Tamtam Proceedings - lamsin

Résolution d’un systéme d’elasticité non linéaire 5691. IntroductionLa méthode des approximations successives peut être appliquée à presque tous lesproblèmes non linéaires.Le point essentiel dans l’application de cette méthode réside dans le choix de l’espacefonctionnel normé dans lequel on fait les estimations.2. Le ProblèmeSoit α > 0 donné on considère l’équation suivante :∂u∂t −Au − u1+α = f, (1)avec x ∈ R n , t > 0 et A un opérateur différentiel linéaire d’ordre 2, dans notre étude onva utiliser l’opérateur de Lamé, c’est à dire :n∑ n∑Au = ∆u + λj=1 i=1∂ 2 u i∂x i ∂x jOn donne la fonction f dans l’espace L 2 (R n × ]0, T [), et on cherche une fonction u(x, t),vérifiant (1), où :n∑ ∂ 2 u∆u =∂x 2 et u = (u 1, ..., u n )ii=1La fonction u doit en en outre vérifier les conditions :u k (x, t) ≥ 0; k = 1, ..., n (2)u k (x, 0) = u 0,k(x), x ∈ R n ; u 0,k donnée (3)u continue dans ( x ∈ R n ; t ≥ 0) (4)2.1. ThéorèmeOn suppose que :TAMTAM –Tunis– 2005nα > 2 (5)alors, pour tout χ > 0 donné, il existe σ tel que si u 0 est une fonction continue vérifiant :0 ≤ u 0,k (x) ≤ σ exp (− 14χ |x|2 )+u k (6)