Tamtam Proceedings - lamsin

420 Auroux1. IntroductionL’assimilation de données sert à estimer de façon optimale l’état initial d’un systèmeà l’aide d’observations à différents instants. A partir de cette ébauche, on espère obtenirde bonnes prévisions de l’évolution future du système. La dimension du problème estgénéralement telle que la prise en compte de l’erreur modèle dans les méthodes opérationnellesest numériquement impossible.L’hypothèse d’un modèle parfait étant largement irréaliste, une nouvelle classe de méthodes,dites duales, a été introduite tout d’abord dans un cadre linéaire, puis récemmentétendue à des problèmes non linéaires. Ces méthodes permettent la prise en compte inhérentede l’erreur modèle sans augmenter la dimension du vecteur de contrôle.Plus récemment, un nouvel algorithme, à base de nudging, a été développé dans le but des’affranchir de certaines contraintes imposées par les algorithmes variationnels classiques,à savoir la linéarisation du modèle pour construire le modèle adjoint, et la nécessité d’unalgorithme de minimisation efficace en très grande dimension.2. Un algorithme opérationnel : le 4D-VARConsidérons un problème d’évolution de la forme :⎧⎨⎩∂y(t, x) + A(t, x; y) = f(t, x) + v(t, x),∂t 0y(0, x) = y 0 (x) + u(x),< t < T(1)où A est un opérateur différentiel, u et v modélisent respectivement l’erreur sur la conditioninitiale et l’erreur modèle. On ajoute au système (1) des conditions aux limites adéquateset on suppose le problème bien posé.Nous supposons que nous avons à notre disposition des observations partielles en espaceet discrètes en temps du système, représentées par les fonctions (z i (x)) i=1..N aux instants(t i ) i=1..N .Nous imposons également l’existence d’opérateurs d’observation (H i ) i=1..N permettantde comparer à chaque instant t i l’état y(t i , x) du système et l’observation z i (x) correspondante.En effet, dans le cadre de l’océanographie, la majorité des observations sont réaliséespar les satellites, qui mesurent notamment la hauteur d’eau à la surface des océans.Il faut alors relier ces données aux paramètres modélisés dans les équations océaniques(température, salinité, vitesse des courants, . . .).Le but est alors d’identifier la condition initiale du système (1) dont la trajectoire issue estla plus proche, au sens des moindres carrés, des observations. En notant respectivementP 0 , Q et R i les matrices de covariance d’erreur sur la condition initiale, d’erreur modèleet d’erreur d’observations, on peut définir la fonction coût suivante [5] :TAMTAM –Tunis– 2005