Tamtam Proceedings - lamsin

442 Farah et al.1où G(x, y) =4π‖x−y‖ .On écrit cette formulation sur Γ D et Γ N séparément, on obtient ainsi un systèmede relations portant sur le potentiel et le flux sur les deux surfaces. Matriciellement, cesystème s’écrit :[ ] ( ) [SD,D −D ID2] ( )D,NpD+ DS N,D − I =D,D −S D,N uDN2− D N,N u N D N,D −S N,N p N} {{ }} {{ }A 1A 2où u L et p L ≡ ( ∂u∂n ) L désignent respectivement le potentiel et le flux sur la surface Γ L ;I L désigne l’opérateur identité sur Γ L et∫(SL1,L) p(y) = G(x, y)p(x)dγ(x), y ∈ L 1 ,2L 2∫( )DL1,L 2u(y) = ∂ nx G(x, y)u(x)dγ(x) , y ∈ L 1 .L 2Une méthode de Galerkin, avec des fonctions de base P 1 , a été choisie pour discrétiserces équations intégrales.Notons que dans le cas du problème aux conditions mêlées qui apparaît dans la suitepaire de l’algorithme de Kozlov (P b1), on aura à inverser la matrice A 1 , et dans le cas duproblème de la suite impaire (P b2), on inversera la matrice A 2 . Les résultats numériquesseront présentés à la conférence.4. ConclusionL’implémentation de l’algorithme de Kozlov ainsi que les tests numériques réalisésnous ont permis d’étudier son comportement numérique et d’en tirer plusieurs conclusionsintéressantes.Les applications numériques faites sur des couronnes sphériques ont montré une convergencenumérique de l’algorithme en un faible nombre d’itérations (3 ou 4) avec une précisionrelative d’ordre 0.02% pour le potentiel calculé sur le Cortex et 0.1% pour le flux.Même si l’on ne connaît pas les données sur toute la frontière externe de la couronne(ce qui est surtout le cas en EEG pour la première couronne Peau/Os), la convergencenumérique est toujours assurée en peu d’itérations. Et, l’erreure relative sur le potentiel(au Cortex) arrive jusqu’à 8% et celle du flux 5% au cas où les mesures sont prises surpresque 70% de la surface extérieure de la couronne.Ces conclusions, sans doute propres aux domaines qui sont des couronnes sphériques,à faibles épaisseurs, justifient notre choix de la méthode de Kozlov dans ce problèmeEEG, et nous laissent satisfaits de son implémentation numérique.TAMTAM –Tunis– 2005