Tamtam Proceedings - lamsin

186 Alla et al.3. Position du problème d’optimisation de formeEtant la solution du problème (3) dont le second membre dépend des données et de lasolution u h , l’estimateur hiérarchique e h , est une quantité calculable, équivalente à l’erreure = u − u h dans le sens de l’inégalité (4). Il peut donc être utilisé comme critèredans une stratégie d’adaptation du maillage , qui comporte plusieurs opérations : retournementd’arrêtes, création de nœuds, suppression de nœuds et déplacement de nœuds.Nous proposons dans ce travail une méthode permettant de déterminer la position optimaledes nœuds du maillage dans la résolution du problème (2), en utilisant l’estimateurhiérarchique. Pour un maillage donné T h , les solutions des problèmes (2) et (3) qui, bienentendu, dépendent de T h , seront notées respectivement ∫ u h (T h ) et e h (T h ).Considérons la fonctionnelle J(e h (T h )) := 1 2 Ω |∇e h(T h )| 2 = 1 2 ‖|e h(T h )‖| 2 . NotonsM l’ensemble des nœuds de T h et T T la famille des triangulations T h (M) engendréespar les M ayant une même table topologique, et formant l’ensemble m T . Le problèmed’optimisation de forme qu’on considère est donc le suivant.⎧Trouver⎪⎨̂M ∈ m T tel quej( ̂M) = inf j(M) sous la contrainte{ M∈m T (5)a(eh (T ⎪⎩h (M)), ˆv h ) = (F, ˆv h ) − a(u h (T h (M)), ˆv h ) ∀ ˆv h ∈ E ha(u h (T h (M)), v h ) = (F, v h ) ∀ v h ∈ V hoù j(M) := J(e h (T h (M)).4. AlgorithmeNous supposons que le problème (5) admet une unique solution. Pour calculer la dérivéede la fonctionnelle j(·) par rapport aux paramètres de forme qui sont les nœuds dumaillage, nous introduisons le Lagrangien L(·, ·, ·, ·) pour transformer le problème aveccontraintes en un problème sans contraintes.L(ˆv h , v h , q h , µ h ) = 1 2 ‖|ˆv h‖| 2 + a(ˆv h , q h ) − (F, q h ) + a(v h , q h ) + a(v h , µ h ) − (F, µ h ).Pour calculer la dérivée de j(·) par rapport au domaine on utilise les techniques de [3],[7] et [5], en introduisantla transformation T t donnée par un champ de vitesse V et telleque T t (Ω h ) = Ω t h . On note Et h := T t(E h ), e t h := e h ◦ T t et M t = T t (M). La dérivéede j(M t ) par rapport à t à l’instant t = 0 est donnée pardj(M t ; V ) = 1 ∫∫(A ′ (0) ∇e h , ∇e h ) dΩ h − div (F V (0)) (p h + λ h ) dΩ h2 Ω h Ω h∫∫+ A ′ (0) ∇u h ∇λ h dΩ h + A ′ (0) ∇(u h + e h ) ∇p h dΩ h .Ω h Ω hTAMTAM –Tunis– 2005