Tamtam Proceedings - lamsin

Problème de contrôle optimal 831. IntroductionLes problèmes de contrôle optimal occupent une place prépondérante dans plusieursthèmes de la physique. En effet, agir sur une équation aux dérivées partielles à travers laminimisation d’une fonctionnelle coût afin d’amener l’état du système à un état prédéfiniest un souci permanent dans l’ingénierie. Nous étudions dans ce travail, un problèmede contrôle frontière qui consiste à minimiser une fonctionnelle critère, dépendant d’uneobservation terminale de la solution du problème de la chaleur avec une condition de Dirichletpeu régulière dans L 2 (frontière). Ce problème a été étudié par I. Lasciecka et R.Triggiani [6] en utilisant la théorie des semi-groupes et les opérateurs de Ricatti. L’apportdans ce travail réside essentiellement en une analyse claire et simple développée dans lasection 2, en se basant sur une approche variationnelle standard. Le but étant de généralisercette approche à un problème de contrôle optimal régi par l’équation de Burgers.Cette approche variationnelle nous semble mieux adaptée et surtout plus facile à généraliserau cas non linéaire. Pour tenir compte de la condition de Dirichlet peu régulière,nous appliquons la méthode de pénalisation, introduite dans [1], au problème de contrôleoptimal frontière et nous étudions dans la section 3 la convergence de la solution optimalepénalisée vers celle de Dirichlet. Cette technique de pénalisation a été utilisée dans diverstravaux ([2], [3], [5] et [7]).2. Problème de Contrôle DirichletNous nous proposons de minimiser une fonctionnelle objectif qui dépend de l’état ysolution de l’équation de la chaleur avec une condition aux limites de type Dirichlet peurégulière qui représente la variable contrôle (u ∈ L 2 (Σ)). Pour cela, on considère Ω undomaine borné de IR 2 à frontière régulière Γ, T est un réel > 0 tel que Σ = Γ×]0, T [, Jest la fonction objectif et ∂y désigne la dérivée partielle par rapport à la variable temps t.∂tLe problème de contrôle s’écrit :⎧⎪⎨(P T )⎪⎩min J(y, u)u∈L 2 (Σ)∂y− ∆y = 0 dans Q = Ω×]0, T [,∂ty = u sur Σ,y(0, .) = 0 dans Ω.(1)Naturellement, avant d’entamer l’étude du problème de contrôle (1), nous nous intéressonsaux équations qui constituent les contraintes de notre problème. Nous adoptons uneformulation variationnelle qui donne un sens mathématique précis à l’équation de la cha-TAMTAM –Tunis– 2005