Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

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E.N.I.T.Examen – Méthode des Éléments FinisDEA de Mathématiques AppliquéesEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDurée : 4H00Date : 5 janvier 2002Documents non autorisésPréambule :Soit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ, on rappelle que lorsque f ∈ L 2 (Ω) la solutionvariationnelle u du problème de Poissonest dans l’espace H 2 (Ω) avec l’estimation−∆u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).Partie I :Soit f ∈ L 2 (Ω) donné, on considère le problème de Laplace : chercher u tel que(1)(2)−ε∆u + u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.avec ε un réel strictement positif.1.1.– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercher u ∈ H0 1 (Ω)tel que∫∫ ∫(3)ε ∇u.∇v dx + uv dx = fv dx, ∀v ∈ H0 1 (Ω).ΩΩΩ1.2.– Prouver que le problème (3) admet une solution unique u dans H 1 0 (Ω) vérifiant :() 1ε|u| 2 H 1 (Ω) + ‖u‖2 2L 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).où C est une constante réelle strictement positive indépendante de ε.1.3.– Montrer que u ∈ H 2 (Ω) et queε‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ L 2 (Ω).où C est une constante réelle strictement positive indépendante de ε.1.4.– Dans cette question et dans les deux suivantes la solution u du problème faible est notée u ε pourdes raisons évidentes. Prouver que, lorsque ε → 0, la suite u ε converge vers f faiblement dans L 2 (Ω) etfortement dans H −1 (Ω) (le dual de H 1 0 (Ω)) avec‖u ε − f‖ H −1 (Ω) ≤ Cε 1 2 ‖f‖L 2 (Ω).1.5.– Montrer que pour tout v ∈ H0 1 (Ω),‖u ε − v‖ 2 L 2 (Ω) ≤ ‖f − v‖2 L 2 (Ω) + ε 1 2 |v|2H 1 (Ω) .En déduire que u ε converge fortement vers f dans L 2 (Ω).T.S.V.P
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