la solution u du problème (PD) vérifie : u |Γ = f.On note par Ω ad , l’ensemble des domaines admissibles défini par :Ω ad = {Ω ⊂ IR 2 ; ∂Ω = Γ ∪ γ, γ ∈ Γ ad }.La partie inconnue de la frontière γ est déterminée de façon unique à partir des mesures(Φ, f), prises sur la surface de mesure, voir [1].On présente dans ce travail deux types de résultats :• Stabilité : Il s’agit de prouver qu’il y a une dépendance logarithmique entre lesgéométries γ et les mesures f.• Identification : on présente une méthode basée sur des outils d’analyse complexeet d’approximation permettant de résoudre ce problème inverse.TAMTAM –Tunis– 2005

446 Chaabane et al.2. StabilitéOn étudie dans cette partie la stabilité du problème inverse d’identification de la partieinconnue de la frontière. Pour celà, on suppose que γ 1 et γ 2 deux formes possibles de lapartie inconnue du bord à identifier, ayant les mêmes extrémités, telle que γ 2 ⊂ V (γ 1 )où V est un voisinage de γ 1 . On suppose que u 1 solution du problème (PD) posé dans Ω 1correspondant à la frontière inconnue γ 1 et u 2 solution du problème (PD) posé dans Ω 2correspondant à la frontière inconnue γ 2 . On rappelle que ∂Ω 1 = Γ∪γ 1 et ∂Ω 2 = Γ∪γ 2 .On suppose ici que Ω 2 est intérieur au domaine Ω 1 , c’est à dire que γ 2 est une partieintérieure à Ω 1 .On énonce le résultat de stabilité suivant :Théorème :Soient Ω 1 , Ω 2 ∈ Ω ad , on désigne par u i la solution du problème (PD) correspondant àγ i ; i = 1, 2. Alors ils existent des constantes ρ ∈ (0, 1), C > 0, τ > 0 et une fonctiondécroissante ε : ]0, 1[ −→ IR + qui tend vers 0 en 0, définie par : ε(x) ≤2+log (ρ | log x|)ρ | log x|pour x ≤ e −1/ρ , telles que :µ(Ω 1 \ Ω 2 ) ≤ Cε(‖u 1 − u 2 ‖ L 2 (Γ)).Ce résultat reste valable si les deux formes possibles de la frontière en question γ 1 et γ 2ayant les mêmes extrémités, s’intersectent en un nombre fini de points.Pour la preuve de ce théorème, on a recours au lemme suivant :Lemme :On désigne par u 1 la solution du problème (PD) posé dans Ω 1 et par v 1 sa fonctionconjuguée harmonique. Il existe une constante C > 0 telle que :∂v 1∂y (x, y) ≥ C pour tout (x, y) ∈ γ 2.3. Identification3.1. Description de la méthodeL’équation ∆u = 0, nous donne l’existence d’une fonction holomorphe ψ telle queu est sa partie réelle : u = Re(ψ).On désigne par v le conjugué harmonique de u (à une constante additive près), on a donc: ψ = u + i v. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, on a : v(s) = ∫ sΦ(t) dtasur Γ, où a est une extrémité de Γ.La fonction ψ est parfaitement connue sur Γ et coïncide avec la fonction :F(s) = f(s) + i ∫ sa Φ(t)dt.TAMTAM –Tunis– 2005

Problème inverse géométrique 447On suppose que la surface de mesure Γ est divisée en deux parties connexes disjointes Γ 1et Γ 2 et que le flux de chaleur Φ imposé sur Γ est une fonction qui vérifie :⎧⎪⎨(a)⎪⎩Φ > 0 sur Γ 1 = (a, x 0 )Φ = 0 en x 0 ; x 0 ∈ ΓΦ < 0 sur Γ 2 = (x 0 , b)où a et b les extrémités de la surface de mesure Γ.En se référant à [1, 4], on a :Proposition :ψ est une application conforme transformant le domaine Ω en Ω 0 , la surface de mesureΓ en Γ 0 = {u = f(s), v = ∫ Φ(s) ds}, et la frontière inaccessible γ en une lignehorizontale γ 0 = {v = 0}.Il est clair que le domaine Ω 0 est bien déterminé. Grâce à sa régularité et en se référantà [6], il existe une application conforme Υ qui le transforme en disque unité. Commela composée de deux transformations conformes est une transformation conforme, ondéduit donc que Υ ◦ ψ est une application conforme qui transforme Ω en ID, Γ en K etγ en J, où ∂ID = K ∪ J. Identifier la partie inconnue de la frontière, revient à identifier((Υ ◦ ψ) −1 (J)). Vu que J = Υ(γ 0 ) et γ 0 = ψ(γ), alors que les mesures sont effectuéesseulement sur la surface de mesure Γ, il est clair que ψ et donc (Υ ◦ ψ) ne sont connuesque sur Γ et par conséquent (ψ) −1 | γ0et (Υ ◦ ψ) −1 | Jsont des inconnues du problème.Afin de déterminer γ, on va procéder au moyen des méthodes constructives d’analysecomplexe et d’approximation et donc la résolution des problèmes extrémaux bornés dansH ∞ définis sur le disque unité.Par un soucis de simplification, on pose Ψ = (Υ ◦ ψ) −1 qui n’est connue que sur K donton cherche l’ extension dans H ∞ . On est donc ramené à la recherche de cette applicationconforme et donc à la résolution d’un problème extrémal borné (qu’on définit dans lasuite) dans les espaces de Hardy H ∞ du disque unité.L’espace de Hardy H ∞ = H ∞ (ID) est défini par l’espace des fonctions analytiques dansID et bornées en norme L ∞ sur les cercles centrées en 0 et de rayon r < 1, telle que :H ∞ = {g(z) = ∑ 0≤na n z n , supr < 1supθ∈[0,2π]|g(r e iθ | < ∞},avec :‖g‖ H ∞ = sup r < 1 sup θ∈[0,2π] |g(r e iθ | = sup θ∈[0,2π] |g |IT (e iθ )| = ‖g |IT ‖ L∞ (IT ).Muni de la norme L ∞ (IT ), l’espace H ∞ est un espace de Banach que l’on peut identifierau sous espace fermé de L ∞ (IT ) des fonctions dont les coefficients de fourrier d’indicesnégatifs sont nuls.TAMTAM –Tunis– 2005

448 Chaabane et al.3.2. Problèmes extrémaux bornésLe problème inverse est transformé en un problème de recherche de l’extension g 0sur tout le disque unité ID d’une fonction complexe Ψ défini sur K. Trouver donc cetteextension, revient à résoudre un problème de minimisation dans l’espace H ∞ , il s’agit dechercher la fonction g 0 ∈ H ∞ la plus proche de Ψ sur K. Ce problème de minimisationest mal posé et instable. Pour empêcher ce comportement instable, on ajoute à ce problèmede minimisation une contrainte M sur la norme ‖.‖ L∞ (IT −K), d’où la nominationdu problème extrémal borné noté par (BEP). La résolution de ce problème se fait en seramenant à un problème d’approximation uniforme équivalent sur tout IT , dit problèmede Nehari, dont la solution est donnée au moyen des éléments singuliers d’un opérateurde Hankel, voir [2].3.3. Etude numériqueOn applique la méthode d’identification donnée ci-dessus pour la résolution du problèmeinverse d’identification de la frontière inconnue en utilisant les transformationsconformes. La résolution des problèmes extrémaux bornés (BEP) a été effectuée par uncode matlab développé par l’INRIA, Sophia-Antipolis (projet APICS) en collaborationavec CMA(EMP).On résout le problème pour un choix du flux : Φ = sin(2 θ). On prend comme domaineinitial un disque tronqué dont la partie γ à identifier est en rouge. On applique à ce domainela transformation conforme ψ qui n’est connue que sur la surface de mesure Γ (Γest la partie droite), donc Γ 0 = ψ(Γ) est parfaitement connue. On déduit γ 0 en joignantles extrémités de Γ 0 . Il est clair que Ω 0 = ψ(Ω) est parfaitement détérminé.1Initial domainPsi conformal maps0.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1 −0.5 0 0.5 1 1.50.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1.2−1.4−1.6−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1On applique enfin la transformation conforme de Schwartz-Christoffel Υ à Ω 0 qui leTAMTAM –Tunis– 2005

Problème inverse géométrique 449transforme en disque unité et donc on a Υ ◦ ψ(γ) = J. Trouver donc γ revient à chercher(Υ ◦ ψ) −1 | J, pour celà, on résout donc les (BEP) sur ID, on déduit la frontière inconnue.1.5Conformal map onto the unit cirle10.8Domain completion: K = 0.30 γ = 0.018TrueRefIdentified10.60.50.40.200−0.2−0.5−0.4−1−0.6−0.8−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1−1 −0.5 0 0.5 1Remerciements : Tous les résultats numériques ont été obtenus par un code développépar le projet APICS, Sophia-Antipolis en collaboration avec le centre de mathématiquesappliquées (EMP).4. Bibliographie[1] G. Alessandrini « Examples of instability in inverse boundary-value problems. », InversePbs, vol 13, 887-897, 1997.[2] L. Baratchart, J. Leblond and J.R Partington « Hardy Approximation to L ∞ functions onsubsets of the circle. guilf, Constructive Approximation, vol 12, no 3, pp. 423-436, 1996 .[3] S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua and J. Leblond « Logarithmic stability estimates for aRobin coefficient in two-dimensional Laplace inverse problems. », Inverse Pbs, vol. 20, pp.47-59, 2004.[4] I. Fellah « Complétion de données dans les espaces de Hardy et problèmes inverses pour lelaplacien en 2D. », Thèse de doctorat, en préparation,Université de Tunis II, ENIT.[5] R. Kress, « Inverse dirichlet problem and conformal mapping. », Mathematics and computersin simulation, vol 66, pp. 255-265, 2004.[6] C. H. Pommerenke « Boundary behavior of conformal Maps. », Springer, Berlin.TAMTAM –Tunis– 2005

Application de la méthode de Gauss-Newton àl’identification de fissuresI. Horchani ** ENIT-LAMSIN ,BP 37, 1002 Tunis Belvédère, Tunisie.RÉSUMÉ. Ce papier entre dans le cadre des problèmes inverses, on cherche à localiser une famillesde fissures via les données sur la frontière.On transforme ce problème en un problème de minimisationd’une fonctionelle coût .On résout ce problème de minimisation en utilisant une méthode baséesur l’algorithme de Newton-Gauss. Ces résultats sont illustrés par quelques tests numériques.ABSTRACT. The present work deals with the detection and localization of craks for a simple model:Laplace equation with the heat flux imposed and the temperature measured.Since the boundary conditionsare overspecified ,then the actual crak is reached when the Kohn-Vogelius criterion is vanishes.Tominimize a cost function we use a Gauss-Newton method.This result is illustrated bye somenumerical experimentsMOTS-CLÉS : Optimisation topologique,problèmes inverses,Gauss-Newton,différentiation automatiqueKEYWORDS : Topological Optimization,inverses problems,Gauss-Newton,automatic differentiationTAMTAM –Tunis– 2005 450

Identification de fissures 4511. IntroductionDans ce travail, nous nous intérressons aux problèmes inverses géométrique d’identificationde fissures qui consistent à localiser une famille de fissures via des mesures sur lebord .Ces problèmes interviennent d’une manière naturelle dans nombreuses applications(imagerie , tomographie .....). Les méthodes de résolution de ces problèmes sont très diverses[2][1].Le cadre mathématique dans ce travail est l’équation de le laplacien ,il s’agit de localiserune famille de fissures à partir des quantités mesurés à savoir la température et le flux dechaleur. Etant donné que les conditions au bord sont surdéterminées, on utilise l’approcheprésentée par Kohn- Vogelius [3] , à savoir localiser les fissures revient à minimiser lafonction coût qui mesure l’écart entre la solution de Dirichlet et la solution de Neumann. La résolution de ce problème de minimisation se réalise en s’appuyant sur les travauxillustrés dans [4] et basés sur l’algorithme de Gauss-Newton .2. Présentation du problèmeSoit Ω un domaine contenant la fissure σ. Sur la frontière Γ de Ω, On impose un fluxde chaleur ϕ et on mesure la température T . Le problème considéré est le suivant : étantdonné Ω, ϕ et T , trouver σ ⊂ Ω telque la solution u(σ) de⎧⎨⎩∆u(σ) = 0 dans Ω \ σ,∂ n u(σ) = ϕ surΓ,∂ n u(σ) = 0 sur σ.(1)verifie u(σ) |Γ = T .Le problème inverse à étudier sera donc l’identification (géométrique) d’une fissure σincluse dans Ω, depuis la donnée du flux ϕ et la connaissance de la trace de u solution duproblème (1).Autrement dit le problème s’écrit : étant donné Ω,ϕ et f, trouver σ incluse dans Ω telleque la solution du problème (1) vérifie la condition de Dirichlet :u |Γ0 = f.Les donnéesétant surabondantes sur le bord, on définit alors les deux problèmes suivant :– Le problème de “Dirichlet” :⎧⎨⎩∆u D (σ) = 0 dans Ω \ σ,u D (σ) = T sur Γ,∂ n u D (σ) = 0 sur σ,(2)TAMTAM –Tunis– 2005

452 Horchani– le problème “Neumann” :⎧⎨ ∆u N (σ) = 0 in Ω \ σ,∂ n u N (σ) = ϕ on Γ,⎩∂ n u N (σ) = 0 on σ.La fissure σ est localisée ,en minimisant l’écart entre la solution de Neumann et la solutionde Dirichlet, et donc minimiser la fonction coût suivanteC’est la fonction coût de Kohn- Vogelius [3].j(c) = 1 2 ‖uD − u N ‖ 2 L2(Ω) (4)(3)3. Résolution du problème de minimisationLe but étant de minimiser j(c), on pose F i (c) = u N i − u D ii étant le nombre de ponts de mesure effectuées sur le bord du domaine Ω.La fonction coût s’écrit alors :j(c) = 1 2 ‖F i(c)‖ 2 L 2 (5)Soit DF i la jacobienne de F i .En appliquant La méthode de Newton au problème (5) on obtient :d étant la direction de descente. oret∇ 2 J(c k )d = −∇J(c k )∇J(c) = DF t (c)F (c)∇ 2 J(c) = DF t (c)DF (c) + D 2 F (c)F (c)On néglige Le second terme de ∇ 2 J(c) .On approche ∇ 2 J(c) par son premier terme.Onaboutit ainsi à la méthode de Gauss-Newton.La méthode consiste en l’algorithme itératif suivant :{ DF t (c k )DF (c k )d k = −DF t (c k )Fc k+1 = c k + d k(6)Le calcul du produit matrice-vecteur DF (c k ) t DF (c k )d est effectué en deux étapes . Lapremière étape consiste à calculer DF (c k )d , on peut écrire ce produit de la manièresuivante :F (c k + εd) − F (c k )DF (c k )d = lim= ∂ ε F (c k + εd) |ε=0ε→0 εTAMTAM –Tunis– 2005

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Identification de fissures 4530.510.40.80.30.60.20.40.10.200−0.1−0.2−0.2−0.4−0.3−0.6−0.4−0.8−0.5−1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1A droite : Localisation de plu-Figure 1. A gauche : Localisation d’une seule fissure ;sieurs fissures.Afin de dériver F , on exploite les techniques de la différentiation automatique,en particulierla dérivation en mode direct (En mode direct,les dérivées sont calculées en mêmetemps que les valeurs des variables initiales). Enfin, le calcul de DF (c k ) t DF (c k )d sefait en utilisant le mode inverse de la différentiation automatique . pour finir, on résoutle système linéaire (6) en utilisant la méthode de gradient conjugué.C’est une méthodeitérative qui permet de résoudre le système linéaire Ax = b.4. Tests numériquesSoit Ω le disque unité et σ est une fissure droite linéaire incluse dans Ω. Le flux dechaleur ϕ est imposé sur Γ par la condition au bord ϕ = x 1 ϕ = x 2 ,la première etla deuxième composante de x . En appliquant la procédure décrite précédemment . lalocalisation des fissures est indiquée dans la figures 4. Ces tests numériques effectuésconduisent à une bonne localisation de fissures.5. ConclusionOn a adapté dans ce papier la méthode de Gauss-Newton pour la résolution d’un problèmeinverse d’ídentification de fissures à partir des mesures frontières .L’utilisation des modes directs et adjoints de la différentiation automatique et la méthodedu gradient conjugué a permit d’économiser des calculs très couteux (calcul de la jacobienne,stockage de la matrice ..).Cette méthode peut-être adapteé pour d’autres équations d’états avec différentes conditionsaux limites ,et aussi pour identifier des homogénéités quelconques en imagerie numérique.TAMTAM –Tunis– 2005

454 Horchani6. Bibliographie[1] S.ANDRIEUX,A.BEN ABDA, « Identification of planar craks by complete overdetermineddata :inversion formulae,Inverse Problems. », 12, pp. 553-563, 1996[2] L. BARATCHART,J. LEBLOND, F. MANDR EA AND E.B. SAAF, « How can meromorphicapproximation help to solve some 2D inverse problems for the Laplacian,Inverse Problems. »,15, pp. 79-90, 1999[3] R.KOHN , M .VOGELIUS, « Relaxation of a variational method for impedance computed tomography.,Comm Pure Appl. Math. », 40(6).pp 754-777,1987[4] M.MASMOUDI, « Outils pour la conception optimale de formes,thèse de 3 me cycle. », 1987TAMTAM –Tunis– 2005

Application de l’algorithme deNeumann-Dirichlet pour la complétion dedonnées en élasticité planeT. N. Baranger * — J. Ben Abdallah **,*** — M. L. Kadri **** Université Claude Bernard Lyon I. UFR de mécanique.69100 Lyon, FRANCEbaranger@univ-lyon1.fr** Institut Supérieure des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse, Cité Taffala,4003 Sousse, TUNISIE.jalel.benabdallah@enit.rnu.tn*** Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numériquedans les Sciences de l’Ingénieur.Campus universitaire, B.P. 37,1002 Tunis-Belvédère, TUNISIEmedlarbi.kadri@lamsin.rnu.tnRÉSUMÉ. On s’intéresse au problème de complétion de données en élasticité plane. Nous Nous proposonsd’identifier les conditions aux limites sur le bord interieur d’un domaine troué en déformationsplane au moyen de données surabondantes sur le bord extérieurABSTRACT. We are interested in the data completion in the planar elasticity. We conduct a numericalstudy of the interior boundary conditions identification problem for a domain with a hole in plan strainsby using overspecified boundary conditions on the exterior boundary.MOTS-CLÉS : complétion de données, algorithme de Neumann-Dirichlet, déformation plane.KEYWORDS : data completion, Neumann-to-Dirichlet algorithm, plan strains.455 TAMTAM –Tunis– 2005

456 Baranger et al.1. IntroductionLa reconstruction de paramètre physiques à partir de données incomplètes est unequestion d’intérêt majeur dans une multitude de contextes industriels. En effet, il arrivecouramment que les grandeurs désirées ne soient pas accessibles à la mesure, ou quandelles le sont, que leurs mesure directe soit couteuse. Un cadre qui a été largement exploré,est celui de la thermique stationnaire. Cela consiste à identifier la température et le fluxthermique sur le bord d’un domaine au moyen d’une connaissance partielle de ces grandeurssur une autre partie du bord. Ce type de problème (problème de Cauchy) est connudepuis le debut du 20 eme siècle (voir [3]) pour être mal posé au sens de la stabilité : lasolution, quand elle existe, n’est pas continue par rapport à la donnée. Autrement dit, unepetite perturbation sur la donnée (d’origine expérimentale donc forcément entachée d’erreur)peut entrainer une solution dramatiquement berturbée. La littérature concernant lacomplétion de donnée est très vaste. Nous nous limiterons ici à citer quelques uns des travauxqui adoptent une démarche analogue à celle utilisée dans ce travail.Cette démarcheconsiste à utiliser l’agorithme de Neumann-Dirichlet en vue de resoudre le problème deCauchy. Rappelons que cet algorithme est largement discuté par Quarteroni et al. en tantqu’outil de résolution d’equations aux dérivées partielles du second ordre au moyen dela décomposition de domaine. Son adaptation à la résolution du problème de Cauchy aété proposée par Koslov et al. dans [4] où quelques resultats théoriques de convergenceet de stabilité sont établis. Des études numériques de quelques propriétés de convergencede la méthode ont été présentés pour le problème la chaleur dans [5] et [6], et pour leproblème de détection de la corrosion sur la frontière interne d’une conduite dans [9].Dans [8], Weikl et al. ont appliqué l’algorithme proposé dans [4] à la détection de fissuredans un solide tridimensionnel. Dans une étude numérique, Azaiez et al. [2] ont utilisécet algoritme dans divers contextes (identification de la température, du flux thermique etdu coefficient de transfert dans le peau interne d’un tube, identification de fissures droitesou courbes, ...).Le présent travail est consacré à l’utilisation de cet algorithme dans le cadre de l’élasticitéplane et son application à l’identification des conditions aux limites pour une plaquetrouée soumise à un effort de traction.2. Description de l’algorithme de Neumann-Dirichlet enélasticité planeOn se propose d’identifier les conditions aux limites sur la frontière interne d’un domaineΩ élastique rectangulaire trouée supposé isotrope et homogène soumis à un éffortde traction. Le domaine est rapporté à un système d’axes orthonormés (O, x, y, z) dontl’origine est au centre du rectangle et les axes (O, x) et (O, y) parallèles aux côtés delongueur 2a et 2b. Sur la face x = ±a (resp. y = ±b) on impose un effort de tractionTAMTAM –Tunis– 2005

Complétion de données en élasticité plane 457(±F d , 0) (resp. (0, ±F d )), où F d est donnée. Désignons par u 1 , u 2 (u 3 = 0) les composantesdu déplacement dans le plan (O, x, y). Le modèle mathématique du problèmerevient à chercher le champ des déplacements u vérifiant :⎧∂σ ij∂x ⎪⎨ j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (u) dans Ω1ε kh =2 ⎪⎩( ∂u h∂x k+ ∂u (1)k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi d et u i = Ui d sur Γ c ; i = 1, 2.Γ c représente les bords (x 1 = ±a, x 2 = ±b), Γ ∗ désigne la frontière interne (trou).a = a ijkh est le coefficient d’élasticité du domaine. Pour des conditions aux limitessurabondantes sur les frontières Γ c et Γ ∗ , le système précèdent s’écrit :⎧∂σ ij∂x j= 0 dans Ω⎪⎨ σ ij = a ijkh ε kh (u) dans Ω⎪⎩ε kh =12 ( ∂u h∂x k+ ∂u k∂x h)dans Ωσ ij n j = Fi d et u i = Ui d sur Γ cσ ij n j = Fi ∗ et u i = Ui ∗ sur Γ ∗ ; i = 1, 2.Ce problème est scindé en deux sous-problèmes mixtes bien posés avec des conditionsaux limites différentes : l’un avec des conditions (Dirichlet, Neumann) sur (Γ c , Γ ∗ )⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (ǔ) dans Ωε kh = 1 2 ( ∂ǔ h∂x k+ ∂ǔ k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi ∗ sur Γ ∗ǔ i = Ui d sur Γ c ; i = 1, 2.(2)(3)l’autre avec des conditions aux limites (Neumann, Dirichlet) sur (Γ c , Γ ∗ )⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j= 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (û) dans Ωε kh = 1 2 ( ∂û h∂x k+ ∂û k∂x h) dans Ωσ ij n j = Fi d sur Γ cû i = Ui ∗ sur Γ ∗ ; i = 1, 2.(4)Le problème de Cauchy (1) est résolu lorsque le prolongement des données (U ∗ , F ∗ ) faitcoincider û et ǔ ; la solution de (1) est alors u = û = ǔ.Ceci suggère l’approche itérative suivante : partant d’une estimation quelconque de lavaleur du déplacement U ∗ sur Γ ∗ ,celle-ci est réactualisée en résolvant alternativement unproblème avec les conditions Dirichlet sur Γ c /Neumann sur Γ ∗ et un problème avec lesconditions Neumann sur Γ c /Dirichlet sur Γ ∗ . A chaque itération la condition aux limitesTAMTAM –Tunis– 2005

458 Baranger et al.sur Γ ∗ de l’un des deux problèmes est issue de la résolution de l’autre problème à l’itérationqui précède. Ainsi on construit une suite (u k ) k avec la récurrence suivante : u 2k+1 etu 2k+2 solutions de :⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j(u 2k+1 ) = 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (u 2k+1 ) dans Ωε kh (u 2k+1 ) = 1 2 ( ∂u2k+1 h∂x k+ ∂u2k+1 k∂x h) dans Ωσ ij n j = F d i sur Γ cu i = u 2ki sur Γ ∗ ; i = 1, 2.(5)⎧⎪⎨⎪⎩∂σ ij∂x j(u 2k+2 ) = 0 dans Ωσ ij = a ijkh ε kh (u 2k+2 ) dans Ωε kh (u 2k+2 ) = 1 2 ( ∂u2k+2 h∂x k+ ∂u2k+2 k∂x h) dans Ωσ ij n j = σ ij (u 2k+1 )n j sur Γ ∗u i = Ui d sur Γ c ; i = 1, 2.(6)La convergence de la méthode vers la solution du problème de Cauchy est prouvée dans[4] pour l’équation de la chaleur en régime stationnaire. La suite (u k ) k converge vers lasolution du problème (1).3. Résultats numériquesLa frontière interne du domaine été discrétisée en 16 éléments finis. Les mesures sontsynthétiques, génerées par la résolution numérique du problème direct.La figure (1) illustre le déplacement exact et calculé sur la frontière interne du domaine: la solution solution determinée et la solution exacte coincident parfaite pour desdonnées non bruitées. En présence d’un bruit (généré par la routine randn de MATLAB quigénère un tableau de valeurs suivant une loi normale centrée réduite -de moyenne nulleet d’écart-type unité), des instabilités apparaissent mais le résultat reste acceptable vuel’importance du bruit.La figure (2) présente d’une part l’évolution de la ∫ norme relative de l’écart énergétiqueentre deux itérés successifs dénomé Critère 1 :σ k+1−σ k )(ε k+1 −ε k )Ωqui décroit de∫Ω (σ1−σ2)(ε1−ε2)façon monotone, et d’autre part l’évolution de la norme relative de l’écart de la solutioncalculée à la solution exacte dénomé Critère 2 : ‖Uexact−U‖‖U exact‖qui commence par décroitrerapidement puis recroitre. Ceci nécessite la définition d’un test d’arrêt adéquat.TAMTAM –Tunis– 2005

Complétion de données en élasticité plane 4590.6déplacement suivant l’axe xU0.6déplacement suivant l’axe y0.40.4U exact0 2 4 6 8 10 12 14 160.20−0.20.20−0.2VV exact−0.4−0.4−0.6−0.6−0.80 2 4 6 8 10 12 14 16−0.80.6déplacement suivant l’axe x0.6déplacement suivant l’axe y0.40.40.20.2V00V exact−0.2U−0.2U exact0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4−0.4−0.6−0.6−0.80 2 4 6 8 10 12 14 16−0.8Figure 1. Déplacements suivant Ox (U) et suivant Oy (V ) exacts et calculés sur Γ ∗ :mesures non bruitées (en haut), mesures bruitées à 10ℵ (en bas)10.90.80.70.6Evolution des critères d’arrêtcritère 1critère 2Critères0.50.40.30.20.100 20 40 60 80 100ItérationsFigure 2. Evolution des erreurs en fonction du nombre d’itérations.TAMTAM –Tunis– 2005

460 Baranger et al.4. ConclusionDans le cadre de ce travail, nous avons formulé l’algorithme de Neumann-Dirichletpour la résolution du problème inverse d’identification des conditions aux limites pour unedomaine bidimensionnel élastique homogène isotrope. L’algorithme permet d’obtenir desrésultats satisfaisants y compris pour un bruit important. Nous envisageons dans la suitede traiter des problèmes plus complexes : nombre important de degrés de librerté, solidestridimensionnels, condistions aux limites non-linéaires, ... A cet effet, l’identification d’untest d’arrêt efficace semble crutiale.5. Bibliographie[1] ANDRIEUX S., BEN ABDA A. AND BARANGER N. T. « Data completion via an energy errorfunctional », C.R. Mecanique 333 (2005) 171-177.[2] AZAIEZ M, BEN ABDA A AND BEN ABDALLAH J « Revisiting the Dirichlet-to-Neumannsolver for data completion and application to some inverse problems », à paraître dans Int. J.Appl. Math. Mech.[3] Hadamard J Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equation (New York :Dover), 1953.[4] V. A. KOZLOV, V.G. MAZ’YA AND A. V. FOMIN, « An Itérative Method For Solving theCauchy Problem for Elliptic Equations. », Comput.Maths.Math.Phys., (31) 1, 1991.[5] N.S. MERA, L. ELLIOTT, D.B INGHAM AND D. LESNIC, « An Iterative Boundary ElementMethod for the Solution of a Cauchy Steady State Heat Conduction Problem. », ComputerModelling in Engineering and Sciences, (1), 3, 2002.[6] N.S. MERA, L. ELLIOTT, D.B INGHAM AND D. LESNIC, « An Iterative Algorithm for SingularCauchy Problems for the Steady State Anisotropic Heat Conduction Equation. », EngineeringAnalysis with Boundary Elements, (26), 2, 157-168, 2002.[7] A. NACHAOUI, « Contribution à l’analyse et à l’approximation des problèmes d’identification,de reconstruction et des systèmes d’equations elliptiques non linèaires. », Habilitation à dirigerdes recherches, Juin 2002.[8] W. WEIKL, H. ANDRA AND E. SCHNACK, « An alternating iterative algorithm for the reconstructionof internal cracks in a three-dimensional solid body. », Inverse Problems, May2001.[9] XIN YANG, MOURAD CHOULLI, JIN CHENG, « An Itérative BEM for the Inverse Problem ofDetecting Corrosion. », Engineering Analysis with Boundary Elements, september 2004.TAMTAM –Tunis– 2005

Analytic extensions on an annulus:applications for some inverse problemsM. Jaoua * , J. Leblond ** , M. Mahjoub *,** and J. Partington **** LAMSIN-ENIT,BP 37, 1002 Tunis Belvedere, TUNISIE,mohamed.jaoua@enit.rnu.tnmoncef.mahjoub@lamsin.rnu.tn** INRIA,BP 93, 06902 Sophia–Antipolis Cedex, FRANCE,leblond@sophia.inria.fr*** School of Mathematics,University of Leeds, Leeds LS2 9JT, U.K.,J.R.Partington@leeds.ac.ukABSTRACT. We consider the cauchy issue of recovering boundary values on the inner circle of atwo–dimensional annulus from available overdetermined data on the outer circle, for solutions to theLaplace equation. Using tools from complex analysis, Hardy classes and approximation, we etablishstability properties and error estimates, as well as a recovery scheme, illustrated by some numericalcomputations.RÉSUMÉ. On s’intéresse dans ce travail à un problème de complétion de données sur la partieintérieure de la frontière d’une couronne à partir des mesures expérimentales disponibles sur la partieextérieure de la frontière pour de solutions de l’équation de Laplace dans un domaine non simplementconnexe. En se basant sur des notions d’analyse complexe et d’approximation harmonique dans lesespaces de Hardy de la couronne, on établit des résultats de stabilité pour le problème inverse. Desillustrations numériques sont également présentées.KEYWORDS : Extremal problems in Hardy space on a circular domain, analytic approximation, geometricalinverse problems, 2D Laplace operator, Robin coefficient.MOTS-CLÉS : Problème extrémal borné dans les espaces de Hardy de la couronne, approximationanalytique, problèmes inverses géométriques, Laplacien 2D, coefficient de Robin.461 TAMTAM –Tunis– 2005

462 Jaoua et al.1. IntroductionAmong data extension issues in elliptic inverse problems there arises the task of recoveringeither Dirichlet (or Neumann) boundary data (temperature field, electric potential,...), a Robin type exchange coefficient, or a crack located on some interfaces of the structure,from overdetermined measurements on the outer boundary. In the case of a tube oron pipe, the problem should reduce to a 2D one on an annulus.This can also be related to the inverse electroencephalography problem in spherical 3Ddomains, which give simple models of the human head, assumed to be a ball made of(at least) three concentric spherical homogeneous layers (brain, skull, and scalp) [4][2]. Overdetermined electrical measurements (potential, current flux) are available onthe scalp (external boundary), from which one wants to recover some current sources(conductivity defaults) located in the brain (inner layer), the potential being harmonicelsewhere in the domain. Taking planar cross-sections of the ball allows one to expressthe problem in a family of discs, where the above 2D data extension issue may arise as apreliminary step before recovering the singularities.These issues, and some others, usually involve solving a Cauchy problem for the Laplaceoperator on an annulus, from available data on the other boundary. This problem is knownto be ill-posed since the work of Hadamard, its most critical feature being the lack of continuityof the solution with respect to the data – whenever it exists. (This is the case forcompatible data, which means that the overdetermined data is indeed the trace and normalderivative of the solution of a single harmonic functional.) Therefore great care isrequired when solving such a problem. There are several general algorithms for solvingthese problems or dealing with applications close to those intended in this work [3]; howeverall these algorithms solve effectively the Cauchy problem (i.e., we have the solutionin the entire domain). They are based on multiple resolution of the backward problemand are therefore time consuming. Our approach is cheap and based on harmonic approximation[5] consisting in building from a flux imposed and the temperature measured onthe part of the outside border of the annulus, a complex function defined on the surface ofmeasure and find an extension of it defined on G.2. Approximation in Hardy classesLet D be the unit disc and G be the annulus G = D \ sD for some fixed s with0 < s < 1. The Hardy spaces H p (G), 1 ≤ p < ∞, on a circular domain G weredefined by Rudin [1] in terms of analytic functions f such that |f(z)| p has a harmonicmajorant on G, that is, a real harmonic function u(z) such that |f(z)| p ≤ u(z) on G. Itis also possible to define the Hardy spaces H p (∂G) for 1 ≤ p < ∞ as the closure inL p (∂G) of the set R G of rational functions whose poles lie in the complement of G. Thespaces H p (G) and H p (∂G) are then isomorphic in a natural way, and so we identify theTAMTAM –Tunis– 2005

Analytic extensions on an annulus 463two spaces.Below, we stick to the most completely analysed example to the Hilbert case where p = 2.Given sequences (w n ) n∈Z and (µ n ) n∈Z of positive numbers, we introduce H 2 w,µ(∂G) tobe the weighted Hardy space of the annulus G, with the norm‖g‖ H 2w,µ (∂G) = ∑ n∈Z|g n | 2 [w n + s 2n µ n ] ,for functions g(z) = ∑ n∈Z g n z n , z ∈ G. Provided that inf n∈Zw n+s 2n µ n1+s 2n > 0, and becausethe sequence of functions (z n / √ 1 + s 2n ) n∈Z is an orthonormal basis of H 2 (∂G),the space H 2 w,µ(∂G) embeds continuously in the unweighted space H 2 (∂G), and thus itselements possess boundary values on T and sT, as follows. Let L 2 w(T) ⊂ L 2 (T) andL 2 µ(sT) ⊂ L 2 (sT) respectively be the spaces of functions g = ∑ n∈Z g n z n such that‖g‖ 2 L 2 w (T) = ∑ n∈Z |g n| 2 w n < ∞ and ‖g‖ 2 L 2 µ (sT) = ∑ n∈Z |g n| 2 s 2n µ n < ∞, respectively.Functions belonging to Hw,µ(∂G) 2 thus admit traces on T and sT that belong toL 2 w(T) and L 2 µ(sT), respectively.Suppose that ∂G = T ∪ sT, where T is the unit circle and sT the circle of radiuss. We write L 2 w,µ(∂G) ⊂ L 2 (∂G) for the space of those functions defined on ∂Gsuch that their restrictions to T and sT lie in L 2 w(T) and L 2 µ(sT), respectively. ThenL 2 w,µ(∂G) = L 2 w(T) ⊕ L 2 µ(sT).We write P L 2w (T) g = χ T g for the function in L 2 w,µ(∂G) that coincides with g on T andvanishes on sT. The definition of P L 2µ (sT) is analogous. We suppose that we are givenf 0 ∈ L 2 w(T) and we wish to approximate f 0 as well as possible by the restriction to Tof an Hw,µ(∂G) 2 function i . e. P L 2w (T) g for g ∈ Hw,µ(∂G).2 In view of the resultsestablished in [5], we can have the generalization results:the space P L 2w (T)H w,µ (∂G) is dense in L 2 w(T). Then there will exists a sequence (g n )of Hw,µ(∂G) 2 functions such that ‖P L 2w (T) g n −f 0 ‖ L 2w (T) → 0. However, if f ≠ P L 2w (T) gfor any g ∈ Hw,µ(∂G) 2 then it will follow that ‖P L 2µ (sT) g n ‖ L 2µ (sT) → ∞ i . e. theapproximation problem is ill–posed.This motivates the following bounded extremal problemProblem 1 Let f 0 ∈ L 2 w(T) \ P L 2w (T) H 2 w,µ(∂G), f 1 ∈ L 2 µ(sT) and M > 0. Find afunction g 0 ∈ H 2 w,µ(∂G) such that ‖g 0 − f 1 ‖ L 2µ (sT) ≤ M and‖f 0 − g 0 ‖ L 2w (T) = inf{‖f 0 − g‖ L 2w (T)) : g ∈ H 2 w,µ(∂G) , ‖g − f 1 ‖ L 2µ (sT) ≤ M}. (1)We shall require the solution to the bounded extremal problem for H 2 w,µ(∂G), whichcan be expressed as follows. If T is the Toeplitz like operator on H 2 w,µ(∂G) defined byT g = P H 2w,µ (∂G) P L 2µ (sT) g, then the solution g 0 of the Problem 1 is given by the formula(1 + λ T ) g 0 = P H 2w,µ (∂G) [f 0 + (1 + λ) f 1 ] ,TAMTAM –Tunis– 2005

464 Jaoua et al.for the unique λ > −1 such that ‖g 0 − f 1 ‖ L 2µ (sT) = M.It can be checked that, if f 0 (z) ∼ ∑ n∈Z a nz n for z ∈ T and f 1 (z) ∼ ∑ n∈Z b nz n forz ∈ sT, theng 0 (z) = ∑ n∈Za n w n + αb n µ n s 2nw n + αµ n s 2n z n , where α = 1 + λ. (2)3. Application for some inverse problems3.1. Identification of Robin type coefficientsBeing given a prescribed flux Φ ≢ 0, together with measurements u bfunction ϕ on sT such that the solution u ofon T, find a∆u = 0 in G ,∂ n u = Φ on T , u |T = u b ,also satisfies ∂ n u + ϕ u = 0 on sT.Let Φ ∈ L 2 (T) and assume that ϕ ∈ C(s T). From Cauchy–Riemann equations, if v isa harmonic function in G satisfying ∂ θ v = ∂ n u on ∂G, then f = u + iv is an analyticfunction in G. Thus, if we denote ∫ Φ dθ for some primitive of Φ on T, then the functionf = u b + i ∫ Φ dθ on T, is actually the trace on T of a unique analytic function g in G,and then ϕ = − ∂ θ vu= − ∂ θ (Ig)Rgon sT.Figure 3.1 shows the recovered flux, temperature and Robin coefficient on sT, s = 0.6,for f 0 (z) = 2 + 1/z, which provides us with the trace on T of the harmonic functionu 0 = Rf 0 together with that of its normal derivative, ∂ n u 0 = ∂ θ (If 0 ). We then computethe solution g given by 2 with f 1 = 0, M ≃ ‖f 0 ‖ L 2µ (sT).3.2. Source recoveryOur next application to test the performance of the proposed method is motivated by a2D version of an inverse source problem arising in the location of epileptic foci in humanbrain, the so–called inverse electroencephalography (EEG) problem, [2] [4]. In the so–called spherical model of the head, it is assumed to be a ball Ω made up of (at least) threedisjoint homogeneous connected layers Ω i (corresponding to scalp, skull and brain), Ω 0being the inner sphere, with spherical boundaries and constant conductivity σ = σ i . Thesteady state electric potential is the solution of−∇.(σ∇ u) =m∑p k .∇ δ ck in Ω and (σ∂ n u) ∂Ω= Φ ,k=1TAMTAM –Tunis– 2005

Analytic extensions on an annulus 4651Approximant3Real App T10Robin0.52.586024−0.51.520−11 2 310 5 10−20 5 103Flux2Imag App sT4Real App sT2113002−1−2−11Figure 1.−30 5 10−20 5 1000 5 10∫with∂ΩΦ = 0, where σ is constant in each layer and c k ∈ Ω 0 , p k ∈ R 3 and u b themeasures of u on the outer boundary ∂Ω. The issue is to recover the location of pointwisedipolar sources c k located in the inner domain Ω 0 , and their moments p k . This involvesharmonic data transmission from the outer boundary to the inner one as a preliminarystep, after which the singularities are to be recovered. Indeed, on each spherical layer∆ u = 0 in Ω i , i = 1, 2, and for any transmission conditions are required on the connectedcomponents of the boundaries Γ 0 = ∂Ω 0 , Γ i ∪ Γ i−1 = ∂Ω i : u |Γi−1 = u |Γi andσ i−1 ∂ n u |Γi−1= σ i ∂ n u |Γi.If we consider the 2D configuration of the above model, which can serve as a discretizedversion of the 3D one if u depends on the z-coordinate only to the first order, we handleonce again the issue of harmonic data propagation in a family of annuli.Here, we consider two layers, whence a domain G = RD \ D, with R = 1.25, σ 0 = 10,σ 1 = 1. We first compute using an iterative algorithm from [3] the solution u on the outerboundary ∂Ω = RT for various sources locations. We then compute the solution g givenby 2 with f 0 = u + i ∫ Φ on RT, Φ(Re iθ ) = cos θ, f 1 = 0, M ≃ ‖f 0 ‖ L2 (T). As asecond step, once the data are available on the intermediate boundary sT, meromorphicTAMTAM –Tunis– 2005

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5466 Jaoua et al.Poles location (ARL2)Poles location (ARL2)110.50.500−0.5−0.5−1−1Figure 2. m = 2 and 4 dipoles−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5or rational approximation schemes are used in order to approximately locate {c k }, as in[2]: see Figure 3.2.3.3. Recovery of cracks on circular interfacesWe consider the steady state heat conduction problem in the annulus G:∆ u = 0 in G \ σ∂ n u = 0 on σ ⊂ λT, s < λ < 1, and ∂ n u = Φ on ∂G ,∫for a flux Φ which satisfies Φ = 0, where σ ⊂ λT corresponds to the unknown∂Gco-circular cracks. This time, overdetermined data u b and Φ are available on the whole∂G = sT ∪ T and the aim is to recover σ from these data and we need the lemma 2. Let[u] denote the jump of u on both sides of a circle in G.Lemme 2 ([6]) If σ ⊂ λT and if ∫ σ [u](λeiτ ) dτ ≠ 0, then σ = { z ∈ λT : [u](z) ≠ 0 } .Assume for a while that one knows the parameter λ ∈ (s, 1) which defines the “hostcircle” λT containing the cracks. We can then split G into two annular subdomains:G = G + ∪ G − with G + = D \ λD and G − = λD \ sD.Hence, defining f + and f − as in section 3.1 on T and s T respectively, we can use theapproximation schemes in order to compute their best approximants g + and g − in G +and G − . Since u ± ≃ Re g ± , this allows us to obtain [u] ≃ g + − g − on λT and to localizeσ using Lemma 2.Preliminary numerical results are shown in Figure 3, which corresponds to the temperatureu b = Re f 0 and to the corresponding flux for f 0 (z) = 2 + z 2 and λ = 0.85.The bounded extremal problem 1 is then solved with f 0 , and M ≃ ‖f 0 ‖ L2 (sT). In themore realistic case where the host circle λT is unknown, the above tool can also be usedin order to determine the radius λ. The idea here is to introduce a circle rT for s < r < 1and to run the above approximation process in the two corresponding annular domainsTAMTAM –Tunis– 2005

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Analytic extensions on an annulus 4671Fisuure1fissure numeriquefissure reelle5les parties reellesHH1H10.840.60.430.202−0.21−0.4−0.60−0.8−1−10 1 2 3 4 5 6 7Figure 3. cracks and approximants g ± on λTG r,+ and G r,− ; if r < λ, the error in H 2 (G r,+ ) approximation will remain large (sincethen, σ ⊂ G r,+ and the function f + is not the trace of an analytic function there), whencethe error in H 2 (G r,− ) from f − will become small. Of course, if r > λ, the converseholds, while errors on both sides will be small whenever r = λ.4. References[1] W. RUDIN, “Analytic functions of class H p.”, Trans. Amer. Math. Soc., 1955, 78:46–66.[2] L. BARATCHART, A. BEN ABDA, F. BEN HASSEN, AND J. LEBLOND, “Pointwise sourcesrecovery and approximation.”, Submitted, 2004.[3] V. A. KOZLOV, V. G. MAZ’YA, AND A. V. FOMIN, “An iterative method for solving theCauchy problem for elliptic equations.”, Comput. Math. Phys. 31, 1991, 45–52.[4] A. EL BADIA AND T. HA–DUONG, “An inverse source problem in potential analysis.”, InverseProblems, 16, 2000, 651–663.[5] J. LEBLOND, AND J. R. PARTINGTON, “Constrained approximation and interpolation inHilbert function spaces .”, J. Math. Anal. Appl., 234 (2), 1999, 500–513.[6] S. ANDRIEUX AND A. BEN ABDA, “AIdentification of planar cracks by complete overdetermineddata: inversion formula.”, Inverse Problems, 12, 1996, 553–563.TAMTAM –Tunis– 2005

On solving the Cauchy problem for Laplace’sequation and applicationsA. Ben Abda * , L. Jaafar Belaid ** , A. Sakat ** LAMSIN, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis B.P. 37, Tunis-Belvedère, Tunisie.E-mail: amel.benabda@enit.rnu.tn sakat@enit.rnu.tn** LAMSIN & ESSTT. E-mail: lamia.belaid@esstt.rnu.tnABSTRACT. The Aim of this work, is to solve the Cauchy Problem of Laplace’s Equation modelingdata completion. We use a simple transformation that allows us to show that the problem is equivalentto a two Legendre moment problem, the first one permits to complete the Dirichlet condition and thesecond to complete the Newman condition on the boundary. In addition we give an application to twoinverse problems, Robin coefficient determination and crack identification.RÉSUMÉ. Dans ce travail, nous proposons une méthode de résolution du problème de Cauchy pourl’équation de Laplace. Nous montrons, à travers une simple transformation, qu’il est équivalent àdeux problèmes de moments de Legendre; ce qui nous permet de compléter la condition de Dirichletet celle de Newman sur le bord. De plus, nous présentons une application à deux types de problèmesinverses, à savoir le problème de détermination du coefficient d’échange et celui de détermination defissures.KEYWORDS : Cauchy problem, Laplace equation, Legendre polynomial, moment problem, Robincoefficient, cracks identification.MOTS-CLÉS : Problème de Cauchy, l’équation de Laplace, les polynômes de Legendre, problèmedes moments, coefficient d’échange, identification de fissures.TAMTAM –Tunis– 2005 468

Cauchy problem for Laplace’s equation 4691. IntroductionConsider a bounded and connected domain Ω ∈ IR 2 with Lipschitz boundary ∂Ω, andlet Γ c be an open part of ∂Ω. The classical Cauchy problem is written as∆u(x) = 0, x ∈ Ω (1)u(x) = f(x), x ∈ Γ c (2)∂u∂n (x) = g(x), x ∈ Γ c (3)where ∆ is the Laplacian operator and n is the outer unit normal with respect to ∂Ω. It iswell known that the problem is highly ill-posed since Hadamard (See [1, 2, 8, 9]). In [5]J. Cheng et al. proof that the initial Cauchy problem [1]-[3] is equivalent to the followingmoment problem ∫ Γ ivβds = µ v (f, g) Where β is an unknown function defined on Γ i , vis an harmonic function such that∆v(x) = 0, x ∈ Ω (4)∂v∂n (x) = 0, x ∈ Γ i (5)and ds is the curve element. They take Re((x 1 + i ∗ x 2 ) j ), j = 0, 1, ...where Re denotesthe real part. With their choice, according to Talenti [10] they approach the solution ofthe moment problem. And they use the Gram-Schmidt matrix to found the Legendremoments; who is badly conditioned.We will give a method that permit to reconstruct directly the solution u on Γ i usingthe Legendre polynomials. In addition, we applied this result to some inverses problems,Robin coefficient determination and crack identification.2. Presentation of the methodIn this paper, to overcome the Gram-Schmidt matrix, we propose a method which,not only rebuild the solution u on Γ, but also push even more numerical results fromconvergence. Then our originality is to make appear directly the components accordingto an orthonormal basis. Stability results and regularization method in three-dimensionalcase will appear in a forthcoming works.Let v an harmonic function solution of the equations∆v(x) = 0, x ∈ Ω (6)v = 0, x ∈ Γ i (7)TAMTAM –Tunis– 2005

470 Ben Abda et al.Denoted by H 1 = {v | v satisfies (6)-(7)} and H 2 = {v | v satisfies (4)-(5)}. Let {P j } j∈INbe a set of functions such that the following conditions are fulfilled{ Span{pj }(A)∞ j=0 = L2 (Γ i ).{P j } j∈IN is an orthogonal basis in L2 (Γ i ).In all this work, we take for the functions filled the condition (A) the Legendre-Fourierpolynomials. Let L 0 (x), L 1 (x), . . . , be a shifted Legendre polynomials, normalized by∫ 10 (L j(x)) 2 dx = 1. This Polynomials are defined for all j = 0, 1, . . . by L i (x) =i∑C ij x j , where C 00 = 1, C j,0 = (2j + 1) 1 2 , C j,k = −C j,k−1 ( j kj=0+ 1)(j+1k − 1)j = 0, 1, 2, 3, ... k = 1, 2, 3, ..., j. For illustration, let Ω be a bounded, simply Lipschitzconnected domain of IR 2 defined by Ω = { (x, y) ∈ IR 2 / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } withΓ i = { (x, y) ∈ IR 2 / y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 } and Γ c is a Lipschitz curve which connects thetwo points (0, 0) and (1, 0) such that { (x, y) ∈ IR 2 /y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 } ∪ Γ i = ∂Ω. Tofound the moment of the solution directly on the orthogonal basis {L j } j∈IN is equivalentto determine an harmonic function in H 1 such that ∂vn∂y (x, 0) = L n(x), n = 0, 1, . . . .For that it is sufficient to choose v n (x, y) = Im(Q n (x + iy)), n = 0, 1, . . .where Q jindicates a primitive of P j and Im is the imaginary part. For all x ∈ IR, we defined thesite of maps {q j } j∈IN such that q j(x) = ∫ x1 L j(t)dt, for Z = (x, y) in IR 2 we deduce thesite of maps Q j (x, y) = Im(q j (x + iy)). We can proof easily that for all j in IN, Q j is inH 1 , by using Green’s formula we find∫Γ c( ∂Qj∂n u − ∂u∂n Q j) ∫ ( ∂Qjds =Γ i∂n u − ∂u )∂n Q j ds (8)on Γ i we have ∂Qj∂n (x, 0) = L j(x, 0) and Q j (x, 0) = 0, ∀j ∈ IN. Then∫ ( ∂QjΓ c∂n u − ∂u ) ∫∂n Q j ds = L j uds. (9)Γ iWhat gives us the Legendre moments of the solution of problem (1) − (3) on Γ i . Toapply this method for the identification of Robin coefficient and the cracks, we mustcomplete the function ∂u∂n on Γ i. For that reason we defined the site of maps {d j } j∈INsuch that d j (x) = dLjdx (x); for Z = (x, y) in IR2 we deduce the site of maps D j (x, y) =Re(d j (x + iy)). Take v j = D j in (8), then on Γ i we have∂D j∂y (x, 0) = 0 and D j(x, 0) = Re(L j (x, 0)), ∀j ∈ Nhence v j ∈ H 2 . Hence the equation (8) becomes,∫ ( ∂DjΓ c∂n u − ∂u ) ∫∂n D ∂uj ds = L j ds (10)Γ i∂nTAMTAM –Tunis– 2005

Cauchy problem for Laplace’s equation 471then, the Legendre moments of the function ∂u∂nis found in this basis.3. Numerical experiments3.1. Reconstruction of u and ∂u∂nIn this section, several numerical experiments are performed to verify the accuracyof the proposed method. In the first, we consider the problem of completion of the solutionu and ∂u∂n on Γ i. As an exact solution of (1) − (2), take u(x, y) = f 1 (x, y) =exp(ay) cos(bx), with a and b are two reals constants. Let Ω and Γ c the set and apart of his boundary respectively as defined in section 2. By using the algorithm givenin this work, we can compute f and φ on Γ i as well as µ j = ∫ Γ c(f ∂vj∂n− gv j)ds,j = 0, 1, 2, . . . . The exact value u on Γ i are described by the solid lines. In Figure1, we study the convergence of the algorithm for the functions which oscillate a lot, thenwe take a = b = 15, 20, 20 and n = 10, 8, 11. For the same example we present in Figure1.51.51.51110.50.50.5000−0.5−0.5−0.5−1−1−1−1.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 1. Curves of u = f 1 and its approximation for a = b = 15, 17, 20 and n = 102 the approximation of ∂u∂n on Γ i with a = b = 15 and n equal 5, 5 and 10.640204301520−220100−101050−5−10−4−20−15−60 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 2. Curves of ∂u∂n5, 5, 10for u = f1and its approximation for a = b = 5, 15, 15 and n =TAMTAM –Tunis– 2005

472 Ben Abda et al.4. Applications4.1. The Robin inverse problemLet u the solution of the problem⎧⎨ ∆u = 0, in Ω∂u⎩∂n = g, on Γ c∂u∂n + ϕu = 0 on Γ iThe inverse Robin problem is to find a function ϕ such that the solution of the previousproblem satisfies u = f, on M, where M is a part of accessible boundary Γ c ; for theexistence and uniqueness of the solution see [3, 4, 6, 7]. In this work we suppose thatM = Γ c , our objective is to approach the function ψ on Γ i . The field we simulate is givenby u(x, y) = f 2 (x, y) = exp(10y) ∗ sin(10x) + exp(3y) cos(3x) + 10(y 3 − 3yx 2 ), thenwe use both of the algorithm to approach u and ∂u∂n , respectively, on Γ i. We give in thefigure 3 the approximation of ϕ for a = b = 5, 10 and 15 and we take for the degree ofthe polynomial of approximation n = 5, 8 and 10 respectively.(11)241012500−1−20−2−4−5−3−6−10−4−8−5−10−15−60 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 3. Curves of ϕ with u = f 1 and its approximation for a = b = 5, 10 and a = b = 15and n = 5, 8, 104.2. Cracks problemIn this section, we give an algorithm to determine cracks lying on a priori knowninternal line. We want to identify the crack on Γ c = Ω 1 ∩Ω 2 by considering the followingCauchy problem⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∆u = 0, in Ω \ σu = f, on Γ c∂u∂n = g, on Γ cu = 0 on σWhere Ω and Γ c are defined in section 3; σ is a set in Γ c . For numerical tests we considerthe function f 3 = (r) 1/2 cos( θ 2), the crack is on the x-axis and is specified by the partwhere f has a jump, it coincides with σ = [0, 0.5]. By using the algorithm defined insection 2 we can complete the solution of (1) − (2) with f = f 3 and φ = ∂f3∂n on Γ c.(12)TAMTAM –Tunis– 2005

Cauchy problem for Laplace’s equation 473We take for the degree of our polynomials of approximation n = 10, 12 and n = 14 seefigure 4.0.80.80.80.70.70.70.60.60.60.50.50.50.40.40.40.30.30.30.20.20.20.10.10.1000−0.10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 4. Curves of the function u = f 3 and its approximation for n = 10, 12 and 14, on Γ i5. References[1] D. D. ANG, N. H. NAGHIA AND N. C. TAM, “Regularized solutions of a Cauchy problem forthe Laplace equation in an irregular layer a three-dimensional model.”, Acta Math. Vietnam,1998, 23, pp. 65-74.[2] V. Y. ARSENIN AND A. N. TIKHONOV, “Solutions of Ill-posed Problems.”, Winston and Sons,Washington, 1997.[3] A. BEN ABDA, H. D. BUI, “Planar crack identification for the transient heat equation.”, J.Inverse Ill-Posed Probl. 11, 2003, no. 1, 27–31.[4] S. CHAABANE, M. JAOUA, “Identification of Robin coefficient by the means of boundarymeasurements.”, Inverse Problems, 15, 1999, pp. 1425-1438.[5] J. CHENG, Y. C HON, T. WEI AND M. YAMAMOTO, “ Numerical computation of a Cauchyproblem for Laplace’s equation.”, ZAMM. Z. Angew. Math. Mech, 2000, pp. 1-16.[6] D. FASINO, G. INGLESE, “An inverse Robin problem for Laplace’s equation, theoretical resultsand numerical methods.”, Inverse Problems 15, 1999, pp. 41-48.[7] G. INGLESE, “An inverse problem in corrosion detection.”, Inverse Problems 13, 1997, pp.977-994.[8] DE MOTTONI AND G TALENTI, “Stabilisation and error bound for the inverse Laplace transform.”,Numer. Func. Anal. Optimiz, 1981.[9] H. J. REINHARDT, H. HAN AND D. N. HÀO, “Stability and regularization of a discrete approximationto the Cauchy problem for Laplace equation.”, SIAM J. Numer. Anal 36, 1999, pp.890-905.[10] G. TALENTI, “Recovering a function from a finite number of moments.”, Inverse Problems3, 1987, pp. 501-517.TAMTAM –Tunis– 2005

XIPropagation d’OndesWave Propagation475

Modélisation asymptotique des ondes derelief sous l’effet de la force de CoriolisA. Slimani * — M. Hasnaoui ***Département d’Aéro-PropulsionEcole Royale de l'AirMarrakech.(Maroc)slimaniabj@hotmail.com**Département des Structures et MatériauxEcole Royale de l'AirMarrakech.(Maroc)hasnaouimohammed@hotrmail.comRÉSUMÉ..Le but de ce travail est d’étudier l’influence de la force de Coriolis sur les ondes degravité atmosphériques se propageant dans des courants cisaillés. On écrit les équationslinéarisées du mouvement d’un fluide compressible pesant non dissipatif à faible nombre de Mach,dans le cadre de l’approximation de Boussinesq. Ces équations sont ensuite utilisées pour étudierla propagation des ondes de gravité par la méthode des échelles multiples. Les ondes de gravitéatmosphériques linéarisées sont solutions d’un système d’équations à cœfficients lentementvariables. Des niveaux critiques d’altitude peuvent exister, correspondant à des valeurs singulièresde ces coefficients. Pour des écoulements stationnaires, on met en évidence des points tournantsparticuliers lorsque l’on tient compte de la rotation de la terre. Pour ces points tournants, lafréquence de l’onde atteint la fréquence de Coriolis du milieu.ABSTRACT.The aim of the present paper is to study the influence of the Coriolis forces on theatmospheric internal gravity waves in a shear flow. In the frame of the asymptotic Boussinesqapproximation, the linearized equations of the stationary flow of a compressible inviscid fluid withgravity are obtained. These equations are used for study the propagation of the gravity waves by themethod of multiples scales. The linearized waves appear as solutions of equations with slowlyvarying coefficients. There exist particular levels which correspond to singular values of thesecoefficients. For stationary flows, particular turning points can be placed in evidence if the Earth’srotation is taken into account. For these turning points the frequency of the wave is in resonancewith the Coriolis frequency medium.MOTS-CLÉS : Approximation de Boussinesq, points tournants, linéarisation, analyse asymptotique,méthodes des échelles multiples, ondes de gravité atmosphériques, Force de Coriolis.KEYWORDS : Boussinesq approximation, turning points, linear analysis, asymptotic analysis,multiples scales method, atmospheric gravity waves, Coriolis forces.477 TAMTAM –Tunis– 2005

478 Slimani et al.1. IntroductionL’étude des écoulements atmosphériques au dessus de reliefs un peu étendusconduit à prendre en compte, dans ces écoulements, l’influence de la rotation de laterre. Cette influence peut être envisagée à plusieurs échelles : l’approximationgéostrophique est la plus connue. L’échelle à laquelle on se place ici est plus réduite etcorrespond à la description dite `des ondes de relief avec effets de Coriolis `. Ces ondesont été considérées à divers égards par : Smith [1] qui a présenté une étude analytique,Eliassen & Thorsteinsson [2] qui ont étudié par voie numérique des écoulements autourdes Alpes et des montagnes d’Islande. Cheng & al [3]ont étudié par cette modélisationla formation des cyclones. Dans le cadre de l’approximation de Boussinesq, les ondesde gravité atmosphériques linéarisées sont solutions d’un système d’équations àcœfficients lentement variables. Des niveaux critiques d’altitude peuvent exister,correspondant à des valeurs singulières de ces coefficients. Pour des écoulementsstationnaires, on met en évidence des points tournants particuliers lorsque l’on tientcompte de la rotation de la terre. Pour ces points tournants, la fréquence de l’ondeatteint la fréquence de Coriolis du milieu. Dans une théorie linéarisée de cesécoulements, la méthode de calcul est l’utilisation d’une transformation de FOURIERpar rapport aux variables horizontales. Le premier stade est donc l’étude des ondes degravité x-périodiques et y-périodiques. L’objet de la présente communication est deprésenter et de valider quelques résultats concernant la modélisation asymptotique desondes de gravité stationnaires dans un courant cisaillé.2. Equations du mouvementOn considère un écoulement stationnaire d’un fluide compressible, non visqueux,dans un repère non galiléen. L’écoulement est analysé dans une atmosphère libre enprésence des forces de gravité et de Coriolis. Dans le cadre de l’approximation deBoussinesq, les équations du mouvement sont régies par les équations d’Euler, decontinuité et de l’énergie. Alors, sous l’hypothèse du ‘plan tangent‘, les équationsadimensionnelles des mouvements stationnaires s’écrivent (voir par exemple, [4]) :TAMTAM –Tunis– 2005

Ondes de relief 479 uuuv 1 1 pu v w w 0xyzRoRotg2 M x vvvu 1 1 pu v w 0 xyz2Ro M y2www 1 1 pBo( u v w ) u xyzRotg2 M z Muvwu v w ( ) 0 xyzxyzTTT 1ppp(u v w ) ( u v w ) 0 xyz xyzp T2 0(1)Dans ces équations (1) figurent quatre paramètres R o , M, et B o qui sontrespectivement le nombre Rossby caractérisant l’effet de la rotation de la terre( Ro U o 2L sin; U o une vitesse de référence, module du vecteur de la rotation dela terre, L une échelle de longueur horizontale et étant la latitude), le nombre deMach caractérisant les effets de compressibilité ( M2 o U 2o p ; p et sonto o orespectivement la pression et la masse volumique de référence, indice adiabatique) , leparamètre hydrostatique ( H L ; H une échelle de hauteur), le nombre de Boussinesqcaractérisant les effets de gravité ( Bo M 1 : approximation de Boussinesq).Le nombre étant, pour les problèmes envisagés, le rapport des deux longueursd’onde caractéristiques, l’une horizontale, l’autre verticale. Si =0 ‘approximationhydrostatique’ : cela signifie que l’on étudie le cas des ondes longues, alors l’influencede la latitude disparaît. Par suite, on considère le cas 0 et M 1.Dans des conditions d’approximation suffisantes pour ce qui suit (on se limite auxtermes d’ordre M compris) l’écoulement stationnaire cisaillé de la forme : u U ( Z ) i ; p p(Z); (Z); Z Mz(2)est une solution approchée des équations (1) à condition que soit satisfaite la relationsuivante :M 2 Ro 1 (3)Si on simule la montagne (toujours avec des grandeurs adimensionnées) parl’équation :z oh ( x,y), o ho H(4)h(0,0) 1 , h( ,) 0où l’on a posé ho max h(x,y), alors la condition de glissement sur la paroi de lamontagne s’écrit :hhw o(u v ) sur z o h ( x,y)(5)xyTAMTAM –Tunis– 2005

480 Slimani et al.3. Ondes linéariséesOn linéarise les équations (1) autour de la solution (2). D’où, dans le cadre del’approximation de Boussinesq, on peut chercher une perturbation de la forme : u U ( Z)i u ; p p ( Z)M2 p ; ( Z) M(6)où (1) est un paramètre de linéarisation. Ainsi, on peut réduire le systèmed’équations obtenu à une seule équation du quatrième ordre, satisfaite par lacomposante verticale w de la vitesse de perturbation u [5]. Les ondes de gravitépériodiques sont celles qui sont associées à une perturbation de la vitesse de la forme :u U( Z,M , ei(kx ly)Ro) ; U ( uˆ,vˆ,wˆ)(7)Soit N ( k,l)le vecteur d’onde des ondes considérées. On obtient après calcul pourŵ , l’équation :d2 wˆh(Z)dwˆwˆM G(Z)d z cos 2 (8)2 (11k2RoU2 2(Z))dzoù l’on a posé :(Z) ( Z)U2 ; cos k N 1 ik RoU d U dZG(Z)[ p( )]1 k2RoU2 2 U d p dZ d dZ ( Z)[] pLa quantité h (Z) est le paramètre de Scorer de l’écoulement. (Z) étant le carré dela fréquence de Brunt-Väisälä du milieu.On étudie l’écoulement autour d’un obstacle, de faible hauteur, tridimensionnelle.Compte tenu de la linéarisation, il suffit d’étudier l’écoulement autour d’une masse deDirac placé en O, une convolution par rapport à x et à y, permettant, en principe, detraiter ensuite le cas de n’importe quel obstacle. D’où la condition de glissementlinéarisée associée à l’équation (8) est :wˆ ikU(0)sur z=0 (10)L’équation (8) peut être résolue sans difficulté de principe par la méthode des« échelles multiples », en introduisant une variable rapide caractérisant la phase, lavariable lente Z, et en traitant les deux variables comme des variables indépendantes[6]. Les solutions élémentaires sont de la forme :wˆ i (Z) e ; M1( Z,Ro)(11)Les propriétés originales des solutions (8) apparaissent soit à l’ordre 0 en M,concernant la phase, soit à l’ordre 1 en M, concernant l’amplitude. Ainsi, à l’ordre Mcompris, on obtient la solution :(9)TAMTAM –Tunis– 2005

Ondes de relief 481( )ˆeiZw( C e De )1/ 2 ( ) i i (12)h Zoù C et D sont des constantes arbitraires, tandis que l’on a :2cos 2 (1 1 2 2 2 1( )2 Z h(Z) k RoU ( Z))(13)tg( ) 1( )k RoU Z Z Log; Arctg(l k)4 k RoU ( Z) 1 (14)Les relations (13) à (14) montrent l’existence des niveaux d’altitudes particuliers,dus à la rotation de la terre, auxquels le coefficient de 2 s’annule et change de signe.Dans notre cas, 2 peut changer de signe suivant que k R o U (Z)est 1 ou 1.La relation (13) met en évidence l’éventualité de la traversée des points tournants.La structure de ces derniers est liée à la fois à la force de Coriolis et au cisaillementde l’écoulement. Ainsi, suivant que 2 est positif ou négatif, on voit qu’il existe deuxrégimes possibles de part et d’autre d’un point tournant : l’un (pour 2 0) correspondà deux oscillations dans des directions opposées par rapport à une verticale ; l’autre(pour 2 0) est purement amorti. La relation (13) montre que la variation lente deŵ est composée d’une part d’une variation d’amplitude et d’autre part d’une oscillationlente par (Z). Cette oscillation lente existe quelque soit le régime de propagationrapide (exponentielle ou oscillatoire) et ne disparaît que pour les ondes longitudinales( l 0 ). En outre, on remarque que l’amplitude elle-même est une fonction lentement1oscillatoire. La période de cette oscillation est ( Ro M ) et ne disparaît que lorsque lenombre de Rossby tend vers l’infini.4 Estimation asymptotique de la solutionLa particularité de la présente étude tient à l’hypothèse qu’il existe un niveaud’altitude Z o auquel le paramètre de Scorer atteint sa valeur minimale. On considèredésormais la fonction h(Z) monotone décroissante, définie telle que :h(Z) ho aZ(Z Zo)(15)h(Z) ho a Zo h1(Z Zo )où a étant une constante telle que : a ho h1Zo . Le point tournant Z o est racinede l’équation : U ( Z o) 1 ( k Ro).Pour simplifier, on considère le cas où l 0 . Si U (Z)est une fonction monotonecroissante de l’altitude, les ondes de la forme (12) ne sont des oscillations quesi Z Z o , ŵ est de la forme (12) d’un côté du point tournant, et de la forme :TAMTAM –Tunis– 2005

482 Slimani et al.( )ˆeiZw ( Ae Be )(16)1/ 2 h(Z)de l’autre côté. Une étude locale [7] montre que le voisinage du point tournant estrégulier, et que l’on a entre A, B, C et D les relations de raccords : A D et B C .En appliquant la condition de glissement (10) et en posant B e (0)M , on obtient :ik eMho w [ ( )1/ 41] (0)ˆ ( Z)e z M Z h Z ( )2 () ( )1/(17)ZZoe (0) M e z M Z h Z ( )1/ 2() ( )ikeMho w [ ( )1/ 41] (0)ˆ ( Z)ei z M Z h Z ( )1/ 2 ( ) ( )(18)ZZ o e (0) Mei ( z)Me Mei (0) ( z)M 1/ 2(Z)h(Z)Où l’on a posé : kRoU ( Z)( Z)( ) 1/2 2 2 21/ 2ho aZ(1 k RoU (Z))(19) kRoU ( Z)( Z)( 1)1/ 2h (2 2 21/ 2k RoU (Z)1)5. ConclusionLes résultats présentés ci-dessus montrent le caractère spécifique des effets de larotation de la terre sur les ondes de gravité. La conséquence la plus apparente estl’oscillation lente de période ( RoM 1 ) qui accompagne les ondes de gravité. Lesrésultats concernant l’éventualité des points tournants ne sont pas, pour leur part,directement comparables à ceux que l’on obtient lorsqu’on néglige la rotation. En outre,notre modèle met en évidence des structures tourbillonnaires en interaction avec lesondes de gravité internes. En considérant les ondes longues longitudinales, desexemples sont étudiés pour différents paramètres physiques mises en jeu : La force deCoriolis, vitesse principale de cisaillent, le nombre d’onde. Cette étude qualitative apermis de comparer les résultats du modèle aux résultats des simulations numériques etexpérimentaux [8; 9; 10; 11]. La confrontation s’avère qualitativement acceptable.TAMTAM –Tunis– 2005

Ondes de relief 4836. Bibliographie[1]. Smith R.B., 1979. J. Atm. Sc., 36, 177-180.[2]. Eliassen A. & Thorsteinsson S., 1984. Tellus, A36, 172-186.[3]. Cheng H.K., Hefazi H. & Brown S.N., 1984. J. Fl. Mech., 141, 431-453.[4]. Zeytounian R., 1985. Int. J. Eng. Sc., 23, p. 1239-1288.[5]. Bois P.A., Hasnaoui M. & Zeytounian R., 1986. C. R. Ac. Sc., 303, II, 1165-1168.[6]. Bois P.A., 1982. J. Rech. Atm., 15, 97-112.[7]. Hasnaoui M., 1986. Thèse de 3 e cycle, Université de LILLE I. France.[8]. Meunier P. & Leweke T., 2001. J.Visualization, 4 (2), p. 115.[9]. Meunier P. & Leweke T., 2001. Phys. Fluids, 13 (185850), p. 2747.[10]. Meunier P., 2001. Thèse de doctorat de l'Université de Provence.[11]. Alexandre S., 2004. Séminaire, LMD. 28 Mai. France.TAMTAM –Tunis– 2005

Régularisation pour l’aéroacoustique enrégime transitoireK. Berriri * — A. S. Bonnet-Bendhia * — P. Joly ** Laboratoire PoemsUMR 2706 CNRS-INRIA-ENSTA32, boulevard Victor75739 Paris CedexFRANCEKamel.Berriri@inria.frRÉSUMÉ. Dans ce papier, nous nous intéressons à l’analyse mathématique et à l’approximationnumérique de l’équation de Galbrun en régime transitoire dans un conduit rigide. Cette équationmodélise la propagation d’ondes acoustiques en présence d’écoulement. Nous montrons pour unécoulement porteur uniforme subsonique que ce modèle a une solution unique. En outre, nous proposonsune formulation variationnelle régularisée qui se prête à une approximation par éléments finisde Lagrange.ABSTRACT. In this paper we are interested in the mathematical and numerical analysis of the timedependentGalbrun equation in a rigid duct. This equation modelizes the acoustic propagation inpresence of flow. We prove the well-posedness of the problem for a subsonic uniform flow. Besides,we propose a regularized variational formulation of the problem suitable for an approximation by Lagrangefinite elements.MOTS-CLÉS : Aéroacoustique, théorème de Hille-Yosida, régularisation, méthode d’éléments finis.KEYWORDS : Aeroacoustics, Hille-Yosida’s theorem, regularisation, finite elements method.TAMTAM –Tunis– 2005 484

Régularisation pour l’aéroacoustique 4851. IntroductionL’équation de Galbrun [4] est une équation linéaire qui décrit la propagation de petitesperturbations lagrangiennes dans un fluide en écoulement. Il s’agit d’une E.D.P dusecond ordre en temps et en espace qui porte sur le vecteur de déplacement lagrangien ξ.Ce vecteur représente l’écart entre la position d’une particule fluide dans un écoulementperturbé et sa position dans l’écoulement d’entraînement et s’exprime en fonction descoordonnées Euleriennes (x, t).Les travaux récents sur l’équation de Galbrun ont essentiellement porté sur le régimepériodique établi [1]. En revanche la plupart des études mathématiques et numériques duproblème de l’aéroacoustique en régime transitoire sont basées sur les équations d’Eulerlinéarisées. C’est pourquoi il nous a paru intéressant d’étudier l’équation de Galbrun enrégime transitoire.Ce problème présente des difficultés, tant théoriques que numériques. Sur le plan théorique,la difficulté majeure est l’absence d’un cadre fonctionnel naturel pour poser le problème.Sur le plan numérique, une résolution directe du problème, utilisant des élémentsfinis de Lagrange pour la discrétisation en espace, est instable.Nous montrons ici qu’une technique de régularisation analogue à celle qui a été développéepour le cas du régime périodique établi [1] permet de lever ces deux diffcultés.Nous pouvons ainsi montrer que le problème est bien posé et écrire une méthode d’approximationnumérique robuste basée sur :– une discrétisation par éléments finis de Lagrange en espace,– un schéma saute-mouton en temps.La mise en œuvre de cette méthode a été effectuée à l’aide du code MELINA [5].2. Position du problèmeConsidérons un conduit rigide bidimensionnel de longueur infinie Ω = R×] − d, d[contenant un fluide compressible. L’écoulement est supposé uniforme, c’est-à-dire que ρ 0et p 0 sont constantes, et que v 0 = v 0 e x , avec v 0 constante. La perturbation de déplacementξ = (ξ 1 , ξ 2 ) satisfait l’équation de Galbrun adimensionnée :D 2 ξ− ∇(divξ)Dt2 = f (1)dans Ω × R ∗ + (2)ξ · n = 0 sur ∂Ω × R ∗ + (3)où D Dt = ∂ ∂t + M ∂ v0∂x, avec M =c 0est le nombre de Mach (−1 < M < 1), f est unterme source et n la normale unitaire extérieure à ∂Ω.TAMTAM –Tunis– 2005

486 Berriri et al.On complète les équations (1)-(3) par les conditions initiales suivantes :ξ(0, x, y) = ξ 0 (x, y),∂ξ∂t (0, x, y) = ξ 1(x, y). (4)3. Formulation régularisée de l’équation de GalbrunL’idée de la régularisation, initialement introduite pour les equations de Maxwell,a été appliquée à l’équation de Galbrun en régime périodique établi par A. S. Bonnet-Bendhia et al (2001). Nous l’étendons ici au problème transitoire.En appliquant l’opérateur rotationnel à (1) nous montrons que rot ξ = ψ vérifie⎧D ⎪⎨2 ψDt 2 = ∂2 ψ∂t 2 + 2M ∂2 ψ∂t∂x + M 2 ∂ψ∂x 2 = rot f dans Ω × R∗ +∂ψ(5)⎪⎩ ψ |t=0 = ψ 0 , = ψ 1 dans Ω∂t |t=0Il est donc possible de déterminer analytiquement ψ, solution de l’équation différentielleordinaire (5), avant de calculer ξ.Lemme 3.1 : La solution de l’équation d’advection d’ordre 2 est donnée par :ψ(x, y, t) = α(x−Mt, y)+xβ(x−Mt, y)+ 1 ∫ xM 2 (x−a)(rot f)(a, y, t− x − aM)daα et β sont deux fonctions qui ne dépendent que des conditions initiales.Nous remplaçons alors le problème (1)-(3)-(4) par le problème régularisé équivalent :⎧D 2 ξ⎪⎨ Dt 2 − ∇(div ξ) + s rot (rot ξ) = f + s rot ψ dans Ω × R +rot ξ = ψ sur ∂Ω × R +(6)ξ · n = 0 sur ∂Ω × R +⎪⎩∂ξξ(0, .) = ξ 0 (.),∂t (0, .) = ξ 1(.) dans Ω.où s est un paramètre positif.La deuxième équation du système (6) est une condition supplémentaire, nécessaire àl’équivalence avec le problème (1)-(3)-(4).Ce sont les propriétés d’ellipticité de l’opérateur spatial −∇(div ) + s rot (rot) (qui estégal à −∆ si s = 1) qui permettent de mener l’etude mathématique et l’analyse numériquedu problème (6) dans un cadre classique.0TAMTAM –Tunis– 2005

Régularisation pour l’aéroacoustique 4874. Résultat d’existence et d’unicité d’une solution forteSoit l’espace de Hilbert H := H 0 (Ω) × L 2 (Ω) 2 oùH 0 (Ω) := { ξ ∈ (H 1 (Ω)) 2 / ξ · n = 0, sur ∂Ω } .Pour appliquer le théorème de Hille-Yosida, nous introduisons une nouvelle variableζ = DξDt . Si on pose U = (ξ, ζ)t , on peut alors récrire (6) sous la forme suivante :⎧⎨⎩⎛dUdt + A sU = F⎜avec A s U = ⎝U(0) = U 0−ζ + M ∂ξ∂x−∇(div ξ) + s rot (rot ξ) + M ∂ζ∂x⎛⎞ξ ( )0⎜U 0 = ⎝ξ 1 + M ∂ξ ⎟0⎠ et F =.0f + s rot ψ∂xLe domaine de l’opérateur non borné A s est défini par :D(A s ) = { U = (ξ, ζ) t ∈ H tel que A s U ∈ H } .En utilisant l’identité de Costabel [3] et la théorie de Hille-Yosida, nous montrons leThéorème 4.1 (Existence et unicité d’une solution forte) : Si min(1, s) > M 2 , alorspour f ∈ C 1 (R + ; L 2 (Ω) 2 ) et (ξ 0 , ξ 1 ) ∈ D(A s ), le problème (6) admet une uniquesolution forte vérifiant :ξ ∈ C 1 (R + ; H 0 ) ∩ C 2 (R + ; L 2 (Ω) 2 )On peut vérifier que si la source f est nulle, l’énergie de l’équation du Galbrun régularisée:E s (t) = 1 ∫ (| ∂ξ2 ∂t |2 + | div ξ| 2 + s | rot ξ| 2 − M 2 | ∂ξ )∂x |2 dΩ (7)se conserve au cours de temps.Ω⎞⎟⎠ ,5. Résolution numérique de l’équation de GalbrunLa résolution numérique en conduit non borné pose des questions délicates liées auxconditions aux limites sur les bords artificiels du domaine de calcul. Cet aspect n’est pastraité dans cette note. Nous proposons ici une méthode numérique de calcul du champ dedéplacement dans une portion bornée Ω b du conduit en imposant, pour simplifier, ξ·n = 0sur les bords artificiels latéraux.TAMTAM –Tunis– 2005

488 Berriri et al.5.1. DiscrétisationConsidérons X h un espace d’approximation de l’espace de Hilbert H 0 (Ω) construitavec des éléments finis de Lagrange. La formulation variationnelle régularisée approchéeest donnée par :avec∫a s (ξ, η) =d 2dt 2 (ξ h, η h ) + d dt b(ξ h, η h ) + a s (ξ h , η h ) = (f, η h ) ∀η h ∈ X h (8)Ω bdiv ξ div η + s rot ξ rot η − M 2 ∂ξ∂x · ∂η∂x , b(ξ, η) = ∫Ω b2Mξ ∂η∂xOn peut vérifier facilement que a s (ξ, η) est H 0 (Ω b )-elliptique (voir [3]).Il reste à effectuer la discrétisation en temps. Pour cela, nous utilisons le schéma auxdifférences finies saute-mouton qui est centré, explicite et du second ordre en temps :ξ n+1hM h− 2ξ n h + ξ n−1hξ n+1h∆t 2 + B h− ξ n−1h2∆t+ A h ξ n h = F n h (9)M h est la matrice de masse. A h et B h sont les matrices associées respectivement auxformes bilinéaires a s (., .) et b(., .)5.2. Condition de stabilitéL’étude de la stabilité par une technique énergétique consiste à définir une énergiediscrète, analogue à l’énergie continue, de telle façon que l’on puisse déterminer unecondition suffisante de stabilité.Théorème 5.1 Une condition de stabilité suffisante pour assurer la convergence du schémanumérique (9) est donnée par :△t 24 ‖A h‖ ≤ 1, où ‖A h ‖ = supξ h ∈X h −{0}a s (ξ h , ξ h )‖ξ h ‖ 2 . (10)6. Simulations numériquesL’expérience suivante simule la propagation d’un signal émis par une source gaussienneen temps et à support compact en espace, placée au centre du domaine de calculdans un écoulement uniforme orienté selon l’axe (Ox). On vérifie sur ces résultats que laméthode n’est stable que si l’équation est régularisée.TAMTAM –Tunis– 2005

Régularisation pour l’aéroacoustique 489Figure 1. Norme du déplacement à t 1 = 1.5, t 2 = 1.75 et t 3 = 2. Cas s = 1Figure 2. Norme du déplacement à t 1 = 1.5, t 2 = 1.75 et t 3 = 2. Cas s = 07. PerspectivesNous développons actuellement des conditions aux limites absorbantes stables, permettantd’éliminer les réflexions parasites sur les frontières artificielles du domaine decalcul. Nous souhaitons étendre par la suite la méthode au cas d’un écoulement non uniforme.Ceci soulève de nouvelles diffcultés liées au couplage induit entre l’acoustique etl’hydrodynamique, qui se traduit par le fait que ψ ne peut plus être calculé a priori.8. Bibliographie[1] BONNET-BENDHIA A.S., LEGENDRE G., LUNÉVILLE É., « Analyse mathématique del’équation de Galbrun en écoulement uniforme », C. R. Acad. Sci. Paris, t.329, p. 601-606,2001.[2] LEGENDRE G., « Rayonnement acoustique dans un fluide en écoulement : analyse mathématiqueet numérique de l’équation de Galbrun. »,Thèse de doctorat, Université Paris VI, 2003.[3] COSTABEL M., « A coercive bilinear form for Maxwell’s equations », J. Math. Anal. Appl.,vol. 157, pp. 527-541, 1991[4] GALBRUN H., « Propagation d’une onde sonore dans l’atmosphère terrestre et théorie deszones de silence », Gauthier-Villars, Paris, vol. 2, n o 2, 1931.[5] MARTIN D., www.maths.univ-rennes1.fr/ dmartin/melina/www/homepage.htlmTAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation mathématique d’un miroir àretournement temporelC. Ben Amar *,** , N. Gmati * , C. Hazard ** , K. Ramdani **** LAMSIN, ENITCampus universitaire B.P. 371002 Tunis BelvédèreTUNISIEchokri.benamar@lamsin.rnu.tnnabil.gmati@ipein.rnu.tn** POEMS, ENSTA32, Boulevard Victor75739 Paris Cedex 15FRANCEchristophe.hazard@ensta.fr*** INRIA (Projet CORIDA) et Institut Elie CartanUniversité de Nancy IVandoeuvre-les-Nancy, 54506FRANCEramdani@loria.frRÉSUMÉ. Nous étudions le phénomène de retournement temporel dans un milieu homogène nondissipatif contenant des obstacles rigides. Nous proposons un modèle mathématique d’un miroir àretournement temporel. Nous prouvons dans ce cas le caractère autoadjoint de l’opérateur de retournementtemporel et nous présentons des résultats numériques de focalisation sélective sur lesobstacles.ABSTRACT. We study the time reversal phenomenon in an homogenous and non-dissipative mediumcontaining hard-sound obstacles. We propose a mathematical model of an time-reversal mirror. Weprove that the time-reversal operator is selfadjoint and we present some numerical results of selectivefocusing on the obstacles.MOTS-CLÉS : retournement temporel, diffraction acoustique.KEYWORDS : time-reversal, acoustic scattering.TAMTAM –Tunis– 2005 490

Miroir à retournement temporel 4911. IntroductionLe retournement temporel d’ondes acoustiques a connu ces dernières années un regaind’intérêt considérable dans des domaines d’applications très variés, qui vont de lamédecine (imagerie médicale ultrasonique) au contrôle non destructif, en passant par lacommunication sans fil en acoustique sous-marine. En effet, malgré le fait que l’idée théoriquede ce phénomène existe depuis plusieurs décennies, ce n’est que dans les années 90qu’un dispositif électronique exploitant cette idée, n’a pu être mis en place : On parle deMiroir à Retournement Temporel (MRT).Le MRT est formé d’un réseau de transducteurs (émetteurs-récepteurs d’ondes acoustiques: haut-parleurs / microphones) permettant de ré-émettre “à l’envers” un signal reçud’une source acoustique.Dans le domaine fréquentiel, le processus de retournement temporel est décrit commesuit : le MRT émet d’abord une onde acoustique dans un milieu homogène et non dissipatifcontenant des obstacles diffractants inconnus et ensuite mesure le champ diffracté. Lechamp mesuré est alors conjugué (le R.T. se réduit à une conjugaison de phase lorsque ladépendance en temps est de la forme e −iwt ), puis ré-émis dans le milieu de propagation.L’opérateur de retournement temporel T est obtenu par deux itérations successives de ceprocessus.La méthode D.O.R.T (Décomposition de l’Opérateur de Retournement Temporel) permetde calculer les éléments propres de T . Les valeurs propres sont liées à l’amplitude del’onde diffractée par les obstacles, ce qui permet de focaliser globalement sur eux.C. Prada et M. Fink ont montré expérimentalement ([1]) que le nombre de valeurs propressignificatives de T est égal au nombre d’obstacles dans le cas où les obstacles diffractantssont supposés ponctuels, et leurs interactions sont négligées. Ce résultat a été prouvé théoriquement([2]) si on suppose que le champ mesuré par le MRT est le champ lointain del’onde diffractée par les obstacles en utilisant une étude asymptotique.Dans ce papier, nous présentons un modèle mathématique d’un miroir réel intrusif (quiperturbe le champ diffracté par les cibles). L’interaction entre le MRT et les obstacles estprise en compte, ce qui permet de traiter le cas où les deux sont proches.Nous prouvons dans ce cas le caractère autoadjoint (hermitien), positif et compact de T ;ses valeurs propres sont donc réelles positives. Nous montrons numériquement que pourdes obstacles réels (de taille non négligeable devant la longueur d’onde), le nombre devaleurs propres significatives de T est égal au nombre d’obstacles.2. Description du processus de retournement temporelConsidérons un milieu homogène contenant un miroir imperméable M agissant parson bord ∂M et des obstacles diffractants O de frontière ∂O. (voir figure 1)TAMTAM –Tunis– 2005

492 Ben Amar et al.MDOδOFigure 1. Miroir-ObstaclesA partir d’une excitation g ∈ L 2 (∂M) sur le bord de M et en présence des obstacles,on observe un champ total ϕ T qui vérifie le problème :⎧∆ϕ T + k 2 ϕ T = 0 dans IR 2 \(M ∪ O)⎪⎨∂ϕ T∂n + µϕ T = g sur ∂M∂ϕ(1)T= 0 sur ∂O⎪⎩ ∂nC.R. à l’∞où k = ω/c est le nombre d’onde, ω la pulsation de l’onde et c est la vitesse du son dansle vide. µ ∈ IR et C.R. veut dire “Condition de Rayonnement”.En absence d’obstacles, on observerait un champ incident ϕ I vérifiant l’équation :⎧⎪⎨⎪⎩∆ϕ I + k 2 ϕ I = 0 dans IR 2 \M∂ϕ I∂n + µϕ IC.R. à l’ ∞= g sur ∂MLa perturbation due à la présence des obstacles est le champ diffracté ϕ D = ϕ T − ϕ Ivérifiant l’équation :⎧∆ϕ D + k 2 ϕ D = 0 dans IR 2 \(M ∪ O)⎪⎨∂ϕ D∂n + µϕ D = 0 sur ∂M⎪⎩∂ϕ D∂nC.R. à l’∞= − ∂ϕ I∂nsur ∂O(2)(3)TAMTAM –Tunis– 2005

Miroir à retournement temporel 493On suppose que le champ mesuré par le miroir M est égal à la trace du champ diffractésur ∂M (g m = ϕ D/∂M ). Le signal mesuré est ensuite conjugué puis utilisé pour générerles nouvelles ondes incidente et totale.2.1. Opérateur de R.T.On note par D l’opérateur qui décrit un cycle du processus de R.T. sans l’étape deconjugaison (R.T.). D est défini sur L 2 (∂M) par :Dg = g m = ϕ D/∂MDeux itérations successives du processus de retournement temporel donne l’opérateur deretournement temporel T . T est alors défini sur L 2 (∂M) par :T g = DDgThéorème 1 Si M est un ouvert borné régulier (∂M est C ∞ ) alors T est un opérateurautoadjoint positif et compact.La démonstration du théorème repose sur la symétrie des fonctions de Green G I , G T etG D définies pour x ∈ IR 2 \(M ∪ O) par :⎧∆G T (x, .) + k 2 G T (x, .) = −δ x dans IR 2 \(M ∪ O)⎪⎨∂G T (x, .)+ µG T (x, .) = 0 sur ∂M∂n(4)∂G T (x, .)= 0 sur ∂O⎪⎩ ∂n⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩C.R. à l’∞∆G I (x, .) + k 2 G I (x, .) = −δ x dans IR 2 \M∂G I (x, .)+ µG I (x, .)∂nC.R. à l’∞= 0 sur ∂M∆G D (x, .) + k 2 G D (x, .) = 0 dans IR 2 \(M ∪ O)∂G D (x, .)+ µG D (x, .) = 0 sur ∂M∂n∂G D (x, .)= − ∂G I(x, .)sur ∂O∂n∂nC.R. à l’∞Puisque ∂M est C ∞ alors G T et G I sont continues sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪ O) ×IR 2 \(M ∪ O), x ≠ y} ([3]). Or elles sont symétriques sur Ω × Ω, alors, par continuité,elles le sont sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪ O) × IR 2 \(M ∪ O), x ≠ y}. On en déduit queG D = G T − G I l’est aussi.Comme G D est C ∞ sur {(x, y) ∈ IR 2 \(M ∪O)×IR 2 \(M ∪O), alors G D est symétrique(5)(6)TAMTAM –Tunis– 2005

494 Ben Amar et al.sur {(x, y) ∈ ∂M × ∂M}.D’après la formule de représentation intégrale, on a :∫∀y ∈ IR 2 \(M ∪ O), ϕ i (y) = G i (y, x)g(x)dx, i ∈ {T, I, D} (7)∂MD est alors un opérateur intégral de noyau G D qui est symétrique et régulière sur ∂M ×∂M, d’où T est autoadjoint positif et compact.Par conséquent, les valeurs propres de T constituent une suite réelle décroissante qui tendvers 0 qu’on note (λ n ) n∈IN ∗.3. Résultats numériques0.50.4lambda1lambda2lambda30.30.20.100 2 4 6 8kFigure 2. Valeurs propres en fonction de k.Nous considérons le dispositif Miroir-obstacles présentée dans la figure 1. La distanceentre M et O est donnée par D = 8 et la distance entre les deux obstacles est δ = 2.Nous présentons dans la figure 2 les valeurs propres de T en fonction de k. Nous remarquonsqu’en faibles fréquences (k < 3), il y a une seule valeur propre significative (λ 1 ) etpour k > 3, il y a deux valeurs propres significatives.Ceci s’explique par le fait que la tâche focale a une largeur de l’ordre d’une longueurd’onde λ = 2π ([4]), donc pour k < 3, cette tâche est plus large que la distance δ entrekles deux obstacles. Le miroir voit donc les deux obstacles comme un seul objet et on nepeut pas focaliser sélectivement sur les deux.La figure 3 montre le module du champ total au voisinage des deux obstacles pourk = 3.14 (λ = 2).En émettant le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre λ 1 (respectivementλ 2 ), on observe une focalisation de l’onde sur l’obstacle le plus gros (respectivement leplus petit), d’où la focalisation sélective.TAMTAM –Tunis– 2005

Miroir à retournement temporel 495Module du champ totalFigure 3. Emission du premier (resp. second) vecteur propre de T .RemerciementsTous les résultats numériques sont obtenus par le code Eléments Finis MELINA ([5]).Nous remercions D. Martin pour avoir mis à notre disposition ce code.4. Bibliographie[1] C. Prada, S. Maneville, D. Spoliansky and M.Fink, « Decomposition of the time reversaloperator : Detection and selective focusing on two scatterers. », The Journal of The AcousticalSociety of America, vol. 99, no. 4, pp. 2067-2076,1996,[2] C. Hazard and K.Ramdani, « Selective acoustic focusing using time-harmonic reversal mirrors.», SIAM Journal on Applied Mathematics, vol 64, no. 3, pp. 1057-1076,[3] J. Necàs « Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. », pp. 242-243, 1967 ,[4] D. R. Jackson and D. R. Dowling, « Phase Conjugation in Underwater Acoustics . », TheJournal of The Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 171-181, January 1991,[5] D. Martin, « Documentation MELINA, ENSTA (Mai 2000). », http ://www.maths.univrennes1.fr/dmartin/melina/www/homepage.html.TAMTAM –Tunis– 2005

Eléments finis mixtes spectraux d’ordre élevépour la vibro-acoustique instationnaireP. Grob * — G. Cohen *** INRIA RocquencourtB.P. 105 78153 Le Chesnay Cedex Francepascal.grob@inria.fr** INRIA RocquencourtB.P. 105 78153 Le Chesnay Cedex Francegary.cohen@inria.frRÉSUMÉ. On propose ici une méthode numérique pour résoudre un problème de couplage fluidestructurede type vibro-acoustique dans le domaine temporel. On mettra en évidence l’efficacité, larobustesse et la précision de cette méthode. Cette méthode, basée sur des formulations mixtes,conduit à des schémas explicites, conservatifs et d’ordre elevé en espace.On étudiera plus particulièrement le modèle de Reissner-Mindlin pour la partie structure. On validerales simulations numériques par comparaison avec les résultats d’un code élastodynamique linéaire3D.ABSTRACT. Here, we present a numerical method for solving time-dependent 2D/3D fluid-structureinteraction that we claim to be efficient, robust and highly accurate. These methods, based on mixedvariational formulations are explicit and conservative and can be of arbitrary high order in space.We study more particularly Reissner-Mindlin plate equations for the model of the structure. We validatenumerical experiments by comparison with 3D linear elastodynamic results.MOTS-CLÉS : Vibro-acoustique, domaine temporel, éléments finis mixtes spectraux, modèle deReissner-Mindlin.KEYWORDS : 2D/3D fluid-structure interaction, time domain, mixed spectral finite elements, ReissnerMindlin model.TAMTAM –Tunis– 2005 496

Vibro-acoustique instationnaire 4971. Introduction et problématique industrielleLe problème de la transmission du bruit issu de sources acoustiques externes dans unhabitacle est un problème récurrent dans l’industrie, aussi bien dans le domaine aéronautiqueque dans le domaine automobile.L’utilisation de la simulation numérique a le double avantage :– au niveau du problème direct, de pouvoir appréhender la transmission acoustique enminimisant le nombre d’expériences physiques,– au niveau du problème inverse, de confirmer ou infirmer la validité des mesuresexpérimentales faites sur l’impédance des matériaux.La diversité des sources acoustiques conduit à la résolution de problèmes de couplagefluide-structure de type vibro-acoustique sur une large bande de fréquences. Historiquement,les codes vibro-acoustique proposés sont developpés à partir de modèles en régimeharmonique. Ce choix est essentiellement motivé par les problèmes de stabilité liés auxschémas d’approximation des modèles en régime transitoire. Utiliser ces schémas sur unlarge spectre de fréquences conduit à la résolution de systèmes linéaires de grandes taillespour chaque fréquence, et induit par conséquent des contraintes informatiques importantes(temps de calcul, stockage mémoire, ...) . De plus la partie structure du problèmeest généralement résolue par des méthodes de type décomposition modale qui montrentleurs limites lorsque l’on sort des régimes basse-fréquence. Cependant, les phénomènesà appréhender restent dans la gamme des moyennes fréquences où les méthodes de typeéléments finis sont particulièrement appropriées. L’objectif de ce travail est de proposerun schéma espace temps stable et performant pour le problème direct en traitant la partiestructure du modèle par des méthodes numériques de type éléments finis.TAMTAM –Tunis– 2005

498 Grob et al.2. Equations de la vibro-acoustique en régime transitoireOn cherche à modéliser le couplage entre une plaque excitée par une force et plongéedans un milieu fluide où la pression est régie par l´équation des ondes.Les inconnues du système couplé sont– Pour la mécanique : la vitesse v issue du déplacement transverse de la plaque etθ ≡ ∂θ (abus de notation), θ représentant les rotations autour des axes (0x) et (0y).∂t– Pour le fluide : la pression p dans Ω.θ 1(0z)ΩΣnPression : pVitesse vθ 2(Oy)_(0x)Les équations du problème de couplage sont :ρ δ3 ∂ 2 θ12 ∂t 2 − δ312 Div ( C ε(θ) ) + δµ(∇v + θ) = 0 sur Σ (1)[ρδ ∂2 v∂p∂t 2 − µδ div[µ(∇v + θ)] = δf + ∂t]sur Σ (2)∂ 2 pρ f − ∆p = 0 sur Ω (3)∂t2 ∂p +∂n = ∂p−∂n = −ρ ∂vf∂tsur Σ (4)2.1. Le modèle de plaque de Reissner-ReissnerLes équations (1)-(2) constituent le modèle de Mindlin-Reissner, C étant le tenseur derigidité, µ une constante dépendante du module de Young et du coefficient de Poisson etδ l’épaisseur de la plaque.Ce modèle est utilisé pour modéliser les plaques épaisses par opposition au modèle plusconnu de Kirchhoff-Love (K.L) utilisé lui pour les plaques minces.TAMTAM –Tunis– 2005

Vibro-acoustique instationnaire 499Propriétés essentielles et avantages du modèle– Il constitue un modèle asymptotique au modèle de l’élastodynamique linéaire 3Dquand l’épaisseur δ tend vers 0.– C’est le modèle général de plaque (le modèle (K.L) en est un cas particulier).– C’est le modèle de coque pour une normale constante.– Il offre un cadre fonctionnel H 1 (H 2 pour K.L).Notre apport est ici de valider la méthode numérique (et le domaine de validation dumodèle) en comparant les résultats obtenus pour ce modèle avec les résultats d’un codeélastodynamique linéaire 3D. Cette étude a le double avantage de valider la solution obtenueet également d’appréhender le domaine de validité du modèle asymptotique parrapport au modèle 3D.2.2. Proposition d’un élément finiDéfinition : L’élément fini unisolvant Q r ( ̂K) = ( ̂K, Q r , Ξ 2 ) est défini par :- ̂K le carré unité.- Q r l’espace des polynômes de degré r sur IR 2 .- Ξ 2 = {0, ̂ξ 1 , ̂ξ 2 , ..., ̂ξ r−1 , 1} 2 .où {̂ξ i } i={1,..,r−1} sont les racines de la dérivée du polynôme de Legendre d’ordre r quel’on appelle points de Gauss-Lobatto.Propriétés de cet élément fini- Les points de Gauss-Lobatto permettent d’utiliser le principe de condensation de massesans que les erreurs de quadrature ne pénalisent l’ordre général de la méthode, et doncd’utiliser des schémas aux différences finies explicites en temps en gardant une bonneprécision.- En écrivant une formulation mixte H 1 × L 2 de ces équations et en introduisantun espace d’approximation de L 2 bien choisi, on montre que la matrice de rigidité estentièrement déterminée à partir de l’unique matrice de rigidité élémentaire sur ̂K, ce quiinduit un gain considérable de stockage mémoire.- La montée en ordre permet une convergence spectrale de la solution et minimiseainsi le temps de calcul.3. Résultats numériques- Pour la validation, on proposera une comparaison des résultats obtenus pour l’équationde plaque avec ceux d’un code élastodynamique 3D en faisant tendre l’épaisseur du milieuvers 0.- On proposera également des tests de convergence en ordre et en maillage ainsi qu’uneétude de performance (temps de calcul, stockage mémoire etc...).TAMTAM –Tunis– 2005

500 Grob et al.On présente un résultat global de couplage avec Σ = [−5, 5]×[−5, 5], Ω = [−10, 10]×[−10, 10] × [−8, 8].On peut voir 4 instantanés au temps t=0.0235s. En haut à gauche, la pression totale,en haut à droite la déformation de la plaque, en bas à gauche la pression sur le plan x = 0,en bas à droite la pression sur le plan z = 0.4. Bibliographie[1] D.CHAPELLE K.BATHE, « The Finite Element Analysis of Shells - Fundamentals », SpringerVerlag, 2003[2] G.COHEN, « Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations conséquences. »,Springer Verlag, 2001[3] S.FAUQUEUX, « Elements finis mixtes spectraux et couches absorbantes parfaitement adaptéespour la propagation d’ ondes élastiques en régime transitoire. », Phd Thesis, 2003TAMTAM –Tunis– 2005

Ondes dans les milieux poroélastiquesE. Bécache * , A. Ezziani * , P. Joly ** INRIA-Rocquencourt, Domaine de Voluceau B.P 10578153 Le Chesnay Cedex France.Email : Abdelaaziz.Ezziani@inria.frEléments finis mixtes d’ordre élevésRÉSUMÉ. Dans ce papier, nous nous intéressons à la modélisation numérique de la propagationd’ondes dans les milieux poroélastiques, nous considérons une formultaion mixte du premier ordreen temps, nous proposons une méthode numérique basée sur l’utilisation des éléments finis mixtesd’ordre élevé avec la condensation de masse et un schéma aux différences finis explicite pour ladiscrétisation en temps. Nous présentons finalement des simulations et des validations numériquesde la méthode.ABSTRACT. In this paper, we are interesting in the numerical modeling of wave propagation in aporoelastic media, we consider a mixed formulation in first-order time, we propose a numerical methodbased on the use of a high order mixed finite element with mass lumping and a finite difference schemefor time discretization. Finally, we present some numerical experiments.MOTS-CLÉS : Ondes porélastiques, éléments finis mixtes, schémas aux différences finies, analysede stabilitéKEYWORDS : Poroelastic waves, mixed finite elements, finite difference schemes, stability analysis.501 TAMTAM –Tunis– 2005

502 Bécache et al.1. IntroductionDe nombreux sous-sols ne peuvent être considérés comme des matériaux exclusivementsolides. Ce sont souvent des milieux poreux c’est à dire constitués de solides perforéspar une multitude de petits trous (appelés pores) occupés par un fluide. C’est notammentsouvent le cas des réservoirs pétroliers. Il est clair que l’analyse de résultats parméthodes sismiques de l’exploration de tels milieux doit tenir compte du fait qu’une ondese propageant dans un tel milieu rencontre une succession de phases solide et fluide : onparle de milieu poroélastique. Lorsque les hypothèses [3] suivantes sont vérifiées :– La distance moyenne entre les pores est petite devant la longueur d’onde.– Des petits déplacements pour la phase solide et fluide.– La phase fluide est continu.– La matrice élastique est isotrope.– Absence de tout couplage.Plutôt que de considérer un tel milieu comme un milieu complètement hétérogène, il estlégitime de faire appel, au moins localement, à la théorie de l’homogénéisation [4, 7] quipermet de passer des lois à l’échelle microscopique à des lois macroscopique, on aboutitalors au modèle de Biot [1, 2] qui fait intervenir comme inconnues non seulement lechamp de déplacement dans le solide mais aussi la pression dans le fluide. La principalecaractéristique de ce modèle est qu’aux ondes standards P et S dans un solide se rajouteune onde P “lente” (qu’on pourrait aussi qualifier de “fluide”).2. Problème modèleSoit Ω un ouvert dans IR d (d = 2, 3), nous considérons une reformulation du modèlede Biot sous la forme d’un système d’ordre un en temps [5] :où :ρ ∂ t v s + ρ f ∂ t w − div σ = f u dans Ω×]0, T ] (1a)ρ f ∂ t v s + ρ w ∂ t w + 1 K ∂ tw + ∇p = f w , dans Ω×]0, T ] (1b)σ i =∂ t γ i = ∇v i ∀ i = 1, d, dans Ω×]0, T ] (1c)d∑A ij γ j − β p ⃗e i ∀ i = 1, d, dans Ω×]0, T ] (1d)j=11m ∂ tp + βd∑∂ t γ i · ⃗e i + ∇ · w = f p , dans Ω×]0, T ] (1e)i=1v s (x, 0) = v 0 (x), w(x, 0) = w 0 (x), dans Ω (1f)σ · n = 0, p = 0. sur ∂Ω (1g)TAMTAM –Tunis– 2005

Ondes dans les milieux poroélastiques 503– ρ, ρ f , ρ w , K, m et β sont des constantes positives,– f u , f w , f p sont des termes, sources.– v s est la vitesse dans le solide,– w est la vitesse de filtration,– p la pression dans le fluide,– σ est le tenseur des contraintes :σ =⎡⎢⎣σ 1.σ d⎤⎥⎦ avec σ i = (σ i1 , · · · , σ id ) t∀ i = 1, d et div σ = (∇ · σ 1 , · · · , ∇ · σ d ) t– n est le vecteur normal extérieur au domaine– A ij sont des matrices carrées définies par (A ij ) kl = C ikjl ∀ i, j = 1, d avec C untenseur 4 × 4 satisfait :C ijkl = C jikl = C klij ∀ i, j, k, l = 1, d,∃ α > 0 tel que pour tout σ symétrique : C ijkl (x) σ ij σ kl ≥ α σ 2 ij . (2)Remarque 2.1 Dans le cas d’un milieu isotrope, le tenseur C vérifie : (Cσ) ij = λ 0 δ ij σ kk +2µ σ ij , où µ est le module de cisaillement et λ 0 = λ f − β 2 m est le coefficient de Laméavec λ f le coefficient de Lamé dans le milieu saturé.Dans [5] nous avons montré un résultat d’existence et unicité de la solution forte et unthéorème de la décroissance d’énergie pour le modèle de Biot dans IR d × [0, T ]. Ici ons’intéresse à l’approximation et à l’étude numérique du problème modèle.3. Formulation variationnelle mixteNous obtenons la formulation variationnelle mixte, en appliquant à l’équation (1a) leproduit par ũ ∈ H v = [H 1 (Ω)] d , à (1b) par ˜w ∈ H w = [L 2 (Ω)] d , à (1c) par ˜γ ∈ H γ =H w , à (1d) par ˜σ ∈ H σ = H w , à (1e) par ˜p ∈ H p = H 1 0 (Ω) et en intégrant sur Ω. Aprèsune intégration par parties des termes :∫∫ΩΩd∑∫div σ · ũ dx = − σ i · ∇ũ i dx,i=1 Ω∫∇ · w ˜p dx = − w · ∇˜p dx,ΩTAMTAM –Tunis– 2005

504 Bécache et al.on obtient la formulation mixte suivante :⎧⎪⎨⎪⎩avecddt ρ(u s, ũ) + d dt ρ f (w, ũ) + ∑ di=1 r(σ i, ũ i ) = (f u , ũ), ∀ ũ ∈ H vddt ρ f ( ˜w, u s ) + d dt ρ w(w, ˜w) + k(w, ˜w) + r( ˜w, p) = (f w , ˜w),∀ ˜w ∈ H wddt d(γ i, ˜γ) − r(˜γ, u i ) = 0 ∀ i = 1, d, ∀ ˜γ ∈ H w (3)d(σ i , ˜σ) − ∑ dj=1 a ij(γ j , ˜σ) + b i (p, ˜σ) = 0 ∀ i = 1, d, ∀ ˜σ ∈ H wddt m(p, ˜p) + ∑ di=1 d dt b i(˜p, γ i ) − r(w, ˜p) = (f p , ˜p). ∀ ˜p ∈ H pρ(u, ũ) = ∫ Ω ρ u · ũ dx, m(p, ˜p) = ∫ Ωk(w, ˜w) = ∫ Ω1m p ˜p dx, ρ w(w, ˜w) = ∫ Ω ρ w w · ˜w dx,1K w · ˜w dx d(w, ˜w) = ∫ Ω w. ˜w dx, a ij(w, ˜w) = ∫ Ω A ijw · ˜w dx,ρ f (w, u) = ∫ Ω ρ f u.w dx, b i (p, w) = ∫ Ω β p ⃗e i.w dx, r(w, p) = ∫ w.∇p dx,Ω(f u , ũ) = ∫ Ω f u · ũ dx, (f w , ˜w) = ∫ Ω f w · ˜w dx, (f p , ˜p) = ∫ Ω f p ˜p dx.(4)4. Discrétisation4.1. Semi-discrétisation en espacePour l’approximation de notre problème nous utilisons les éléments finis mixtes d’ordreélevés avec condensation de masse développés par S. Fauqueux [6]. Nous supposons queles éléments de la triangulations sont des quadrilatères ou des hexaèdres convexes. Nousconsidérons un maillage T h = ∪ Nee=1 K e de Ω, le carré unité ˆK = [0, 1] d , ˆx = (ˆx i ) i=1,d lesystème de coordonnées associé et F e l’application vectorielle transformant ˆK en K e . Onapproche les inconnues par des fonctions Q r . Plus précisément, on introduit les espaced’approximation :V h = { q ∈ C 0 (Ω) / q| Ke ◦ F e ∈ Q r ( ˆK) } ⊂ H p ,V d h = { φ ∈ [C 0 (Ω)] d / φ| Ke ◦ F e ∈ [Q r ( ˆK)] d} ⊂ H v ,W d h = { ψ ∈ [L 2 (Ω)] d / |J e |DF −1e ψ| Ke ◦ F e ∈ [Q r ( ˆK)] d} ⊂ H w ,(5)avec |J e | est le jacobien de F e , DF e la matrice jacobien et Q r ( ˆK) = { q : ˆK →IR / q(ˆx) = ∑ l∈{0,··· ,r} a ∏ d} d l i=1 ˆxli i . Afin d’appliquer la technique de la condensationde masse, nous prenons comme points d’intérpolation les points de Gauss-Lobatto etTAMTAM –Tunis– 2005

Ondes dans les milieux poroélastiques 505nous utilisons une formule de quadrature pour approcher le calcul des intégrales. Aprèsla discrétisation en espace, nous aurons le système matricielle :⎧dV hD udt + D dW hd∑uw + R Σ i h = 0,dti=1Duw∗ dV hdt + D dW hw + KW h + R ∗ P h = 0,dt⎪⎨⎪⎩dΓ i hD γ − R ∗ V i h = 0,dtd∑D γ Σ i h − T ij Γ j h + G i P h = 0,D pdP hdt+j=1d∑j=1G ∗ dΓ i hj − RW h = F.dt∀ i = 1, d∀i = 1, dLa matrice D p est diagonale et les matrices D v , D w , D γ et T ij ∀ i, j = 1, d sont diagonalespar bloc de taille d × d. La matrice D γ est inversible, nous simplifions le derniersystème, en éliminant les inconnues Σ i h = Dγ−1 ∑ dj=1 T ijΓ j h − D −1γ G i P h ∀ i = 1, d.4.2. Discrétisation en temps et Analyse de stabilitéPour la discrétisation en temps, nous utilisons un schéma aux différences finies surdeux maillages décalés en temps, centré, d’ordre 2, totalement explicite et auquel on aassocié une quantité d’énergie discréte décroissante. En utilisant une technique d’énergienous montrons une condition suffisante de stabilité (voir [5]) :∆t 24(6)qsup 1 (V h , W h )≤ 1, (7)V h ≠0, W h ≠0 q 2 (V h , W h )où q 1 et q 2 sont deux formes quadratiques positives ne dépendent que des matrices D u ,D w , D γ , D uw , R, T ij et G i ∀ i, j = 1, d.5. Résultats numériquesDans une première validation de la méthode développée, nous comparons la solutionapprochée avec une solution analytique. On se place dans un domaine Ω = [0, 6] ×[0, 6] m 2 occupé par un matériau poroélastique homogène, isotrope, non dissipatif (K =+∞) et caractérisé par les données physiques : ρ = 1.8 kg/m 3 , ρ f = 1. kg/s, ρ w =7.5 kg/m 3 , µ = 4 P a, λ 0 = 5.93 P a, m = 10 P a, β = 0.295, ce qui correspond auxvitesses V pf = 2.93 m/s, V ps = 1.19 m/s, V s = 1.95 m/s, où V pf est la vitesse de lapremière onde P (fast wave), V ps est la vitesse de la deuxième onde P (slow wave) etV s la vitesse de l’onde S. On considère une source de pression f p ponctuelle en espace,localisé au centre du milieu, le signal temporel est une gaussienne en temps. La solutionTAMTAM –Tunis– 2005

506 Bécache et al.analytique est calculée à l’aide d’un code MATLAB en utilisant la convolution en tempsde la source et la fonction de Green dans un milieu infini. Nous présentons sur la figure1 la norme de la vitesse v s à l’instant t = 1.s de la solution analytique (figure 1(a)) etde la solution numérique (figure 1(b)) obtenue par notre méthode numérique en utilisantun maillage avec 3600 éléments et une méthode d’ordre 5 (r = 5). Sur la figure 1(c)nous avons tracé l’erreur relative entre les deux solutions numérique et analytique. Nousobservons que la solution numérique approche bien la solution analytique (erreur relative≤ 0.43%). Nous présenterons des résultats dans les milieux hétérogènes et anisotropeslors de la conférence.(a) Solution analytique (b) Solution numérique (c) Erreur relativeFigure 1. La norme de la vitesse6. Bibliographie[1] M. A. BIOT, « Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I.Low-frequency range, » J. Acoust. Soc. Am., 28 :168-178, 1956.[2] M. A. BIOT, « Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II.Higher frequency range, » J. Acoust. Soc. Am., 28 :179-191, 1956.[3] T. BOURBIÉ AND O. COUSSY AND B. ZINSZNER, « Acoustique des milieux poreux. »,newblockPublications de l’Institut Français du Pétrole, 1986.[4] R. BURRIDGE AND J. B. KELLER, « Biot’s Poroelasticity Equations by Homogenization, »In Macroscopic Properties of Disordered Media, pages 51-57, Springer, 1982.[5] A. EZZIANI, « Modélisation mathématique et numérique de la propagation d’ondes dans lesmilieux viscoélastiques et poroélastiques, » PhD thesis, Univresité Paris 9, 2005.[6] S. FAUQUEUX, « Eléments finis mixtes spectraux et couches absorbantes parfaitement adaptéespour la propagation d’ ondes élastiques en regime transitoire, » PhD thesis, UnivresitéParis 9, 2003.[7] U. HORNUNG, « Homogenization and porous media, » volume 6 of Interdisciplinary AppliedMathematics, Springer, 1997.TAMTAM –Tunis– 2005

The implicitly restarted Arnoldi method forcomputing a reduced number of eigenpairs :Application for computing guided modes in anoptical fibreM. Labidi * — C. Bekkey ** Laboratoire d’Ingénierie MathématiqueEcole Polytechnique de Tunisie, EPTBP 743, La Marsa 2070, TunisiaRÉSUMÉ. La méthode Implicitly Restarted Arnoldi Method IRAM, basée sur une technique de projectionsur un sous-espace de Krylov, est particulièrement efficace pour la résolution des problèmesmatriciels aux valeurs propres d’ordre élevé. IRAM nous permet de calculer seulement un nombreréduit d’éléments propres, selon des critères prédéfinis par l’utilisateur. Son implémentation est indépendantede la manière dont on stocke les matrices du problème aux valeurs propres considéré.Dans le cas particulier où on s’intéresse au calcul des modes guidés qui se propagent dans une fibreoptique, IRAM a donné des résultats numériques encourageants.ABSTRACT. The Implicitly Restarted Arnoldi Method IRAM, based on a Krylov projection technique,is particularly efficient for solving large-scale matricial eigenvalue problems. It enables us to computeonly a reduced number of user-defined eigenpairs. Its implementation is independent of the way westore the matrices involved in the considered eigenvalue problem. In particular, for the computation ofguided modes that propagate in an optical fibre, IRAM provides encouraging numerical results.MOTS-CLÉS : méthode d’Arnoldi, éléments propres, problème généralisé aux valeurs propres, modesguidés, réinitialisation implicte, matrice creuse d’ordre élevé, QR, fibre optique.KEYWORDS : Arnoldi method, eigenpairs, generalized eigenvalue problem, guided modes, implicitRestarting, large scale sparse matrix, QR, optical fibre.507 TAMTAM –Tunis– 2005

508 Labidi et al.1. IntroductionThere are several methods for computing eigenpairs of a large matricial eigenvalueproblem (cf. [3], [4]). The best known techniques are the Krylov subspace methods, suchus Arnoldi, which is stable numerically and converges faster than a subspace iterationtechnique (cf. [3]). However, it requires explicit orthogonalization against all previouslycomputed basis vectors. Hence, both the cost and the storage increase as the methodproceeds. Moreover, the Arnoldi method requires the calculation of the eigenpairs of aHessenberg matrix of order m, at the cost of O(m 3 ) operations (cf. [4]), which becomesprohibitive for large m. Therefore, the restarting of initial vector provides the solution,but slows down the convergence. There are several approaches to restart the Arnoldi algorithm.One particular technique, called the Implicitly Restarting Arnoldi Method IRAMand developed by Sorensen at 1992, stands among other restarting algorithms. This maybe viewed as a truncated form of the powerful implicitly shifted QR technique (cf. [4]).IRAM provides a mean to approximate a few user-specified eigenpairs with storage spaceproportional to nk. k is the number of eigenvalues sought, and n is the problem size.In this paper, our aim is to recall the main features of the IRAM technique. One particularproblem for which we sought the use of IRAM is the computation of guided modes in anoptical fibre. The numerical results obtained in this case are particularly interesting.2. The Implicitly Restarted Arnoldi MethodThe Implicitly Restarted Arnoldi Method IRAM is particularly useful for solvinglarge-scale matricial eigenvalue problems (cf. [3], [4]). IRAM is applicable for standard,as well as generalized, matricial eigenvalue problems. A generalized eigenvalue problemAx = λBx can be rewritten, using a spectral transformation, as a standard eigenvalueproblem Ax = λx (cf. [3], [4]). That is why we recall in the following the idea behind theIRAM method in the simple case of a standard matricial eigenvalue problem.2.1. Arnoldi MethodFor a given positive integer m and A ∈ C n×n , we define an m-step Arnoldi factorizationof A as the following relationship (cf. [3], [4])AV m = V m H m + f m e T mwhere V m ∈ C n×m has orthonormal columns, V ∗ mf m = 0, and H m ∈ C m×m is an upperHessenberg matrix with a non-negative subdiagonal.If eigenpairs of H m approximate, to a given precision, all the desired eigenpairs of A, wehave convergence of the Arnoldi technique. However, the desired eigenvalues may not allfigure in the spectrum of H m , at the selected precision. Hence, for a given integer m andinitial vector v 0 , we are not always assured of the convergence of the Arnoldi technique.TAMTAM –Tunis– 2005

¨§¨ §IRAM method 509To overcome these limitations, two solutions are suggested in the litterature (cf. [3], [4]).We can increase m, since bigger is m, better the eigenpairs of H m approximate those of Aand greater is our chance in finding the desired eigenpairs among those of H m . In the limitcase of m = n, the Arnoldi method is identified to the classical QR method (cf. [3], [4]).In the particular case of large-scale sparse matrices and if we are interested in only feweigenpairs, larger values of m implies more storage space is needed, a deterioration of thenumerical stability, and an increase in computation cost. Another alternative is suggested,which consists on re-initializing the starting vector v 0 , without increasing m. This can bedone either explicitly or implicitly, as illustrated in the following.2.2. The Implicitly Restarted Arnoldi MethodFor large eigenvalue problems which arise in many engineering contexts, the desiredeigenvalues have generally some particular features. For example, the user may requirethe k eigenvalues of largest real part, or the k eigenvalues nearest a point in the complexplane, with k

510 Labidi et al.pk+k+ppkpFigure 2. After performing (m − k) implicitly shifted QR steps on H m, the middle set ofpictures illustrates V mQH + m + f me T mQ. The last (m − k) columns of f me T mQ are non zerobecause of the QR iteration.k+kkFigure 3. An implicitly restarted Arnoldi factorisation of length k results after discardingthe last (m − k) columns of Figure 2.3. Application of IRAM for computing guided modes in anoptical fibreWe are interested in computing the propagation constants and their associated electromagneticfields of guided modes that propagate, under the conditions of weak guidance, inan optical fibre with an arbitrary shape and a general refractive-index profile. An efficientmethod coupling a local boundary condition of Robin type to a finite element techniqueis proposed in [2]. This consists on solving the following non-linear eigenvalue problem.⎧⎪⎨(P Σ )⎪⎩F ind λ Σ ∈]0, V 2 [ and u Σ ∈ H 1 (Ω Σ ); u Σ ≠ 0 such that− △ u Σ + q(x)u Σ = −λ Σ u Σ dans Ω Σ∂u Σ∂ν + (√ λ Σ + K 2 )u Σ = 0 sur ΣΩ Σ is a bounded domain of R 2 , with Σ = ∂Ω Σ . We place Σ in such way that Ω Σ containsthe core of considered fibre, and hence the support of the function q ∈ L ∞ (R 2 ).Σ canhave an arbitrary shaped, but must be convex (cf. [2]). K denotes the curvature of theconsidered artificial boundary Σ. −→ ν denotes the outward directed unitary normal vector.(λ Σ , u Σ ) approximates a guided mode that propagates in the considered optical fibre.TAMTAM –Tunis– 2005

IRAM method 511The application of the finite element method to the variational problem corresponding to(P Σ ) leads to the following generalized eigenvalue problem :{F ind λh(PΣ)h Σ ∈]0, V 2 [ and z ∈ R 2N ; z ≠ 0 such that√Ãz = λ h ˜B Σz (1)where à and ˜B are large-scale, sparse matrices defined by( ) ( −C −BB 0à =et ˜B =A 00 BThe matrix ˜B is symmetric and positive definite. à is such that its blocks A, B, and C areclassical matrices of mass or/and rigidity type.Suppose that we wish to compute k generalized eigenvalues of the pencil (Ã, ˜B) closestto a given shift σ, with k < m

512 Labidi et al.5. Bibliographie[1] A. Bamberger, A. S. Bonnet and R. Djellouli : Calcul des modes guidés d’une fibre optique.Rapport interne, 142 Centre de Mathématique Appliqué, Ecole Polytechnique, France 1986.[2] H. Barucq, C. Bekkey and R. Djellouli : Construction of local boundary conditions for aneigenvalue problem using micro-local analysis : application to optical waveguide problems.Journal of Computational Physics, pp. 666-696, 2004.[3] G. H. Golub and C. F. Van Loan : Matrix Computations. The John Hopkins University Press,1996.[4] R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen and C. Yang : ARPACK User’s Guide : Solution of LargeScale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods. Technical report, RiceUniversity Department of Computational and Applied Mathematics, 1996.[5] D. Marcus : Theory of Dielectric Optical Waveguides. Academic Press, New-York, 1974.TAMTAM –Tunis– 2005

XIIScience du VivantLife Science513

Perturbation singulière d’un modèle decroissance avec retard dans unenivironnement hétérogèneS. Achchab ** Ecole Nationale Supérieure d’Informatique et d’Analyse des Systèmes, Madinat Al Irfan, B.P.713 Agdal Rabat, Maroc.RÉSUMÉ. Nous proposons un modèle de croissance d’une population avec retard, dans un environnementà deux sites et à deux échelles de temps dont l’une est rapide, correspond à la migration etl’autre est lente correspond à la démographie, ensuite, nous appliquons la méthode d’agrégation àce modèle. Nous démontrons que le système initial a le même comportement asymptotique que lesystème agrégé et qu’il est de type monotone.ABSTRACT. The aim of this work is to extend approximate aggregation methods of ordinary differentialequations to a delayed differential equations (DDEs). for that, we consider a multi-patch modelwith two different time scales. We show that the initial system and the aggregated one have the sameasymptotic behaviour when the migration process is much faster than demography.MOTS-CLÉS : pérturbation singulièr, agrégation, échelle de temps, retard.KEYWORDS : singular perturbation, aggregation, time scale, time delay .515 TAMTAM –Tunis– 2005

516 Achchab1. IntroductionDans la modélisation des phénomènes biologiques, on est souvent confronté à des systèmescomplexes avec un grand nombre de variables. La méthode d’agrégation a pour butde réduire ce genre de système et d’étudier la relation entre le modèle initial et le systèmeagrégé. Cette méthode a été développée essentiellement pour les équations différentiellesordinaires (voir [2, 4]) et pour les systèmes discrets (voir [3]). Le but de ce travail estd’étendre l’application de la méthode d’agrégation aux équations différentielles avec retard.Le modèle qu’on propose décrit la croissance d’une population structurée par l’âge et introduisantun retard qui représente la durée de la période de passage de l’âge d’immaturitéà la maturité. Le modèle s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩ẋ 1 i (t) = (k 12x 2 i (t) − k 21x 1 i (t)) + ɛ[α 1x 1 m(t) − γ 1 x 1 i (t) − α 1e −γ1τ x 1 m(t − τ)]ẋ 2 i (t) = (k 21x 1 i (t) − k 12x 2 i (t)) + ɛ[α 2x 2 m(t) − γ 2 x 2 i (t) − α 2e −γ2τ x 2 m(t − τ)]ẋ 1 m(t) = (h 12 x 2 m(t) − h 21 x 1 m(t)) + ɛ[α 1 e −γ1τ x 1 m(t − τ) − β 1 (x 1 m(t)) 2 ]ẋ 2 m(t) = (h 21 x 1 m(t) − h 12 x 2 m(t)) + ɛ[α 2 e −γ2τ x 2 m(t − τ) − β 2 (x 2 m(t)) 2 ],(1)où x j i (t) (resp. xj m(t)) est la densité de la population immature (resp. mature) au site j àl’instant t, k jl (resp. h jl ) est le taux de migration du site l vers le site j de la populationimmature (resp. mature), α j (resp. γ j ) est le taux de croissance (resp. taux de mortalité)de la population immature au site j et β j est le taux de mortalité de la population matureau site j. Ici, on suppose que la migration est un processus plus rapide que la démographie(0 < ɛ

où ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩α ∗ = α 1 v ∗ 1 + α 2 v ∗ 2Modèle de croissance avec retard 517Notons que u 2 (t) = 1 − u 1 (t) et v 2 (t) = 1 − v 1 (t). Le système (1) est équivalent ausystème suivant{ ˙u1 (t) = (k 12 u 2 (t) − k 21 u 1 (t)) + ɛF 1 (x i , x m , u 1 , v 1 )(2)˙v 1 (t) = (h 12 v 2 (t) − h 21 v 1 (t)) + ɛF 2 (x m , v 1 ),et⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ẋ i (t) = ɛ[x m (t)(α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t)) − x i (t)(γ 1 u 1 (t) + γ 2 u 2 (t))−x τ m(t)(α 1 e −γ1τ v τ 1 (t) + α 2 e −γ2τ v τ 2 (t))]ẋ m (t) = ɛ[x τ m(t)(α 1 e −γ1τ v τ 1 (t) + α 2 e −γ2τ v τ 2 (t))−(x m (t)) 2 (β 1 (v 1 (t)) 2 + β 2 (v 2 (t)) 2 )],(3)où⎧F 1 (x i , x m , u 1 , v 1 ) = x m (t)x −1i (t)[α 1 v 1 (t) − α 1 u 1 (t)v 1 (t) − α 2 u 1 (t)v 2 (t)]⎪ ⎨ −(γ 1 − γ 1 u 1 (t) − γ 2 u 2 (t))u 1 (t) − x τ m(t)x −1i (t)[α 1 e −γ1τ v1 τ (t) − α 1 e −γ1τ u 1 (t)v1 τ (t) − α 2 e −γ2τ u 1 (t)v2 τ (t)]⎪ F ⎩ 2 (x m , v 1 ) = x −1m (t)x τ m(t)[α 1 e −γ1τ v1 τ (t) − α 1 e −γ1τ v 1 (t)v1 τ (t) − α 2 e −γ2τv 1 (t)v2 τ (t)] − x m (t)v 1 (t)[β 1 v 1 (t) − β1(v 1 (t)) 2 − β 2 (v 2 (t)) 2 ],et x τ i (t) = x i(t − τ), x τ m(t) = x m (t − τ) et vi τ (t) = v i(t − τ).La partie rapide admet un équilibre asymptotiquement stable, il est solution du système :⎧k 12 u 2 − k 21 u 1 = 0⎪⎨u 1 + u 2 = 1h 12 v 2 − h 21 v 2 = 0⎪⎩v 2 + v 1 = 0.Soit u ∗ j et v∗ j la solution de ce système, alors on a⎧⎪⎨ u ∗ k 121 =k 12 + k 21⎪⎩ v1 ∗ h 12= .h 12 + h 21Le but de cette note est de réduire le système (1) ; pour celà, nous proposons le systèmesuivant qui décrit la dynamique de la population totale, qui est obtenue en remplaçant respectivementdans (3) les fréquences relatives u 1 ,u 2 ,v 1 et v 2 par les fréquences d’équilibreu ∗ 1, u ∗ 2, v1 ∗ et v2. ∗ On obtient{ẋi (t) = α ∗ x m (t) − γ ∗ x i (t) − σ ∗ x m (t − τ)ẋ m (t) = σ ∗ x m (t − τ) − β ∗ (x m (t)) 2 (4),γ ∗ = γ 1 u ∗ 1 + γ 2 u ∗ 2σ ∗ = α 1 e −γ1τ v ∗ 1 + α 2 e −γ2τ v ∗ 2β ∗ = β 1 (v ∗ 1) 2 + β 2 (v ∗ 2) 2 .TAMTAM –Tunis– 2005

518 AchchabNous montrons dans le paragraphe suivant que si ɛ est assez petit, alors le système initialet le système agrégé sont équivalents dans le sens qu’ils ont le même comportementasymptotique.3. Comportement asymptotique3.1. Comportement asymptotique du système agrégéOn suppose que x j m(θ) est continue et positive sur [−τ, 0]. Pour la continuité desconditions initiales, on prendx i (0) =∫ 0−τσ ∗ e γ∗ (θ+τ) x m (θ)dθ, (5)alors, la solution du système (4) existe et est unique pour tout t ≥ 0.Théorème 3.1Soit x j m(0) > 0, x j m(θ) ≥ 0 pour θ ∈ [−τ, 0], (j = 1, 2). Alors la solution de (4) avecles conditions initiales x m (θ) et x i (0) données par (5) est positive pour tout t ≥ 0.Preuve. (voir [1 ]).Soit E(0, 0) et E ∗ (x ∗ i , x∗ m) les deux points d’équilibre du système agrégé, où⎧⎪⎨⎪⎩x ∗ i = σ∗ α ∗ − (σ ∗ ) 2β ∗ γ ∗x ∗ m = σ∗β ∗ .Dans le théorème suivant, nous montrons que E ∗ est globalement asymptotiquementstable.Théorème 3.2Soit x j m(θ) ≥ 0 pour θ ∈ [−τ, 0], j = 1, 2, x m (0) > 0. Alorslim [x i(t), x m (t)] = (x ∗ i , x ∗ m).t→∞Preuve. pour les détails de la démonstration voir ([1 , 5]).3.2. Comportement asymptotique du système initialLe système (3) s’écrit{ẋi (t) = α(t)x m (t) − γ(t)x i (t) − σ(t)x m (t − τ)ẋ m (t) = σ(t)x m (t − τ) − β(t)(x m (t)) 2 ,(6)TAMTAM –Tunis– 2005

Modèle de croissance avec retard 519oùLemme 3.3Soit l’équation différentielleoù τ > 0. On suppose que :⎧⎪ ⎨⎪ ⎩α(t) = α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t)γ(t) = γ 1 u 1 (t) + γ 2 u 2 (t)σ(t) = α 1 e −γ1τ v 1 (t) + α 2 e −γ2τ v 2 (t)β(t) = β 1 (v 1 (t)) 2 + β 2 (v 2 (t)) 2 .ẋ(t) = f(x(t − τ), t) − g(x(t), t),– A1) f est strictement croissante suivant la première variable, f(0, t) = 0, il existex ∗ > 0 qui vérifie : f(x, t) > g(x, t) pour x ∈]0, x ∗ [ et f(x, t) < g(x, t) pour x > x ∗ , etpout tout t > 0limx→∞– A2) g est strictement croissante suivant la première variable, g(0, t) = 0 etg(x, t) = ∞, pour tout t > 0– A3) lim f(x, t) < lim g(x, t) pour x > x ∗ ,t→∞ t→∞Alors lim x(t) = x ∗ .t→∞Théorème 3.4Soit x m (θ) ≥ 0 pour θ ∈ [−τ, 0], j = 1, 2, x m (0) > 0, et pour ɛ assez petit. Alors on alim [x i(t), x m (t)] = (x ∗ i , x ∗ m).t→∞Preuve. limt→∞x m (t) = x ∗ m est une conséquence directe du lemme 1. Poure la deuxièmepartie, il suffit de remarquer que⎧⎨⎩α(t) = α ∗ + a 1 e −R1tγ(t) = γ ∗ + a 2 e −R2tσ(t) = α ∗ + a 3 e −R3t ,où a i et R i (i = 1, 2, 3) sont des constantes positives. En majorant |x i (t) − x ∗ i | et enpassant à la limite quand t tend vers l’infini, on obtient le résultat désiré.4. ConclusionNous venons de proposer un système à deux équations et à deux variables, qui a lemême comportement asymptotique que le système initial qui est à quatres équations.L’intérêt de cette approche devient plus grand quand le nombre de variables est encoreplus élevé ; une population divisée en n classes d’âge dans un environnement où il y a psites, ce qui constitue une généralisation des résultats présentés dans cette note.TAMTAM –Tunis– 2005

520 Achchab5. Bibliographie[1 ] AIELLO, W. G., AND H. I. FREEDMAN, « A time-delay model of single-species growth withstage structure », Math. Biosci. 101, 139-153 (1990).[2] P.M. AUGER AND R. ROUSSARIE, « Complex ecological models with simple dynamics: Fromindividuals to population », Acta Biotheoretica 42, 111-136 (1994).[3] R. BRAVO DELA PARRA, P. AUGER AND E. SANCHEZ, « Aggregation methods in time discretemodels », J. Biological Systems 3, 603-612 (1995).[4] J.C. POGGIALE AND P. AUGER, « Fast oscillating migrations in a prey-predator model »,M3AS 6 (2), 217-226 (1996).[5] YANG KUANG, « Delay Differential Equations With Applications in Population Dynamics,Mathematics in Science and Engineering. », Volume 191, ACADEMIC PRESS (1993).TAMTAM –Tunis– 2005

Modèles cinétiques pour l’immunologieL. Derbel * , P. E. Jabin *** Laboratoire d’Ingénierie et MathématiqueÉcole Polytechnique de TunisieBP 743 Rue Elkhawarezmi 2078 la MarsaTunisialobna.derbel@ept.rnu.tn** Laboratoire J.A DieudonnéUniversité de Nice-Sophia-AntipolisParc Valrose-F-06108 Nice Cedex 02Francejabin@math.unice.frRÉSUMÉ. On étudie dans ce travail la compétition entre le système immunitaire et un hôte agressiftelle qu’une tumeur. On suppose que le système immunitaire admet un état de santé normal qu’ilessaie toujours de retrouver. On s’intéresse en particulier au comportement asymptotique du systèmelorsque le temps tend vers l’infini. Le modèle qu’on introduit est convenable pour la description del’évolution de la tumeur pour une longue période de temps puisqu’il tient compte de l’évolution descellules de l’environnement et de leurs capacités à récupérer les cellules perdues au cours de leursinteractions avec les cellules de la tumeur.ABSTRACT. This work deal with the competition between the immune system and an agressive hostsuch as tumor. We assume that the immune system has a normal healthy state that it always triesto reach. We are particularly interested in the asymptotic behavior of the system when the time goesto infinity. The model which we introduce is suitable to describe the desease evolution for a longtime scale, because it takes the capacity of the body to repair cells damage into account: body cellsproduce new cells to replace dead ones.MOTS-CLÉS : compétition entre tumeur et système immunitaire, équations cinétiques, comportementasymptotique, immunologie.KEYWORDS : Immune-tumor competition, Kinetic equations, asymptotic behavior, immunology.521 TAMTAM –Tunis– 2005

522 Derbel et al.1. IntroductionLa modélisation de la réponse du système immunitaire aux virus agressifs par des méthodesde mathématiques appliquées consiste à développer des modèles mathématiqueset des simulations convenables pour décrire l’évolution du système, cette évolution peutnous amener soit à la destruction du système immunitaire ou bien à la supression du virusà cause de l’action du système immunitaire. Notre objectif est de modéliser la réactionqualitative et quantitative du système immunitaire afin de pouvoir prévoir des résultatsexpérimentales à partir des résultats théoriques.2. ModélisationOn suppose que le système immunitaire a une distribution particulière qui représentesa distribution à l’état de santé normal de l’individu, lorsqu’il n’y a pas de tumeur, et quele système immunitaire essaie toujours d’atteindre son état de santé normal. On va étudierle système composé des trois équations suivantes :La première équation est vérifiée par la fonction de distribution relative aux cellules de latumeur, elle vérifie⎧ ( )⎨ ∂ t f 1 + ∂ u (−α12 uA 2 (t) + α 13 uA 3 (t))f 1 = (−β12 A 2 (t) + β 13 uA 3 (t))f 1 ,(1)⎩f 1 (t = 0, u) = f1 0 (u), (t, u) ∈ R + ,avec∫A i (t) i∈{1,2,3}= f i (t, u) du .R +Le terme A 2 (t) représente l’activité relative au système immunitaire, elle décrit son pouvoirde défense et sa capacité à lutter contre la présence de toute cellule étrangère virulente.Le terme A 3 (t) représente l’activité totale relative aux cellules de l’environnement ou encorele corps. Elle décrit son pouvoir de fournir la nourriture aux virus ou tumeurs.On définit également l’activité totale relative aux cellules de la tumeur qu’on note A 1 (t),elle décrit la progression des cellules de la tumeur et leurs degrés de virulence.Pour les cellules de l’environnement, on introduit A ⋆ 3 comme étant une constante donnéequi décrit l’état de santé normal de l’individu en l’absence de la tumeur. On suppose quele corps essaie d’atteindre cette valeur, car il a toujours tendence à atteindre son état desanté normal.On a l’équation suivante⎧⎨ ∂ t f 3 + ∂ u (−α 31 uA 1 f 3 ) = −β 31 A 1 + β 33 (A ⋆ 3 − A 3 (t))f 3 , t, u ∈ R + ,(2)⎩f 3 (t = 0, u) = f3 0 (u).TAMTAM –Tunis– 2005

Modèles cinétiques pour l’immunologie 523L’équation que vérifie l’activité A 3 (t) est donnée par :⎧⎪⎨⎪⎩ddt A 3(t) = (−(α 31 + β 31 )A 1 (t) + α 33 (A ⋆ 3 − A 3 (t)) A 3 (t),A 3 (t = 0) = A 0 3.(3)Pour la fonction de distribution relative au système immunitaire, on introduit la fonctionpositive f2 ⋆ (u) qui décrit la distribution des cellules du système immunitaire à l’état desanté normal de l’individu, c’est à dire lorsqu’il n’y a pas de virus. On écrit l’équation⎧⎪⎨ ∂ t f 2 (t, u) + ∂ u (−α 21 uA 1 (t)f 2 (t, u)) =β 21 uA 1 (t)f 2 (t, u) + β 22 (f2 ⎪⎩⋆ (u)A 3 (t) − A ⋆ 3f 2 (t, u)),(4)f 2 (0, u) = f2 0 .Ces équations sont couplées par le biais des activités totales respectives A 1 (t), A 2 (t),A 3 (t).3. Comportement asymptotiqueOn suppose qu’on a les hypothèses suivantes que vérifient respectivement les fonctionsf 0 1 , f 0 2 et f 0 3∫ ∞0∫ ∞0e λu f 0 1 (u) du < ∞, pour tout λ > 0, (5)u γ e β21u/α21 f 0 2 (u) du < ∞, pour γ > 1, (6)∫ ∞0f 0 3 (u)(1 + u) du < ∞, (7)alors il existe des solutions faibles f 1 , f 2 et f 3 dans C([0, ∞], L 1 ((1 + u) du)) relativesau système des trois équations formées de (1), (4) et (2). Ces solutions vérifient respectivementles estimations suivantes∫ ∞0∫ ∞e λu f 1 (t, u) du ∈ L ∞ ([0, T ]), pour tout λ, T > 0, (8)0∫ ∞0e β21u/α21 f 2 (t, u) du ≤(1 + u)f 3 (t, u) du ≤∫ ∞0∫ ∞0e β21u/α21 f 0 2 (u) du, (9)(1 + u)f 0 3 (u) du. (10)TAMTAM –Tunis– 2005

524 Derbel et al.On se propose de démontrer le théorème suivantThéorème On suppose que f 0 1 , f 0 2 et f 0 3 vérifient respectivement (5), (6) et (7),donc il existe (f 1 , f 2 , f 3 ) solutions faibles du système (1), (4) et (2), telle que(f i ) i∈{1,2,3} ∈ C([0, ∞], L 1 ((1 + u) du)) et les estimations 8, 9 et 10 sont vérifiées,alors, lorsque le temps tend vers l’infini1) ou bien A 3 (t) converge vers A ⋆ 3, et dans ce cas, on aA 1 (t) tend vers zéro lorsque le temps tend vers l’infini,A 2 (t) converge vers A ⋆ 2 lorsque le temps tend vers l’infini,f 2 (t, u) converge vers f ⋆ 2 (u) lorsque le temps tend vers l’infini.2) ou bien A 3 ne converge pas vers A ⋆ 3, et dans ce second cas on aura∫ ∞0A 1 (t) dt = ∞,M 2 (t), A 2 (t), n 2 (t) et f 2 (t, u) convergent respectivement vers zéro lorsque le tempstend vers l’infini.Si A 1 (t) n’est pas bornée, alors A 3 (t) converge vers zéro quand le temps tend vers l’infini.avec∫ ∞∫ ∞A ⋆ 2 = uf2 ⋆ (u) du, et M 2 (t) = e β 21α u 21 f 2 (t, u) du.0La discussion dans ce théorème se base sur les deux cas de comportements possibles del’activité des cellules de l’environnement : ou bien A 3 (t) converge vers A ⋆ 3 ou bien ellene converge pas vers A ⋆ 3.3.1. CommentairesOn a montré que le système étudié ne peut avoir que deux types de comportements :1) ou bien A 3 (t) converge vers A ⋆ 3 et dans ce cas, l’activité totale des cellules del’environnement tend vers l’état de santé normal de l’individu, l’activité de la tumeurA 1 (t)tend vers zéro, l’activité relative au système immunitaire A 2 (t) tend aussi vers A ⋆ 2qui représente l’activité à l’état de santé normal de l’individu, c’est l’activité que le corpsavait lorsqu’il n’y avait pas de tumeur, donc on se place dans le cas où c’est le systèmeimmunitaire qui l’emporte.2) ou bien A 3 (t) ne converge pas vers A ⋆ 3, dans ce cas, on a un système immunitaireépuisé qui a une activité A 2 (t) qui tend vers zéro ainsi que sa fonction de distribution etson nombre total de cellules.D’autre part, dans le cas où A 1 (t) est bornée, on montre que l’activité relative aux cellulesde l’environnement tend dans ce cas vers zéro et donc le système tend vers la mort.0TAMTAM –Tunis– 2005

Modèles cinétiques pour l’immunologie 5254. Bibliographie[1] De Angelis E. and Jabin P. E., Qualitative Analysis of a Mean Field Model of Tumor-Immune System Competition. Math. Models Methods. Appl. Sci., 13 187–206 (2003).[2] De Angelis E. and Mesin L., On the kinetic ( Cellular) Theory. Conceptual Frameworks onModelling the Immune Response. Math. Models Meth. Appl. Sci., 11 (2001).[3] Derbel L., Analysis of a New Model For Tumor-Immune System Competition IncludingLong-Time Scale Effect. Math. Models Meth. Appl. Sci., 11 1657-1681 (2004).TAMTAM –Tunis– 2005

A Stochastic partial differential equation forphytoplankton aggregationN. El SaadiGEODES-IRD 32, avenue Henri VaragnatF-93143 Bondy cedex, France.ABSTRACT. The aim of this work is to provide a stochastic mathematical model of aggregation inphytoplankton, from the point of view of modelling a system of a large but finite number of phytoplanktonparticles that are subject to random dispersal modeled as Brownian motions, mutual interactionsallowing the particles motions some dependance and branching (creation or annihilation). We presentthe passage from the ”microscopic” description to the ”macroscopic” one, when the initial total numberof particles tends to infinity (large phytoplankton populations). The limit of the system is then anextension of the Dawson-Watanabe superprocess: it is a superprocess with spatial interactions whichcan be described by a stochastic partial differential equation.RÉSUMÉ.KEYWORDS : Phytoplankton aggregation, Interacting branching diffusion process, Martingale problem,Weak convergence, Dawson-Watanabe superprocess, Stochastic partial differential equation.MOTS-CLÉS :TAMTAM –Tunis– 2005 526

SPDE for phytoplankton aggregatios 5271. IntroductionThe role of aggregates in marine food webs and vertical transport processes is nowwell recognized ([1], [9]). Recent attention has been devoted to modeling studies of themechanisms by which aggregates form and the dynamics governing their formation.Coagulation theory has more recently been applied to describe aggregation of marineparticles and specifically phytoplankton aggregation. Many laboratory experiments,mesocosm experiments and field observations have all demonstrated that coagulation theoryat times provides an accurate description of phytoplankton aggregate formation (see[12]). Aggregation by physical coagulation requires that primary particles collide bysome physical process and stick together upon collision. However, studies of marineaggregates at small-scales have emphasized biological mechanisms for their formation.Indeed, some planktonic species (algae, bacteria, dinoflagellates) have chemosensoryabilities ([8],[15]), that is, the capability of sensing the chemical field generated by thepresence of others particles. Dinoflagellates and more generally algae are known to leakorganic matter into solution [13] and this leakage creates a zone around individual cellscalled the ” phycosphere”, where extracellular products exist in enhanced concentrationsover background [2]. The released products as amino-acids and sugar attract algae orbacteria that are present in a suitable neighborhood.The goal of this work is to develop a mathematical rigorous model of aggregationin phytoplankton that takes into account the small-scales biological interactions abovementioned.For this purpose, we start with a microscopic description of a finite systemof phytoplankton cells and pass after rescaling to a continuous limit (a macroscopic description).The dynamics of the system at small scale are: a random dispersal due to theenvironment turbulence, attraction mechanisms between cells due to the chemosensorybehavior and a random branching modeling cell division and natural death. Our modelcan be considered as an extension of the class of models reviewed in [14].In [14], a background for the modelling of interacting systems is given. In this paper,we add branching mechanisms for our interacting particle system, that is the particles canreproduce and die. We do not consider other processes for the planktonic particles suchus growth, gravitational sinking or grazing by higher animals. The limit obtained in ourcase is a measure-valued process. It is a ” superprocess with spatial interactions”.We stress on the fact that, owing to the branching, the approach in [14] for the derivationof the continuum model fails in our situation. Instead, we use a martingale approach.The paper is structured as follows: in section 2, we describe the dynamics of thesystem of phytoplankton particles (spatial motion, spatial interactions and branching).In section 3, we define the interacting branching-diffusion process to describe thespatial and temporal distribution of the system. We set the martingale problem associatedto this process and characterize the latter as the unique solution to this martingale problem.Section 4 is devoted to the limit of the system when the initial number of particlestends to infinity. We prove the weak convergence of the rescaled interacting branching-TAMTAM –Tunis– 2005

528 El Saadidiffusion process to a measure-valued process and state the stochastic partial differentialequation satisfied by this superprocess. At the end of this section, we derive the heuristicstochastic partial differential equation that should be satisfied by the density (if it exists)of the limiting process.Finally, some remarks about notations and hypotheses in this paper:− C 2 b (R) is the space of bounded functions of class C2 on R, endowed with the supremumnorm ||.|| ∞.− M F (R) is the space of non negative finite measures on R, endowed with the weaktopology and 〈 , 〉 is the duality bracket. That is, a sequence of measures {µ n } in M F (R)converges (weakly) to the measure µ as n → ∞ if, for each ψ ∈ C b (R), 〈µ n , ψ〉 → 〈µ, ψ〉as n → ∞.− For any metric space S, we denote by D([0, ∞[,S) the space of càdlàg (right continuouswith left limits) mappings from [0, ∞[ to S.− B(R) is the σ-field of Borel sets of R.2. Describing the dynamics of phytoplankton particles2.1. Spatial motionLet us consider N (N ∈ N) phytoplankton cells moving in the space R. Here, Rrepresents the vertical axis oriented downward from the surface to the seabed. The i thparticle of the system is described by its position X i and its mass m.2.2. Spatial motionSuppose that there is no branching (creation or annihilation). The i th particle of thesystem moves according to the SDE:dX i (t) =N∑j=1,j≠iK(X i (t), X j (t)) dt + √ 2D dB i (t), (1)where we assume the position of this cell is subject to random dispersal modeled as abrownian motion B i (t), with diffusion coefficient D. The drift term describes the interactionsbetween the i th particle and the rest of the particles in the system.2.3. Spatial interactionsTo describe interactions between phytoplankton particles, we propose the ideas involvingnon-uniformity of the concentration fields around organisms and consider planktonicparticles having chemosensory abilities (dinoflagellates, algae) and hence some knowledgeabout their neighbors. However, each particle has a limited knowledge of the spatialdistribution of its neighbors because it can not detect small concentration differences overTAMTAM –Tunis– 2005

SPDE for phytoplankton aggregatios 529its length ([3],[10],[11]).Taking into account these biological considerations, we assume:1) there are interactions of each particle with other particles in the system whichbelong to a suitable neighborhood.2) particules tend to aggregate within a range (range of sensitivity for aggregation).So, we define pair interaction forces as follows:let r 0 and r max in R ∗ +. The interaction between two particles at positions x and y dependson the distance between the two particles and is determined by:where F a is an attractive force defined by:K(x, y) = 1 N F a(x − y)F a (z) ={− |z| 2 + (r 0 + r max ) |z| − r 0 r max if r 0 < |z| < r max0 otherwise2.4. BranchingNow, we add a complication: the particles branch.In phytoplankton, the most common mean of reproduction is asexual cell division (mitosis).This process splits the organism into two identical copies. Therefore, we describethe dynamics of the system as follows:a particle performs a motion in some region in R according equation (1). In a time interval[t, t + h], the particle has a probability µh + o(h) of branching: it either splits into 2identical particles or it dies out with probability 1 2 each.If it splits, the 2 daughters begin their life at the branching point.They continue theirmotion following equation (1) until the time themselves branch and so on .We suppose that the initial configuration of the system is described by a measureν ∈ M F (R) and that the initial number of particles, N, is large but finite.3. Spatial and temporal distribution of a finite system ofphytoplankton particlesThe spatial distribution of particles at time t is described by the empirical randommeasure process {η t } (the interacting branching-diffusion process) on R:η t =N(t)∑i=1δ Xi(t),TAMTAM –Tunis– 2005

530 El Saadiwhere δ Xi(t) is the Dirac measure at the location X i (t) ∈ R of the particle i at time t andN(t) is the total number of alive particles in the system at time t. For every B ∈ B(R),η t (B) counts the number of particles in B at time t.The infinitesimal generator of the interacting branching-diffusion process {η t } is denoted£ and is given by :£F ψ (ε) = 〈ε, Dψ′′ + 1 N (F a ∗ ε)ψ ′ + µ(Φ(ψ) − ψ)〉 exp〈ε, Logψ〉ψwhere Φ is the generating function of the offspring distribution (Φ(s) = 1 2 + 1 2 s2 ),F ψ (ε) = exp〈ε, Logψ〉 with ε ∈ M F (R) and ψ ∈ Cb 2 (R). The domain of £ is allsuch functions F ψ for which £F ψ is bounded.Now, we can state the main result on the characterization of the process {η t }.We recall:Definition 1 (Martingale Problem) We say that a stochastic process {ɛ(t)} t , or equivalentlyits distribution P π , solves the (£, π) martingale problem (where π ∈ M F (R)) if :∫ tP π [ɛ(0) = π] = 1 and F (ɛ(t)) − F (ɛ(0)) −is a P π -martingale for any function F ∈ D(£).0£F (ɛ(s))dsTheorem 2 (Martingale characterization)The distribution P ν of the process {η t } with initial measure ν is the unique solution to themartingale problem (£, ν).A proof of Theorem 2 is presented in [4].4. Weak convergence and limit of the system of particlesNow, we show that the empirical process {η t } when it is renormalized, converges to ameasure-valued process which is an extension of the Dawson-Watanabe superprocess.The idea to pass to the limit consists in applying the Feller rescaling [7]: the spatialmotion is left inchanged, but the number of particles, their mass and the branching rateare rescaled by considering that there are a very large number, N,of particles, each ofmass 1 1and of lifetimeN Nµ .Let {Y. (n) } n≥1 be the sequence of rescaled processes and consider at the n th stage aninitial measure consisting of N n particles each of whom is assigned a mass 1N nand hasan independant exponential lifetime of parameter µ n = N n µ, during which she movesaccording equation (1). At the end of her lifetime she dies and leaves behind, at the locationwhere she died, a random number of offspring (0 or 2) determined by the generatingfunction Φ. Suppose that the initial condition {Y (n)0 } n≥1 is convergent.TAMTAM –Tunis– 2005

SPDE for phytoplankton aggregatios 531We have the following convergence result:Theorem 3 If N n −→ +∞ as n −→ +∞ , the sequence of rescaled processes {Y (n). } n≥1converges weakly (in distribution) in the space D([0, +∞[, M F (R)) to a measure-valuedcontinuous process {Y t , t ≥ 0}, whose distribution P satisfies the following martingaleproblem:∀ϕ ∈ C 2 b (R), M t (ϕ) 〈Y t , ϕ〉 − 〈Y 0 , ϕ〉 −is a P -martingale with the quadratic variation〈M(ϕ)〉 t = µ∫ t0∫ t0〈Y s , Dϕ ′′ + (F a ∗ η s )·ϕ ′ 〉ds (2)〈Y s , ϕ 2 〉ds. (3)For the claim, the proof of this theorem is in [4].From (2) and (3), we recognize that {Y t , t ≥ 0} is a generalization of the Dawson-Watanabe superprocess. We can prove the following result:Theorem 4 The process {Y t , t ≥ 0} is the unique solution of the non linear stochasticdifferential equation in a space of measures:dY t = D d2dx 2 Y tdt − ddx [Y t(F a ∗ Y t )]dt + dM t ,where M t is a continuous martingale measure (at the sens of [17]), with covariancemeasure µY s (dx)ds.The proof of this theorem is presented in [4].Heuristically, if we suppose that for every t > 0, Y t is absolutely continuous withrespect to the Lebesgue measure on R, then the density f(t, x) of Y t will satisfy:Theorem 5 The density f(t, x) of Y t , with respect to the Lebesgue measure, is a weaksolution to the following SPDE:∂f(t, x)∂twith Ẇ defined by:W= D ∂2 f(t, x)∂x 2− ∂∂x [f(t, x)(F a ∗ f(t, .))(x)] + √ µf(t, x)Ẇ (t, x)(dt, dx) = Ẇ (t, x)dtdxwhere W (dt, dx) is a Gaussian white noise (at the sens of [17]).TAMTAM –Tunis– 2005

532 El Saadi5. References[1] A. L. Alldredge and M. Silver, Characteristics, dynamics and significance of marine snow.Progress in oceanography 20 (1983) 41 − 82 (Springer-Verlag, New York, 119).[2] W. Bell and R. Mitchell, Chemotactic and growth responses of marine bacteria to algal extracellularproducts. Biol. Bull. 143 (1972) 265 − 277.[3] H. C. Berg and E. M. Purcell, Physics of chemoreception. Biophys. J. 20 (1977) 193 − 219.[4] N. El Saadi, Modélisation et études mathématique et informatique de populations structuréespar des variables aléatoires. Application à l’agrégation du phytoplancton. Thèse de doctorat,Université de Pau et des pays de l’Adour (2004).[5] A. M. Etheridge, An introduction to superprocesses. University Lecture series 20. AmericanMathematical society (2000).[6] S. N. Ethier and T. G. Kurtz, Markov Processes: Characterization and Convergence. Wiley,New York (1986).[7] W. Feller, Diffusion processes in genetics. Proc Second Berkeley Symp (1951) 227 − 246.[8] W. K. Fitt, Chemosensory responses of the symbiotic dinoflagellate Symbiodinium microadriatica(Dinophycae). J. Phycol 21 (1985) 62 − 67.[9] S. W. Fowler and G. A. Knauer, Role of large particles in the transport of elements and organiccompounds through the ocean water column. Prog. Oceanogr 16 (1986) 147 − 194.[10] G. A. Jackson, Simulating chemosensory responses of marine microorganisms. Limnol.Oceanogr32 (6) (1987) 1253 − 1266.[11] G. A. Jackson, Simulation of bacterial attraction and adhesion to falling particles in an aquaticenvironment.Limnol.Oceanogr 34 (3) (1989) 514 − 530.[12] T. Kiørboe, Formation and fate of marine snow: small-scale processes with large-scale implications.Sci. Mar 655 (Suppl.2) (2001) 57 − 71.[13] T. H. Mague, E. Friberg, D. J. Hughes and I. Morris, Extracellular release of carbon by marinephytoplankton; a physiological approach. Limnol. Oceanogr 25 (1980) 262 − 279.[14] D. Morale et al., An interacting particle system modelling aggregation behavior: from individualsto populations, J. Math. Biology, 2004. In press.[15] H. J. Spero and M. Morée, Phagotrophic feeding and its importance to the life cycle of theholozoic dinoflagellate, Gymnodinium fungiforme. J. Phycol 17 (1981) 43 − 51.[16] H. J. Spero, Chemosensory capabilities in the phagotrophic dinoflagellate GymnodiniumFungiforme. J. Phycol 21 (1985) 181 − 184.[17] J. B.Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations. Ecole d’été de probabilitésde Saint Flour 1180. Springer-Verlag (1986).TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’une population de mérous,effets du braconnage et de la migrationS. Ben Miled * , A. Kebir ** LAMSIN / ENITBP 37, 1002 Tunis Belvédère, TunisieRÉSUMÉ. L’objectif est de modéliser la dynamique d’une population de mérous dans un territoire depêche d’une côte marine, en tenant compte à la fois de la croissance naturelle, de la pêche et desmigrations, et d’étudier l’effet du braconnage sur cette population.ABSTRACT. The aim of our work is to model the dynamics of a grouper population in a fishing zone,by holding account at the same time : the natural growth, the predation and the migrations, and tostudy the impact of the poaching on this population.MOTS-CLÉS : Dynamiques de populations, halieutique, Matrices d’Usher, Stabilité, Mérous.KEYWORDS : Population dynamique, Halieutics, Usher matrix, Stability, Grouper.533 TAMTAM –Tunis– 2005

534 Ben Miled et al.1. Introduction :Le mérou, Epinephelus marginatus, est signalé par C.Chauvet [1] comme une espèceen voie de raréfaction. Malgré l’importance de l’aspect spatial chez le mérou, la plupartdes modèles actuels de gestion ignorent la migration. Il semble cependant que la résolutiondu problème de surexploitation pourrait être améliorée par l’adjonction de mesuresde gestion plus fines, qui viseraient à rediriger l’effort de pêche en tenant compte de lamigration.L’objectif est de modéliser la dynamique d’une population de mérous dans un territoirede pêche d’une côte marine, en tenant compte à la fois de la croissance naturelle, de lapêche et des migrations, et d’étudier l’impact du braconnage sur cette population.2. Le modèle biologique du mérou :On peut supposer que le mérou passe par 4 stades dans sa vie :1) Jeune : oeuf + larve. (< 10 cm)2) Juvénile : jeune mérou femelle immature. (10 cm - 44 cm)3) Femelle. (45 cm - 79 cm)4) Mâle. (≥ 80 cm)Tous les mérous vivent dans des trous qui leurs servent de gîte. Les jeunes mérous viventessentiellement dans les zones littorales, peu profondes. Les juvéniles vivent, dans unpremier temps, dans les petits fonds à l’écart des adultes puis devenant de plus en plusgrand, ils entrent en compétition pour l’habitat avec les mérous femelles et mâles. Cettecompétition finit toujours en faveur des adultes ce qui amène les juvéniles à quitter leurlieu de naissance.Les juvéniles sont la cible de la pêche a ligne par contre les adultes sont chassés parles braconniers, en prélevant principalement les grands mâles dominants.De ces faits, les processus mis en jeu dans le système, sont :– La démographie : la reproduction, la croissance et la mortalité naturelle.– La pêche : la pression de pêche qui s’exerce sur les mérous.– La migration : sur de longues distances, vers des territoires éloignés de leur lieu denaissance.Trois hypothèses sont considérées dans notre modèle :Hypothèse [H1] : notre territoire a des conditions favorables de survie (un sex-ratiofavorable, un régime alimentaire optimal et une température d’eau suffisamment élevée).Hypothèse [H2] : la croissance de la population est suivie par la pêche.Hypothèse [H3] : après le processus démographique puis de pêche on a la migration.TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’une population de mérous 5353. Le modèle mathématique :Afin d’aboutir au modèle mathématique général tenant compte des hypothèses du paragrapheprécédant on est amené à construire trois sous modèles :– Le modèle démographique.– Le modèle de pêche.– Le modèle de migration.Notre population est subdivisée en 4 classes selon la taille de l’individu, soient n i (t) lenombre d’individus de la classe i (i = 1, .., 4) à l’instant t (c.à.d, l’année t) et N t =(n 1 (t), .., n 4 (t)) T , le vecteur qui décrit le nombre d’individus dans toutes les classes àl’instant t.3.1. Modèle démographique du mérou :Le modèle démographique contient trois types de processus :La reproduction : La fécondité dépend du nombre de jeunes produits par année et dutaux de survie de l’état œuf jusqu’à l’état larve [4]. Grace à l’hypothèse [H1], le taux desurvie de l’état œuf à l’état larve est égal à 1.En général, on remarque que le nombre d’œufs fécondés dépend surtout du nombrede femelles dans le territoire. Cependant le nombre de mâles influe sur la fécondité dansles cas où il est proche de 0 ou bien il est très grand.Soit g la fonction qui décrit l’influence des mâles sur la fécondité,g : [0, T ] −→ [0, 1]n 4 ↦−→ 0.5n 41 + 0.5n 4avec T le nombres de gîtes dans le territoire.La mortalité naturelle et le développement : pour le mérou, le taux de mortalité naturelledans une classe et le taux de développement ou de passage d’une classe à la suivante(par unité de temps) dépendent, généralement, des conditions de survie et de croissance.On a supposé les conditions favorables dans le territoire du mérou, en conséquence, lestaux de mortalité naturelle et de passage seront considérés constants et équivalents auxvaleurs moyennes respectives à chaque classe.3.2. Le modèle de pêche du mérou :Dans le modèle de pêche on considère que les pressions de pêche ne dépendent quedu pêcheur, donc les taux de pêche seront considérés constants.3.3. Le modèle de migration du mérou :Le processus migratoire est assez simple pour les jeunes et les adultes, en effet lesmigrations des jeunes dépendent des conditions du milieux physique (vent, courant d’eau,TAMTAM –Tunis– 2005

536 Ben Miled et al.nature de l’eau) et les migrations des adultes sont presque négligeables (les adultes sontde véritables sédentaires). Les taux de migration chez les jeunes et les adultes seront doncconsidérés constants.Par contre, le processus migratoire des juvéniles est assez compliqué, en effet les juvénileset les adultes sont en compétition pour le gîte. On considère que cette compétitionest toujours en faveur des plus âgées. Le nombre de juvéniles restant dans le territoire,après migration, est de plus en fonction du nombre de gîtes libres.Notre territoire tend toujours a être complet, d’où le nombre de gîtes libres est lenombre de gîtes vidés, après mortalité et pêche des mérous juvéniles et adultes. Il est ànoter que la pêche agit sur les mérous déjà présents dans le territoire. Soit K 2 la fonctionqui donne le taux de juvéniles restants après migration. Le modèle final s’écrit :⎧n 1 (t + 1) = k 1 p 1 s 1 n 1 (t) + k 1 p 1 fg(n 4 (t))n 3 (t)Avec,⎪⎨⎪⎩n 2 (t + 1) = K 2 (n 2 , n 3 , n 4 )p 2 t 12 n 1 (t) + K 2 (n 2 , n 3 , n 4 )p 2 s 2 n 2 (t)n 3 (t + 1) = k 3 p 3 t 23 n 2 (t) + k 3 p 3 s 3 n 3 (t)n 4 (t + 1) = k 4 p 4 t 34 n 3 (t) + k 4 p 4 s 4 n 4 (t)K 2 : [0, T ′ ] 3 −→ [0, 1](n 2 , n 3 , n 4 ) ↦−→ T − t 23p 3 n 2 − (s 3 p 3 + t 34 p 4 )n 3 − s 4 p 4 n4.TOù T ′ ≤ T , est la valeur maximale pour laquelle K 2 est positive.(1)TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’une population de mérous 5374. Estimation des paramètres sans pêche :Pour estimer les paramètres de notre modèle, on s’est donné un territoire sans perturbationextérieure, c.à.d, sans pression de pêche.On fixe les paramètres de la manière suivante :4.1. Paramètres liée à la biologie du mérou Epinephelus marginatus.4.1.1. La démographiePour la reproduction, On suppose qu’on a 1000 gîtes dans notre territoire et deuxœufs produits par femelle (les œufs acceptés pour passer au stade jeune mérou). D’oùT = 1000 et f = 2.La mortalité et la croissance :Le taux annuel moyen de mortalité naturelle chez le mérou est de 0. 10 [2], d’où pourchacune des classes, le taux de mortalité m i égal à 0. 10, avec i = 1 . . . 4. Par suite :– s i + m i + t i,i+1 = 1, pour i = 1 . . . 3, donc s i + t i,i+1 = 1 − m i = 0.9.– s 1 = 0, donc t 12 = 0.9.– s 4 + m 4 = 1, donc s 4 = 0.9.D’après la courbe de croissance ajustée au modèle de von Bertalanffy [2] de Epinephelusmarginatus on remarque que les individus d’une classe i, (i = 1 . . . 3), ont besoin de T iannées pour passer à la classe suivante. On a alors, par année, au maximum 1 T iindividusde la classe i qui peuvent passent à la classe i + 1 c.à.d, t i,i+1 ≤ 1 T i. Donc pour T 2 = 4on a t 23 ≤ 1 4 , et pour T 3 = 7 on a t 34 ≤ 1 7 .4.1.2. MigrationsLes adultes sont des sédentaires alors k 3 = k 4 = 1, et en ce qui concerne la migrationdes jeunes, on a une dépendance des courants de l’eau, alors 0 ≤ k 1 ≤ 1.4.2. Etude des autres paramètres :On fixe les autres paramètres de la manière suivante. Dans un premier temps on varechercher les domaines dans lesquelles on a au moins un point d’équilibre stable admissible(c.à.d, n i > 0).Pour cela on étudie les solutions d’équilibres N t+1 = N t ∈ IR 4 + de l’équation (3). Oncommence d’abord par les caractériser. Le système (2) admet deux points d’équilibre nonnuls dépendants des trois paramètres, k 1 , t 23 et t 34 : N 1 (k 1 , t 23 , t 34 ) et N 2 (k 1 , t 23 , t 34 ).On constate que pour tout k 1 , t 23 et t 34 , la solution N 1 (k 1 , t 23 , t 34 ) est strictementpositive et la solution N 2 (k 1 , t 23 , t 34 ) est proche de zéro.TAMTAM –Tunis– 2005

538 Ben Miled et al.Ensuite on étudie la stabilité locale [3] du point fixe N 1 : pour cela, on construit unmaillage de [0, 1] × [0, 1 4 ] × [0, 1 7 ] ((k 1, t 23 , t 34 ) ∈ [0, 1] × [0, 1 4 ] × [0, 1 7]) et on teste lastabilité de N 1 sur chaque sommet du maillage.On est maintenant amené à fixer les paramètres. Pour cela, on va chercher ceux pourlesquels on a un taux d’exploitation de la population, E, maximal. Rappelons que ce tauxest la part de la mortalité naturelle sur l’ensemble des causes de disparition des individusdu territoire [2].En tenant compte de ces conditions :(s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , t 12 , t 23 , t 34 , k 1 , k 3 , k 4 ) = (0, 0.80, 0.81, 0.9, 0.9, 0.10, 0.09, 0.7, 1, 1), letaux d’exploitation maximal, E max = 0.19 et N 1 = (230, 314, 165, 148).5. Résultats numériques :Dans ce paragraphe, on étudie l’effet du braconnage sur une population de mérousstable avec des conditions de survie favorables. Pour cela on fait varier les termes dubraconnage de la matrice de pêche, 0 ≤ p 3 ≤ 1 et 0 ≤ p 4 ≤ 1, tout en se donnant commevaleurs, pour les autres paramètres, celles définies dans le paragraphe précédent.On remarque que pour p 3 ∈ [0.1, 0.5] et p 4 ∈ [0.1, 1], il y a extinction des deuxsous-populations puisque le nombre de jeunes et de juvéniles est négatif.Pour (p 3 , p 4 ) ∈ [0.7, 1] 2 , on remarque une croissance exponentielle du nombre dejeunes et des juvéniles donc une décroissance exponentielle par rapport aux taux de braconnages(1 − p 3 et 1 − p 4 ).On remarque aussi que pour p 3 = 1 et p 4 ∈ [0.7, 1], on a une décroissance du nombrede jeunes et de juvéniles. Le maximum est atteint pour p 3 = 1 et p 4 = 0.7. Ce phénomèneest expliqué par le fait que la pêche des mâles favorise l’intégration des juvéniles dans leterritoire. Par contre, celle des femelles nuit au processus de reproduction et par suite àla population totale. Pour conclure la pêche des femelles est plus nuisible que celle desmâles d’où l’asymétrie de l’effet du braconnage.Les mérous femelles et mâles sont plus affectés par le braconnage que les juvénileset les jeunes. En fait pour (p 3 , p 4 ) ∈ [0, 0.5] 2 , on a extinction des deux sous-populations,figure 3. Pour (p 3 , p 4 ) ∈ [0.7, 1] 2 , on a une décroissance exponentielle plus forte que celledes juvéniles et des jeunes.On remarque que pour p 3 = 0.76 et p 4 = 1, le nombre de femelles atteint la valeurminimale de 14 individus et atteint son maximum pour p 3 = 1 et p 4 = 0.7. Le nombrede mâles atteint sa valeur maximale, si la pêche dans le territoireest prohibée, c.à.d, pourp 3 = 1 et p 4 = 1, ce qui est conforme à la conception populaire.TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’une population de mérous 5396. Conclusion :On a constaté que la population de mérous est très sensible aux paramètres. On aextinction de cette population pour une pression de pêche supérieure à 0.25. De plus,malgré le fait que le maximum des jeunes, des juvéniles et des femelles est atteint pourp 3 = 0.7 et p 4 = 1, on peut considérer que le braconnage reste une menace très sérieusepour ce poisson.7. Bibliographie[1] C. CHAUVET « Etude de la croissance du mérou epinephelus guaza (linné, 1758) des côtestunisiennes » Aquat.Living Resour., vol. 1 (1988), pp. 277–288.[2] C. CHAUVET « Statut d’epinephelus guaza (linnaeus, 1758) et élément de dynamique despopulations méditerranéenne et atlantique » Les Espèces Marines. à Protéger en Méditerranée,vol. 1 1991, pp. 255–275.[3] J. CUSHING « An Introduction to Structured Population Dynamics. » Society for Industrialand Applied Mathematics, Philadelphia. 1998.[4] F. RAMADE « Eléments d’écologie écologie Fondamentale, 2 eme édition. » Ediscience intrenational,Paris. 1994.TAMTAM –Tunis– 2005

Optimal spatial distribution of a bioeconomicalfishing model on 3 zonesR. Mchich 1 , P. Auger 2 , H. Hbid 3 and N. Raïssi 41 E.N.C.G., B.P. 1255, Tanger Principale, Maroc.2 UR GEODES, IRD, Centre de Recherche d’Ile de France,32 av. Henri Varagnat,93143 Bondy cedex, France.3 Laboratoire LPSSD, Faculté des Sciences Semlalia, B.P. 2390, Marrakech, Maroc.4 Laboratoire SIANO, Faculté des Sciences, Université Ibn Tofaïl, B.P.133, Kénitra, Maroc.ABSTRACT. This work presents a stock-effort bio-economical model of a fishery subdivided on threefishing zones. The stock corresponds to a fish population moving between different zones, on whichthey are harvested by fishing fleets. We take profit from the existence of two time scales (a fastone for fish migration and fleets movements, and a slow one for fish growth and mortality and fleetsrevenue) to construct a reduced (aggregated) model. The mathematical analysis of the model allowsthe optimization of the spatial distribution of the fishing effort, and so on the control of the fleetsdisplacement between the fishing zones, in order to increase the total activity.RÉSUMÉ. Ce travail présente un modèle bioéconomique de pêche, stock-effort distribué sur troiszones. Le stock correspond à une population de poissons se déplaçant entre les différentes zones,sur lesquelles elle est exploitée par des flottes de pêche. Nous tirons profit de l’existence de deuxéchelles de temps (une rapide pour les migrations et une lente pour la croissance et la mortalitédes poissons et pour les revenus des flottes) pour construire un modèle réduit (agrégé). L’étudemathématique de ce modèle permet l’optimisation de la distribution spatiale des efforts de pêche,et par suite le contrôle du déplacement des flottes entre les différentes zones de pêche dans le butd’accroître l’activité de pêche globale.KEYWORDS : Fishery model, aggregation of variables, optimal spatial distribution of fishing effort.MOTS-CLÉS : Modèle de pêche, agrégation des variables, distribution spatiale optimale des effortsde pêche.TAMTAM –Tunis– 2005 540

Bioeconomical fishing model 5411. IntroductionThe overexploitation of marine resources and the continuous high pressure on fishstocks leads inexorably to their extinction and to a global and worrying decrease in thelevel of catch. For example, in [6], authors study the evolution of Brittany’s industrialfleets and show an important decrease of their overall fishing power in the eighties forsaithe, cod, haddock and whiting in the West of Scotland area. An other important case isalso that of the pelagic resources, which represent 75 percent of the Atlantic fish stock inNorth-West Africa (see [8]). In Morocco, drastic fluctuations of abundance have been observedfor sardines and other pelagic during the last fifty years. This situation interpellatesthe responsible of fishery management, for making appropriate decisions, as controllingthe repartition of the fleets on different fishing zones, in order to avoid a potential slumpin the sector, and the aim of this work is to study the optimal spatial distribution of thefishing effort in a multi fishing zone, and to give some efficient management measures, bycontrolling the displacement of the fleets between the fishing zones, in order to increasethe total activity.In section 2, we present the complete fishing activity model on three zones. It consistsin a system of six ordinary differential equations governing the three local fishing stocksand the three fishing efforts on three adjacent fishing zones. We assume two time scales: afast one associated to the quick movements between different zones, and a slow one whichcorresponds to the growth of fish populations and the variation of the fleets revenue. Thegrowth of the fish is related to the natural demography rate (with Allee effect) less themortality rate due to the fishery, whereas the fishery fleet’s growth is function of the profitgenerated by the activity, which could be interpreted as an investment. We recall that wetake advantage of the two time scales to reduce the complete models by use of aggregationmethods (one can see the review article on aggregation techniques by Auger and Bravo dela Parra [1]). The analysis of the corresponding aggregated model leads to a level of totalsustainable fishing activity function of the spatial distribution of the fishing effort. That isthe spatial distribution could be chosen in order to maximize this total equilibrium level.Section 3 is devoted to a discussion/conclusion.2. The 3 fishing zones modelThe complete model: We consider a fish population harvested by a fishing fleet.Fishing boats are allowed to exploit the resource on three fishing zones. Let N(t) bethe fish population density at time t: N(t) = (n 1 (t), n 2 (t), n 3 (t)) T . n 1 (t) (resp. n 2 (t)and n 3 (t)) is the fish population density on fishing area 1, (resp. 2 and 3), at time t.Similarly, the fishing effort is subdivided into three components on each fishing zone:E(t) = (E 1 (t), E 2 (t), E 3 (t)) T . E i (t) is the fishing effort on fishing area i (i = 1, 2, 3),TAMTAM –Tunis– 2005

542 Mchich et al.at time t. The complete model is a system of 6 ODEs governing the previous variables.Three equations describe the evolution of the fish densities on the 3 zones:⎧ε dn 1= (˜kn 2 − kn 1 ) + ε [r 1 n 1 (M − n 1 )(n 1 − K) − a 1 n 1 E 1 ]⎪⎨ dtε dn 2= (kn 1 +dtˆkn 3 − (¯k + ˜k)n 2 ) + ε [r 2 n 2 (M − n 2 )(n 2 − K) − a 2 n 2 E 2 ] (1)⎪⎩ ε dn 3= (¯kn 2 −dtˆkn 3 ) + ε [r 3 n 3 (M − n 3 )(n 3 − K) − a 3 n 3 E 3 ]where k, ¯k, ˜k and ˆk are fish migration rates between the different fishing zones. r i correspondsto the growth rate of the fish population i. We assume the mass action law forfish capture on each zone. a i is the catchability coefficient and M and K are positiveconstants. ε is a small dimensionless parameter. Therefore, two time scales are involvedin model (1). The fishing zones are assumed to be relatively close of each other and fishmigration between the fishing areas is thus fast in comparison with fish growth and mortalitydue to capture by fishing on each zone. 3 equations describe the evolution of thefishing efforts on the 3 zones:⎧ε dE 1= ( ˜mE 2 − mE 1 ) + ε (b 1 n 1 − c 1 )E 1⎪⎨ dtε dE 2= (mE 1 + ˆmE 3 − ( ¯m + ˜m)E 2 ) + ε (b 2 n 2 − c 2 )E 2 (2)dt⎪⎩ ε dE 3= ( ¯mE 2 − ˆmE 3 ) + ε (b 3 n 3 − c 3 )E 3dtwhere m, ¯m, ˜m and ˆm are boat migration rates between the different fishing zones, seefigure 2. On each zone i, boats capture fish. The capture rate in equation (2) is equal tob i = pa i where p is the price per unit of fish density assumed constant. Fishing boats paya cost per unit of fishing effort noted c i on each zone. Two time scales are also involved inmodel (2). Boats movement between the fishing areas is fast in comparison with fishingactivity revenue (b i n i − c i )E i , on each zone i. The model assumes that in the long term,if the benefit is larger than the cost, new boats are entering in fishing activity. Otherwise,boats are stopping fishing activity or move to another fishery. Boats are assumed to movefast from zone to zone (for example each day or week) but capture a relatively smallproportion of the total resource on each zone (each day or week).2.1. Fast equilibriumThe first step consists in setting ε = 0 into equations (1). This model is the fast modelfor fish:dn 1⎧⎪ ⎨ dτ = (˜kn 2 − kn 1 )dn 2dτ = (kn 1 + ˆkn 3 − (¯k + ˜k)n 2 )(3)⎪ ⎩ dn 3dτ = (¯kn 2 − ˆkn 3 )TAMTAM –Tunis– 2005

Bioeconomical fishing model 543where τ denotes the fast time, t the slow time with t = ετ. The fast model (3) is conservative.At the fast time scale, the total fish density n(t) = n 1 (t) + n 2 (t) + n 3 (t) remainsconstant. Similarly, setting ε = 0 into equations (2), we obtain:⎧dE 1⎪⎨ dτ = ( ˜mE 2 − mE 1 )dE 2dτ = (mE 1 + ˆmE 3 − ( ¯m + ˜m)E 2 )(4)⎪⎩ dE 3dτ = ( ¯mE 2 − ˆmE 3 )The fast model (4) is also conservative. At the fast time scale, the total fishing effortE(t) = E 1 (t) + E 2 (t) + E 3 (t) remains constant. A simple calculation shows that thereexists a single positive and stable equilibrium for any positive initial condition. This fastequilibrium for fish and for fishing efforts is given by the following expressions:⎧⎨⎩n ∗ 1 = ν ∗ 1 n, E ∗ 1 = µ ∗ 1En ∗ 2 = ν ∗ 2 n, E ∗ 2 = µ ∗ 2En ∗ 3 = ν ∗ 3 n, E ∗ 3 = µ ∗ 3E(5)where the fish proportions ν ∗ iin each zone i are constant and given by:ν ∗ 1 =11 + k˜k + k¯k˜kˆk, ν ∗ 2 =k˜k1 + k˜k + k¯k˜kˆkand ν ∗ 3 =k¯k˜kˆk1 + k˜k + k¯k .˜kˆkand the fish proportions µ ∗ i in each zone i are constant and given by:µ ∗ 1 =1 +1m ¯m+m˜m ˜m ˆm, µ ∗ 2 =1 +m˜mm ¯m+m˜m ˜m ˆmand µ ∗ 3 =1 +m ¯m˜m ˆmm ¯m+m˜m ˜m ˆmIt can easily be shown that the fast equilibrium for fish and boat is globally asymptoticallystable in the positive quadrant for any positive initial condition.2.2. The Aggregated modelThe next step consists in the substitution of the fast equilibria (5) into the equations ofthe complete model given by (1) and (2), and addition of fish and boat equations leadingto a reduced model, called the "aggregated model", which reads as follows:⎧⎪⎨dn= rn(n − n)(n − ¯n) − ãnEdtdE(6)⎪⎩dt = (˜bn − ˜c)ETAMTAM –Tunis– 2005

544 Mchich et al.3∑where r = r i νi∗3 , n = α + √ α 2 − 4rβ2ri=13∑fishing rates, we have: ã = a i νi ∗ µ ∗ i , ˜b =i=1and n = α − √ α 2 − 4rβ. For the global2r3∑3∑b i νi ∗ µ ∗ i and ˜c = c i µ ∗ i .For aggregation methods, we refer to [1, 2, 7]. The aggregated model is obtained byan approximation. It is valid when the small parameter is small enough (ε ã min(which means that a minimum of catchability is assured for the three fleets), then a simplecalculation shows that function E ∗ (ã, ˜b, ˜c) has a maximum for a spatial distribution ofthe fishing efforts chosen as follows: ã = ã min and ˜b = 2r ˜c. Therefore, the choice ofαa particular spatial distribution of the fishing effort allows to maximize the total fishingactivity. So, the optimal total sustainable fishing activity is given by: E ∗ = 1 ( α2ã min 4r −β)i=1TAMTAM –Tunis– 2005

Bioeconomical fishing model 5453. Discussion and ConclusionLet us interpret the result obtained in the analysis of the introduced example of the spatialdistribution of Moroccan central sardine fisheries. This stock was studied by Belvèze[4], and was the object of hypothesis of seasonal migrations. These works concludedthat the sardine population is situated into three closed zones in central stock. The valuesof the stock’s spatial distributions ν i (i = 1, 2, 3) can be computed by means of directevaluation using acoustic techniques. In conclusion, the dynamical model in the heart ofthis work can be well-adapted and proposed as platform to the decision’s maker in themoroccan fisheries management. It could be improved in order to be applied to moregeneral settings as for instance if we assume that the rates of fleet’s migration are stockdependent as it was the case in Mchich et al. [5]. One can also include in the stock’sgrowth a structured form with respect to the fish size and/or age.4. References[1] Auger, P. and Bravo de la Parra, R., 2000. Methods of aggregation of variables in populationdynamics. CR. Acad. Sci., 323: 665-674.[2] Auger, P. and Poggiale, J.C., 1998. Aggregation and emergence in systems of ordinary differentialequations. Math. Comput. Modelling, 27(4): 1-21.[3] Bazykin, A.D., 1998. Nonlinear Dynamics of Interacting Populations. World Scientific Series onNonlinear Science, Series A, Vol. 11.[4] Belvèze, H., 1984. Biologie et Dynamique des Populations de Sardine (Sardina Pilchardus Walbaum)Peuplant les Côtes Atlantiques Marocaines et Propositions pour un Aménagement despêcheries. PhD thesis at the Bretagne Occidentale University.[5] Mchich, R., Auger, P.M., Bravo de la Parra, R. and Raïssi, N., 2002. Dynamics of a Fishery onTwo Fishing Zones with Fish Stock Dependent Migrations: Aggregation and Control. EcologicalModelling. Vol. 158, Issue 1-2: 51-62.[6] Millischer, L., Gascuel, D. and Biseau, A., 1999. Estimation of the overall fishing power: a studyof the dynamics and fishing strategies of Brittany’s industrial fleets. Aquatic Living Resources 12(2), 89-103.[7] Poggiale, J.C., 1994. Applications des Variétés Invariantes à la Modélisation de l’Hétérogénéitéen Dynamique des Populations. PhD thesis at Bourgogne University, Dijon.[8] Ressources Halieutiques Marocaines: Situations des ressources et niveaux de leur exploitation.Report of the Halieutic Resources National Institute of Morocco (I.N.R.H.). April 2002.TAMTAM –Tunis– 2005

XIIIStructureStructure547

An algorithm for computing the critical state ofunilateral buckling of thin platesM. Ayadi ** Department of computer Sciences and Applied Mathematics.National School of Engineering of Sfax.3038 Sfax.Mekki.Ayadi@enis.rnu.tn.ABSTRACT. When modelling the buckling phenomenon of thin plates in presence of an obstacle, weobtain a non-classical eigenvalue problem. It is a variational inequality with two unknowns that are thebuckling load and the corresponding buckling mode. Using the finite element method, the continuousproblem is approximated by a discrete one. Then, an algorithm, for computing the buckling criticalload and the corresponding buckling mode of the discrete problem, is suggested. The latest part ofthe paper is devoted to some numerical results obtained in the case of a unit length beam.RÉSUMÉ. On s’intéresse, dans ce papier, au flambement unilatéral d’une plaque mince en présenced’un obstacle. Après approximation par éléments finis, un algorithme, pour calculer la charge critiquede flambement ainsi que le mode correspondant, est proposé. La fin du papier est consacrée pourdes résultats numériques obtenus pour une poutre de longueur unitée.KEYWORDS : Unilateral buckling, buckling critical load, buckling mode, finite element method, algorithm,eigenvalue problem.MOTS-CLÉS : Flambement unilatéral, charge critique de flambement, mode de flambement, méthoded’éléments finis, algorithme, problème aux valeurs propres.549 TAMTAM –Tunis– 2005

550 Ayadi1. IntroductionConsider a thin plate of thickness 2ɛ occupying a two-dimensional open set ω. Assumethat it is simply supported on the whole of its edge γ and climbed on a part γ 0 whoseLebesgue measure is not zero. Furthermore, the plate is subjected to a one-parameterplane load λ.h on another part γ 1 of its edge.It is well known, if there are any obstacles in the neighborhood of the plate, that thereexists an increasing sequence (λ n ) escaping to the infinity and such that each load λ n .hinvolves an instability of the plate manifested by a great vertical displacement [1, 6, 8, 12].Such a displacement is called buckling mode of the plate corresponding to the bucklingload λ n .h.In this paper, we suppose that the plate is in presence of a rigid fixed plane obstaclethat lies just above it. The paper is organized as follows. The first section is devoted tothe description of the studied unilateral buckling model. It should be mentioned here thatthe problem has been explored since the late seventies. But it was investigated withina general framework and was given a difficult proof [11]. Then, in the second section,the use of a conformal finite element method leads to a discrete nonlinear eigenvalueproblem that is mathematically well posed [9]. The third and principal section is devotedto both construction and convergence justification of the suggested algorithm. In orderto test our algorithm and validate the finite element method proposed, a unit length beamis considered in the forth section. Some numerical results, in both cases: without anyobstacle and in presence of an obstacle, are suggested. First we give the buckling criticalmode, then we give some curves that show the dependence of the approximated criticalload upon the mesh size.2. Mathematical Modelling of Unilateral BucklingWhen taking into account the unilateral contact condition and considering nonlinearelasticity as constitutive law, we obtain a very difficult mathematical problem [4, 6, 10].Nevertheless, we know an obvious solution to the latter. It is the linear elasticity solutionfor which the vertical displacement is null and the plane displacements are solution to thefollowing variational equation:2∑α,β,ν,µ=1∫ωE αβνµ∂u p ν∂x µ∂v α∂x βdω =2∑∫α=1γ 1H α v α dγ for all v ∈ V, (1)where E αβνµ is the membrane stiffness tensor (depending on Young’s modulus and thePoisson’s coefficient), H α = ∫ ɛ−ɛ h αdx 3 and V = {v ∈ H 1 (ω) 2 : v = 0 on γ 0 }.TAMTAM –Tunis– 2005

critical state of unilateral buckling 551It is shown in [4,10], under some classical assumptions, that problem (1) admits aunique solution u p ∈ V . Moreover, the tensor of membrane efforts is expressed by:2∑n p αβ =∂u p νE αβνµ = λ.n h∂xαβ, α, β ∈ {1, 2}.µν,µ=1Looking for a nontrivial solution to the nonlinear problem described above, we need thelinearizing technique: set u = u p + w 3 and show that the deflection w 3 of the plate is asolution to the following variational inequality:2∑α,β,ν,µ=1∫ω∂ 2 w 3 ∂ 2 (v − w 3 )D αβνµ dω ≥ λ∂x ν ∂x µ ∂x α ∂x β2∑α,β=1∫ωn h ∂w 3 ∂(v − w 3 )αβdω, (2)∂x α ∂x βfor all deflection v ∈ K ⊂ W , where D αβνµ denotes the bending rigidity tensor of theplate, W is the space of admissible deflexions and K is the subset of those which respectthe unilateral condition. The other components w 1 and w 2 , of w, are related to w 3 byKirchhoff-Love formulae [6].Finally, it is shown in [11] that there exists an adequate framework (K, W ) whereproblem (2) admits at least one solution.3. Numerical Algorithm of ResolutionBy using a conformal finite element method, a continuous differentiable finite elementscheme, we obtain the minimizing discrete problem:λ h =min R(A h , B h )(v), (3)v∈(R− i ⊗Rj )−{0}Where A h and B h are respectively the rigidity matrix and the geometrical rigidity one,R(A h , B h )(v) = (A hv,v)(B h v,v) is the Rayleigh quotient associated with the matrices A h andB h and i is the number of nodes in the contact region ω c .It is well known (see for instance [9]) that problem (3) has at least one solution u h ∈R− i ⊗ R j such that ‖u h ‖ 2 = 1.3.1. The linear problem associated with the nonlinear oneIn order to give a very interesting characterization of the pair (λ h , u h ), solution toproblem (3), we will need the following definitions and notations:I(u h ) = {k ∈ {1, 2, ..., i} : u hk = 0}, p(u h ) = card(I(u h )),A h (u h ) denotes the sub-matrix of A h obtained by eliminating rows A hk and columnsA k h , k ∈ I(u h); u ∗ h denotes the sub-vector of u h obtained by eliminating the null components.Thus, we haveu ∗ h ∈ (R ∗ −) i−p(u h) ⊗ R j .TAMTAM –Tunis– 2005

552 AyadiFor all 0 ≤ p ≤ i, P p ([1, i]) denotes the set of all subsets, containing p elements chosenin the set {1, 2, ..., i}. It is convenient to recall that P p ([1, i]) is finite and its cardinal isequal to C p i . Setting N = i + j, we have the linear problem:Theorem 3.1 The pair (λ h , u ∗ h) is solution to the unidentified linear eigenvalue problem:λ h =min R(A h (u h ), B h (u h ))(v). (4)v∈R N−p(u h ) −{0}Remark 3.2 In order to solve problem (3), according to Theorem 3.1, we can solve afinite number of identified linear problems of type (4). This number is at most equal to2 i . This means, at least, that the convergence of the algorithm is guaranteed. Then, thereis a direct relation between the number of mesh nodes in the contact region ω c and thatof linear eigenvalue problems to be solved. Indeed, the smaller the former is, the smallerthe later will be. Moreover, the computing of these problems may be done in parallel ifwe dispose of parallel machines.3.2. The Practical Algorithmλ = ∞, q = 0For p = 0 to iFor m = 1 to C p iλ(p, m) = R(A h (p, m), B h (p, m))(w ∗ )If w ∈ K h then λ = min(λ, λ(p, m))If (λ = λ(p, m)) then q = wElse q = qElse λ = λ and q = qEndEnd4. Numerical ResultsIn order to test our algorithm and validate our numerical unilateral buckling model,we consider a unit length beam simply supported of its boundary and fixed of its middle.The obstacle is located just above the central part of the beam (see figure 1 below).TAMTAM –Tunis– 2005

critical state of unilateral buckling 553Figure 1. A unit length beam is in presence of an obstacle.Furthermore, for the sake of simplicity, the beam is supposed to have a Young’s modulusE and a thickness 2ε such that 2 3 Eε3 = 1.Let n ∈ N ∗ , h = 1 n and x i = i.h, for 0 ≤ i ≤ n, be a regular subdivision of the interval[0, 1]. A continuous differentiable finite element (Hermite’s finite element) is used, so thatthe space W is approximated by the 2n − 1 finite dimensional subspaceW h = {v h ∈ C 1 [0, 1] : v h[xi,x i+1] ∈ R 3 [X] and v h (0) = v h ( 1 2 ) = v h(1) = 0}.We likewise approximate the convex setK = {v ∈ W : v(x) ≤ 0, a ≤ x ≤ b} by K h = {v h ∈ W h : v h (x i ) ≤ 0, k ≤ i ≤ l}and obtain the following results:Figure 2. The buckling mode of the beam in the absence and in the presence of theobstacle respectively.TAMTAM –Tunis– 2005

554 AyadiFigure 3. The curves above show that the finite element method converges in the twocases: without obstacle and in presence of an obstacle. However, the convergence isfaster in the first case than in the second one.Figure 4. The curves above show that the error between the exact and the approximatedbuckling critical load is quadratic if there is not an obstacle and linear if there is an obstacle.5. Conclusion and PerspectivesImplemented for a beam, with a finite element of class C 1 , the numerical algorithmwe are proposing has allowed obtaining the first numerical results, the buckling criticalload and the corresponding buckling mode. We would like to implement it for the plates,but employing a finite element of class C 0 in order to minimize the number of degreesof freedom. Also, we will deal with a unilateral dynamics structures problem. We hopewe could apply the algorithm developed in this paper to compute, at least, the smallestfrequency and the corresponding vibration mode, as well as the dynamical response.TAMTAM –Tunis– 2005

critical state of unilateral buckling 5556. References[1] M. AYADI, TH. NEVERS, “Un modèle Eulerien de calcul de la charge critique de flambementd’une plaque mince multicouches délaminées. Les Annales de l’Enit”, VOL. 4, N ◦ 1, 1990,[2] M. AYADI, “Sur un algorithme pour rendre compte du contact unilatéral dans une plaquedélaminée, Les Annales Maghrébines de l’Ingénieur”, VOL. 7, N ◦ 2, 1993,[3] H. BEN DHIA, “Modélisation et résolution par une méthode de pénalité dualité des problèmesde contacts unilatéraux, Rapport de recherche”, n ◦ 2, Avril, 1988,[4] P.G. CIARLET, “Elasticité tridimensionnelle, Collection Recherches en Mathématiques Appliquées”, Masson, Paris, 1986,[5] P.G. CIARLET, “The Finite Element Method for Elliptic Problems, Series " Studies in Mathematicsand its Applications " ”, North-Holland, Amsterdam, 1978,[6] P.G. CIARLET, PH. DESTUYNDER, “Une justification du modèle biharmonique en théorielinéaire des plaques, C. R. Acad. Sci. Paris ”, Sér. A 285, 851-854, 1977,[7] P.G. CIARLET, “Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, CollectionMathématiques Appliquées pour la maîtrise ”, Masson, Paris, 1982,[8] PH. DESTUYNDER, “Modélisation des coques minces élastiques, Collection Physique Fondamentaleet Appliquée ”, Masson, Paris, 1990,[9] J. DIXMIER, “Topologie générale ”, Presses Universitaires de France, Paris, 1981,[10] G. DUVAUT, J.L. LIONS, “Les inéquations en Physique et en Mécanique ”, Dunod, Paris,1972,[11] R.C. RIDDELL, “Eigenvalue Problems for Nonlinear Elliptic Variational Inequalities on aCone, Journal of Functional Analysis ”, 26, 333-355, 1977,[12] S.P. TIMOSHENKO, “Théorie de la stabilité élastique”, Dunod, Paris, 1966.TAMTAM –Tunis– 2005

Analyse mathématique et numérique des tigesélastiques avec autocontactM. Chamekh * , S. Mani-Aouadi ** , M. Moakher ** Laboratoire LAMSIN, Ecole nationale d’Ingénieurs de TunisB.P. 37, 1002 Tunis-Belvédère, Tunisie.** Laboratoire des Equations aux Dérivées Partielles, Faculté des Sciences de TunisCampus Universitaire, 1060 Tunis.RÉSUMÉ. On propose un modèle unidimensionnel d’autocontact pour une tige élastique et fermée,particularisé par l’introduction d’une distance de contact tenant compte de l’absence d’autopénétrationde la matière. On décrit à l’aide de la théorie de Cosserat la configuration de la tige. Une méthodemultiplicative de mise à jour de la rotation qui représente le repère orthonormé de chaque sectiontransversale et une formulation en élément fini permettent la mise en oeuvre numérique du problème.ABSTRACT. We describe a one-dimensional model for the self-contact in closed elastic rods. Theparticularity of this model is the introduction of a simplified contact distance taking into account thenon self-penetration of the material. With a model of Cosserat rod, we studied the behavior of therod. A multiplicative updating method of rotation and a finite element formulation lead to numericalimplementation.MOTS-CLÉS : tige élastique, autocontact, distance de contact, rotation finie.KEYWORDS : elastic rod, self-contact, contact distance, finite rotation.TAMTAM –Tunis– 2005 556

Tiges élastiques avec autocontact 5571. IntroductionLa théorie des tiges élastiques a connu ces dernières années un grand développement àcause de ses applications industrielles et biomécaniques diverses. Parmi ces applications,on cite les poutres dans le domaine de construction, les câbles dans le domaine marin,les pipelines dans le domaine pétrolier et les fragments de la molécule d’ADN dans ledomaine du vivant. Dans les trois dernières décennies, plusieurs modèles de tiges élastiquesont été appliqués à l’étude des déformations et de “supercoiling” des fragments dela molécule d’ADN. Les modèles de tiges élastiques dans le contexte d’ADN ont connuune sophistication croissante et ont produit avec succès des informations détaillées sur lesdéformations de la molécule de vie. Néanmoins, il reste encore beaucoup de problèmesà étudier pour bien comprendre le “supercoiling” des fragments d’ADN et le champ desproblèmes ouverts dans ce domaine est encore très vaste. Motivé par les applications dansla modélisation des déformations de la molécule d’ADN, on propose de faire l’analysemathématique et numérique des configurations d’une tige élastique soumise à des effortsterminaux et qui présente des points ou régions d’autocontact non connus a priori. Lesthéories classiques dominantes de tiges élastiques sont des théories locales et ne tiennentpas compte du comportement global des configurations d’équilibre. En particulier, leséquations issues de ces théories ne peuvent pas éviter ou prévoir l’autopénétration de lamatière pour la tige. Pour une tige fermée, par exemple, ceci peut entraîner un changementde topologie (non physique) et donner lieu à une configuration nouée à partir d’uneconfiguration non nouée. L’objectif est d’étudier les aspects mathématiques, numériqueset de modélisation pour une tige fermée élastique en grandes déformations soumise à desefforts extérieurs (Voir figure 1). On formulera le problème d’autocontact pour la tige enrespectant la non-autopénétration de la matière et on fera la mise en œuvre numériqueen utilisant une méthode multiplicative de mise à jour des rotations telle que décrite parSimo & Vu-Quoc [9] et Ibrahimovigović [6]. Cette méthode a ramèné le problème de latige avec la contrainte d’orthonormalité des vecteurs directeurs à un problème posé surla variété différentielle SO(3). On essaiera en particulier de définir la notion de distancede contact à partir de la courbure globale pour une courbe fermée, concept introduit parGonzalez & Maddocks [5] dans le contexte des noeuds idéaux.Figure 1. Autocontact d’une tige fermée sans autopénétration.TAMTAM –Tunis– 2005

558 Chamekh et al.2. Modèle de tige élastique2.1. PréliminairesSoit {O; e 1 , e 2 , e 3 } un repère orthonormé de l’espace enclidien E 3 . Pour deux vecteursa, b ∈ E 3 , on note par a · b leur produit scalaire, et par a × b leur produit vectoriel.Pour tout vecteur a, on note par a × le tenseur antisymétrique définie par (a × )b = a × bpour tout vecteur b ∈ E 3 . La quanité a ⊗ b désigne le produit tensoriel. Les indices latinsutilisés dans ce papier varient de 1 à 3.2.2. Déscription géométrique et cinématiqueLe modèle de tige utilisé repose sur la théorie des vecteurs directeurs introduite parles frères Cosserat [4], rentre dans le cadre abstrait proposé par Antman [1], et utilisé parSimo [8]. La configuration déformée de la tige est caractérisée par une fonction vectoriellerégulière r(s), indiquant la position du centroïde de la section transversale de la tige àchaque s ∈ [0, L], et par deux fonctions vectorielles d 1 (s) et d 2 (s) representant deuxvecteurs orthonormaux gravés sur la section transversale à s. Pour la convenance, on posed 3 (s) = d 1 (s) × d 2 (s). Soit le tenseur R = d i ⊗ e i qui assosie à la base (e i ) la base(d i ). A cause d’orthonormalité des deux bases, on a R ∈ SO(3). Par suite l’espace desconfigurations admissibles est donné par : C = {(r, R) : [0, L] → R 3 ×SO(3)}. Donc laconfiguration déformée est caractérisée par un vecteur position r et un tenseur de rotationR.Suivant Antman [1], nous introduisons les mesures de déformation suivantes :v = R T r ′ , u × = R T R ′ , (1)Le vecteur v exprimé dans le repère local lié à la section transversale (d k ) permet demesurer la déformation axiale allongement/extension par sa composante suivant d 3 , etles déformations de cisaillement par ses composantes suivant les vecteurs d 1 et d 2 . Lescomposantes du vecteur u = Ru suivant les vecteurs d 1 et d 2 permettent de mesurer laflexion respectivement dans les plans (d 2 , d 3 ) et (d 1 , d 3 ). Quant à la composante suivantd 3 elle décrit la torsion physique (twist).2.3. Equations d’équilibre et loi de comportementLes équations déquilibre local pour une tige sont exprimées parn ′ + f = 0, m ′ + r ′ × n + c = 0, (2)où n et m sont respectivement la résultante des forces et des couples intérieurs et f et cdésigne les densités linéiques de la résultante des forces et des couples extérieurs.TAMTAM –Tunis– 2005

Tiges élastiques avec autocontact 559Pour fermer le système, nous supposons que la tige est constituée d’un matériauxhyperélastique, c’est-à-dire, il existe une densité d’énergie élastique W(s, u, v) telle que∂W(s, u, v)n = R∂vet m = R∂W(s, u, v). (3)∂u3. Formulation variationnelleSoient δr et δω avec δω × = δRR T des variations admissibles. Elles seront interprétéescomme des vecteurs incrémentals de déplacement et de rotation. Pour ces variationsadmissibles, l’increment d’energie élastique estδW int =∫ Let le travail des forces exterieures est0δW ext ={n · (δr ′ + δr ×′ δω) + m · δω ′} ds, (4)∫ L0(f · δr + c · δθ) ds. (5)La formulation variationnelle, qui exprime le principe des travaux virtuels, s’écritδW int − δW ext =∫ L0{}n · (δr ′ + δr ×′ δω) + m · δω ′ − f · δr − c · δθ ds = 0.4. Formulation du problème de l’autocontactNous considèrons une tige élastique dont les sections transversales sont des disques dediamètre uniforme 2ε. La mesure classique du contact est définie par rapport aux surfaceslatérales. On caractérise le contact par la distance utilisée par Touzani et Béal [2] non paspar rapport aux points du bord mais par rapport aux points de l’axe central r de la tige :d(s, r) = 2ε − minσ∈I(s) | r(s) − r(σ)| = 2ε − |r(s) − r(σP )|, (6)où σ P = arg min |r(s) − r(σ)| et I(s) est une partie de [0, L] qui est sélectionnée enσ∈I(s)fonction du rayon de courbure globale R[r] comme a été définie dans [5], associée à uneportion r([0, L]) \ Γ s de la courbe dans laquelle le contact peut avoir lieu (voir figure 4).Cette caractérisation permet en outre de conserver l’aspet unidimentionnel du modèle etde rester dans le cadre général des milieux continus curvilignes.TAMTAM –Tunis– 2005

560 Chamekh et al.Γ sr(s)r(σ)Figure 2. La portion Γ s de la courbe Γ à éviter dans le calcul de la distance du contact.L’interpénétration de la matière étant physiquement impossible, on impose alors lacontrainte d(s, r) ≤ 0, ∀s ∈ [0, L], pour l’éviter. L’espace de configurations admissiblespour l’autocontact s’écrit alors :C a = {(r, R) ∈ H 1 ((0, L), E 4 ) et R ∈ SO(3), r(0) = r(l); d(s, r) ≤ 0},et le problème de recherche des configurations d’équilibre qui vérifient les équations (2)avec la loi de comportement (3) sera ainsi un problème d’optimisation à contrainte fortementnon linéaire.Pour la densité d’énergie particulière d’intérêt pratique de la forme :J(r, r, R, R ′ ) =∫ L0( GI2 (|d′ 1| 2 + |d ′ 2|) +)(E − G)I|r ′′ | 2 ds −2∫ L0(f · r)ds,où G, E et I sont des constantes physiques dépendant de la matière de la tige et onsuppose l’absence de cisaillement et d’allongement. On démontre le résultat suivant :Théorème : Si la force f est dans L 2 ((0, L), E) alors le problème (1) et (2) avec la loi decomportement (3) admet au moins une solution.Démonstration : On procède de façon analogue à ce qui a été fait dans la démonstrationde Bourgat, Le Tallec & Mani [3], ainsi de Béal & Touzani [2], par l’application duthéorème de Weiestrass. Il reste à montrer que l’ensemble C a est séquentiellement faiblementfermé dans H 1 ((0, L), E 4 ). Considérons pour cela une suite (r n , d n 1 , d n 2 ) ∈ C a quiconverge faiblement vers (r, d 1 , d 2 ) dans H 1 ((0, L), E 4 ) et vérifie tous les contraintesd’orthonormalité. Enfin, en raisonnant par l’absurde, nous montrons qu’elle respecte lacontrainte d’impénétration. Supposons que min |r(s) − r(σ)| = λ < 2ɛ. Pour β =σ∈I(s)2ɛ − λ, ∃ n 0 tel que ∀ n ≥ n 0 on a |r n (s) − r(s)| ≤ β 4, ∀s ∈ [0, L]. Or|r(s) − r(σ)| = |r(s) − r(σ) + r n (s) − r n (s) + r n (σ) − r n (σ)|> |r n (s) − r n (σ)| − |r n (s) − r(s)| − |r(σ) − r n (σ)|.On en déduit que |r(s)−r(σ)| > 2ɛ− β 2de départ.> λ. Ce qui est en contradiction avec l’hypothèseTAMTAM –Tunis– 2005

Tiges élastiques avec autocontact 561Procédure de résolution du problème d’autocontact : La stratégie de la résolutiondu problème d’autocontact est la suivante :– Sélection de la zone d’autocontact : Tout d’abord les points (ou zones) d’autocontactdoivent être indentifiés par une approche géomètrique qui cherche pour tout point r(s)de la courbe de l’axe de la tige le point de projection orthogonale r(s P ) avec s P ∈ I(s).D’une autre façon, on résout pour s P le problème r ′ (s P ) · (r(s P ) − r(s)) = 0.– Condition d’impénétrabilité : La contrainte d’impénétrabilité est activée par uneméthode de pénalisation extérieureJ c (r, r ′ , R, R ′ ) = J(r, r ′ , R, R ′ ) + λ∫ L0{max(0, d(s, r)} 2 ds. (7)5. Bibliographie[1] ANTMAN, S., « Nonlinear problems of elasticity », Springer Verlag, Applied MathematicalSciences, New York, 1995.[2] BÉAL P., TOUZANI R., « Modélisation du contact entre tiges élastiques en grands déplacement», Thèse de l’Université Blaise Pascal, 1998.[3] BOURGAT, J.F., LE TALLEC, P., MANI, S., « Modélisation et calcul des grands déplacementsde tuyaux élastiques en flexion-torsion », Journal de Mécanique Théorique et Appliquée, 7(1988), pp. 1–30.[4] COSSERAT, E., COSSERAT, F., « Théorie des Corps Déformables », Hermann, Paris, 1909.[5] GONZALEZ, O., MADDOCKS, J.H., « Global curvature, thickness, and the ideal shape ofknots », Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 96 (1999), pp. 4769–4773.[6] IBRAHIMBEGOVIĆ A., « On finite element implementation of geometrically nonlinear Reissner’sbeam theory : A three-dimensional curved beam elements », Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering, 122 (1995), pp. 11–26.[7] M. MOAKHER, J. H. MADDOCKS, « A double-strand elastic rod theory », Archive for RationalMechanics and Analysis, en presse.[8] SIMO J. C., « A three-dimensional finite-strain rod model part I : computational aspects »,International Journal for Numerical Methods in Engineering, 49 (1985), pp. 55–70.[9] SIMO J. C., VU-QUOC L., « A three-dimensional finite-strain rod model part II : computationalaspects », International Journal for Numerical Methods in Engineering, 58 (1986),pp. 79–116.TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation de l’effet dynamique d’unraidisseur sur le bord d’une plaque minceL. Rahmani ** Département de mathématiques, faculté des sciences,Université de Tizi-ouzou,ALGERIErahmani_lei@yahoo.frRÉSUMÉ. On considère le modèle dynamique de vonKarman pour une plaque mince avec un raidisseursur le bord. On modélise par des techniques asymptotiques, l’effet de ce dernier, lorsque sonépaisseur tend vers zéro, sur les vibrations de la plaque. Ainsi, on montre que la solution de ce problèmeconverge vers une solution d’un problème posé sur la surface moyenne de la plaque avec desconditions aux limites de Ventcel sur l’interface de la jonction.ABSTRACT. In this paper, we consider the full system of dynamic von Karman equations for unheteregenuous plate that comprises two parts : a thin rigid body inserted into an elastic plate. Weshow that Ventcel’s boundary conditions may be obtained , as the thickness of the rigid body goes tozero.MOTS-CLÉS : plaque mince, Von Karman, raidisseur, conditions de ventcel, analyse asymptotique.KEYWORDS : Ventcel’s conditions, von Karman system, thin plate, stiffener, asymptotic analysis.TAMTAM –Tunis– 2005 562

L’effet d’un raidisseur sur une plaque 5631. IntroductionOn considère une plaque mince de surface moyenne Ω + , Ω + étant un ouvert de R 2régulier, de frontière ∂Ω + = Σ ∪ Γ + . On suppose que sur la partie latèrale est fixée unecoque mince cylindrique d’épaisseur δ . La coque mince est alors Ω δ − avec Ω δ − un ouvertde R 2 . On pose ∂Ω δ − = Σ ∪ Σ δ − ∪ Γ δ − et Ω δ = Ω + ∪ ¯Σ ∪ Ω δ −. On note u = (u 1 , u 2 ) ledéplacement plan et w le déplacement transversal (flexion).On considère le modèle de transmission suivant pour cette structure :ρu ′′ − div{C[ε(u) + f(∇w)]} = 0 dans Ω δ × (0, T ) (1)ρ[I − ∆]w ′′ + D∆ 2 w − div{C[ε(u) + f(∇w)]∇w} = 0 dans Ω δ × (0, T ) (2)avec les conditions de Dirichlet sur Γ + ∪ Γ δ − × (0, T )et les conditions du bord libre sur Σ δ − × (0, T )u = 0, w = ∂w∂ν = 0 (3)C[ε(u) + f(∇w)]ν = 0D [∆w + (1 − µ)B 1 w] = 0[ ] ∂∆wD∂ν+ (1 − µ)∂B 2w− ρ ∂w′′− C[ε(u) + f(∇w)]ν.∇w = 0. (4)∂s ∂νOn définit aussi les conditions de transmission sur Σ ×(0, T ) par[[ ]] ∂w[[u]] = 0, [[w]] = = 0∂ν[[D( ∂∆w∂ν[[C[ε(u) + f(∇w)]ν]] = 0[[D[∆w + (1 − µ)B 1 w] ]] = 0) ]]+ (1 − µ)∂B 2w− ρ ∂w′′∂s ∂ν − C[ε(u) + f(∇w)]ν.∇w = 0, (5)où [[]] désigne le saut à travers Σ.On associe avec (1) et (2) les conditions initialesu(0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 , w(0) = w 0 , w ′ (0) = w 1 dans Ω δ , (6)ɛ désigne le tenseur de déformations linéarisé et C est une application linéaire de l’ensembleS des tenseurs symétriques d’ordre 4 dans lui même définie par :C(ɛ) = D [µ(trɛ)I S + (1 − µ)ɛ] ∀ ɛ ∈ S,TAMTAM –Tunis– 2005

564 RahmaniI 2 étant l’identité dans S. La fonction f est définie par f(s) = (1/2)s ⊗ s, s ∈ R 2 .D =E(1−µ 2 ); E désigne le module de young , µ est le coefficient de Poisson et ρ ladensité du{matériau. On suppose que :{ {E+ dans Ω +µ+ dans ΩE = E −ɛdans Ω ɛ ; µ =+ ρ+ dans Ω−µ − dans Ω ɛ ρ =+ρ −−δdans Ω δ −.Les opérateurs de traces B 1 et B 2 sont définis par :∂ 2 wB 1 ≡ 2ν 1 ν 2∂x∂y − ∂ 2 wν2 1∂y 2 − ∂ 2 wν2 2∂x 2 )B 2 ≡ (ν 2 1 − ν 2 2) ∂2 w∂x∂y + ν 1ν 2 ( ∂2 w∂y 2 − ∂2 w∂x 2 ),où s est l’abscisse curviligne et ν(s) la normale extérieure à Σ en s .Le modèle considéré est le modèle dynamique de Von Karman. C’est un modèle bidimensionnelnon linéaire. Il admet une unique solution faible (cf.[2]).2. Changement d’échelleSoit ν la normale extérieure à Σ et τ le vecteur unitaire tangent à Σ de sorte que labase (τ, ν) soit directe. On désigne par s l’abscisse curviligne et R(s) la courbure de Σen s . On utilise le système de coordonnées locales dans Ω δ − et on définit le changementd’échelle :{Ω− −→ Ω δ −(7)(s, z) −→ s + δzν(s).Tout champ de vecteurs ϕ = (ϕ 1, ϕ 2 ) défini sur Ω δ −, s’écrit alors de la manière suivante:ϕ − (s, z) = ϕ τ (s, δz)τ + δϕ ν (s, δz)ν.On désigne par u δ − , w δ − , ϕ − et ψ − les images associées, respectivement à u , w , ϕ etψ par le changement d’échelle précédent. Soit u δ := (u δ +, u δ −) et w δ := (w δ +, w δ −) ; oùu δ + = u |Ω+ ; w δ + = w |Ω+ . On pose :ɛ δ T (ϕ − ) = (1 − Rδz) −1 ∂ϕ −T− δ −1 R(1 − Rδz) −1 ϕ −ν , ɛ δ∂sN(ϕ − ) = ∂ϕ −ν∂z ,ɛ δ S(ϕ − ) = δ (R(1 − Rδz) −1 ϕ δ2−T + δ −1 (1 − Rδz) −1 ∂ϕ −ν+ δ −1 ∂ϕ )−T,∂s ∂zγ δ T (ψ − ) = (1 − Rδz) −1 ∂ ∂sγ δ S(ψ − ) = − ∂ ∂z((1 − Rδz) −1 ∂ψ −∂s((1 − Rδz) −1 ∂ψ )−; γ δ∂sN(ψ − ) = ∂2 ψ −∂z 2 .)− R(1 − Rδz) −1 ∂ψ −∂z ,TAMTAM –Tunis– 2005

L’effet d’un raidisseur sur une plaque 5653. Estimations à priori et passage à la limiteOn considère les espaces fonctionnels⎧⎨W δ (Ω) =⎩ψ +|Γ+(ψ + , ψ − ) ∈ H 2 (Ω + ) × H 2 (Ω − ),ψ +|Σ = ψ −|Σ , ∂ψ+∂z| Σ = δ −1 ∂ψ −∂z| Σ= ∂ψ+∂ν | Γ += 0 ; ψ −|Γ− = ∂ψ−∂ν | Γ −= 0{V δ (ψ+ , ψ(Ω) =− ) ∈ H 1 (Ω + ) × H 1 (Ω − ) ; ψ −|Σ = ψ +|Σ ,ψ +|Γ+ = 0 ; ψ −|Γ− = 0{U δ (ϕ+ , ϕ(Ω) =− ) ∈ H 1 (Ω + ) × H 1 (Ω − ) ; ϕ −T |Σ = ϕ +T |Σ,ϕ −ν|Σ = δϕ +ν|Σ, ϕ +|Γ+ = 0 ; ϕ −|Γ− = 0⎫⎬⎭ ,Proposition 1. On suppose que les données initiales sont bornées par rapport à δ. Ona alors les estimations suivantes :• w δ est borné par rapport à δ dans L ∞ (0, T ; W δ (Ω)),• (w δ ) ′ est borné par rappot à δ dans L ∞ (0, T ; V δ (Ω)),• u δ est borné par rapport à δ dans L ∞ (0, T ; U δ (Ω)),• (u δ ) ′ est borné par rapport à δ dans L ∞ (0, T ; (L 2 (Ω)) 2 ),(• 1 δ(1δ 2∂w δ∂z) ′, γδT (w−), δ 1δ γδ S (wδ 1−) ,δγ δ 2 N (wδ −), ɛ δ T (uδ 1−) +(2ɛ δ S (uδ −) − (1 − Rδz) −1 ∂wδ −∂s)sont bornés par rap-)ɛ δ N (uδ −) + 1 2 ( ∂wδ −∂z )2 et 1 δport à δ dans L ∞ ( 0, T ; (L 2 (Ω − )).On considère les espaces :• (w 0δ},}2(1−Rδz)( ∂wδ −2 ∂s )2 ,∂w δ −∂z{ w ∈ HW (Ω + ) =2 (Ω + ) ; w |Γ+ = ∂w∂ν | Γ += 0 ,w |Σ ∈ H0 2 ∂w(Σ),∂ν ∈ H1 0 (Σ)},V (Ω + ) = { w ∈ H 1 (Ω + ) ; w |Γ+ = 0 , w |Σ ∈ H0 1 (Σ) } ,{U(Ω + ) = u ∈ ( H 1 (Ω + ) ) }2; u|Γ+ = 0 , u τ ∈ H0 1 (Σ) .Proposition 2 On suppose que1∫+ ,0• (w 1δL 2 (Σ),• (u 0δw 0δ− dz) ⇀ ( w ∗ +, w ∗ + | Σ)dans H 2 (Ω + ) × H 2 (Σ),1∫+ ,01∫+ ,0w 1δ− dz, 1 δu 0δ−T dz, 1∫01∫0∂w 1δ−∂z dz ) ⇀ ( w ∗∗+ , w ∗∗+ | Σ , w ∗∗∗) dans H 1 (Ω + ) × H 1 (Σ)×u 0δ−N dz) ⇀ ( u ∗ +, u ∗ +T | Σ, 0 ) in [ H 1 (Ω + ) ] 2×[H 1 (Σ) ] 2,.TAMTAM –Tunis– 2005

566 Rahmani• ( u 1δ1∫+ ,0u 1δ−T dz, 1∫01δ u1δ −N dz ) ⇀ ( u ∗∗+ , u ∗∗∗) in [ L 2 (Ω + ) ] 2×[L 2 (Σ) ] 2,alors u δ + (respectivement w+) δ converge faiblement * dans L ( ∞ 0, T ; U δ (Ω) ) (respectivementdans ( L ∞ 0, T ; W δ (Ω + ) ) ) vers ũ + (respectivement ˜w + ) solution faibled’un problème de Cauchy-Ventcel dont la formulation forte est la suivante :Equations du mouvement dans Ω + × (0, T )ρ + ũ ′′ + − div{C[ɛ(ũ + ) + f(∇ ˜w + )]} = 0,ρ + [I − ∆ ˜w ′′ +] + D∆ 2 ˜w + − div{C[ɛ(ũ + ) + f(∇ ˜w + )]∇ ˜w + } = 0 (8)avec les conditions de Dirichlet sur Γ + × (0, T )et les conditions de Ventcel sur Σ × (0, T )ũ + = 0, ˜w + = ∂ ˜w +∂ν = 0 (9)t τ (C[ɛ(ũ + ) + f(∇ ˜w + )]ν) ν = ρ − (ũ +T ) ′′ − E −∂∂s [N T (ũ + , ˜w + )] , (10)t ν (C[ɛ(ũ + ) + f(∇ ˜w + )]ν) ν = ρ − (ũ +ν ) ′′ + E −1R(s) [N T (ũ + , ˜w + )] , (11)∂ ˜w ′′ +D [∆ ˜w + + (1 − µ)B 1 ˜w + ] = −Q( ˜w + ) − ρ −∂ν , (12)[ ∂∆ ˜w+D + (1 − µ + ) ∂B ]2 ˜w + ∂ ˜w ′′− ρ +∂ν∂s ∂ν − C[ɛ(ũ +) + f(∇ ˜w + )]ν.∇ ˜w + =[]ρ − ˜w + − ∂2 ˜w ′′ [+∂∂s 2 + P ( ˜w + ) − E − N T (ũ + , ˜w + ) ∂ ˜w ]+(13)∂s∂soù N T (ũ + , ˜w + ) = ∂ũ +T∂s− R(s)ũ +ν + 1 2 ( ∂ ˜w+∂s )2 ; t ν ( resp. t τ ) est le vecteur transposé( resp. matrice) de ν (resp. τ). Les opérateurs P et Q sont définis par :[ ]∂2P ( ˜w) = E −∂s 2 γ 2 ∂T ( ˜w) +1 + µ − ∂s (R(s)γ S( ˜w)) ,[]2 ∂Q( ˜w) = E −1 + µ − ∂s γ S( ˜w) − R(s)γ T ( ˜w)avecγ T ( ˜w + ) = ∂2 ˜w +∂s 2 − R(s) ∂ ˜w +∂ν, γ S( ˜w + ) = − ∂ ∂ ˜w +∂s ∂ν − R(s)∂ ˜w +∂s .TAMTAM –Tunis– 2005

L’effet d’un raidisseur sur une plaque 567Les conditions initiales associées à (8) sont définies parũ + (0) = u ∗ + , (ũ + ) ′ (0) = u ∗∗+ , ˜w + (0) = w ∗ + , ( ˜w + ) ′ (0) = w ∗∗+ dans Ω + ,( ∂ ˜w +∂ν )′ (0) = w+ ∗∗∗ , (ũ + ) ′ (0) = u ∗∗∗+ sur Σ. (14)L’effet du raidisseur sur la plaque se traduit par les conditions de Ventcel. Ces conditionsaux limites ne sont pas classiques car elles font intervenir des dérivées d’ordre 4 surΣ.4. Bibliographie[1] P.G. Ciarlet, Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures : an Asymptotic Analysis. Masson,Springer Verlag, Paris, 19.[2] I. Lasiesca ; Uniform stabilisability of a full von Karman System with nonlinear boundaryfeedback ., SIAM J. on Control, 36, 1998.[3] H. Ledret, Problèmes variationnels dans les multi-domaines ; modélisations et applications.Masson, Paris, 1991.[4] K. Lemrabet, Etude de divers problèmes aux limites de ventcel d’origine physique ou mécaniquedans des domaines non réguliers. Thèse de Doctorat d’Etat, U.S.T.H.B, 1987.[5] K. Lemrabet et D.E. Teniou, Vibration d’une plaque mince avec raidisseur sur le bord. Maghreb.Math.Rev., vol 2, n ◦ 1, Juin 1992.[6] L.Rahmani, Ventcel´s boundary conditions for a dynamic nonlinear plate, Asymptotic Analysis,IOS press, 38 (2004), 319-337TAMTAM –Tunis– 2005

Résolution d’un systéme d’elasticité nonlinéaire en combinant la méthode desapproximations successives par les équationsintégralesM. S. SaidUniversité de Ouargla Faculté des SciencesE-Mail: smedsaid@yahoo.comRÉSUMÉ. On étudie dans cette communication un problème d’élasticité non linéaire gouvérné parle système de Lamé, pour ceci on utilisera la méthode des approximations succéssive par équationsintègrales, on montrera que cette methode est fiable et donne de bons résultats, on donnera desestimations et on étudiera enfin l’unicité de la solution.ABSTRACT.MOTS-CLÉS :KEYWORDS :TAMTAM –Tunis– 2005 568

Résolution d’un systéme d’elasticité non linéaire 5691. IntroductionLa méthode des approximations successives peut être appliquée à presque tous lesproblèmes non linéaires.Le point essentiel dans l’application de cette méthode réside dans le choix de l’espacefonctionnel normé dans lequel on fait les estimations.2. Le ProblèmeSoit α > 0 donné on considère l’équation suivante :∂u∂t −Au − u1+α = f, (1)avec x ∈ R n , t > 0 et A un opérateur différentiel linéaire d’ordre 2, dans notre étude onva utiliser l’opérateur de Lamé, c’est à dire :n∑ n∑Au = ∆u + λj=1 i=1∂ 2 u i∂x i ∂x jOn donne la fonction f dans l’espace L 2 (R n × ]0, T [), et on cherche une fonction u(x, t),vérifiant (1), où :n∑ ∂ 2 u∆u =∂x 2 et u = (u 1, ..., u n )ii=1La fonction u doit en en outre vérifier les conditions :u k (x, t) ≥ 0; k = 1, ..., n (2)u k (x, 0) = u 0,k(x), x ∈ R n ; u 0,k donnée (3)u continue dans ( x ∈ R n ; t ≥ 0) (4)2.1. ThéorèmeOn suppose que :TAMTAM –Tunis– 2005nα > 2 (5)alors, pour tout χ > 0 donné, il existe σ tel que si u 0 est une fonction continue vérifiant :0 ≤ u 0,k (x) ≤ σ exp (− 14χ |x|2 )+u k (6)

570 Saidoù u vérifie :n∑n∑j=1 i=1∂ 2 1i u∂x i ∂x j= 0alors il existe une solution globale du Problème (1), (2), (3), (4) ; vérifiant :0 ≤ u k (x, t) ≤ C 11exp (−(t + χ2 4χ |x|2 )+u (7)TAMTAM –Tunis– 20052.2. RemarqueSi on travaille dans un polygone plan Ω, on montre que dans le cas où le polygonen’est pas convexe, alors le problème (1) (2) (3) ,(4). n’admet pas de solution dans H 2 (Ω×]0, T [).[12]Dans le cas où la condition (5), n’est pas vérifiée alors il n’existe pas de solution duProblème (1) (2) (3) ,(4). [13].2.3. Existence de La solution2.3.1. Transformation en équation intégraleOn introduit la solution élémentaire du problème de la chaleur :On pose :U(x, y, t) = 1(4π) n/2 exp (− 1 4t |x − y|2 ) (8)∫Hu 0 (x, t) = U(x, y, t)u 0(y)dy + u 1R n (9)∫ tK(u) (x, t) =0∫[]dσ U(x, y, t − σ) u(y, σ) 1+α + u 1 (y, σ) dy (10)R nLe Problème à résoudre équivaut à trouver u solution de l’equation intégrale non linéairesuivante :u = Hu 0 +K(u). (11)Pour résoudre l’équation (11), on va utiliser la methode des approximations successives.On défini par réccurence une suite de fonctions u de la manière suivante : :u 1 = Hu 0 (12)u n+1 = Hu 0 +K(u n) (13)Pour les estimations on doit faire un choix convenable de la norme ce qui est le pointfondamental.

Résolution d’un systéme d’elasticité non linéaire 5712.3.2. Choix de La normeOn poseρ(x, t) = H( exp (− 1 4t |x|2 )) = U(x, 0, t + χ). (14)Cette fonction est positive et continue dans R n x [0, +∞[ .On introduit alors la norme :‖ϕ‖ =2.3.3. Propriétés de la norme ( 15)On a :⎧⎨⎩supR n x[0,+∞[|ϕ(x, t)|ρ(x, t)Il existe une constante C 1 telle que :‖K(v)‖ ≤ C 1 ‖v‖ 1+α pour toute v continue et positive‖v‖ finie(15): (16)On a d’après (15) :d’où d’après la définition de K :Comme on acette dernière formule donne :v(x, t) ≤ ‖v‖ 1+α ρ(x, t) 1+αK(v) ≤ ‖v‖ 1+α K(ρ 1+α ) (17)ρ(x, s) 1+α 1≤ c 2 ρ(x, s),(s + χ)nα/2K(ρ 1+α ) ≤ c 2∫ ∞car on a la condition (5) vérifiée, d’où (17) donne :0K(v) (x, t)ρ(x, t)d’où on a (16) avec c 1 = c 3 .Comme ‖ρ‖ = 1, il résulte de (16) que :Montrons maintenant cecids(s + χ) nα/2 ρ(x, t) = c 3ρ≤ c 3 ‖v‖ 1+α‖K(ρ)‖ ≤ c 1 (18)TAMTAM –Tunis– 2005Soit M > 0 donné :, quelles que soient u, v continues, positivesavec ‖u‖ ≤ M; ‖v‖ ≤ Mon a ‖K(u) − K(v)‖ ≤ c 1 (1 + α) M α ‖u − v‖⎫⎬⎭(19)

572 SaidEn effet :∣ u(y, s) 1+α − v(y, s) 1+α∣ ∣ ≤ (1 + α) max (u(y, s) α , v(y, s) α ) |u(y, s) − v(y, s)|d’où :|K(u) (x, t) − K(v) (x, t)| ≤∫ t0≤ (1 + α)M α ρ α (y, s) ‖u − v‖ ρ(y, s)∫dσ U(x, y, t − σ) |ũ(y, σ) − ṽ(y, σ)| dyR n≤ (1 + α)M α ‖ũ − ṽ‖ K(ρ)où ũ(y, σ) = u(y, σ) 1+α + u(y, σ). D’où d’après (19) et (18).2.3.3.1. 3 Convergence du procédé 13On a la double inégalité (6) équivaut à :0 ≤ u 0 ≤ δU(x, 0, χ); δ = σ(4πχ) n/2 (20)Il s’agit de montrer la convergence de (13) au sens de la norme qu’on a définie par (15)pour δ assez petit.La démonstration se fait en deux temps :1) Il résulte de (13) et (16) que :car (20) entraine que :Par conséquent :Il en résulte pour δ assez petit,‖u n+1 ‖ ≤ δ + c 1 ‖u n ‖ 1+α (21)Hu 0 ≤ δρ.‖u n ‖ ≤ γ n , où γ 1 = ‖u 1 ‖ et γ n+1 = δ + c 1 γ 1+αn‖u n ‖ ≤ M(δ) avec M(δ) → 0 quand δ → 0 (22)2) On en déduit de de la définition de (13) et de (19) et de (22) que :‖u n+1 − u n ‖ = ‖K(u n ) − K(u n−1 )‖ ≤ c 1 (1 + α)M(δ) α ‖u n − u n−1 .‖TAMTAM –Tunis– 2005 D’où le résultat si l’on choisi δ de façon quec 1 (1 + α)M(δ) α < 1 (23)

Résolution d’un systéme d’elasticité non linéaire 5733. Bibliographie[1] S.AGMON , Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand Mathematical sudies,N◦ 2 , Princeton, 1965.[2] MP.BOLLEY,-J.CAMMUS, Certains résultats de regularite d’un probleme variationnel elliptique,dans un cone, ou un ouvert plan ayant un point anguleux, C. R. Acad. Sci.,. Paris, Sér A,269, 1969 ; pp 37-39.[3] H.BRESIS, Analyse Fonctionnelle, Masson 1983.[4] M.DAUGE, Problème de Dirichlet pour le Laplacien, seminaire des EDP, Nantes, 1982-1983.[5] H.REINHARD, Equations aux derivees partielles, Dunod, Paris, 1991.[6] P.GRISVARD, Alternative de Fredholm relative au problème de Dirichlet dans un polygone ouun polyedre, Boll. Un. Mat. Italie (4).5 1972 pp132-164.[7] P.GRISVARD, Singularites des solutions du problème se Stockes dans un polygone, Seminaired’analyse Fonctionnelle, IREM, Nice, 1979.[8] JL. LIONS,-E MAGENES, Problèmes aux limites non homogenes et Applications,Tome 1, Dunod,Paris 1968.[9] JL. LIONS,- Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéairesr, Dunod,Gauthier-Villars Paris 1969.[10] M.MERIGOT, Etude du probleme de Laplace dans un polygone plan, Inegalites a priori, Boll.Un. Mat. Italie (4).10 1974.[11] MS. SAID, Resolution d’un systeme non linéaire de Navier Stockes par la methode de compacitéJournal of Mecanics ans Sciences Buccarest Avril 2003 (à Paraitre)s[12] MS. SAID, Resolution d’un systeme non linéaire intervenant dans la dynamique des gaz parla methode de compacité CNAMA JIJEL Algérie Novembre 2004[13] MS. SAID, Resolution d’un systeme non linéaire et perturbé par approximations successivesa l’aide d’equations integrales et application numerique C.S.M 4 Beyrouth 26-27-28 Mai 2004TAMTAM –Tunis– 2005

Régularisation d’un problème d’obstaclebilatéralB. Achchab ** , A. Addou * , J. Zahi **** Université Hassan I, Laboratoire de Modélisation et de Calcul Economique, Faculté des SciencesEconomiques Settat. BP 784, 26000 Settat Maroc.* Université Mohamed I, Hay el quods 60000 Oujdae-mail: achchab@yahoo.fr, addou@science.univ-oujda.ac.ma, zahi71@hotmail.com.RÉSUMÉ. Le but essentiel de ce travail est la résolution d’un problème d’obstacle bilatéral à l’aided’une méthode de régularisation .ABSTRACT. The main objective of this work is the resolution of an bilateral obstacle problem bymeans of the regularization method.MOTS-CLÉS : régularisation, inégalité variationnelle, obstacle.KEYWORDS : regularization, variational inequality, obstacle.TAMTAM –Tunis– 2005 574

Problème d’obstacle bilatéral 5751. IntroductionSoient Ω un domaine borné de R n de frontière Γ = ∂Ω assez régulière, g ∈ H 1/2 (Γ)et ψ 1 ,ψ 2 ∈ H 1 (Ω), tels queT r(ψ 1 ) ≤ g ≤ T r(ψ 2 )On considère le problème d’inéquation variationnelle - dit problème d’obstacle bilatéral- :Trouveru ∈ K = {v ∈ H 1 g (Ω) : ψ 1 ≤ v ≤ ψ 2 p.p. dans Ω} (1)telle que∫Ω∇u∇(v − u) + 〈f, v − u〉 ≥ 0 ∀v ∈ K (2)où f ∈ L 2 (Ω) et H 1 g (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) / v = g sur Ω}.Ce problème admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia[5]).On suppose que ∆ψ 1 , ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω), avec ces hypothéses, nous pouvons écrire unautre problème d’inéquation variationnelle sans contraintes, équivalent à (1) − (2).Ce problème équivalent fait intervenir un terme non différentiable. Notre idée de régularisationconsiste à remplacer ce terme par un autre qui est différentiable, on obtientainsi une famille de problèmes d’équations aux dérivées partielles dont la suite des solutionsconverge vers la solution du problème initial (voir aussi [1] et [4] pour une régularisationen problème unilétéral).Par la méthode de dualité utilisant les fonctions conjuguées (voir I. Ekeland, R. Temam[2]) on fournit une estimation a-posteriori de l’erreur qui est désirée pour l’implémentationpratique de la méthode de régularisation.2. Reformulation et régularisation2.1. Reformulation de (1)-(2)Soit Ω un domaine borné de R n , de frontière Γ = ∂Ω assez régulière.Soient f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H 1/2 (Γ), ψ 1 , ψ 2 ∈ H 1 (Ω), qu’on suppose vérifier :ψ 1 ≤ g ≤ ψ 2 p.p. sur Γ.∆ψ 1 , ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω)On notera :F = f − ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω). (3)TAMTAM –Tunis– 2005

576 Achchab et al.On définit : F + = max{F, 0} et F − = max{0, −F }.et ψ = ψ 1 − ψ 2 .Soit le convexe :K = {v ∈ H 1 g (Ω) : ψ 1 ≤ v ≤ ψ 2 p.p. sur Ω}.On considère le problème d’inéquation variationnelle suivant :(P ψ1,2 ){ Trouver u ∈ Ka(u, v − u) + 〈f, v − u〉 ≥ 0pour tout v ∈ Koù a(., .) est définie par∫a(u, v) = ∇u.∇vdx,Ω∀u, v ∈ H 1 (Ω).Le problème (P ψ1,2 ) admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia[5]).Dans toute la suite on utilisera la même notation g pour désigner un élément de H 1/2 (Γ)et un élément de H 1 (Ω) dont la trace sur Γ est g, de même par k = g−ψ 1 /Γ, on désigneraaussi un élément k de H 1 (Ω) dont la trace sur Γ est k.On va écrire le problème d’obstacle (P ψ1,2 ) sous une nouvelle forme.Théorème u est solution du problème (P ψ1,2 ) si et seulement si w = u − ψ 1 est solutiondu problème d’inéquation variationnelle suivant :{ Trouver w ∈ H1(P )k(Ω)a(w, v − w) + ϕ(v) − ϕ(w) + (H − , v − w) ≥ 0 pour tout v ∈ Hk 1(Ω) (4)Où ϕ est la fonctionnelle définie parϕ(v) = (F − , (v + ψ) − ) + (H + , v + )v ∈ H 1 k(Ω).et H = F + − ∆ψ2.2. Régularisation de (P )L’expression de la fonctionnelle ϕ nous fait penser à prendre ϕ ε sous la forme suivante:∫ϕ ε (v) = (F − ψ ε (v + ψ) + H + φ ε (v)dx), (ε > 0, destiné à tendre vers zero).ΩOù φ ε et ψ ε sont deux fonctions définies de R vers R, dérivables et convexes vérifiant :lim φ ε(t) = t + et lim ψ ε (t) = t −ε→0 ε→0TAMTAM –Tunis– 2005

Problème d’obstacle bilatéral 577Définition Le problème régularisé de (P ) est :{wε ∈ H(P ε )k 1(Ω)a(w ε , v − w ε ) + ϕ ε (v) − ϕ ε (w ε ) + 〈H − , v − w ε 〉 ≥ 0 ∀v ∈ Hk 1(Ω) (5)le problème (P ε ) admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia [5]).A présent on peut proposer les trois exemples suivants de ϕ ε et ψ ε qui vérifient lesconditions ci-dessus :⎧⎨ t − ε/2 si t ≥ εφ 1 ε(t) = t 2 /2ε si 0 ≤ t ≤ ε⎩Lemme On a :⎧⎪⎨φ 2 ε(t) =⎪⎩φ 3 ε(t) =⎧⎨ψε(t) 1 =⎩⎧⎪⎨ψε(t) 2 =⎪⎩ψ 3 ε(t) =0 si t ≤ 0.tsi t ≥ ε12 (ε + t2 /ε) si 0 ≤ t ≤ εε/2 si t ≤ 0.{ √t2 + ε 2 si t ≥ 0ε si t ≤ 0.0 si t ≥ 0.t 2 /2ε si − ε ≤ t ≤ 0.−t − ε/2 si t ≤ −ε.ε/2 si t ≥ 012 (ε + t2 /ε) si − ε ≤ t ≤ 0−tsi t ≤ −ε.{ ε si t ≥ 0√t2 + ε 2 si t ≤ 0.|φ ε (t) − φ(t)| ≤ c 1 ε et |ψ ε (t) − ψ(t)| ≤ c 2 ε ∀t ∈ R, . (6)pour c 1 , c 2 deux constantes indépendantes de ε.Proposition Soit w ε (resp w) la solution de (P ε ) (resp (P )), alors on a :(w ε ) ε converge vers w dans H 1 (Ω).Par conséquent, on obtient l’éstimation a priori suivante :‖ u − u ε ‖ H 1 (Ω)≤ (2(F − c 1 + H + c 2 )) 1 2√ εTAMTAM –Tunis– 2005

578 Achchab et al.3. Estimation a posteriori de l’erreurDans cette section nous allons utiliser la dualité par les fonctions conjuguées afin dedéterminer une estimation a posteriori de l’erreur de la solution du problème approché.Pour le problème (P ) on prend :V = H 1 (Ω),Y = Y ∗ = (L 2 (Ω)) n × L 2 (Ω)Lv = (∇v, v)J(v, Lv) { = H(v) + G(Lv)0 si v = k sur ΓH(v) =+∞ ailleurs.G(y) = ∫ 1Ω 2 |y 1| 2 + H + y 2 + + F − (y 2 + ψ) − + H − y 2 dxOù y = (y 1 , y 2 ) avec y 1 ∈ (L 2 (Ω)) n et y 2 ∈ L 2 (Ω), de même on utilise cette notationpour y ∗ ∈ Y ∗ .La fonctionnelle conjuguée de J est donnée par :J ∗ (−y ∗ , L ∗ y ∗ ) = H ∗ (L ∗ y ∗ ) + G ∗ (−y ∗ )Donc le problème (P ) peut s’écrire sous la forme :u ∈ H 1 (Ω), J(u, Lu) =inf J(v, Lv).v∈H 1 (Ω)Lemme Pour y = (y 1 , y 2 ) avec y 1 ∈ (L 2 (Ω)) n et y 2 ∈ L 2 (Ω), on a :⎧ ∫1⎪⎨ ≤J ∗ (−y ∗ , L ∗ y ∗ ) =Ω 2 |y∗ 1| 2 + ∇ky1 ∗ + ky2dx ∗ si − divy1 ∗ + y2 ∗ = 0 dans Ωet y2 ⎪⎩∗ ≥ −F − , y2 ∗ ≥ −H +∞ailleurs.(7)Lemme Pour w ε et w solution de (P ε ) et (P ) respectivement, on a :1∫2 ‖ ∇(w ε − w) ‖ 2 L 2 (Ω) ≤12 |∇w ε| 2 + H + w ε + + F − (w ε + ψ) − + H − w ε + 1 2 |y∗ 1| 2 + ∇ky1 ∗ + ky2dx.∗Ω∀y ∗ = (y1, ∗ y2) ∗ ∈ Y ∗ , avec −divy1 ∗ + y2 ∗ = 0 et y2 ∗ ≥ −F − , y2 ∗ ≥ −H + dans Ω.Proposition Si w ε et w sont les solutions de (P ε ) et (P ) respectivement alors on al’estimation a posteriori suivante :12 ‖ ∇(w ε−w) ‖ 2 L 2 (Ω)∫Ω≤ (H + w ε + +F − (w ε +ψ) − −w ε (H + φ ′ ε(w ε )+F − ψ ε(w ′ ε +ψ)))dx.(8)TAMTAM –Tunis– 2005

Problème d’obstacle bilatéral 579Pour le choix (1) et (2) de φ ε et ψ ε , l’estimation a-posteriori de l’erreur est :12 ‖ ∇(u ε − u) ‖∫2 L 2 (Ω) ≤[0≤w ε≤ε ]H + w ε (1 − w εε )dx + ∫[−ε≤w ε+ψ≤0]F − (w ε + ψ)(1 − w ε + ψ)dx.εPour le choix (3) de φ ε et ψ ε , l’estimation a posteriori de l’erreur est :12 ‖ ∇(u ε − u) ‖∫2 L 2 (Ω) ≤∫H + w εw ε (1 − √w2 ε + ε )dx + 2[w ε≥0 ][w ε+ψ≤0]F − (w ε + ψ)(1 −w ε + ψ√(wε + ψ) 2 + ε 2 )dx.Il est facile de voir que le second membre de cette estimation dans les trois cas tend vers0 lorsque ε tend vers 0.This work was supported by the Volkswagen foundation. Grant number I/79 3154. Bibliographie[1] A. ADDOU, E.B. MERMRI, « Sur une méthode de résolution d’un problème d’obstacle. »,Math-Recherche & Applications, N ◦ 2, (2000), pp. 59-69,[2] I. EKLAND, R. TEMAM, « Analyse convexe et problèmes variationnels. », Gauthier-Villars, (1974),[3] R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TRÉMOLIÈRES, , « Numerical analysis of variatinal inequalities.», North-Holland, Amsterdam, (1981),[4] W. HAN, J. ZHOU, « The regularization method for an obstacle problem. », Numer. Math.69, p. 155-166, (1994).[5] D. KINDERLEHRER ET G. STAMPACCHIA, « An introduction to variational inequalitiesand their applications. », Academic Press, (1980).TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’un pieuR. Aboulaich * – H. Hidsi ** – M. Ziani **** LERMA, Ecole Mohammadia d’Ingénieurs - Rabat- Maroc.aboul@emi.ac.ma** TEAM- Maroc.hidsi2004@yahoo.fr*** LERMA, Ecole Mohammadia d’Ingénieurs - Rabat- Maroc.ziani4ma@hotmail.comRÉSUMÉ. Dans ce travail, on s’intéresse au calcul du déplacement d’un pieu encastré dans un solmulticouches. Un modèle simplifié donne lieu à un problème aux limites d’ordre quatre.La difficulté du problème réside dans le fait que les données de l’équation dépendent des couches dusol considéré . La résolution analytique nécessite alors le calcul d’ un grand nombre de coefficients,ce qui devient très difficile pour un sol dont les couches sont nombreuses.Afin de contourner cette difficulté, on propose l’approximation du problème en utilisant une décompositionde domaines. La discrétisation dans chaque couche sera faite par la méthode de différencesfinies, et pour la résolution du système linéaire obtenu on propose la méthode GMRES préconditionnée.ABSTRACT. In this work, we are interested by the computation of the displacement of an embeddedpile in a ground multi-layer. A simplified model gives a PDE problem of order four.The difficulty of the problem lies in the fact that the data of the equations depend on the layers on theground considered . The analytic resolution requires the calculation of a great number of coefficients,which becomes very difficult for a ground whose layers are numerous.In order to circumvent this difficulty, we propose the approximation of the problem by using a domaindecomposition. The discretization in each layer will be made by the fined differences method, and forresolution of the obtained linear system, we propose the preconditioned method GMRES.MOTS-CLÉS : Fondation profonde spatiale, Pieu, Différences finies, Méthode GMRES, Préconditionnement.KEYWORDS : Space deep foundation, Pile, Finite differences method, GMRES method , Preconditioning.TAMTAM –Tunis– 2005 580

Modélisation d’un pieu 5811. IntroductionDans ce travail on s’intéresse au calcul des sollicitations dans une fondation profondespatiale prenant en compte la réaction latérale élasto-plastique du sol mobilisé par lesdéplacements des pieux.On définit un pieu comme étant une longue pièce de métal ou de bois enfoncé dans lesol, servant généralement d’appui contre les poussées verticales ou latérales. Le repère deréférence considéré est un repère orthonormé direct (O, X, Y, Z) dont l’axe (OZ) est laverticale descendante.La position du pieu est définie par les coordonnées de sa tête I(x i , y i , z i ) dans le repère deréférence et par sa longueur. Pour chaque pieu, les efforts et les déplacements sont donnésdans le repère local du pieu considéré (I, x i , y i , z i ).Le torseur des efforts de la RDM choisi est celui de droite, et en tête du pieu celui desefforts extérieurs. Au pied du pieu,le torseur des efforts donné par les calculs est le torseurdes efforts intérieurs (égal à l’opposé des efforts extérieurs appliqué au pied du pieu).2. Notations et appelationsNotons par E p le module d’élasticité du pieu considéré , et par I p son inertie. y(z)représente le déplacement du pieu au point z, r(z) est la rotation du pieu au point z,donnée par :r(z) = dy(z)dz ,M(z) est le moment du pieu au point z, donné par :M(z) = E p I pd 2 y(z)dz 2 ,et T (z) est l’effort tranchant au point z, calculé par :T (z) = E p I pd 3 y(z)dz 3 .3. Modélisation du problèmeL’élément de structure considéré appelé pieu est caractérisé par un module d’élasticitéE p et une inertie I p , enfoncé dans un sol. Ce pieu est sollicité en tête , z = 0, par un coupled’efforts M 0 appelé moment, et un effort tranchant appelé T 0 (figure 1).L’équation aux dérivées partielles modélisant ce problème s’écrit :E p I pd 4 y(z)dz 4 + E s y(z) = 0. (1)TAMTAM –Tunis– 2005

582 Aboulaich et al.Figure 1. Structure d’un pieuLes conditions aux limites s’écrivent comme suit :1) En tête du pieu on a :M(0) = M 0 ; T (0) = T 0 , (2)2) Au pied du pieu (pointe), on s’intéresse à un encastrement, c’est le cas où lesdéplacements et les rotations sont nuls.Soit L la longueur du pieu, on :y(L) = 0; ( dy(z)dz ) z=L = 0, (3)E p dépend du matériau du pieu et E s (y, z) dépend du sol considéré et du déplacement y.L’équation (1) est donc non linéaire. Pour la résolution numérique, on pourrait utiliser unediscrétisation par différences finies et utiliser ensuite la méthode GMRES généralisée aucas non linéaire. Une autre approche serait de linéariser l’équation en utilisant la méthodede Newton avant la discrétisation.Une première simplification du problème consiste à considérer un sol à plusieurscouches où chaque couche i, 1 ≤ i ≤ N, est caractérisée par un module du sol notéEs i que l’on considère constant pour chaque couche.L’existence et l’unicité pour le problème (1−3) est prouvée en utilisant la formulationvariationnelle selon l’approche classique exposée dans Girault-Raviart [4].Dans le cas d’un sol composé d’une couche (N = 1), la solution analytique s’écritsous la forme :y(z) = e zL 0 .(a 1 cos( z L 0) + a 2 sin( z L 0)) + e − zL 0 .(a 3 cos( z L 0) + a 4 sin( z L 0)),TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’un pieu 583avec L 0 = 4 √4E pIpEs , L 0 est ppelé longueur de transfert, et les constantes a 1 , a 2 , a 3 et a 4sont inconnues. On utilise les conditions aux limites (2) et (3).Dans le cas où le sol est découpé en N couches, la solution analytique doit être calculéepour chaque couche ; on a donc 4N constantes à déterminer. Ces constantes sontcalculées en écrivant :∗ La continuité du déplacement, de la rotation, du moment et de l’effort tranchant auxinterfaces des couches,∗ Les deux conditions aux limites en tête du pieu et les deux conditions aux limites aupied du pieu.La solution analytique de ce problème nécessite alors le calcul de quatre constantes pourchaque couche du sol, ce qui n’est pas pratique quand le nombre de couches est assezgrand. Pour calculer les coefficients a i , on doit résoudre un système linéaire plein. Dansle cas d’un grand nombre de couches, ce système est très mal conditionné. La constructiond’un préconditionnement n’est pas donc aisée du fait que la matrice est pleine. Nousproposons une approximation du problème par la méthode de différences finies en vued’utiliser une méthode de décomposition de domaines.4. ApproximationOn utilise une méthode de différences finies centrées pour discrétiser l’équation (1)et une méthode de différences finies à droite pour discrétiser les conditions aux limites.Le système linéaire obtenu est de la forme : Ax = b, où la matrice A est creuse et nonsymétrique.Pour la résolution numérique de ce système, on propose d’utiliser la méthode GMRESpréconditionnée. Pour accélérer la convergence de cette méthode, nous avons utilisé unpréconditionnement par la méthode de factorisation incomplète (ILU). L’idée de cettefactorisation est de limiter le remplissage dans les facteurs L et U lors de la factorisationLU afin d’avoir la même structure creuse dans la partie triangulaire inférieure et la partietriangulaire supérieure de A, respectivement. On obtient un préconditionnement de laforme M = ¯LŪ, avec ¯L et Ū sont les facteurs (approximatifs) incomplets.Puisque chaque couche i du sol est caractérisé par un module de sol Es i , on peut laconsidérer comme un sous domaine Ω i , avec i = 1, ..., N. On résout alors le problèmesur chaque couche Ω i en tenant compte des conditions de continuité entre les interfaces.Puisque le déplacement y est continu sur l’interface entre deux couches successives Ω iet Ω i+1 , le calcul de y i dans la couche Ω i nous permet de déterminer y i+1 dans Ω i+1 enpreant la valeur de y i sur l’interface entre ces deux couches comme condition aux limites.TAMTAM –Tunis– 2005

584 Aboulaich et al.5. Résultats numériquesLes tests numériques sont faits pour un sol à 2 couches et pour un sol à 7 couches.Pour les deux cas, la valeur de I p est égal à : πρ464, où ρ est le diamètre du pieu, et la valeurde E p du matériau du pieu est égal à : 3000000.00 t/m 2 .Pour les tests, on prend T 0 = 1 et M 0 = 0.1) Cas de 2 couches du sol :La hauteur verticale du pieu est égale à : 9.00 mLe diamètre du pieu(circulaire) est éagl à : 0.8 mPour les deux couches du sol, on introduit les valeurs suivantes :Pourla première couche : Hauteur (m)=1, et Es(t/m)=0.08 , et pour la deuxième couche :Hauteur(m)=8, et Es(t/m) = 1520.2) Cas de 7 couches du sol :La hauteur verticale du pieu est égale à : 8.00 mLe diamètre du pieu(circulaire) est éagl à : 0.6 mPour les sept couches du sol, on introduit les valeurs suivantes :Hauteur (m) Es (t/m)Couche 1 1.000 0.06Couche 2 0.500 2494.2Couche 3 1.500 1483.2Couche 4 1.500 2089.2Couche 5 1.500 89173.8Couche 6 1.500 329622.6Couche 7 0.500 563443.2Tableau 1. Données pour les sept couches.La figure ci-dessous représente une comparaison entre la solution analytique et lasolution approchée :6. ConclusionLa résolution numérique du système linéaire obtenu après discrétisation du problèmeconsidéré par la méthode GMRES donne de bons résultats. L’utilisation d’un préconditionneentpar la méthode de factorisation incomplète (ILU) nous a permis d’acceĺérer laconvergence de cette méthode. Cette approche nous permettra de résoudre le problèmepour un sol à N couches avec N assez grand. Le problème non linéaire sera aussi étudiéen utilisant la même approximation après linéarisation.TAMTAM –Tunis– 2005

Modélisation d’un pieu 585Figure 2. Comparaison entre la solution analytique et la solution approchée.7. Bibliographie[1] G.H.GOLUB AND C.F VAN LOAN , « Matrix Computations. », The Johns Hopkins UniversityPress, Baltimore, 1996.[2] KELLEY, C.T, « Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. », SIAM,Philadelphia.[3] Y.SAAD, « Iterative Methods for Sparse Linear Systems. », 2end ed.,SIAM, 2003.[4] GIRAUT-RAVIART, « Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations. »,Spring-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1981.[5] B.I WOHLMUTH, « Discretization methods and iterative solvers based on domain decomposition.», Springer, 2001.[6] ROGER FRANK, « Calcul des fondations de ponts. », Publications de l’ENPC, France.TAMTAM –Tunis– 2005

XIVThéorie des GraphesGraph Theory587

A new adjacency list-matrix for graphrepresentationA. HlaouiDépartement d’informatiqueUniversité de SherbrookeSherbrookeCanadaadel.hlaoui@usherbrooke.caRÉSUMÉ.ABSTRACT. In this paper we present a new graph representation, the adjacency list-matrix, whichtakes advantages and avoids drawbacks of the two foremost classical graph representations, theadjacency matrix and the adjacency lists structure. The adjacency list-matrix is an n × n matrixwhich may be applied in many combinatorial problems. It is in compact form allows rapid informationextraction. Like the adjacency list, the adjacency list-matrix provides a neighbour listing in one stepper neighbour. Moreover, the new representation allows the edge insertion (resp. deletion) operationin one step as the adjacency matrix. We also describe a theoretical comparison between the classicalrepresentations and the proposed one. The comparison shows that the adjacency list-matrix is aninteresting tool for representing graphs and a serious candidate to join the set of classical graphrepresentations.MOTS-CLÉS :KEYWORDS : Graph representation, adjacency matrix, adjacency lists.589 TAMTAM –Tunis– 2005

590 Hlaoui1. IntroductionMore and more graph structures are used in many pattern recognition and computervision problems [4]. A graph consists of a nonempty set of points or vertices, and a set ofedges linking the vertices together. A graph may be directed or undirected, whether thedirection of each edge is defined. Vertices and edges can also be weighted or unweighted.Graphs have been widely used for representing many different kinds of data such asvideos, images, documents, web pages, etc. In computer memory, graphs are representedby a variety of different data structures [1] [2] [3]. One strategy is to use an adjacency matrix.Another method for representing graphs is by a more complicated linked list structureknown as adjacency list structure.The adjacency matrix is a two-dimensional array in which each cell stores the informationon the mutual relation between a pair of vertices. If two vertices are connected, thevalue of the corresponding cell in the adjacency matrix is 1, otherwise it is 0. The competitorof the adjacency matrix, the adjacency list structure consists of an array of linkedlists. Each element in the array represents a certain vertex v i in the graph and points toa linked list that contains all vertices that are adjacent to vertex v i . For a directed graph,the adjacency list structure is divided into two data substructures, a successor and a predecessorlist structure. The successor lists store, for each vertex, the list of its successors,while the predecessor lists store, for each vertex, the list of its predecessors. If there is anedge between two vertices v i and v j , v j it is named the successor of vertex v i while v i isnamed the predecessor of vertex v j .In a theoretical comparison of these data structures, there is no unique and simpleanswer, since it depends on various factors. First, the nature of the data plays an importantrole in selecting the data structure. The adjacency matrix is suitable for small,dense graphs, while adjacency lists are suitable for larger and sparse (i.e. they have fewedges). Secondly, some operations need only one step when the adjacency matrix is used,while the adjacency list needs more than one step. For other operations, the reverse istrue. Moreover, the amount of memory used is O(n 2 ) for the adjacency matrix, whilethe adjacency list requires O(n + m) (where n and m are the number of vertices andedges, respectively). Therefore, the second data structure is more space-efficient than thefirst one, specifically for graphs which do not have very many edges. A powerful graphdata structure allows easier access to information and a rapid extraction process, whilerequiring less memory to store data.The remainder of this paper is organized as follows : Section 2 gives some basicterminology and concepts are introduced. In Section 3 the new graph representation isdescribed. This Section also provides theoretical comparisons between the new graphrepresentation and the classical representations. Finally, in Section 4 we draw the mainconclusions and present some suggestions for future work.TAMTAM –Tunis– 2005

A new adjacency list-matrix 591Figure 1. A directed graph G.2. Classical Graph RepresentationsAs previously stated, the standard representations are the n × n adjacency matrix, theadjacency list structure (also called edge lists and linked lists) and the incidence matrix.In this paper we examine graphs with unlabeled nodes and edges.Definition 1 A directed graph G (also called digraph or quiver) is a pair (V, E) whereV is a set of vertices and E is a set of edges where V = {v 1 , v 2 , ..., v n } ; E = {(v i , v j ) :v i , v j ∈ V } ; E ⊆ V × V ; |V | = n ; |E| = m.An undirected graph is a special case of a directed one where for any edge (v i , v j ∈ E)there exists an edge (v j , v i ∈ E). This paper deals only with directed graphs as being themost general case. We refer to Fig.1. for a geometric presentation of a graph G .Definition 2 Two vertices v i and v j are said to be adjacent, or neighbouring, if the edgejoining the two vertices belongs to E (i.e.)(v i , v j ∈ E)). Two edges are said adjacent ifthey have one common end vertex. A degree of a vertex v i is the number of edges that areincident.Definition 3 The adjacency lists are an array of vertices, each of which contains a listof all adjacent vertices (in an arbitrary order). A vertex v j appears in the i th entry of thearray if there is an edge between the vertices v i and v j . For directed graphs, we also usea successor list and a predecessor one. The successor lists (SL) store for each v i ∈ V thelist of its successors. While, the predecessor lists (PL) store for each v i ∈ V the list of itspredecessors.1 1 1 10 0 0 01 1 1 10 1 0 0Table 1. The adjacency matrix of graph G.TAMTAM –Tunis– 2005

592 Hlaoui3. The New Graph RepresentationThis section presents the new graph representation, the adjacency list-matrix, whichcombines the advantages of the classical representations while avoiding their drawbacksand fully capturing the graph information. Our presentation begins by giving an idea ofthe expected result of the new graph representation. Mechanisms and tools for buildingthe adjacency list-matrix will also be described. Finally, a simple example is given toshow the behaviour of the new matrix for the graph G shown in Fig.1.The main advantage of the adjacency matrix and successor (resp. predecessor) list istheir ability to provide quicker answers to certain questions, requiring only O(1) step. Unfortunately,most of these questions need one step for one representation and many moresteps for the other. Our aim is to find a new representation which provides a straightforwardaccess to the information and needs only O(1) step to answer most questions. Forexample, to check whether a vertex v i has a loop, it is only necessary to read a single cellof the adjacency matrix(i.e. O(1)), while in the case of the successor (resp. predecessor)lists O(|SL i |) (resp. O(|P L i |)) cells have to be read in the worst case. Thus, an improvedgraph representation combines the advantages of the adjacency matrix and the successor(resp. predecessor) lists. In building such a representation, we should strive to capture thesimple, flexible information access afforded by the adjacency matrix as well as the contiguousrepresentation of the adjacent vertices of a vertex vi given by the successor (resp.predecessor) lists.Our new graph representation is an n × n integer matrix (R = r ij ). Each cell in the Rmatrix contains useful and rich information to give the user full and concise informationconcerning the corresponding vertex. The use of cells with Boolean values in the case ofthe adjacency matrix is a naive strategy to meet user needs for "complicated" questions.However, checking one cell in the R matrix should still be sufficient to give the bestanswer in a short time. The contiguity property will be discussed later. A Boolean cell atthe intersection of row i and column j gives us only an idea concerning the existence ofan edge between the vertices v i and v j . When i = j, the cell also shows the existence of aloop. By making element r ij more expressive and meaningful than a Boolean value, othertypes of information are introduced.If row i in the adjacency matrix has no element equal to 1, it means that the correspondingvertex v i is not connected to any vertex in the graph. To check for non-connectivitywe need O(n) steps in the worst case. In contrast, this task needs one step in the adjacencylist case. To preserve the time efficiency of the adjacency lists, we set the first cell in rowi to 1. Thus, to check the non-connectivity of a vertex v i , we need only check whetherthe first cell in the corresponding row is equal to 1. In order to keep a consistent strategyfor the cell, as in the adjacency matrix, we replace the edge-existence test for vertices v iand v 1 by r ij ≤ 2 instead of the traditional r ij = 0 each time we need to check the edgeexistenceproperty. This condition is also used to check for loop existence when i = j.The previous operation reveals whether a vertex has no successors we are dealing withrows. For the predecessor case, we set the first cell in column i, rather than row i to 1.TAMTAM –Tunis– 2005

A new adjacency list-matrix 593These operations need only O(1) step to perform ; whereas when an adjacency matrix isused, O(n) steps are needed.When a vertex v i has n connectivity all the elements in row i in the adjacency matrixare equal 1. When such a situation occurs, we set each r ij to 4. To determine whether avertex v i has n successors, we need only check whether r ij ≥ 4. The greater conditionis used to make the introduction of additional tests possible. For example, a vertex v i hasn successors and n predecessors if and only if all elements in both row i and column iare marked 1 in the adjacency matrix. We need O(n × 2) steps to check this property.When such a situation occurs we assign the cell at the intersection of row i and column iin the R matrix to 5. Checking this property thus requires only one test, r ij ≥ 5, and allprevious conditions remain intact.In line with these ideas, we can summarize our new graph representation by means ofan integer cell constant T . Each cell in the R matrix belongs to the T −set{1, 2, 3, 4, 5}. Ifelement r ij is equal to 1, then the corresponding vertex v i has no connectivity (when i = 1(resp. j = 1) the vertex has no successors (resp. predecessors)). If the element satisfiesthe condition r ij ≤ 2 then the corresponding vertices v i and v j are not connected. Ifan element satisfies the condition r ij ≥ 3, so we can conclude that the two vertices v iand v j are connected. If r ij ≥ 3 then the corresponding vertex v i has a loop. If r ij ≥ 4then the corresponding vertex v i has n successors (resp. predecessors). If r ij ≥ 5 thenthe corresponding vertex has n successors and n predecessors. To check these operationswith the new adjacency list-matrix only O(1) step is needed.Returning to the advantages of the successor (resp. predecessor) lists, the main advantageof these lists lies in the contiguous representation of elements. This propertyprovides faster access to the desired elements. Unfortunately, in our R matrix, elementsare not contiguous as in the adjacency matrix. Each element in the R matrix is describedby a constant T . In order to provide our adjacency list-matrix with a contiguous representationcomparable to that of adjacency lists, two other constants, S and P , is introduced.Thus, each element in the adjacency list-matrix will be described by three constants in aT SP format.The constant S related to element r ij gives the index of a successor vertex to the correspondingvertex v i . The constant P related to the element r ij gives the index of a predecessorvertex to the corresponding vertex v j . In the adjacency list-matrix, the constant Sof the first element r i1 gives the index of the first successor of vertex v i . The second elementr i2 gives the index of the second successor of vertex v i and so on. In the adjacencylist-matrix, the constant P of the first element r 1j gives the index of the first predecessorof vertex v j . The second element r 2j gives the index of the second predecessor of vertexv j and so on. If a vertex v i has s successors (resp. p predecessors) where s ≤ n (resp.p ≤ n ), for the (n − s) (resp. (n − p)) remaining cells, the constant S (resp. P ) isset to 0. The format T SP can be read as an integer in the range of 100 to 499. To extractconstant T , S or P , a simple arithmetic operation is performed : T = r ij div 100 ;S = (r ij mod 100) div 10 ; P = (r ij mod 100) mod 10.TAMTAM –Tunis– 2005

594 Hlaoui1 1 2 3 4 1 1 3 411 421 431 4412 2 1 3 4 103 203 203 2033 1 2 3 4 3 1 3 410 424 430 4404 2 4 1 3 220 300 200 200Table 2. The successor, the predecessor list and the R matrix for graph G.4. ConclusionThe adjacency list-matrix representation proposed here combines the advantages ofthe classical adjacency matrix and adjacency list representations. It codes the relationbetween two vertices in T SP format. The constant T codes the mutual relation betweentwo vertices, while constants S and P keep track of the successor and predecessor lists,respectively. This format is a compact representation and provides faster, optimal accessto the information stored. Like the adjacency matrix, the new graph representation allowssingle-step checking of the mutual relation between vertices. The list of vertices adjacentto a certain vertex is immediately accessible using the proposed representation, as in thesuccessor (resp. predecessor) list structure.5. Bibliographie[1] A. ITAI AND M RODEH., « Representation of graphs. », Acta Inform. 17 : 215-219, 1982.[2] G. TURAN., « Succint representations of graphs. », Discrete Applied Mathematics, 8 :289-294,1984.[3] V.K. BALAKRISHNAU., « Theory and problems of graph theory. », McGraw-Hill, 1997.[4] H. BUNKE, « Recent advances in structural pattern recognition with applications to visualform analysis. », C. Arcelli, L. Cordella, G. Sanniti di Baja (eds.) : Visual Form 2001, SpringerVerlag, LNCS 2059, 11-23, 2001.TAMTAM –Tunis– 2005

La théorie des graphes appliquée à lamodélisation du WebM. Nekri * , A. Kelladi *** Université des sciences et technologies Houari Boumediene.Centre de Recherche sur l’Information Scientifique et Technique.Email:mnekri@mail.cerist.dz** Université des sciences et technologies Houari Boumediene .RÉSUMÉ. Le web est un corpus hypertexte d’une énorme complexité. Cette complexité est le résultatde plusieurs paramètres relatifs aux caractéristiques d’Internet à savoir : la masse importanted’information qui y circule et qui ne cesse de s’accroître exponentiellement de jour en jour,l’hétérogénéité et la multiplicité des formats, l’instabilité et l’évolution permanente des données suiteaux opérations d’ajout, de modification et de suppression, l’organisation chaotique de l’information.Ce sont autant de problématiques et de contraintes qui entravent le repérage et la localisation del’information pertinente. Face à cette situation, il s’avère nécessaire d’appréhender la structure globaledu web (toutes les pages existantes et les différents chemins qui les relient) afin de connaître cequi est disponible et se restreindre à ce qui est intéressant. La représentation de la structure du webmontre que ce dernier peut être considéré comme un graphe orienté où les pages web sont les sommetset les liens hypertextuels reliant les pages web sont les arcs du graphe. En analysant la topologiedu graphe ainsi obtenu, appelé graphe du web, on pourra optimiser le taux du bruit et de silence lorsde la recherche, mettre en évidence l’émergence d’une nouvelle communauté partageant la mêmesémantique, estimer la quantité d’information contenue dans Internet. Ce projet de communication apour objectif d’aborder la modélisation du web qui possède une structure assez complexe en utilisantla théorie des graphes. Dans un premier temps, nous nous penchons sur le nouveau concept à savoirles graphes de type dynamique qui changent de structure et par conséquent des propriétés dans letemps. Dans un deuxième temps, nous présentons un certains types de graphes de très grande tailleet qui jouent un rôle fondamental tels que le graphe d’Internet, le graphe des échanges, les graphessociaux. Cette intervention s’achève par une étude de cas. En effet nous allons montrer comment leweb peut être modélisé sous forme d’un graphe dynamique et ainsi à travers cette modélisation nouspourrons dégager les propriétés du web.ABSTRACT.MOTS-CLÉS : Graphe dynamique, graphe du web, modélisation, théorie des graphes .KEYWORDS :595 TAMTAM –Tunis– 2005

596 M. Nekri et al.1. IntroductionLes graphes sont généralement utilisés pour modéliser des systèmes. Ils permettentde mettre en évidence les structures profondes de tels systèmes. De ce fait la complexitédes graphes dépend directement de la complexité de ces derniers. Le caractère évolutif dequelques systèmes donne lieu à des graphes de type dynamique (auxquels on ajoute ouon supprime des sommets ou des arcs au cours du temps). Ainsi un graphe dynamiqueest un graphe qui possède une structure instable le rendant difficile à manipuler surtoutlorsqu’il est de taille importante. De nombreux objets se modélisent naturellement pardes graphes dynamiques, notamment le web qui a fait l’objet de recherches structurelles(Border, Kumar, Maghoul).En effet, le web est un corpus hypertexte d’une énorme complexité. Cette complexitéest le résultat de plusieurs paramètres relatifs aux caractéristiques d’Internet à savoir :la masse importante d’information qui y circule et qui ne cesse de s’accroître exponentiellementde jour en jour, l’hétérogénéité et la multiplicité des formats, l’instabilité etl’évolution permanente des données suite aux opérations d’ajout, de modification et desuppression, l’organisation chaotique de l’information. Ce sont autant de problématiqueset de contraintes qui entravent le repérage et la localisation de l’information pertinente.Face à cette situation, il s’avère nécessaire d’appréhender la structure globale du web(toutes les pages existantes et les différents chemins qui les relient) afin de connaître ce quiest disponible et se restreindre à ce qui est intéressant. La représentation de la structure duweb montre que ce dernier peut être considéré comme un graphe orienté où les pages websont les sommets et les liens hypertextuels reliant les pages web sont les arcs du graphe. Enanalysant la topologie du graphe ainsi obtenu appelé graphe du web, on pourra optimiserle taux du bruit et de silence lors de la recherche, mettre en évidence l’émergence d’unenouvelle communauté partageant la même sémantique, estimer la quantité d’informationcontenue dans Internet.De récentes études sur le graphe du web montrent qu’il est difficile de manipuler cedernier vu sa taille importante (des milliards de sommets) et son aspect dynamique. Dansce cas il serait opportun de le décomposer en sous graphes ayant une structure particulière.2. Définition d’un graphe dynamiqueUn graphe G=(X, E) est dit dynamique si au moins l’un des ensembles X ou E changede structure. Autrement dit, un graphe dynamique est un graphe auquel on ajoute et/ousupprime des sommets et des arêtes dans le temps. Donc c’est un graphe possédant unestructure instable et par conséquent il peut être considéré comme une suite ordonnée degraphes statiques G=∪ T t=0(X t , E t ) .Selon l’opération effectuée au niveau du graphe, plusieurs cas se présentent :TAMTAM –Tunis– 2005

Théorie des graphes en modélisation du Web 597– Si uniquement l’ensemble X (respectivement E) qui change, on aura un graphe detype sommet-dynamique (respectivement arête-dynamique).– Sinon (ie les deux ensembles X et E changent de structure en même temps) donc onaura un graphe dynamique.Si le graphe est de petite taille, les changements seront maîtrisables et on peut connaîtrefacilement les propriétés à chaque changement. Mais en revanche, lorsque le graphe estde grande taille la complexité du problème croit de façon exponentielle en fonction dela taille. Ainsi pour résoudre ces problèmes deux voies sont à explorer : La premièreconsiste à trouver une solution exacte. La deuxième voie consiste à trouver des solutionsrapprochées à l’aide des heuristiques.3. Solutions proposées3.1. Recherche d’une solution exactePour la recherche d’une solution exacte, on doit considérer le graphe dynamiquecomme étant une suite ordonnée de graphes statiques. Donc, pour chaque instant t ona un graphe statique G t = (X t , E t ) qui sera étudié indépendamment des autres graphesde la suite. A titre d’exemple, si on veut connaître le plus court chemin entre deux sommetsdu graphe on applique un des algorithmes connus tel que l’algorithme de Bellmansur chacun des graphes et on aura un résultat chronologique. Cette méthode peut montrerdes limites et elle devient inefficace car le temps de résolution sera considérable surtoutsi la taille est importante. Ainsi pour y remédier, on peut éviter certains calculs inutileset ce en analysant les types de changements effectués. En effet, certains changements nemodifient pas une partie ou la totalité des propriétés du graphe. A titre d’exemple, si onprend un cycle de longueur 5 auquel on ajoute trois arêtes comme le montre le schémaci dessous : En supprimant n’importe quelle arête, le graphe obtenu contient toujours uncycle de longueur 5.3.2. Recherche d’une solution rapprochéeDans le cas des graphes de grande taille le recours à une solution proche de la solutionexacte s’avère indispensable. En effet en connaissant la structure du graphe à l’instant ton peut prévoir celle de l’instant t+1 en se basant sur les méthodes prévisionnelles. Sinondes modèles probabilistes ayant les mêmes caractéristiques des graphes observés serontTAMTAM –Tunis– 2005

598 M. Nekri et al.proposés. Ces modèles seront présentés en détail dans la section 5. Il existe d’autres voiesde recherche relatives à la problématique des graphes dynamiques et qui consistent àétudier la dynamicité des graphes ayant des structures particulières en l’occurrence lestreillis [6].4. Les différents types de graphes dynamiquesParmi les systèmes à caractère évolutif et possédant une très grande taille, on citele graphe d’Internet, le graphe du web, graphe des échanges, graphes des collaborationsscientifiques. Ces graphes sont définis comme suit :– Graphe d’Internet : c’est un graphe qui modélise le réseau Internet. Ses sommetssont les machines composant le réseau et ses arêtes sont les liaisons physiques entre cesmachines.– Le graphe du web : c’est un graphe dont les sommets sont les pages du web et lesliens hypertextuels existants représentent les arêtes du graphe.– Le graphe des collaborations scientifiques : il s’agit des graphes qui représentent lescollaborations scientifiques entre les chercheurs. Lors de la rédaction d’une publicationscientifique, un chercheur soit il cite un autre chercheur soit il publie avec lui ie il estson co-auteur. Donc pour ce type de graphe, les sommets sont les chercheurs et deuxsommets sont reliés entre eux si, pour le premier cas l’un des chercheurs cite l’autre etpour le deuxième cas ils sont des co-auteurs.5. Modélisation du WebLa modélisation du Web consiste premièrement à connaître sa structure qui va nouspermettre par la suite de dégager ses propriétés.5.1. Détermination de la structure du WebA l’heure actuelle, la structure globale du Web (ie toutes les pages existantes et lesliens reliant ces pages) reste à déterminer vu sa taille importante et qui ne cesse de croître.a. Méthode de parcours en largeur : Une des méthodes permettant d’avoir l’ensembledes pages et les liens du Web consiste à parcourir ce dernier à partir d’une page donnée. Eneffet à partir d’un ensemble de pages, on extrait tous les liens se trouvant au niveau de cespages et on réitére cette opération à chaque fois qu’un ensemble de pages est déterminé.Cette méthode ne peut pas repérer toutes les pages du web. Il s’agit des pages non citéeset qui n’appartiennent pas à l’ensemble des pages choisies au départ.b. Méthode basée sur la décomposition par serveur : Pour remédier au problème soulevépar la première méthode, on propose la méthode suivante : Partant du fait que chaqueTAMTAM –Tunis– 2005

Théorie des graphes en modélisation du Web 599page web appartient à un seul et un seul serveur, on pourra avoir la totalité des pages websi chaque serveur génère un sous graphe constitué des pages hébergées à son niveau.5.2. Détermination des proprités du Weba. D’après l’étude [1], le graphe du web possède la structure suivante :A partir de cette décomposition, on pourra étudier chaque composante à part afin d’endéduire les propriétés du web.b. Approche Probabiliste : D’après les études faites à la fin des années 90, le graphe duweb possède une structure ayant les propriétés suivantes :1) La distance moyenne entre les sommets est courte2) Le coefficient de clustering est fort, i.e. que si deux sommets possèdent un voisincommun il y’a une forte probabilité qu’ils soient eux même voisins3) La distribution des degrés suit la loi de puissance, i.e. la minorité des sommets,ont un degré très élevé par rapport aux autres sommetsA partir de ces trois propriétés, plusieurs modèles ont été proposés. Nous citons : 1. Modèlede Erdös, Rényí en 1959 : C’est un graphe à n sommets et deux sommets sont voisinsavec une probabilité P. 2. Modèle de Watts et Strogatz : C’est un graphe composé d’unTAMTAM –Tunis– 2005

600 M. Nekri et al.cycle de longueur n ou chaque sommet est relie aux k plus proches voisins. Les changementsau niveau de ce graphe se font en modifiant une des extrémités de chacune desarêtes avec une probabilité P. 3. Modèle d’Albert et Barabasi : A partir d’un sommet préexistant,on ajoute les sommets un à un. Les nouveaux sommets sont reliés aux sommetsdu graphe avec une probabilité P. Cette probabilité croit en fonction des degrés. Mais tousces graphes ne satisfont pas les trois propriétés à la fois comme le montre le tableau cidessousModèle-propriété P1 P2 P3M1 Oui Non NonM2(0

Théorie des graphes en modélisation du Web 601[2] GUILLAUME, JEAN-LOUP, LATAPY MATTHIEU, « Topologie d’Internet et du Web : mesureet modélisation. », [en ligne] http ://www.liafa.jussieu.fr/publics/Guillaume03topologie.pdf.[3] HARRARY F., GUPTA G., « dynamics graph models. », Math. Compt. Modelling, vol 25, n ◦ 7,1997, pp79-87.[4] INRIA, « gryoweb : dynamic graphs and large networks. », [en ligne]http ://www.inria.fr/rapportsactivite/RA2003/gryoweb.pdf.[5] LATAPY,M., « graphes dynamiques. », [en ligne]http ://www.iri.fr/ allouche/LIX/latapy2.html.[6] LATAPY,M., « Modèles dynamiques discrets et structures ordonnées. », Paris : universitéParis7 : thèse de doctorat : 2001.TAMTAM –Tunis– 2005

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Indice des auteurs / Author indexAbbad, M., 397Abdelkader, B., 113Abdelli, J., 341Abdelwahed, M., 211, 279Aboulaich R., 580Achchab, B., 177, 189, 574Achchab, S., 515Ackerer, P., 365Addou, A., 574Agouzoul, M., 243Akian, M., 69Alla, A., 183Allaire, G., 317Amara, M., 3, 195, 253Amir, L., 295Amoura, K., 231Arfaoui, H., 57Auger, P., 9, 540Auroux, D., 419Ayadi, M., 549Azaiez, M., 218Bécache, E., 501Badé, R., 211Baranger, T. N., 455Bechchi, M., 98Bechichi, M., 91Bekkey, C., 507Ben Abda, A., 468Ben Abdallah, J., 455Ben Abdallah, N., 19, 375Ben Amar, C., 490Ben Dhia, H., 301Ben Miled, S., 533Bendimerad, F. T., 389Benkhaldoun, F., 348Benzekri, T., 63Berriri, K., 484Bokanowski, O., 75Bonnet-Bendhia, A. S., 484Boutahar, J., 309Bouzahir, H., 119Capatina, D., 3Chaabane, S., 432, 444Chaker, H., 211Chamekh, M., 556Chandre, C., 63Chaoui, A., 124Cheddadi, A., 218Chitroub, S., 130Clément, F., 273Cohen, G., 496Debbat, F., 389Degond, P., 381Delbary, F., 425Derbel, L., 521Djellit, I., 137El abdllaoui, A., 9El Alaoui Talibi, M., 20El Azouzi, R., 397El Dabaghi, F., 91, 195, 224, 253, 279El Fatini, M., 177El Ganaoui, K., 98, 317603

El Guarmah, M., 218El Kacimi, A., 224El Kamili, M., 397El Saadi, N., 526El-Badia, A., 438El-Kyal, M., 268Elhechmi, C., 432Ellaia, R., 105Elmatouat, A., 329Elmouatasim, A., 105Ennori, A., 189Esselaoui, D., 268Ezziani, A., 501Farah, M., 438Fellah, I., 444Ferchichi, M. R., 137Fortin, M., 183Frih, N., 237Gaubert, S., 69Ghnimi, S., 286Ghorbel, A., 322Gmati, N., 490Grob, P., 496Guelmi, N., 195Guezane-Lakoud, A., 124Ha-Duong, T., 438Habbal, A., 25Hafidi, I., 143Hamzaoui, H., 329Hasnaoui, M., 243, 477Hauray, M., 33Hazard, C., 490Hbid, H., 540Hecht, F., 183Henine, H., 98Hernane-Boukari, D., 249Hidsi H., 580Hlaoui, A., 589Horchani, I., 450Jaafar-Belaid, L., 47, 468Jabin, P. E., 521Jabin, P.-E., 33Jaffré, J., 273Jaoua, M., 47, 432, 444, 461Jelassi, F., 335Joly, P., 484, 501Kada Kloucha, C., 253Kadri, M. L., 455Kebir, A., 533Kefi-Ferhane, J., 375Kelladi, A., 595Kern, M., 295Kharrat, N., 202Labidi, M., 507Lakhoua, A., 69Lamrini Uahabi, K., 260Laouar, A., 341Leblond, J., 444, 461Lefebvre, M., 149Lehmann, F., 365Lemrabet, K., 40Lima, R., 63Maatoug, H., 404Mabrouk, M., 411Machmoum, A., 268Mahjoub, M., 461Mani-Aouadi, S., 556Marchand, E., 273Martin, P., 329Martin, V., 295Masmoudi, M., 47Mchich, R., 540Mchichi, R., 9Megdich, N., 75Meskine, D., 155Metoui, H., 82Mezali, F., 279Mghazli, Z., 189, 202TAMTAM –Tunis– 2005 604

Moakher, M, 556Monneau, R., 322Mraoui, H., 354Nakhle, B., 224, 279Nekri, M., 595Nouri, F. Z., 231Partington, J., 461Parzani, C., 381Pavan, V., 438Raïssi, N., 540Rahmani, L., 562Ramdani, K., 490Roberts, J. E., 237, 295Saada, A., 237Sahmim, S., 348Said, M. S., 568Sakat, A., 468Saoudi, K., 161Sbibih, D., 354Sboui, A., 360Seaïd, M., 268Siala, M.L., 47Slimani, A., 477Souissi, A., 177Sportisse, B., 309Touihri, R., 286Trujillo, D., 3Vignal, M. H., 381Vittot, M., 63Younes, A., 365Zahi, J., 574Zaoui, M., 260Ziani M., 580Zidani, H., 75605 TAMTAM –Tunis– 2005