Tamtam Proceedings - lamsin

Fleuves singuliers 117la fonction Φ(x) = kx r est une singularité macroscopique d’ordre m de type (k,r) de (3),s’il existe (standard) mɛN ∗ , tel que :i) le r-macroscope transforme l’équation (3) en une équation lente-rapide de la forme :εdy/dx = f(x, y), εɛR+ ∗ , et ε ≃ 0,ii) ∀x appreciable ◦ f y (l) (x, kx r ) = 0, ∀l ≤ m,iii) ∀x appreciable ◦ f y (m+1) (x, kx r ) ≠ 0.Théorème 3. : Considérons l’équation (3) et supposons que F est une fonction rationnelleen X et Y et qu’on soit dans un cas critique. Soit Φ(X) = kX r une singularitémacroscopique et Γ une demi-trajectoire défini pour X > 0 de cette équation. Alors si Γest un fleuve pour l’équation (3) , il est aussi un fleuve pour l’équation (4) obtenu par lechangement de variable ( ˜X = X , Ỹ =Y − kXr ) .Preuve : Pour la preuve du théorème ci-dessus on pose Y 1 = Y − kX r et on verraque ce changement de variable transforme (3) en une équation différentielle de la forme :dY 1 /dX = G(X, Y 1 ) (5)possédant un fleuve en X = +∞ de type (k 1 ,r 1 ), où r 1 < r. En revenant à l’équationinitiale on aura Y = kX r + k 1 X r1 .Notation : Soit (k n ) nɛN ∗ et (r n ) nɛN ∗ deux suites réelles.Soit nɛN. On notera C(k, r) n la fonction définie par : C(k, r) n : F(R 2 , R) −→ F(R 2 , R)telle que⎧⎨C(k, r) n (F )(X, Y ) = F (X, Y ) si n = 0∑⎩ C(k, r) n (F )(X, Y ) = F (X, Y + n ∑k i X ri ) − n k i r i X ri−1 si n ≠ 0 ⎭Soit Y 1 = Y − k 1 X r1 . Alors on a :dY 1 /dX = dY/dX − k 1 r 1 X r1−1 = F (X, Y ) − k 1 r 1 X r1−1i=1dY 1 /dX = F (X, Y 1 + k 1 X r1 ) − k 1 r 1 X r1−1 = C(k, r) 1 (F )(X, Y 1 ).∑D’une manière générale si on pose :Y n = Y − n k i X ri , nɛN, on aurai=1i=1dY n /dX = C(k, r) n (F )(X, Y n ).Soit G = C(k, r) n (F ) et ϕ(X) une trajectoire de (3). Soit ψ défini par⎫⎬n∑ψ(X) = ϕ(X) − k i X ri ,i=1pour toutX > A, AɛR.TAMTAM –Tunis– 2005