Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

Exercice 2Soit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ. On se donne deux fonctionsf ∈ L 2 (Ω), g ∈ L 2 (Γ) et une matrice A = (a ij ) 1≤i,j≤2 d’ordre 2 réelle, non nécessairementsymétrique, définie positive :où α est un réel strictement positif.(Aξ, ξ) ≥ α‖ξ‖ 2 R 2, ∀ ξ ∈ R2 ,On considère le problème elliptique de second ordre suivant : chercher u tel que− div (A∇u) = f, dans Ω, (1)(A∇u).n + u = g, sur Γ. (2)1– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercheru ∈ H 1 (Ω) tel que∫Ω∫(A∇u).∇v dx +Γ∫uv dΓ =Ω∫fv dx +Γgv dΓ, ∀v ∈ H 1 (Ω). (3)2– Montrer que le problème variationnel (3) admet une solution unique u dans H 1 (Ω)vérifiant :‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C ( ‖f‖ L 2 (Ω) + ‖g‖ L 2 (Γ)).où C est une constante réelle strictement positive.3– Proposer une discrétisation par éléments finis affines du problème (3) en spécifiant l’éspacede discrétisation V h et montrer que le problème approché est bien posé, on notera u h sasolution.4.– Donner une estimation de ‖u − u h ‖ H 1 (Ω) en fonction de h.5– Donner une base de V h et exprimer le système algébrique associé au problème discret.Proposer une méthode numérique, parmi celles étudiées dans le cadre du cours d’analysenumérique des grands systèmes, pour résoudre ce système.2