Tamtam Proceedings - lamsin

570 Saidoù u vérifie :n∑n∑j=1 i=1∂ 2 1i u∂x i ∂x j= 0alors il existe une solution globale du Problème (1), (2), (3), (4) ; vérifiant :0 ≤ u k (x, t) ≤ C 11exp (−(t + χ2 4χ |x|2 )+u (7)TAMTAM –Tunis– 20052.2. RemarqueSi on travaille dans un polygone plan Ω, on montre que dans le cas où le polygonen’est pas convexe, alors le problème (1) (2) (3) ,(4). n’admet pas de solution dans H 2 (Ω×]0, T [).[12]Dans le cas où la condition (5), n’est pas vérifiée alors il n’existe pas de solution duProblème (1) (2) (3) ,(4). [13].2.3. Existence de La solution2.3.1. Transformation en équation intégraleOn introduit la solution élémentaire du problème de la chaleur :On pose :U(x, y, t) = 1(4π) n/2 exp (− 1 4t |x − y|2 ) (8)∫Hu 0 (x, t) = U(x, y, t)u 0(y)dy + u 1R n (9)∫ tK(u) (x, t) =0∫[]dσ U(x, y, t − σ) u(y, σ) 1+α + u 1 (y, σ) dy (10)R nLe Problème à résoudre équivaut à trouver u solution de l’equation intégrale non linéairesuivante :u = Hu 0 +K(u). (11)Pour résoudre l’équation (11), on va utiliser la methode des approximations successives.On défini par réccurence une suite de fonctions u de la manière suivante : :u 1 = Hu 0 (12)u n+1 = Hu 0 +K(u n) (13)Pour les estimations on doit faire un choix convenable de la norme ce qui est le pointfondamental.