Tamtam Proceedings - lamsin

12 Auger et al.La condition de stabilité asymptotique est une condition nécessaire pour l’application dela méthode d’agrégation des variables.On note par n α∗ = (n α∗1 , .., n α∗α) l’équilibre rapide du système i.e.NN∑α −1fj α (n α∗1 , .., n α∗N −1, n α − n α∗α j ) = 0, α ∈ {1, A} (6)j=1Par conséquent, pour tout α ∈ {1, A} , n α∗ est une fonction de la variable globale n α etpeut donc être notée par n α∗ (n α ) = (n α∗1 (n α ), .., n α∗N α(nα )).Pour aboutir à l’équation vérifiée par les variables globales n α (équation agrégée), on additionneles équations du système initial (1) puis on substitue l’équilibre rapide n α∗ (n α )aux micro-variables n α j . Ainsi on obtientdn αdt=N α∑a∑j=1 β≠α,β=1f αβj (n1 α∗(n α ), .., n α∗N α(nα ), n β∗1 (nβ ), .., n β∗(n β )) + O(ε). (7)N βoù t est le temps lent avec la relation suivante avec le temps rapide ; t = ετ.L’équation (7) est appelée le modèle agrégé. Ce modèle est obtenu par un développementen série de Taylor en ε et représente une approximation du modèle initial (1). Le premierterme du modèle agrégé (7) est une bonne approximation du modèle initial lorsque lesconditions suivantes sont satisfaites :- Le systèmedn αdt=N α∑a∑j=1 β≠α,β=1f αβj (n α∗1 (n α ), .., n α∗N α(nα ), n β∗1 (nβ ), .., n β∗(n β )) (8)N βest structurellement stable ([5], [10]),- Le paramètre ε > 0 est assez petit.Si le modèle agrégé (8) n’est pas structurellement stable, il est nécessaire de déterminerles termes d’ordre supérieurs dans le développement en série de Taylor en ε [3].Souvent lorsqu’on considère des systèmes hiérarchiques avec différents niveaux d’organisation(niveau de l’individu, de la population, de la communauté, de l’écosystème),l’une des difficultés majeures dans l’étude de tels systèmes peut être la dimension élevéede ceux-ci. La méthode d’agrégation des variables permet de réduire le système de( ∑ aα=1 N α ) équations à un système de A équations.TAMTAM –Tunis– 2005