Tamtam Proceedings - lamsin

456 Baranger et al.1. IntroductionLa reconstruction de paramètre physiques à partir de données incomplètes est unequestion d’intérêt majeur dans une multitude de contextes industriels. En effet, il arrivecouramment que les grandeurs désirées ne soient pas accessibles à la mesure, ou quandelles le sont, que leurs mesure directe soit couteuse. Un cadre qui a été largement exploré,est celui de la thermique stationnaire. Cela consiste à identifier la température et le fluxthermique sur le bord d’un domaine au moyen d’une connaissance partielle de ces grandeurssur une autre partie du bord. Ce type de problème (problème de Cauchy) est connudepuis le debut du 20 eme siècle (voir [3]) pour être mal posé au sens de la stabilité : lasolution, quand elle existe, n’est pas continue par rapport à la donnée. Autrement dit, unepetite perturbation sur la donnée (d’origine expérimentale donc forcément entachée d’erreur)peut entrainer une solution dramatiquement berturbée. La littérature concernant lacomplétion de donnée est très vaste. Nous nous limiterons ici à citer quelques uns des travauxqui adoptent une démarche analogue à celle utilisée dans ce travail.Cette démarcheconsiste à utiliser l’agorithme de Neumann-Dirichlet en vue de resoudre le problème deCauchy. Rappelons que cet algorithme est largement discuté par Quarteroni et al. en tantqu’outil de résolution d’equations aux dérivées partielles du second ordre au moyen dela décomposition de domaine. Son adaptation à la résolution du problème de Cauchy aété proposée par Koslov et al. dans [4] où quelques resultats théoriques de convergenceet de stabilité sont établis. Des études numériques de quelques propriétés de convergencede la méthode ont été présentés pour le problème la chaleur dans [5] et [6], et pour leproblème de détection de la corrosion sur la frontière interne d’une conduite dans [9].Dans [8], Weikl et al. ont appliqué l’algorithme proposé dans [4] à la détection de fissuredans un solide tridimensionnel. Dans une étude numérique, Azaiez et al. [2] ont utilisécet algoritme dans divers contextes (identification de la température, du flux thermique etdu coefficient de transfert dans le peau interne d’un tube, identification de fissures droitesou courbes, ...).Le présent travail est consacré à l’utilisation de cet algorithme dans le cadre de l’élasticitéplane et son application à l’identification des conditions aux limites pour une plaquetrouée soumise à un effort de traction.2. Description de l’algorithme de Neumann-Dirichlet enélasticité planeOn se propose d’identifier les conditions aux limites sur la frontière interne d’un domaineΩ élastique rectangulaire trouée supposé isotrope et homogène soumis à un éffortde traction. Le domaine est rapporté à un système d’axes orthonormés (O, x, y, z) dontl’origine est au centre du rectangle et les axes (O, x) et (O, y) parallèles aux côtés delongueur 2a et 2b. Sur la face x = ±a (resp. y = ±b) on impose un effort de tractionTAMTAM –Tunis– 2005