Tamtam Proceedings - lamsin

Particules dans un potentiel de surface 385dans Ω × IR 3 .3. Le modèle asymptotiqueOn présente dans ce paragraphe le modèle asymptotique obtenu en passant formellementà la limite α tend vers zéro dans le système [9]-[14].Théorème 2 Soit α > 0, f 0 à support compacte dans ¯Ω × IR 3 et φ régulier. On note ψ lapartie transverse de φ définie par [8]. On suppose que ψ satisfait les Hypothèses 1. Soitf α , φ α s les solutions du modèle Vlasov-Poisson adimensionné [9]-[14]. Alors, la limiteformelle α → 0 donne f α → f et φ α s → φ s avecf(x, v, t) = F (x, v, ε z , t), (15)où ε z = |v z | 2 /2 + ψ(z) et où la fonction F satisfait, pour tout x ∈ IR 2 , v ∈ IR 2 , ε z ≥ 0et t ≥ 0,()∂ t F + v · ∇ x F − ∇ x ˜φs + < ∇ x φ > ·∇ v F +()< ∂ t ψ > +v· < ∇ x ψ > ∂ εz F= 1 N z(K(F ) − F ),la fonction ˜φ s est la valeur du potentiel auto-consistant φ s en z = 0, c’est à dire⎧˜φ s (x, t) = φ s (x, 0, t), pour ∫ tout (x, t) ∈ IR 2 × IR + ,⎪⎨ −∆ x φ s − ∂zzφ 2 s = λ δ(z) N z F dε z dv, ∀ (x, z, t) ∈ IR 2 × IR − × IR + ,IR 2 ×IR +∂ z φ s (z = 0) = 0,⎪⎩ lim φ s = 0,|x|→+∞où δ est la distribution de Dirac et où N z est la densité d’état donnée par(16)(17)N z (x, ε z , t) = √ ∫ 012 √ dz, (18)Z(x,t,ε z) εz − ψ(x, z, t)où ε z ↦→ Z(x, t, ε z ) est l’inverse de la fonction bijective z ↦→ ψ(x, z, t) de IR − dans IR + .De plus pour toute fonction g de IR − dans IR n (n ≥ 1), < g > est la moyenne de g dansle potentiel ψ et est donnée par< g >=√ ∫ 2 0g(z)√ dz. (19)N z Z(x,t,ε z) εz − ψ(x, z, t)TAMTAM –Tunis– 2005