Tamtam Proceedings - lamsin

Ondes dans les milieux poroélastiques 503– ρ, ρ f , ρ w , K, m et β sont des constantes positives,– f u , f w , f p sont des termes, sources.– v s est la vitesse dans le solide,– w est la vitesse de filtration,– p la pression dans le fluide,– σ est le tenseur des contraintes :σ =⎡⎢⎣σ 1.σ d⎤⎥⎦ avec σ i = (σ i1 , · · · , σ id ) t∀ i = 1, d et div σ = (∇ · σ 1 , · · · , ∇ · σ d ) t– n est le vecteur normal extérieur au domaine– A ij sont des matrices carrées définies par (A ij ) kl = C ikjl ∀ i, j = 1, d avec C untenseur 4 × 4 satisfait :C ijkl = C jikl = C klij ∀ i, j, k, l = 1, d,∃ α > 0 tel que pour tout σ symétrique : C ijkl (x) σ ij σ kl ≥ α σ 2 ij . (2)Remarque 2.1 Dans le cas d’un milieu isotrope, le tenseur C vérifie : (Cσ) ij = λ 0 δ ij σ kk +2µ σ ij , où µ est le module de cisaillement et λ 0 = λ f − β 2 m est le coefficient de Laméavec λ f le coefficient de Lamé dans le milieu saturé.Dans [5] nous avons montré un résultat d’existence et unicité de la solution forte et unthéorème de la décroissance d’énergie pour le modèle de Biot dans IR d × [0, T ]. Ici ons’intéresse à l’approximation et à l’étude numérique du problème modèle.3. Formulation variationnelle mixteNous obtenons la formulation variationnelle mixte, en appliquant à l’équation (1a) leproduit par ũ ∈ H v = [H 1 (Ω)] d , à (1b) par ˜w ∈ H w = [L 2 (Ω)] d , à (1c) par ˜γ ∈ H γ =H w , à (1d) par ˜σ ∈ H σ = H w , à (1e) par ˜p ∈ H p = H 1 0 (Ω) et en intégrant sur Ω. Aprèsune intégration par parties des termes :∫∫ΩΩd∑∫div σ · ũ dx = − σ i · ∇ũ i dx,i=1 Ω∫∇ · w ˜p dx = − w · ∇˜p dx,ΩTAMTAM –Tunis– 2005