Recueil d'Examens (1999 - 2003) - lamsin

E.N.I.T.Examen – Méthode des Éléments FinisDEA de Mathématiques AppliquéesEnseignants : F. Ben Belgacem – H. El FekihDurée : 3H00Date : 13 janvier 2000Documents non autorisésSoit Ω un ouvert borné régulier de R 2 de frontière Γ. On se donne deux fonctions f ∈ L 2 (Ω), g ∈ L 2 (Γ)et une matrice A = (a ij ) 1≤i,j≤2 d’ordre 2 réelle, non nécessairement symétrique, définie positive :où α est un réel strictement positif.(Aξ, ξ) ≥ α‖ξ‖ 2 R 2, ∀ ξ ∈ R2 ,On considère le problème elliptique de second ordre suivant : chercher u tel que(1)(2)avec ε un réel strictement positif.− div (A∇u) = f, dans Ω,ε(A∇u).n + u = g, sur Γ.Partie 1:On suppose dans cette partie que ε = 1, les conditions aux limites (2) sont dites de type Fourier.1.1.– Montrer que la formulation variationnelle du problème (1)–(2) est donnée par : chercher u ∈ H 1 (Ω)tel que ∫∫ ∫ ∫(3)(A∇u).∇v dx + uv dΓ = fv dx + gv dΓ, ∀v ∈ H 1 (Ω).ΩΓΩΓ1.2.– Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que :(‖v‖ L 2 (Ω) ≤ C |v| 2 H 1 (Ω) + ‖v‖2 L 2 (Γ)) 12, ∀ v ∈ H 1 (Ω).—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω) dansL 2 (Ω)—.1.3.– En déduire que le problème variationnel (3) admet une solution unique u dans H 1 (Ω) vérifiant :où C ′ est une constante réelle strictement positive.‖u‖ H 1 (Ω) ≤ C ′ ( ‖f‖ L 2 (Ω) + ‖g‖ L 2 (Γ)).1.4.– On considère un maillage de Ω en triangles, la triangulation est notée T h , où h désigne la taillemaximale des triangles. On définit l’espace discret suivant :A-t-on V h ⊂ H 1 (Ω)?V h = { v h ∈ C(Ω), v h|K ∈ P 1 , ∀K ∈ T h}.On se propose de discrétiser le problème variationnel (3) de la façon suivante:chercher u h ∈ V h tel que∫∫∫ ∫(4)(A∇u h ).∇v h dx + u h v h dΓ = fv h dx + gv h dΓ, ∀v h ∈ V h .ΩΓΩΓMontrer que ce problème est bien posé.