Tamtam Proceedings - lamsin

578 Achchab et al.3. Estimation a posteriori de l’erreurDans cette section nous allons utiliser la dualité par les fonctions conjuguées afin dedéterminer une estimation a posteriori de l’erreur de la solution du problème approché.Pour le problème (P ) on prend :V = H 1 (Ω),Y = Y ∗ = (L 2 (Ω)) n × L 2 (Ω)Lv = (∇v, v)J(v, Lv) { = H(v) + G(Lv)0 si v = k sur ΓH(v) =+∞ ailleurs.G(y) = ∫ 1Ω 2 |y 1| 2 + H + y 2 + + F − (y 2 + ψ) − + H − y 2 dxOù y = (y 1 , y 2 ) avec y 1 ∈ (L 2 (Ω)) n et y 2 ∈ L 2 (Ω), de même on utilise cette notationpour y ∗ ∈ Y ∗ .La fonctionnelle conjuguée de J est donnée par :J ∗ (−y ∗ , L ∗ y ∗ ) = H ∗ (L ∗ y ∗ ) + G ∗ (−y ∗ )Donc le problème (P ) peut s’écrire sous la forme :u ∈ H 1 (Ω), J(u, Lu) =inf J(v, Lv).v∈H 1 (Ω)Lemme Pour y = (y 1 , y 2 ) avec y 1 ∈ (L 2 (Ω)) n et y 2 ∈ L 2 (Ω), on a :⎧ ∫1⎪⎨ ≤J ∗ (−y ∗ , L ∗ y ∗ ) =Ω 2 |y∗ 1| 2 + ∇ky1 ∗ + ky2dx ∗ si − divy1 ∗ + y2 ∗ = 0 dans Ωet y2 ⎪⎩∗ ≥ −F − , y2 ∗ ≥ −H +∞ailleurs.(7)Lemme Pour w ε et w solution de (P ε ) et (P ) respectivement, on a :1∫2 ‖ ∇(w ε − w) ‖ 2 L 2 (Ω) ≤12 |∇w ε| 2 + H + w ε + + F − (w ε + ψ) − + H − w ε + 1 2 |y∗ 1| 2 + ∇ky1 ∗ + ky2dx.∗Ω∀y ∗ = (y1, ∗ y2) ∗ ∈ Y ∗ , avec −divy1 ∗ + y2 ∗ = 0 et y2 ∗ ≥ −F − , y2 ∗ ≥ −H + dans Ω.Proposition Si w ε et w sont les solutions de (P ε ) et (P ) respectivement alors on al’estimation a posteriori suivante :12 ‖ ∇(w ε−w) ‖ 2 L 2 (Ω)∫Ω≤ (H + w ε + +F − (w ε +ψ) − −w ε (H + φ ′ ε(w ε )+F − ψ ε(w ′ ε +ψ)))dx.(8)TAMTAM –Tunis– 2005