Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

Examen – Méthode des Éléments Finis 5 janvier 20021.6.– On suppose que f ∈ H 1 0 (Ω), établir queEn déduire que‖u ε − f‖ L 2 (Ω) ≤ Cε 1 2 ‖f‖H 1 (Ω).ε 1 2 ‖uε ‖ H 2 (Ω) ≤ C‖f‖ H 1 (Ω).Partie II :On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , où h désigne la taillemaximale des triangles. L’espace discret V h est défini par :V h = { v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h , v |Γ = 0 } .On se propose de discrétiser le problème variationnel (3) par un procédé de Riesz-Galerkin :chercher u h ∈ V h tel que∫∫∫(4)ε ∇u h .∇v h dx + u h .v h dx = fv h dx, ∀v h ∈ V h .ΩΩΩ2.1.– Montrer que le problème (4) est bien posé.2.2.– Prouver que : ∀v h ∈ V h ,ε|u − u h | 2 H 1 (Ω) + ‖u − u h‖ 2 L 2 (Ω) ≤ ε|u − v h| 2 H 1 (Ω) + ‖u − v h‖ 2 L 2 (Ω) .2.3.– On suppose que f ∈ L 2 (Ω) établir que() 1ε|u − u h | 2 H 1 (Ω) + ‖u − u h‖ 2 2(5)L 2 (Ω) ≤ C(hε − 1 2 + h 2 ε −1 )‖f‖ L 2 (Ω).Discuter de la précision de la méthode selon le nombre hε − 1 2 .2.4.– On suppose toujours que f ∈ L 2 (Ω), à l’aide de l’argument d’Aubin-Nitsche montrer que(6)‖u − u h ‖ L 2 (Ω) ≤ C(hε − 1 2 + h 2 ε −1 ) 2 ‖f‖ L 2 (Ω).2.5.– Que deviennent les estimations (5) et (6) lorsque f ∈ H 1 0 (Ω)?Partie III:On s’intéresse maintenant au problème d’advection-diffusion avec un cœfficient de diffusion ε = 1 :chercher u tel queb un vecreur fixé de R 2 .−∆u + b.∇u + u = f, dans Ω,u = 0, sur Γ.3.1– Ecrire le problème faible sous la forme suivante : chercher u ∈ H0 1 (Ω) tel que∫(7)a(u, v) = fv dx, ∀v ∈ H0 1 (Ω),expliciter la forme bilinéaire a et remarquer qu’elle n’est pas symétrique.3.2– Montrer que le problème (7) admet une solution unique.3.3– On discrétise le problème (7) sur l’espace V h : chercher u h ∈ V h tel que∫a(u h , v h ) = fv h dx, ∀v ∈ V h .et on suppose que u ∈ H 2 (Ω), établir que3.4– Montrer par l’argument d’Aubin-Nitsche queΩΩ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ Ch‖u‖ H 2 (Ω).‖u − u h ‖ L 2 (Ω) ≤ Ch 2 ‖u‖ H 2 (Ω).DEA Mathématiques Appliquées 2/2