Tamtam Proceedings - lamsin

338 Jelassi∂ n ϕ = ∂ n (V Γ∗ ϕ) sur Σ, (7)Notons que la condition (7) préscrite sur Σ est exacte et elle est de type Neumann nonstandardà cause de son caractère non-local provenant essentiellement du couplage entre(∂ n ϕ) |Σ et (ϕ |Γ∗ , (∂ n ϕ) |Γ∗ ). Nous soulignons d’emblée, que ce couplage induit quelqueseffets indésirables sur la matrice de rigidité issue du problème couplé discrétisé. Outre,qu’elle soit non-hermitienne, elle est de structure partiellement creuse avec des blocspleins liés aux degrés de liberté localisés sur Σ et autour de Γ ∗ . Ceci rend l’inversiondu système algébrique assez onéreuse pour les deux types de solveurs directs ou itératifs.Nous envisageons de briser ce couplage (entre Γ ∗ et Σ). Nous introduisons, alorsun algorithme de point fixe de Cauchy défini par une suite (ϕ m ) m dont la formulationvariationnelle est l’équation suivante : trouver ϕ m+1 ∈ H ΩΣ = {η ∈ L 2 (Ω Σ ); ∇η ∈L 2 (Ω Σ ) 2 } tel que : ∀ ψ ∈ H ΩΣ∫∫∫∫iω σϕ m+1 ψdx+ µ −1 ∇ϕ m+1 ∇ψdx = σCψdx+ ∂ n (V Γ∗ ϕ m )ψdx. (8)Ω Γ Ω Σ Ω Γ ΣNotre algorithme est interprété comme une méthode de décomposition de domaines deSchwarz, ce qui permet d’établir des résulats de convergence comparables à celles de [1]pour le problème de Poisson extérieur. Il existe r ∈ [0, 1[ tel que‖∇(ϕ m − ϕ)‖ L2 (Ω Σ) ≤ C(ϕ 0 )r m . (9)L’estimation (9) prouve que (ϕ m ) m approche ϕ avec un taux géométrique. Appercevantque l’élimination du couplage entre Γ ∗ et Σ dans la condition non-locale, restore le caractèrecreux de la matrice de rigidité de l’équation (8) approchée par la méthode deséléments finis. Dans la pratique, il est possible, voire recommandé, d’utiliser des solveursdirects ; la factorisation est achevée en pré-processing et, à chaque itération, l’inversionde (8) est effectuée par une méthode de descente-remontée. Par ailleurs, l’algorithme induitun gain considérable en temps comparé au traitement du problème couplé, il s’avèremoins consommateur en nombre d’itérations du à une convergence rapide du prcocessusde Schwarz garantie par l’estimation (9). Ces avantages paraissent bien plus importanteslorsque Γ est multiplement connexe ce qui constitue souvent le cas dans les problèmesd’électrotechnique. Le choix judicieux pour le processus itératif est de créer des frontièresfictives multi-connexes Σ = ∪ 1≤p≤p ∗Σ p et Γ ∗ = ∪ 1≤p≤p ∗Γ ∗,p , les bords Γ ∗,pqui entourent Γ p demeurent cantonnés dans Ω Σp (le sous-domaine interne délimité parΣ p ). L’étude de l’équation (8), dans ce cas de figure, revient à examiner une collection desous-problèmes variationnels, où chacun est posé dans Ω Σp .4. Discussion numériqueNous nous intéressons à la distribution de courant engendrée par deux conducteurscirculaires portants deux courants de charges opposées. Ils présentent une symétrie deTAMTAM –Tunis– 2005