Tamtam Proceedings - lamsin

Problème d’obstacle bilatéral 577Définition Le problème régularisé de (P ) est :{wε ∈ H(P ε )k 1(Ω)a(w ε , v − w ε ) + ϕ ε (v) − ϕ ε (w ε ) + 〈H − , v − w ε 〉 ≥ 0 ∀v ∈ Hk 1(Ω) (5)le problème (P ε ) admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia [5]).A présent on peut proposer les trois exemples suivants de ϕ ε et ψ ε qui vérifient lesconditions ci-dessus :⎧⎨ t − ε/2 si t ≥ εφ 1 ε(t) = t 2 /2ε si 0 ≤ t ≤ ε⎩Lemme On a :⎧⎪⎨φ 2 ε(t) =⎪⎩φ 3 ε(t) =⎧⎨ψε(t) 1 =⎩⎧⎪⎨ψε(t) 2 =⎪⎩ψ 3 ε(t) =0 si t ≤ 0.tsi t ≥ ε12 (ε + t2 /ε) si 0 ≤ t ≤ εε/2 si t ≤ 0.{ √t2 + ε 2 si t ≥ 0ε si t ≤ 0.0 si t ≥ 0.t 2 /2ε si − ε ≤ t ≤ 0.−t − ε/2 si t ≤ −ε.ε/2 si t ≥ 012 (ε + t2 /ε) si − ε ≤ t ≤ 0−tsi t ≤ −ε.{ ε si t ≥ 0√t2 + ε 2 si t ≤ 0.|φ ε (t) − φ(t)| ≤ c 1 ε et |ψ ε (t) − ψ(t)| ≤ c 2 ε ∀t ∈ R, . (6)pour c 1 , c 2 deux constantes indépendantes de ε.Proposition Soit w ε (resp w) la solution de (P ε ) (resp (P )), alors on a :(w ε ) ε converge vers w dans H 1 (Ω).Par conséquent, on obtient l’éstimation a priori suivante :‖ u − u ε ‖ H 1 (Ω)≤ (2(F − c 1 + H + c 2 )) 1 2√ εTAMTAM –Tunis– 2005