Tamtam Proceedings - lamsin

Tiges élastiques avec autocontact 5571. IntroductionLa théorie des tiges élastiques a connu ces dernières années un grand développement àcause de ses applications industrielles et biomécaniques diverses. Parmi ces applications,on cite les poutres dans le domaine de construction, les câbles dans le domaine marin,les pipelines dans le domaine pétrolier et les fragments de la molécule d’ADN dans ledomaine du vivant. Dans les trois dernières décennies, plusieurs modèles de tiges élastiquesont été appliqués à l’étude des déformations et de “supercoiling” des fragments dela molécule d’ADN. Les modèles de tiges élastiques dans le contexte d’ADN ont connuune sophistication croissante et ont produit avec succès des informations détaillées sur lesdéformations de la molécule de vie. Néanmoins, il reste encore beaucoup de problèmesà étudier pour bien comprendre le “supercoiling” des fragments d’ADN et le champ desproblèmes ouverts dans ce domaine est encore très vaste. Motivé par les applications dansla modélisation des déformations de la molécule d’ADN, on propose de faire l’analysemathématique et numérique des configurations d’une tige élastique soumise à des effortsterminaux et qui présente des points ou régions d’autocontact non connus a priori. Lesthéories classiques dominantes de tiges élastiques sont des théories locales et ne tiennentpas compte du comportement global des configurations d’équilibre. En particulier, leséquations issues de ces théories ne peuvent pas éviter ou prévoir l’autopénétration de lamatière pour la tige. Pour une tige fermée, par exemple, ceci peut entraîner un changementde topologie (non physique) et donner lieu à une configuration nouée à partir d’uneconfiguration non nouée. L’objectif est d’étudier les aspects mathématiques, numériqueset de modélisation pour une tige fermée élastique en grandes déformations soumise à desefforts extérieurs (Voir figure 1). On formulera le problème d’autocontact pour la tige enrespectant la non-autopénétration de la matière et on fera la mise en œuvre numériqueen utilisant une méthode multiplicative de mise à jour des rotations telle que décrite parSimo & Vu-Quoc [9] et Ibrahimovigović [6]. Cette méthode a ramèné le problème de latige avec la contrainte d’orthonormalité des vecteurs directeurs à un problème posé surla variété différentielle SO(3). On essaiera en particulier de définir la notion de distancede contact à partir de la courbure globale pour une courbe fermée, concept introduit parGonzalez & Maddocks [5] dans le contexte des noeuds idéaux.Figure 1. Autocontact d’une tige fermée sans autopénétration.TAMTAM –Tunis– 2005