Tamtam Proceedings - lamsin

170 K. SaoudiRemarque 3.1. Du lemme 3.1, on peut prendre t −→ ϕ(t) = ∫ ∣ ∂u∣ 2∂tdx et onΩtire :( ) ( )∂u(t, x)∂v(t, x)lim= lim= 0 (3.1)t−→+∞ ∂t t−→+∞ ∂tPreuve du théorème 3.1.A partir du [4], on remarque que :Les trajectoires {u(t), t ≥ 0} et {v(t), t ≥ 0} associées au système (1.2)-(1.3) sontprécompacts dans C( _ Ω) × C( _ Ω) . Soit (t n ) n ɛ Nune suite tendant vers l’infini (t n −→+∞) telles que :etlim u(t n, .) = u 1 dans C( Ω)_t n−→+∞lim v(t n, ) = v 1 dans C( Ω)_t n−→+∞Il est claire que ( puisque f est continue ) :lim f(u(t n, x), v(t n , x)) = f(u 1 , v 1 ) dans C( Ω)_t n−→+∞Passons à la limite lorsque t n tend vers +∞ dans le système (1.2)-(1.3), on aura le systèmelimite suivant :⎧⎨⎩−d 1 ∆u 1 = −f(u 1 , v 1 )−d 2 ∆v 1 = f(u 1 , v 1 )∂u 1∂ηsur Ωsur Ω(P ∞ )= ∂v1∂η = 0 sur ∂Ωmultiplions la première équation de ce dernier système par u 1 puis intégrons sur Ω, onobtient∫−d 1 u 1 . ∆u 1 dx ≤ 0ce qui implique par application de la formule de Green que :∫d 1 |∇u 1 | 2 dx = 0alors :ΩΩ∇u 1 = 0d’où :u 1 = c 1 = cte (3.2)TAMTAM –Tunis– 2005