Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

Examen – Méthode des Éléments Finis 10 janvier 2001On suppose qu’il existe une constante σ > 0 vérifiant h K ≤ σρ K , ∀K ∈ T h , où h K est lediamètre de K et ρ K sa rondeur (on dit que la famille (T h ) h>0 est régulière).2.1. Proposer une discrétisation du problème variationnel (P) et montrer que ce problèmeapproché est bien posé. On notera u h sa solution.2.2. Appliquer le lemme de Céa pour montrer que :‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ C 5 (h + √ λh 2 )‖f‖ L 2 (Ω)où C 5 est une constante > 0 indépendante de λ et de h.(On notera alors que si λ → +∞, la précision de l’approximation se dégrade)2.3. Montrer que∀ v h ∈ V h , |u − u h | 2 H 1 (Ω) + λ (∫Ω) 2 (∫) 2(u − u h ) dx ≤ |u − v h | 2 H 1 (Ω) + λ (u − v h ) dxΩ2.4. En déduire qu’il existe une constante C 6 > 0 indépendante de λ et de h telle que :‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ C 6 h ‖f‖ L 2 (Ω)2.5. En déduire par l’argument de dualité d’Aubin-Nitsche une estimation de ‖u − u h ‖ L 2 (Ω).Partie 3.— On note désormais u λ la solution du problème (P). On définit l’espace{∫}W = v ∈ H 1 (Ω), v(x) dx = 0 ,et on désigne par u l’unique solution du problème⎧⎨ Chercher u∫∈ W tel que ∫(P ′ )⎩ ∀ v ∈ W, ∇u.∇v dx =—Ce problème est bien posé (à ne pas démontrer).—ΩΩΩfv dx3.1. On suppose que ∫ Ω f(x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution u λ coïncideavec u.3.2. Dans le cas où l’hypothèse ∫ f(x) dx = 0 n’est plus vérifiée, prouver queΩ∫∀ v ∈ W, ∇(u λ − u).∇v dx = 0.En déduire queet queavec C > 0 une constante indépendante de λ.Commenter.Ωλ(u λ − u) = 1 f(x) dx,|Ω|∫Ω2‖u λ − u‖ H 1 (Ω) ≤ C λ ‖f‖ L 2 (Ω),□DEA Mathématiques Appliquées 2/2