Tamtam Proceedings - lamsin

428 DelbaryPreuve:Supposons qu’il existe un ouvert connexe non vide σ 0 de σ tel que[u] Π= 0 et [∂ N u] Π= 0 sur σ 0Soit V 0 ⊂ Ω un ouvert connexe non vide tel que V 0 ∩ σ ⊂ σ 0 . On a ∆u + k 2 u = 0 dansV 0 .Rappelons de plus l’ensemble des conditions que l’on a sur σ 0 :⎧⎪⎨⎪⎩∂ N u + + ikλ + u + = 0∂ N u − − ikλ − u − = 0∂ N u + − ∂ N u − = 0u + − u − = 0Le déterminant de ce système est ik(λ + + λ − ), donc ≠ 0 p.p. Donc u + = u − = 0 et∂ N u + = ∂ N u − = 0 sur σ 0 . On a alors d’après le théorème de prolongement uniqueu = 0 dans V 0 . Et d’après le même théorème u = 0 dans Ω. Donc f = 0, ce qui contreditl’hypothèse.□Le calcul des sauts permet donc de retrouver la forme de la fissure.3.2. Calcul des impédances λ + et λ −Après avoir retrouvé les sauts [u] Πet [∂ N u] Πsur la fissure, on peut, grâce aux formulesde représentation intégrale, retrouver les valeurs limites du champ acoustique u + et u −et les valeurs limites de sa dérivée normale ∂ N u + et ∂ N u − de chaque côté de la fissure.Ensuite, à l’aide des condtions de Robin sur la fissure on pourra retrouver les impédancesλ + et λ − .En effet, ∂ N u ± ± ikλ ± u ± = 0 sur la fissure, c’est-à-dire λ ± = ±i ∂ N u ±ku ± .On voit donc que l’on peut en théorie retrouver les impédances sur la fissure à partirdes sauts reconstruits. Seulement, comme le montre l’égalité précédente, les cas où u ±s’annule peuvent poser problème.4. Résultats numériquesOn se place en dimension 2. Dans le plan (Oxy) on considère une fissure située surl’axe (Ox) entre −1 et 1.On travaille en milieu non borné, le problème de la section 2 s’écrit alorsTrouver u ∈ H 1 loc (R2 \ σ) telle que{ ∆u + k 2 u = 0 dans R 2∂ N u ± ± ikλ ± u ± = 0 sur σTAMTAM –Tunis– 2005