Tamtam Proceedings - lamsin

∫t −→ L(t) =Systèmes de réaction-diffusion 165(M − u(t, x)) −γ exp(β.v(t, x)) dx (2.5)Ω‖ u 0 ‖ ∞< M (2.7)•L(t) ≤ 0,L(t) ≤ ccte ,=(M − u) −γ e βv dx < +∞, (2.8)Ω(M − u) −γ ≥ M −γest non croissante sur [0, T ∗ [ , pour toutes constantes positives β, γ telles que :et tout M satisfaisant :βM < γ < 4 d 1.d 2(d 1 − d 2 ) 2 (2.6)Preuve : voir, [16].Corollaire 2.1. Supposons que la fonction f(r, s) est différentiablement continue surR + × R + , non négative, avec f(0, s) = 0 pour tout s ≥ 0 et vérifie la condition (1.4),alors :Toutes solutions de (1.2)-(1.3) avec les données initiales dans la région ∑ , sont globalesen temps et uniformement bornées sur [0, +∞[ × Ω.Preuve : voir, [16]Conséquence du théorème 2.4L’estimation utilisée dans ce théorème par le biais de la fonctionnelle de ”Lyapunov”,nous permet d’en déduire des résultats importants considéres comme la pierre angulairede la théorie d’existence globale des solutions de systèmes de réaction-diffusion, auquelon a montrer que :ce qui signifie que cette fonctionnelle :et par suite, en vertu de la définition de celle- ci, on déduit le résultat suivant :∫d’où compte tenu de l’espace L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) ) , on aboutit au résultat suivant :(M − u) −γ e βv ɛ L ∞ ( [0, T ∗ [ , L 1 (Ω) ) (2.9)Maintenant, par une démarche analogue à celle introduisant (2.6), tenant compte du faitque :TAMTAM –Tunis– 2005