Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

Examen – Méthode des Éléments Finis 11 juillet 2002EXERCICE IISoit Ω un domaine borné régulier de R 2 de frontière Γ.s’intéresse à l’étude du problème elliptique :(1) −∆u = f dans Ω,k étant un réel donné.∂u∂n∫Ω= 0 sur Γ, u dx = kOn se donne f ∈ L 2 (Ω) et onOn admettra l’inégalite de Poincaré-Wirtinger: il existe α > 0 tel que ∀v ∈ H 1 (Ω),∫‖v‖ H 1 (Ω) ≤ α(|v| 2 H 1 (Ω) + | v dx| 2 ) 1/2(| · | H 1 (Ω) désigne la semi-norme H 1 ).1- Donner une condition nécessaire pour que le problème (1) admette au moins une solution.2- Donner la formulation variationnelle (P) du problème (1).3- Montrer que le problème variationnel (P), trouvé dans 2-, admet une solution uniqueu ∈ H 1 (Ω) et qu’il existe une constante C telle que‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C|(‖f‖ L 2 (Ω) + |k|).ΩOn notera par V (Ω) l’espaceV (Ω) ={v ∈ H 1 (Ω),∫Ω}v dx = 0 .4- Dans la suite Ω est un domaine polygonal convexe de R 2 . On considère une famillerégulière T h de triangulations de pas h et K est un triangle quelconque de la triangulation.On construit l’espace discret}X h (Ω) ={v h ∈ C 0 (Ω) ∩ H 1 (Ω), v h|K ∈ P 1 (K), ∀K ∈ T h ,et on pose V h (Ω) = X h (Ω) ∩ V (Ω).Donner le problème variationel approché (P h ) de (P) et montrer qu’il est bien posé.5- Montrer qu’il existe une constante C indépendante de h telle que‖u − u h ‖ H 1 (Ω) ≤ Cinfv h ∈X h (Ω)RΩ v h dx=k ‖u − v h ‖ H 1 (Ω).où u et u h désignent respectivement les solutions de (P) et (P h ).6- En déduire que si u ∈ H 2 (Ω) alors :où C est une constant indépendante de h.||u − u h || H 1 (Ω) ≤ Ch‖u‖ H 2 (Ω),□DEA Mathématiques Appliquées 2/2