Tamtam Proceedings - lamsin

A max-plus finite element method forsolving Hamilton-Jacobi equationsM. Akian * , S. Gaubert * , A. Lakhoua *,*** INRIA, Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex, France** ENIT-LAMSIN, BP. 37, 1002 Tunis Belvédère, Tunisie{Marianne.Akian,Stephane.Gaubert,Asma.Lakhoua}@inria.frABSTRACT. We present a max-plus analogue of the Petrov-Galerkin finite element method to solvethe Hamilton-Jacobi equation − ∂v∂v+ H(x, ) = 0. The method relies on a max-plus variational∂t ∂xformulation, and exploits the properties of projectors on max-plus semimodules. We obtain a nonlineardiscretized semigroup, corresponding to a zero-sum two players game. We give an error estimate oforder √ δ + ∆xδ −1 , for a subclass of problems in dimension 1, where δ and ∆x are respectively thetime and space discretization steps. We compare our method with a max-plus based discretizationmethod previously introduced by Fleming and McEneaney.RÉSUMÉ. Nous présentons l’analogue max-plus de la méthode des éléments finis de Petrov-Galerkinpour résoudre l’équation d’Hamilton-Jacobi − ∂v ∂v+H(x, ) = 0. La méthode s’appuie sur une formulationvariationnelle max-plus et utilise les propriétés des projecteurs sur des semi-modules max-plus.∂t ∂xLe semi-groupe discret obtenu est non-linéaire et s’interprète comme l’opérateur de la programmationdynamique d’un jeu déterministe à somme nulle. Nous obtenons une estimation d’erreur de l’ordre de√δ + ∆xδ −1 pour une classe particulière de problèmes en dimension 1, où δ et ∆x sont respectivementles pas de discrétisation en temps et en espace. Nous comparons notre méthode avec uneméthode de discrétisation max-plus introduite par Fleming et McEneaney.KEYWORDS : Max-plus algebra, Hamilton-Jacobi equation, weak formulation, projection, finite elementmethod.MOTS-CLÉS : Algèbre max-plus, équation d’Hamilton-Jacobi, formulation faible, projection, méthodedes éléments finis.69 TAMTAM –Tunis– 2005