Tamtam Proceedings - lamsin

Instabilités hydrodynamiques 2871. IntroductionL’étude de la stabilité des écoulements constitue un large domaine de recherche enMécanique des Fluides. Les processus et les mécanismes conduisant à l’apparition desinstabilités dans les écoulements des fluides, sont encore à l’heure actuelle loin d’êtrecompris et restent un enjeu de grande importance dans la recherche fondamentale et appliquée.Le présent travail traite des instabilités des écoulements à l’intérieur d’une cavité cylindriquechauffée par le bas. Le fluide se met en mouvement dès que la différence detempérature entre le bas et le haut atteind un certain seuil critique : Il s’agit de l’instabilitéde Rayleigh-Bénard.Parmi les travaux relatifs à cette configuration, nous citons l’étude de Charlson & Sani(1971) qui furent les premiers à étudier les seuils primaires de convection.Ces résultats furent complétés par l’étude de la convection au delà de son apparitionpar Neumann (1990), Wanschaura & al. (1996) et Touihri & al. (1999). Ces dernierstravaux ont pu mettre en évidence l’effet du nombre de Prandtl et du rapport de forme dela cavité sur le comportement nonlinéaire de la convection audelà de son apparition.Le schéma temporelle utilisé pour la simulation numérique directe des équations deconservation adimensionnées et le découplage entre la vitesse et la pression sont assuréspar une metode de ’time splitting’ (Karniadakis et al., 1991).La discrétistaion spatiale est assurée par la méthode des éléments spectraux isoparamétriques(Korzack & Patera, 1986).Pour le suivi des solutions et le calcul des diagrammes de bifucrcation, nous utilisonsune méthode de continuation basée sur la méthode de Newton.La résolution du système non linéaire par la méthode de Newton, conduit à chaqueitération à une inversion d’un système linéaire. Pour la résolution de ce système, nousutilisons deux méthodes itératives : méthode du Résidu Minimum Généralisé ’GMRES’et la méthode de Bi-Gradient Conjugué Stabilisé ’BICGSTAB’.Afin d’analyser les bifurcations obtenues nous procédons à une analyse fine des symétriesdes solutions qui paraissent en ces points de bifurcation (Crawford & Knobloch,1991).2. Modèle physique et formulation mathématiqueOn considère un fluide confiné dans une cavité cylindrique de rapport de forme A(A=H/D ; H étant la hauteur du cylindre et D son diamétre).La paroi inférieure est chauffée à une température constante T c , la paroi supérieureest maintenue à une température T f ( T f ≤ T c ) et les parois latérales sont supposéesadiabatiques. Le fluide est supposé newtonien et incompressible.L’état du fluide est décrit par le champ de vitesse ⃗v, la pression p et la température T .TAMTAM –Tunis– 2005