Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

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E.N.I.T.Examen – Méthode desEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDate : 10 janvier 2001DEA de Mathématiques AppliquéesÉléments FinisDurée : 3H00Documents non autorisésSoit Ω un ouvert connexe borné de R 2 à frontière Γ régulière.Préliminaire : Soit g ∈ L 2 (Ω) vérifiant ∫ g dx = 0. On suppose que toute solutionΩw ∈ H 1 (Ω) du problème{ −∆w = g, dans Ω∂w∂n = 0, sur Γvérifie w ∈ H 2 (Ω) et ‖w‖ H 2 (Ω) ≤ C‖g‖ L 2 (Ω), où C est une constante > 0.On se donne une fonction f ∈ L 2 (Ω) et on considère le problème variationnel suivant :⎧⎨ Chercher u ∈ H∫1 (Ω) tel que(∫ ) (∫ ) ∫(P )⎩ ∀ v ∈ H 1 (Ω), ∇u.∇v dx + λ u dx v dx = fv dxΩΩΩΩoù λ est un réel ≥ 1.Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C 1 > 0 telle que :∣∫∣∣∣∀v ∈ H 1 (Ω), ‖v‖ 2 H 1 (Ω) ≤ C 1[|v| 2 H 1 (Ω) + ]v dx∣.∣2—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω)dans L 2 (Ω)—.1.2. En déduire que le problème (P) admet une solution et une seule u vérifiant :‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C 2 ‖f‖ L 2 (Ω)où C 2 est une constante > 0 indépendante de λ.1.3. Montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 indépendante de λ telle que :∫∣ u dx∣ ≤ C 3λ ‖f‖ L 2 (Ω)1.4. Ecrire (formellement) le poblème fort associé à (P).Ω1.5. En déduire que la solution u de (P) est dans H 2 (Ω) et vérifie ‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C 4 ‖f‖ L 2 (Ω),avec C 4 une constante > 0 indépendante de λ.Partie 2 .— On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , oùh désigne la taille maximale des triangles. On définit l’espace discret suivant :V h = {v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h }.Ω
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