Tamtam Proceedings - lamsin

144 Hafidi1. IntroductionOn étudie dans cette note les solutions stationnaires d’un système hydrodynamiquequi est constitué de deux plaques non parallèles. La plaque inférieure horizontale, supposéplane, est animée d’une vitesse de translation horizontale. La plaque supérieure estsoumise à une force donnée F > 0. L’espace entre les deux plaques très mince et remplid’un fluide incompressible.Sous l’hypothèse de la mécanique des films minces, la pression normalisée du fluide nedépend pas de la cordonnée verticale et vérifie l’équation dite de Reynolds :∇ · [h(x,t) 3 ∇p ] = ∂h + ∂h∂x 1 ∂tx = (x 1 , x 2 ) ∈ Ω (1)p = 0 x ∈ ∂Ω (2)Où Ω est la projection de la surface supérieur sur la surface inférieur, h est la distancenormalisée entre les surfaces.On permet à la surface supérieur deux degré de liberté :∫Le déplacement vertical a à sous l’effet de la force F et de la charge W = p induitepar l’écoulement du fluide.La rotation autour du milieu de la surface supérieur, θ, du à l’effet du moment.L’épaisseur h est de la forme :h(x) = h 0 (x) + a + x 1 θoù h 0 est une épaisseur de référence.Le problème d’équilibre consiste à trouver ( p, a, θ ) solution du :⎧ [ (h0∇ · + a + x 1 θ ) ]3∇p = ∂h 0+ θ,∂x 1(i)Ω⎪⎨⎪⎩p = 0,∫∫ΩΩp = F ,px 1 = F ˆx 1 .Pour simplifier, on considère Ω =] − 1, 1[ 2 , et soit ˆx 1 ∈]0, 1[.On suppose que la fonction h 0 vérifie les hypothèses suivantes :(H)min h 0(x) = 0,x∈Ω∂h 0∂x 1≤ 0,(ii)(iii)(iv)h 0 ∈ C 1 (¯Ω).(3)TAMTAM –Tunis– 2005