Tamtam Proceedings - lamsin

84 Metouileur lorsque u est dans L 2 (Σ). La fonction y est solution faible de l’équation de la chaleursi elle est l’unique solution de la formulation variationnelle :∫y (− ∂zQ ∂t∫Σ− ∆z) dxdt = − u ∂z dΣ, ∀z ∈ H(Q) avec z(T ) = 0, (2)∂noù H(Q) = L 2 (]0, T [; H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) ∩ H 1 (]0, T [; L 2 (Ω)).En s’appuyant sur la référence [8], l’opérateur (− ∂ − ∆) réalise un isomorphisme de∂tl’espace H(Q) dans L 2 (Q). Grâce au lemme de Lax-Milgram, nous établissons l’existence,l’unicité et la stabilité da la solution y ∈ L 2 (Q) du problème (2). Notons aussi quecette solution y ∈ C([0, T ]; H −1 (Ω)) et vérifie (cf. [8]) :‖y‖ C([0,T ];H −1 (Ω)) + ‖y‖ L2 (Q) ≤ C‖u‖ L2 (Σ), (3)où C est une constante > 0.Notons enfin, qu’en général, y /∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)). Le problème de contrôle auquel nousnous intéressons dans ce travail est :{inf J(y, u)(P T ) u∈V (4)avec y solution de (2),{}où V = u ∈ L 2 (Σ), y u (T ) ∈ L 2 (Ω) et la fonction objectif est donnée par :J(y, u) = 1 ∫) − y T )2 Ω(y(T 2 + 1 ∫u 2 , (5)2 Σoù y u est la solution de (2) associée à u et y T un profil fixé dans L 2 (Ω).La particularité du problème optimal (P T ) est étroitement liée à l’expression de la fonctionobjectif. En effet, dans J apparaît la norme L 2 (Ω) de y(T ). Cette régularité n’est pasforcément acquise pour u quelconque dans L 2 , puisque y solution de l’équation (2) n’estpas nécessairement dans C([0, T ]; L 2 (Ω)) comme nous l’avons signalé ci-dessus. C’estpourquoi, nous avons choisi de chercher la commande optimale u dans V.En s’appuyant sur des résultats classiques d’optimisation et en munissant V de la normenaturelle (‖u‖ 2 V = ‖u‖2 L 2 (Σ) + ‖y u(T )‖ 2 L 2 (Ω) ), on montre que le problème (P T ) admetune solution unique qu’on notera ū. Nous nous intéressons dans la suite à l’étude desconditions d’optimalité associées au problème (P T ). Ces conditions sont données par :∫∫(ȳ(T ) − y T )y v (T ) dx + ūv dΣ = 0, ∀v ∈ V, (6)ΩΣoù ȳ (resp. y v ) est la solution du problème (2) associé à ū (resp. v).Pour la résolution numérique de (6), nous sommes amenés à résoudre dans chaque directionv ∈ V un problème de Dirichlet vérifié par y v , ce qui est coûteux. Nous introduisonsalors l’état adjoint associé au problème (P T ), qui est solution de :− ∂p∂t − ∆p = 0 dans Q, p = 0 sur Σ, p(T ) = y(T ) − y T dans Ω. (7)TAMTAM –Tunis– 2005