Tamtam Proceedings - lamsin

158 Meskinefaibles σ( ∏ L M , ∏ E M) et σ( ∏ L M , ∏ L M).L’espace W 1 0 E M (Ω) est défini comme étant la fermeture pour la norme de l’espaceD(Ω) dans W 1 E M (Ω) et W 1 0 L M (Ω) comme étant la fermeture pour la topologie deσ( ∏ L M , ∏ E M) de D(Ω) dans W 1 L M (Ω).3. Résultat PrincipalSoit Ω un ouvert borné de R N , N ≥ 2, satisfaisant la propriété du segment.Soit M une N-fonction et considérons l’opérateur défini parA(u) = −div(a(x, u)M(|∇u|) ∇u|∇u|) où a(x, s) : Ω × R → R est une fonction de2Carathéodory vérifiant pour presque tout x ∈ R et tout s ∈ R :0 < α 0 ≤ α(|s|) ≤ a(x, s) ≤ b(|s|) (3.1)avec α et b deux fonctions continues de R + → R + . Supposons maintenant qu’il existeune fonction positive continue β de R → R telle que β(t)α(t)est une fonction décroissantesur R + etβ(|t|)α(|t|) ∈ L1 (R). (3.2)Finalement, soitConsidérons le problème de Dirichlet suivant :χ ∈ L 1 (Ω). (3.3)−div(a(x, u)M(|∇u|) ∇u ) = χ + β(|u|)M(|∇u|) dans Ω. (3.4)|∇u|2On définit par T 1,M0 (Ω) l’ensemble des fonctions mesurables u : Ω → R telles queT k (u) ∈ W 1 0 L M (Ω) ∩ D(A), où T k (s) = max(−k, min(k, s)), ∀s ∈ R, ∀k ≥ 0.Théorème 3.1 Sous les hypothèses (3.1) − (3.3), il existe au moins une solution entropiqueu du problème (3.4)⎧⎪⎨⎪⎩u ∈ T 1,M0 (Ω),β(|u|)M(|∇u|) ∫∈ L 1 (Ω)a(x, u)M(|∇u|) ∇uΩ|∇u| 2 ∇T k(u − v)dx ≤∫∫χT k (u − v)dx + β(|u|)M(|∇u|)T k (u − v)dxΩΩ∀v ∈ W 1 0 L M (Ω) ∩ L ∞ (Ω), ∀k > 0.(P )TAMTAM –Tunis– 2005