Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

Université de Tunis El ManarMastère (DEA)de Mathématiques AppliquéesRecueil d'Examens(1999 - 2003)Méthode des Eléments FinisFaker Ben Belgacem (UTC) – Henda El Fekih (ENIT)Ecole Nationale d'Ingénieurs de TunisB.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – TunisieTél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn

E.N.I.T.Examen – Méthode des Éléments FinisDEA de Mathématiques AppliquéesEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDurée : 3H00Date : 13 janvier 2000Documents non autorisésSoit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ. On se donne deux fonctions f ∈ L 2 (Ω), g ∈ L 2 (Γ)et une matrice A = (a ij ) 1≤i,j≤2 d’ordre 2 réelle, non nécessairement symétrique, définie positive :où α est un réel strictement positif.(Aξ, ξ) ≥ α‖ξ‖ 2 R 2, ∀ ξ ∈ R2 ,On considère le problème elliptique de second ordre suivant : chercher u tel que(1)(2)avec ε un réel strictement positif.− div (A∇u) = f, dans Ω,ε(A∇u).n + u = g, sur Γ.Partie 1:On suppose dans cette partie que ε = 1, les conditions aux limites (2) sont dites de type Fourier.1.1.– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercher u ∈ H 1 (Ω)tel que ∫∫ ∫ ∫(3)(A∇u).∇v dx + uv dΓ = fv dx + gv dΓ, ∀v ∈ H 1 (Ω).ΩΓΩΓ1.2.– Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que :(‖v‖ L 2 (Ω) ≤ C |v| 2 H 1 (Ω) + ‖v‖2 L 2 (Γ)) 12, ∀ v ∈ H 1 (Ω).—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω) dansL 2 (Ω)—.1.3.– En déduire que le problème variationnel (3) admet une solution unique u dans H 1 (Ω) vérifiant :où C ′ est une constante réelle strictement positive.‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C ′ ( ‖f‖ L 2 (Ω) + ‖g‖ L 2 (Γ)).1.4.– On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , où h désigne la taillemaximale des triangles. On définit l’espace discret suivant :A-t-on V h ⊂ H 1 (Ω)?V h = { v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h}.On se propose de discrétiser le problème variationnel (3) de la façon suivante:chercher u h ∈ V h tel que∫∫∫ ∫(4)(A∇u h ).∇v h dx + u h v h dΓ = fv h dx + gv h dΓ, ∀v h ∈ V h .ΩΓΩΓMontrer que ce problème est bien posé.

Examen – Méthode des Éléments Finis 13 janvier 20001.5.– On suppose qu’il existe une constante σ > 0 vérifiant h K ≤ σρ K , ∀K ∈ T h , ∀h > 0, où h K est lataille de K et ρ K sa rondeur (on dit que la famille (T h ) h>0 est régulière). Lorsque u ∈ H 2 (Ω), donnerune estimation de ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) en fonction de h.1.6.– En utilisant l’argument de dualité d’Aubin-Nitsche donner une estimation de ‖u − u h ‖ L 2 (Ω) —Attention! la matrice A n’est pas symétrique—.1.7.– Donner une base de V h et exprimer le système algébrique associé au problème discret (4). Proposerune méthode numérique, parmi celles étudiées dans le cadre du cours d’analyse numérique des grandssystèmes, pour résoudre ce système.Partie 2:Dans cette partie A = I, où I est la matrice identité, et ε > 0 est destiné à tendre vers 0.2.1.– Prouver que la solution u ε du problème variationnel associé à (1) et (2) (que l’on écrira) est leminimisant de la fonctionnelle d’énergieJ(v) = 1 ( ∫ |∇v| 2 dx + 1 ∫ ) ∫v 2 dΓ − fv dx − 1 ∫gv dΓ2 Ωε ΓΩ ε Γc’est-à-dire que J(u ε ) =min J(v).v∈H 1 (Ω)2.2.– Expliciter le problème variationnel approché en utilisant l’espace discret V h donné à la question 1.4et montrer par des arguments algébriques qu’il admet une solution unique qu’on notera u ε,h .2.3.– Donner une estimation de |u ε − u ε,h | H 1 (Ω) et de ‖u ε − u ε,h ‖ L 2 (Γ) en fonction de ε et de h. Endéduire une estimation de ‖u ε − u ε,h ‖ H 1 (Ω).2.4.– Donner une condition sur (ε, h) pour que ‖u ε − u ε,h ‖ H 1 (Ω) converge vers 0 lorsque (ε, h) → (0, 0).Remarque : On montre que lorsque ε tend vers zéro, u ε tends vers u 0 dans H 1 (Ω), où u 0 est la solutiondu problème :− div (A∇u 0 ) = f, dans Ω,u 0 = g, sur Γ.et que u ε,h − u 0 tend vers zéro dans H 1 (Ω) lorsque (ε, h) → (0, 0) sous la condition donnée dans 2.4.Cette approche permet de tenir compte de la condition de Dirichlet dans la mise en oeuvre numérique.Notations :| · | H 1 (Ω) : semi-norme H 1n : normale unitaire extérieure à ΓPour w = (w 1 , w 2 ), div(w) = ∂w1∂x 1+ ∂w2∂x 2, de sorte que :div(A∇u) =2∑i,j=1∂∂x i(aij∂u∂x j)DEA Mathématiques Appliquées 2/2

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E.N.I.T.Examen – Méthode desEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDate : 10 janvier 2001DEA de Mathématiques AppliquéesÉléments FinisDurée : 3H00Documents non autorisésSoit Ω un ouvert connexe borné de R 2 à frontière Γ régulière.Préliminaire : Soit g ∈ L 2 (Ω) vérifiant ∫ g dx = 0. On suppose que toute solutionΩw ∈ H 1 (Ω) du problème{ −∆w = g, dans Ω∂w∂n = 0, sur Γvérifie w ∈ H 2 (Ω) et ‖w‖ H 2 (Ω) ≤ C‖g‖ L 2 (Ω), où C est une constante > 0.On se donne une fonction f ∈ L 2 (Ω) et on considère le problème variationnel suivant :⎧⎨ Chercher u ∈ H∫1 (Ω) tel que(∫ ) (∫ ) ∫(P )⎩ ∀ v ∈ H 1 (Ω), ∇u.∇v dx + λ u dx v dx = fv dxΩΩΩΩoù λ est un réel ≥ 1.Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C 1 > 0 telle que :∣∫∣∣∣∀v ∈ H 1 (Ω), ‖v‖ 2 H 1 (Ω) ≤ C 1[|v| 2 H 1 (Ω) + ]v dx∣.∣2—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω)dans L 2 (Ω)—.1.2. En déduire que le problème (P) admet une solution et une seule u vérifiant :‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C 2 ‖f‖ L 2 (Ω)où C 2 est une constante > 0 indépendante de λ.1.3. Montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 indépendante de λ telle que :∫∣ u dx∣ ≤ C 3λ ‖f‖ L 2 (Ω)1.4. Ecrire (formellement) le poblème fort associé à (P).Ω1.5. En déduire que la solution u de (P) est dans H 2 (Ω) et vérifie ‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C 4 ‖f‖ L 2 (Ω),avec C 4 une constante > 0 indépendante de λ.Partie 2 .— On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , oùh désigne la taille maximale des triangles. On définit l’espace discret suivant :V h = {v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h }.Ω

Examen – Méthode des Éléments Finis 10 janvier 2001On suppose qu’il existe une constante σ > 0 vérifiant h K ≤ σρ K , ∀K ∈ T h , où h K est lediamètre de K et ρ K sa rondeur (on dit que la famille (T h ) h>0 est régulière).2.1. Proposer une discrétisation du problème variationnel (P) et montrer que ce problèmeapproché est bien posé. On notera u h sa solution.2.2. Appliquer le lemme de Céa pour montrer que :‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ C 5 (h + √ λh 2 )‖f‖ L 2 (Ω)où C 5 est une constante > 0 indépendante de λ et de h.(On notera alors que si λ → +∞, la précision de l’approximation se dégrade)2.3. Montrer que∀ v h ∈ V h , |u − u h | 2 H 1 (Ω) + λ (∫Ω) 2 (∫) 2(u − u h ) dx ≤ |u − v h | 2 H 1 (Ω) + λ (u − v h ) dxΩ2.4. En déduire qu’il existe une constante C 6 > 0 indépendante de λ et de h telle que :‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ C 6 h ‖f‖ L 2 (Ω)2.5. En déduire par l’argument de dualité d’Aubin-Nitsche une estimation de ‖u − u h ‖ L 2 (Ω).Partie 3.— On note désormais u λ la solution du problème (P). On définit l’espace{∫}W = v ∈ H 1 (Ω), v(x) dx = 0 ,et on désigne par u l’unique solution du problème⎧⎨ Chercher u∫∈ W tel que ∫(P ′ )⎩ ∀ v ∈ W, ∇u.∇v dx =—Ce problème est bien posé (à ne pas démontrer).—ΩΩΩfv dx3.1. On suppose que ∫ Ω f(x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution u λ coïncideavec u.3.2. Dans le cas où l’hypothèse ∫ f(x) dx = 0 n’est plus vérifiée, prouver queΩ∫∀ v ∈ W, ∇(u λ − u).∇v dx = 0.En déduire queet queavec C > 0 une constante indépendante de λ.Commenter.Ωλ(u λ − u) = 1 f(x) dx,|Ω|∫Ω2‖u λ − u‖ H 1 (Ω) ≤ C λ ‖f‖ L 2 (Ω),□DEA Mathématiques Appliquées 2/2

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E.N.I.T.Examen – Méthode des Éléments FinisDEA de Mathématiques AppliquéesEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDurée : 4H00Date : 5 janvier 2002Documents non autorisésPréambule :Soit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ, on rappelle que lorsque f ∈ L 2 (Ω) la solutionvariationnelle u du problème de Poissonest dans l’espace H 2 (Ω) avec l’estimation−∆u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).Partie I :Soit f ∈ L 2 (Ω) donné, on considère le problème de Laplace : chercher u tel que(1)(2)−ε∆u + u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.avec ε un réel strictement positif.1.1.– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercher u ∈ H0 1 (Ω)tel que∫∫ ∫(3)ε ∇u.∇v dx + uv dx = fv dx, ∀v ∈ H0 1 (Ω).ΩΩΩ1.2.– Prouver que le problème (3) admet une solution unique u dans H 1 0 (Ω) vérifiant :() 1ε|u| 2 H 1 (Ω) + ‖u‖2 2L 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).où C est une constante réelle strictement positive indépendante de ε.1.3.– Montrer que u ∈ H 2 (Ω) et queε‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).où C est une constante réelle strictement positive indépendante de ε.1.4.– Dans cette question et dans les deux suivantes la solution u du problème faible est notée u ε pourdes raisons évidentes. Prouver que, lorsque ε → 0, la suite u ε converge vers f faiblement dans L 2 (Ω) etfortement dans H −1 (Ω) (le dual de H 1 0 (Ω)) avec‖u ε − f‖ H −1 (Ω) ≤ Cε 1 2 ‖f‖L 2 (Ω).1.5.– Montrer que pour tout v ∈ H0 1 (Ω),‖u ε − v‖ 2 L 2 (Ω) ≤ ‖f − v‖2 L 2 (Ω) + ε 1 2 |v|2H 1 (Ω) .En déduire que u ε converge fortement vers f dans L 2 (Ω).T.S.V.P

Examen – Méthode des Éléments Finis 5 janvier 20021.6.– On suppose que f ∈ H 1 0 (Ω), établir queEn déduire que‖u ε − f‖ L 2 (Ω) ≤ Cε 1 2 ‖f‖H 1 (Ω).ε 1 2 ‖uε ‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ H 1 (Ω).Partie II :On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , où h désigne la taillemaximale des triangles. L’espace discret V h est défini par :V h = { v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h , v |Γ = 0 } .On se propose de discrétiser le problème variationnel (3) par un procédé de Riesz-Galerkin :chercher u h ∈ V h tel que∫∫∫(4)ε ∇u h .∇v h dx + u h .v h dx = fv h dx, ∀v h ∈ V h .ΩΩΩ2.1.– Montrer que le problème (4) est bien posé.2.2.– Prouver que : ∀v h ∈ V h ,ε|u − u h | 2 H 1 (Ω) + ‖u − u h‖ 2 L 2 (Ω) ≤ ε|u − v h| 2 H 1 (Ω) + ‖u − v h‖ 2 L 2 (Ω) .2.3.– On suppose que f ∈ L 2 (Ω) établir que() 1ε|u − u h | 2 H 1 (Ω) + ‖u − u h‖ 2 2(5)L 2 (Ω) ≤ C(hε − 1 2 + h 2 ε −1 )‖f‖ L 2 (Ω).Discuter de la précision de la méthode selon le nombre hε − 1 2 .2.4.– On suppose toujours que f ∈ L 2 (Ω), à l’aide de l’argument d’Aubin-Nitsche montrer que(6)‖u − u h ‖ L 2 (Ω) ≤ C(hε − 1 2 + h 2 ε −1 ) 2 ‖f‖ L 2 (Ω).2.5.– Que deviennent les estimations (5) et (6) lorsque f ∈ H 1 0 (Ω)?Partie III:On s’intéresse maintenant au problème d’advection-diffusion avec un cœfficient de diffusion ε = 1 :chercher u tel queb un vecreur fixé de R 2 .−∆u + b.∇u + u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.3.1– Ecrire le problème faible sous la forme suivante : chercher u ∈ H0 1 (Ω) tel que∫(7)a(u, v) = fv dx, ∀v ∈ H0 1 (Ω),expliciter la forme bilinéaire a et remarquer qu’elle n’est pas symétrique.3.2– Montrer que le problème (7) admet une solution unique.3.3– On discrétise le problème (7) sur l’espace V h : chercher u h ∈ V h tel que∫a(u h , v h ) = fv h dx, ∀v ∈ V h .et on suppose que u ∈ H 2 (Ω), établir que3.4– Montrer par l’argument d’Aubin-Nitsche queΩΩ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ Ch‖u‖ H 2 (Ω).‖u − u h ‖ L 2 (Ω) ≤ Ch 2 ‖u‖ H 2 (Ω).DEA Mathématiques Appliquées 2/2

E.N.I.T.Examen – Session de rattrapageMéthode des Éléments FinisEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDate : 11 juillet 2002DEA de Mathématiques AppliquéesDurée : 2H00Documents non autorisésEXERCICE ISoit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ. On se donne deux fonctions f ∈ L 2 (Ω),g ∈ L 2 (Γ) et on considère le problème elliptique de second ordre suivant : chercher u tel que−∆u = f, dans Ω, (1)∂u+ u∂n= g, sur Γ. (2)1- Ecrire la formulation variationnelle du problème (1)–(2). On notera (P) ce problème etu sa solution.2- Montrer que le problème variationnel (P), obtenu dans 1-, admet une solution unique udans H 1 (Ω) vérifiant :‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C ( ‖f‖ L 2 (Ω) + ‖g‖ L 2 (Γ)).où C est une constante réelle strictement positive.3- On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h et est supposéêtre régulière, où h désigne la taille maximale des triangles. On définit l’espace discretsuivant :V h = {v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h }.Donner le problème variationnel approché (P h ) associé à (P) et montrer qu’il est bien posé.On notera u h sa solution.4- Lorsque u ∈ H 2 (Ω), donner une estimation de ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) en fonction de h.5- En déduire une estimation de ‖u − u h ‖ L 2 (Ω).

Examen – Méthode des Éléments Finis 11 juillet 2002EXERCICE IISoit Ω un domaine borné régulier de R 2 de frontière Γ.s’intéresse à l’étude du problème elliptique :(1) −∆u = f dans Ω,k étant un réel donné.∂u∂n∫Ω= 0 sur Γ, u dx = kOn se donne f ∈ L 2 (Ω) et onOn admettra l’inégalite de Poincaré-Wirtinger: il existe α > 0 tel que ∀v ∈ H 1 (Ω),∫‖v‖ H 1 (Ω) ≤ α(|v| 2 H 1 (Ω) + | v dx| 2 ) 1/2(| · | H 1 (Ω) désigne la semi-norme H 1 ).1- Donner une condition nécessaire pour que le problème (1) admette au moins une solution.2- Donner la formulation variationnelle (P) du problème (1).3- Montrer que le problème variationnel (P), trouvé dans 2-, admet une solution uniqueu ∈ H 1 (Ω) et qu’il existe une constante C telle que‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C|(‖f‖ L 2 (Ω) + |k|).ΩOn notera par V (Ω) l’espaceV (Ω) ={v ∈ H 1 (Ω),∫Ω}v dx = 0 .4- Dans la suite Ω est un domaine polygonal convexe de R 2 . On considère une famillerégulière T h de triangulations de pas h et K est un triangle quelconque de la triangulation.On construit l’espace discret}X h (Ω) ={v h ∈ C 0 (Ω) ∩ H 1 (Ω), v h|K ∈ P 1 (K), ∀K ∈ T h ,et on pose V h (Ω) = X h (Ω) ∩ V (Ω).Donner le problème variationel approché (P h ) de (P) et montrer qu’il est bien posé.5- Montrer qu’il existe une constante C indépendante de h telle que‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ Cinfv h ∈X h (Ω)RΩ v h dx=k ‖u − v h ‖ H 1 (Ω).où u et u h désignent respectivement les solutions de (P) et (P h ).6- En déduire que si u ∈ H 2 (Ω) alors :où C est une constant indépendante de h.||u − u h || H 1 (Ω) ≤ Ch‖u‖ H 2 (Ω),□DEA Mathématiques Appliquées 2/2

E.N.I.T.Examen – Méthode des Éléments FinisMastère de Mathématiques AppliquéesEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDurée : 3H30Date : 6 janvier 2003Documents non autorisésPartie 0 : PréambuleSoit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ régulière. Pour tout champ de vecteurs v sur Ω,l’opérateur de divergence désigné par le symbole div est défini par(div v) = ∂v 1∂x + ∂v 2∂y .L’opérateur de Laplace vectoriel, noté ∆ est déterminé de la façon suivante( )∆v1∆v = .∆v 20.1.– Etablir la formule de Stokes à partir de la formule de Green : ∀ v ∈ H 1 (Ω) 2 , ∀q ∈ H 1 (Ω),∫∫∫(div v)q dx = − v.∇q dx + (v · n)q dΓ.ΩΩPartie I :Soit f ∈ L 2 (Ω) 2 un champ de vecteurs donné, on considère le problème d’élasticité plane: chercher utel queΓ(1)(2)−∆u − λ∇(div u) = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.λ est un réel strictement positif, appelé le coefficient de Lamé, u le champ de déplacements d’un solidedéformable occupant le domaine Ω avant sa déformation, encastré le long de sa frontière et soumis à unchamp de forces de densité f.1.1.– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercher u ∈ H0 1 (Ω) 2tel que ∫∫∫(3)∇u.∇v dx + λ (div u)(div v) dx = f · v dx, ∀v ∈ H0 1 (Ω) 2 .ΩΩΩ1.2.– Prouver que le problème (3) admet une solution unique u dans H 1 0 (Ω) 2 vérifiant :(4)() 1|u| 2 H 1 (Ω) + λ‖(div 2 u)‖2 2L 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω) 2,où C est une constante réelle strictement positive indépendante de λ.1.3.– On suppose qu’il existe une constante α > 0, telle que : pour tout q ∈ L 2 (Ω); ∫ q dx = 0,Ω∫(div v)q dxΩsup≥ α‖q‖ Lv∈H0 1 |v| 2 (Ω),(Ω)2 H 1 (Ω) 2(c’est la condition inf-sup de Brezzi, à ne pas démontrer).Montrer qu’il existe C > 0 indépendante de λ telle queComparer avec (4) lorsque λ tend vers +∞.λ‖(div u)‖ L 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω) 2.

Examen – Méthode des Éléments Finis 6 janvier 20031.4.– On note désormais u λ la solution de (3) et p λ = −λ(div u λ ), montrer qu’il exite une sous-suite λ ntelle que (u λn , p λn ) n converge faiblement vers (u, p) dans H 1 0 (Ω) 2 × L 2 (Ω) lorsque λ n → ∞, et que (u, p)est solution du problème de Stokes−∆u + ∇p = f, dans Ω,div u = 0, dans Ω,u = 0, sur Γ.Partie II :On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , où h désigne la taillemaximale des triangles. L’espace discret V h est défini par :V h = { v h ∈ C(Ω) 2 , v h|K ∈ (P 1 ) 2 , ∀K ∈ T h , v h|Γ = 0 } .On se propose de discrétiser le problème variationnel (3) par un procédé de Riesz-Galerkin :chercher u h ∈ V h tel que∫∫∫(5)∇u h .∇v h dx + λ (div u h )(div v h ) dx = f · v h dx, ∀v h ∈ V h .ΩΩΩ2.1.– Montrer que le problème (5) est bien posé.2.2.– Prouver que : ∀v h ∈ V h ,|u − u h | 2 H 1 (Ω) + λ‖div (u − u h)‖ 2 L 2 (Ω) ≤ |u − v h| 2 H 1 (Ω) + λ‖div (u − v h)‖ 2 L 2 (Ω)2.3.– On suppose que u ∈ H 2 (Ω) 2 , établir que|u − u h | H 1 (Ω) 2 ≤ C(√ 1 + λ)h|u| H 2 (Ω) 2.Que pensez vous de la qualité de l’approximation lorsque λ devient grand?2.4.– On choisit λ = 1, montrer à l’aide de l’argument d’Aubin-Nitsche‖u − u h ‖ L 2 (Ω) 2 ≤ Ch2 |u| H 2 (Ω) 2.2.5.– Construire une base convenable de l’espace discret V h , écrire le problème (5) sous forme matricielle,dégager les propriétés de la matrice du système et proposer une méthode pour le résoudre.Partie III: Formulation variationnelle mixte du problème d’élasticité3.1.– Vérifier qu’une formulation équivalente du problème (1)-(2) est donnée par(6)−∆u + ∇p = f, dans Ω,(7) −div u − 1 pλ= 0, dans Ω,(8)u = 0, sur Γ.3.2.– On introduit l’espaceL 2 0(Ω) = { q ∈ L 2 (Ω),∫Ω}q dx = 0 .Etablir que toute solution (u, p) ∈ H0 1 (Ω) 2 ×L 2 0(Ω) de (6)-(8) est aussi solution du problème variationnel :∫∫∫∇u.∇v dx− p(div v) dx+ q(div u) dx+ 1 ∫ ∫pq dx = f ·v dx, ∀(v, q) ∈ H0 1 (Ω) 2 ×L 2ΩΩΩ λ0(Ω).ΩΩ3.3.– Prouver que ce problème admet une solution unique. Que se passe-t-il si L 2 0(Ω) est remplacé parL 2 (Ω)?Mastère de Mathématiques Appliquées – ENIT 2/2

E.N.I.T.Mastère de Mathématiques AppliquéesExamen – Session de rattrapageMéthode desÉléments FinisEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDate : 30 avril 2003Durée : 2H00Documents non autorisésExercice 1On s’intéresse au problème d’advection-diffusion : chercher u tel que−∆u + b.∇u + u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.b un vecteur fixé constant de R 2 .1– Ecrire le problème faible sous la forme suivante : chercher u ∈ V tel que(1) a(u, v) = l(v), ∀v ∈ V,où a, l et V sont à déterminer.2– Montrer que le problème (1) admet une solution unique.3– Proposer une discrétisation du problème (1) par des éléments finis affines, en spécicifiantl’espace discret V h , et écrire le problème approché sous la forme : chercher u h ∈ V h tel que(2) a(u h , v h ) = l(v h ), ∀v h ∈ V h .Montrer que le problème (2) est bien posé. On notera u h sa solution.4– On suppose que u ∈ H 2 (Ω), établir que‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ Ch‖u‖ H 2 (Ω).5– En déduire que‖u − u h ‖ L 2 (Ω) ≤ Ch 2 ‖u‖ H 2 (Ω).

Exercice 2Soit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ. On se donne deux fonctionsf ∈ L 2 (Ω), g ∈ L 2 (Γ) et une matrice A = (a ij ) 1≤i,j≤2 d’ordre 2 réelle, non nécessairementsymétrique, définie positive :où α est un réel strictement positif.(Aξ, ξ) ≥ α‖ξ‖ 2 R 2, ∀ ξ ∈ R2 ,On considère le problème elliptique de second ordre suivant : chercher u tel que− div (A∇u) = f, dans Ω, (1)(A∇u).n + u = g, sur Γ. (2)1– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercheru ∈ H 1 (Ω) tel que∫Ω∫(A∇u).∇v dx +Γ∫uv dΓ =Ω∫fv dx +Γgv dΓ, ∀v ∈ H 1 (Ω). (3)2– Montrer que le problème variationnel (3) admet une solution unique u dans H 1 (Ω)vérifiant :‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C ( ‖f‖ L 2 (Ω) + ‖g‖ L 2 (Γ)).où C est une constante réelle strictement positive.3– Proposer une discrétisation par éléments finis affines du problème (3) en spécifiant l’éspacede discrétisation V h et montrer que le problème approché est bien posé, on notera u h sasolution.4.– Donner une estimation de ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) en fonction de h.5– Donner une base de V h et exprimer le système algébrique associé au problème discret.Proposer une méthode numérique, parmi celles étudiées dans le cadre du cours d’analysenumérique des grands systèmes, pour résoudre ce système.2