Tamtam Proceedings - lamsin

118 B. AbdelkaderAlors pour tout X > A nous avonsG ′ y(X, ψ(X)) = F ′y (X, ϕ(X)).Ce qui permet de conclure que ϕ est un fleuve généralisé de dY/dX = F (X, Y ) si etseulement si ψ est un fleuve généralisé de dY 1 /dX = G(X, Y 1 ). Théorème 4. :Une condition suffisante pour l’existence de fleuve de type (k,r) d’ordre mpour l’équation (3) est qu’il existe un couple de réels standard (k, r)ɛR ∗ × R ∗ , tel quei) y = kx r soit une singularité macroscopique d’ordre m de (3),ii) (F r ) ′ y ne change pas de signe en dehors du halo de y = kx r ,iii) F r (1, k) = 0.Preuve : En effet, en tenant compte du théorème 3, il suffit de voir que de la conditioni) et celle de iii) nous avons une singularité macroscopique appartenant à la courbe lente ;donc il existe une solution ψ(X) de (3) qui soit asymptote à Y = kX r .La condition ii) par contre, nous assure l’attractivité (( ◦ F r ) ′ y(x, kx r ) < 0) ou larépulsivité (( ◦ F r ) ′ y(x, kx r ) > 0) qui est une condition primordiale pour l’existence desfleuves.4. Bibliographie[1] BOUHASSOUN A. , "Fleuves des champs de vecteurs du plan", Thèse de Magister, Oran 1988.[2] BLAIS F., "Asymptotic expansions of rivers", Dynamic bifurcations (Luminy, 1990), LectureNotes in Math. 1493, Springer, Berlin, pp.181–189, 1991.[3] BLAIS F., "Fleuves généralisés", Thèse de doctorat, Paris VII 1989.[4] DIENER F., "Propriétés asymptotiques des fleuves", C.R. Acad. Sc. Paris, t.302, Série I, n ◦ 2,pp.55-88,1986.[5] DIENER M. and REEB G., "Champs polynômiaux : nouvelles trajectoires remarquables", Bulletinde la Société Mathématique de Belgique, XXXVIII : pp.136-150, 1986.[6] MICHEL F., "Asymptotique des solutions oscillantes d’équations différentielles", Ann. Math.Blaise Pascal, Vol. 4, N ◦ 1, pp.69-79, 1997.[7] VAN DEN BERG I. P., "On solutions of polynomial growth of ordinary differential equations",Journal of differential equations Vol.81, n ◦ 2, pp.368-402, october 1989.TAMTAM –Tunis– 2005