Tamtam Proceedings - lamsin

Dimensions fractales 2611. IntroductionLes fractals sont des objets mathématiques suffisamment « irréguliers » et « brisés »pour échapper au traitement des outils de l’analyse classique. Vu la diversité de ces fractalset leur complexité, il existe plusieurs définitions des dimensions fractales et qui necoïncident pas toujours. Citons entre autres, la dimension de Hausdorff et la dimensionde Boîtes. Elles servent à mesurer le « taux de remplissage » ou le « degré d’irrégularité», par exemple dans le plan, d’une courbe fractale. Dans ce travail, nous allons nous entenir aux trois exemples de fractals suivants :- Attracteurs de Lorenz : Les attracteurs de certains systèmes dynamiques, dont les équationsdifférentielles sont non-linéaires sont d’une structure très irrégulière ; ils sont ainsides fractals. L’un des exemples le plus révélateur qui soit est l’attracteur de Lorenz.- Attracteurs pour les équations de Navier-Stokes : Ces équations différentielles sont leséquations fondamentales de l’étude de la dynamique des fluides. En fait, à de grandes vitesses,le comportement des fluides visqueux devient turbulent, de telle sorte qu’il décritdes trajectoires irrégulières qui pourront être des fractals.- Arcs trinomiaux : Ce sont les trajectoires des racines des équations trinomiales nonlinéairesz n = αz k + (1 − α), où z un complexe, n et k des entiers naturels tels que1 ≤ k ≤ n − 1 et α un réel.2. Dimension de HausdorffSoient F ⊂ 3 2 et d > 0. (U i ) i∈N est un δ-recouvrement de F si :F ⊂ ∪ i=1,···,∞ U i et 0 < |U i | ≤ δ, pour tout i ∈ N.Soit s un réel positif. Pour tout δ > 0, on définit :H s δ(F ) = inf{ ∑ |U i | s: (U i ) est un δ-recouvrement de F}.On note H s (F ) la limite de H s δ(F ) quand δ tend vers 0. Cette limite existe pour toutF ⊂ 3 2 et peut être 0 ou l’infini. H s (F ) est la s-mesure de Hausdorff. La dimension deHausdorff de F est : dim H (F ) = inf{s : H s (F ) = 0} = sup{s : H s (F ) = +∞}.3. Dimension de BoîtesSoient F ⊂ 3 2 , D le disque unité de 3 2 et ɛ > 0. La saucisse de Minkowski de Fest l’ensemble F + ɛD = ∪ x∈F B ɛ (x), où B ɛ (x) = {y ∈ F : d(x, y) < ɛ} (d est ladistance Euclidienne). En désignant par |F + ɛD| 2 l’aire de la saucisse de F, la dimensionde Boîtes de F est définie par : dim B (F ) = lim e−→0 (2 − log |F + ɛD| 2 / log ɛ).TAMTAM –Tunis– 2005