Tamtam Proceedings - lamsin

où ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩α ∗ = α 1 v ∗ 1 + α 2 v ∗ 2Modèle de croissance avec retard 517Notons que u 2 (t) = 1 − u 1 (t) et v 2 (t) = 1 − v 1 (t). Le système (1) est équivalent ausystème suivant{ ˙u1 (t) = (k 12 u 2 (t) − k 21 u 1 (t)) + ɛF 1 (x i , x m , u 1 , v 1 )(2)˙v 1 (t) = (h 12 v 2 (t) − h 21 v 1 (t)) + ɛF 2 (x m , v 1 ),et⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ẋ i (t) = ɛ[x m (t)(α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t)) − x i (t)(γ 1 u 1 (t) + γ 2 u 2 (t))−x τ m(t)(α 1 e −γ1τ v τ 1 (t) + α 2 e −γ2τ v τ 2 (t))]ẋ m (t) = ɛ[x τ m(t)(α 1 e −γ1τ v τ 1 (t) + α 2 e −γ2τ v τ 2 (t))−(x m (t)) 2 (β 1 (v 1 (t)) 2 + β 2 (v 2 (t)) 2 )],(3)où⎧F 1 (x i , x m , u 1 , v 1 ) = x m (t)x −1i (t)[α 1 v 1 (t) − α 1 u 1 (t)v 1 (t) − α 2 u 1 (t)v 2 (t)]⎪ ⎨ −(γ 1 − γ 1 u 1 (t) − γ 2 u 2 (t))u 1 (t) − x τ m(t)x −1i (t)[α 1 e −γ1τ v1 τ (t) − α 1 e −γ1τ u 1 (t)v1 τ (t) − α 2 e −γ2τ u 1 (t)v2 τ (t)]⎪ F ⎩ 2 (x m , v 1 ) = x −1m (t)x τ m(t)[α 1 e −γ1τ v1 τ (t) − α 1 e −γ1τ v 1 (t)v1 τ (t) − α 2 e −γ2τv 1 (t)v2 τ (t)] − x m (t)v 1 (t)[β 1 v 1 (t) − β1(v 1 (t)) 2 − β 2 (v 2 (t)) 2 ],et x τ i (t) = x i(t − τ), x τ m(t) = x m (t − τ) et vi τ (t) = v i(t − τ).La partie rapide admet un équilibre asymptotiquement stable, il est solution du système :⎧k 12 u 2 − k 21 u 1 = 0⎪⎨u 1 + u 2 = 1h 12 v 2 − h 21 v 2 = 0⎪⎩v 2 + v 1 = 0.Soit u ∗ j et v∗ j la solution de ce système, alors on a⎧⎪⎨ u ∗ k 121 =k 12 + k 21⎪⎩ v1 ∗ h 12= .h 12 + h 21Le but de cette note est de réduire le système (1) ; pour celà, nous proposons le systèmesuivant qui décrit la dynamique de la population totale, qui est obtenue en remplaçant respectivementdans (3) les fréquences relatives u 1 ,u 2 ,v 1 et v 2 par les fréquences d’équilibreu ∗ 1, u ∗ 2, v1 ∗ et v2. ∗ On obtient{ẋi (t) = α ∗ x m (t) − γ ∗ x i (t) − σ ∗ x m (t − τ)ẋ m (t) = σ ∗ x m (t − τ) − β ∗ (x m (t)) 2 (4),γ ∗ = γ 1 u ∗ 1 + γ 2 u ∗ 2σ ∗ = α 1 e −γ1τ v ∗ 1 + α 2 e −γ2τ v ∗ 2β ∗ = β 1 (v ∗ 1) 2 + β 2 (v ∗ 2) 2 .TAMTAM –Tunis– 2005