Tamtam Proceedings - lamsin

256 Kloucha et al.Si le domaine Λ est discrétisé par une triangulation : τ h = ∪K, K étant des triangles,alors le domaine de l’eau, à l’instant t n , Ω n est défini à partir de ϕ n par :Ω n = {K ∈ τ h ; ϕ n (K) ≥ β}, β ∈ [β 0 , 1]où β représente un seuil de taux de remplissage, qui une fois atteint, ceci permet de direque l’élément K est mouillé ; β 0 ∈ [1/2, 1] est une valeur dépendante du cas traité (fréquenceet amplitude estimées de la vague par rapport à une surface au repos, par exemple)et surtout de la finesse du maillage. Ainsi β 0 tend vers 1 pour un maillage fin, décrivantde manière assez précise la frontière libre. En discrétisant le système d’équation (1) et (2)par la méthode des caractéristiques, on obtient⎧1⎪⎨ ∆t ρun − div(µξ(u n )) + ∇p n = F n dans Ω n∇.u n = 0dans Ω n(3)⎪⎩ϕ n = ϕ n−1 ◦ X n−1 dans τ h × [t n−1 , t n ].F n = ρg + 1 ∆t ρun−1 ◦ X n−1 , ϕ n−1 ◦ X n−1 = ϕ n−1 (X(x, t n−1 ; t n−1 )),u n−1 ◦ X n−1 = u n−1 (X(x, t n−1 ; t n−1 )). On définit ensuite les espaces ∫ suivants :V n = {v ∈ H 1 (Ω n ) 2 ; v = 0, sur ∂Ω n − Γ n s }, Q n = {q ∈ L 2 (Ω n ); q(x)dx = 0}.Ω noù H 1 et L 2 sont les espaces de Sobolev usuels. La formulation variationelle sur Ω nassociée à (3) s’écrit (avec ρ supposé constant) : Trouver u ∈ V n et p ∈ Q n telles que⎧ ∫∫∫ρu n .v + µ ∇u n ∇v − p n ∇.v∆t Ω⎪⎨n Ω n Ω∫n= ρ g.v + ρ ∫∫u n−1 ◦ X n−1 .v + p atm .nvΩ ∆tn Ω n Γ n s∫⎪⎩ ∇.u n q = 0Ω n (4)On peut montrer l’unicité de la solution du problème (4) en utilisant le théorème deBabuska-Brezzi voir [3],[6]. Pour l’approximation spatiale, on utilise la méthode des élémentsfinis mixte P 1 +bulle pour la vitesse et P 1 pour la pression assurant la conditioninf − sup et par conséquent le bien posé du problème discret ; ainsi on sera ramené àrésoudre un système de Quasi-Stokes à chaque pas de temps, qui peut s’écrire sous laforme matricielle suivante : (Ah ) ( ) ( )B h uh fhBh T =(5)0 p h 0TAMTAM –Tunis– 2005